Probabilidade UFGD- Introducao a Distribuicoes Continuas e Espaco Amostral

Probabilidade Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD 11 de Agosto de 2024 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 1 55 Introducao As distribuicoes contınuas de probabilidade sao usadas para modelar variaveis aleatorias contınuas Elas descrevem a probabilidade de um valor especıfico ocorrer em um intervalo contınuo Importantes para analise de dados financeiros e econˆomicos em Ciˆencias Contabeis Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 2 55 Experimento Aleatorio ou NaoDeterministico Um experimento aleatorio e um experimento que pode apresentar resultados diferentes quando repetidos nas mesmas condicoes ou seja nao somos capazes de afirmar que resultado particular ocorrera no entanto podemos descrever todos os possıveis resultados do mesmo Alguns exemplos de experimento aleatorio a Lancamento de um dado b Lancamento de uma moeda c Numero de pecas defeituosas da producao diaria de uma maquina d Tempo de vida util de um componente eletrˆonico Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 3 55 Espaco Amostral Um espaco amostral que denotaremos por Ω e o conjunto de todos os possıveis resultados de um experimento aleatorio Considerando o experimento aleatorio do exemplo anterior temos o seguinte espaco amostral correspondente a Ω1 1 2 3 4 5 6 b Ω2 c k onde ccara e kcoroa c Ω3 0 1 2 3 4 d Ω4 t t 0 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 4 55 Eventos Um evento e um conjunto de resultados do experimento aleatorio Na visao de teoria de conjunto um evento e um subconjunto do espaco amostral Ω Considerando os espacos amostrais discretos anteriores podemos relacionar eventos tais como a A1 ocorrer face par ao jogar um dado A1 2 4 6 b A2 ocorrer coroa ao jogar uma moeda A2 k c A3 observar no maximo dez pecas defeituosas feita por uma maquina A3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d A4 o tempo de vida util de um componente eletrˆonico e superior a 10 horas A4 t t 10 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 5 55 Operacao entre conjuntos Usando as operacoes entre conjuntos podemos formar novos eventos Assim A B e o evento que ocorre quando A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem A B e o evento que ocorre quando A e B ocorrem A e o evento que ocorre quando A nao ocorre Em particular todo o espaco Ω e chamado de evento certo e o conjunto vazio e chamado de evento impossıvel Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 6 55 Operacao entre conjuntos Seja o experimento aleatorio E lancamento de um dado Dessa forma temos o espaco amostral Ω 1 2 3 4 5 6 Considere os seguintes eventos A1 ocorrer a face par A1 2 4 6 A2 ocorrer a face menor ou igual a 3 A2 1 2 3 A3 ocorrer a face ımpar A3 1 3 5 Entao fazendo as seguintes operacoes temos A1 A2 1 2 3 4 6 A1 A2 2 A1 A3 A2 A3 1 3 A1 A3 1 2 3 4 5 6 Ω A2 A3 1 2 3 5 A1 A3 A2 4 5 6 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 7 55 Mutuamente Exclusivos Dois eventos A e B sao denominados mutuamente exclusivos se A B Seja o experimento aleatorio E lancamento de um dado Entao Ω 1 2 3 4 5 6 Considere dois eventos A e B mutuamente exclusivos pois A B A ocorrer a face par A 2 4 6 B ocorrer a face ımpar B 1 3 5 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 8 55 Definição de Probabilidade Dado um espaço amostral Ω probabilidade de um evento A indicado por PA é uma função definida em Ω que associa a cada evento um número real satisfazendo as seguintes condições i 0 PA 1 qualquer que seja A Ω ii PΩ 1 iii Se A₁ e A₂ são eventos mutuamente exclusivos então a probabilidade da união entre esses eventos é PA₁ A₂ PA₁ PA₂ iv Se A₁ A₂ Aₙ são eventos dois a dois mutuamente exclusivos então a probabilidade Pᵢ₁ Aᵢ ᵢ₁ PAᵢ Propriedade de Probabilidade P1 P 0 P2 PA 1 PA P3 A B PA PB P4 Se A e B sao dois eventos quaisquer de Ω entao PA B PA PB PA B Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 10 55 Exercıcios 1 Com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 quantos numeros com algarismos distintos existem entre 500 e 1000 2 Um quımico possui dez tipos de substˆancias De quantos modos possıveis podera associar seis dessas substˆancias se entre as dez duas somente nao podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva 3 Sejam A e B dois eventos de um espaco amostral Suponha que PA 0 4 PA B 0 7 e PB p Para que valor de p os eventos A e B sao independentes 4 Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas Retire duas bolas da urna sem reposicao a Obtenha os resultados possıveis e as respectivas probabilidades b Qual a probabilidade de sair bola preta na primeira e segunda extracao c Qual a probabilidade de sair bola preta na segunda extracao d Qual a probabilidade de sair bola vermelha na primeira extracao Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 11 55 Exercıcios 5 Um dado e desbalanceado de tal forma que a probabilidade de sair uma certa face e proporcional ao seu valor Por exemplo a face 6 e trˆes vezes mais provavel de ocorrer que a face 2 a face 2 e duas vezes mais provavel de ocorrer que a face 1 a face 4 e duas vezes mais provavel de ocorrer que a face 2 e assim por diante Calcule a A probabilidade de sair o numero 5 sabendo que ocorreu face ımpar b A probabilidade de ocorrer face par sabendo que ocorreu o numero maior que 3 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 12 55 Exercıcios 6 Os numeros que aparecem na tabela abaixo sao probabilidades relacionadas com a ocorrˆencia dos eventos A B A B A B A B A B e A B Assim PA 0 10 PA B 0 04 PB 0 88 e assim por diante Mediante essas informacoes verifique se os eventos A e B sao independentes e justifique sua resposta B B Total A 004 006 010 A 008 082 090 Total 012 088 100 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 13 55 Exercıcios 7 O seguinte grupo de pessoas esta numa sala 5 rapazes com mais de 21 anos 4 rapazes com menos de 21 anos 6 mocas com mais de 21 anos 3 mocas com menos de 21 anos Uma pessoa e escolhida ao acaso dentre as 18 Os seguintes eventos sao definidos A a pessoa tem mais de 21 anos B a pessoa tem menos de 21 anos C a pessoa e um rapaz D a pessoa e uma moca Calcular a PB D b PA C Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 14 55 Espaço Amostral Finito Seja Ω um espaço amostral finito isto é Ω ω₁ ω₂ ωₙ Consideramos o evento A formado por um resultado simples ou seja ωᵢ Cada evento simples ωᵢ associaremos um número pᵢ denominado probabilidade de ωᵢ satisfazendo as condições i pᵢ 0 para i 1 2 n ii p₁ p₂ pₙ ᵢ₁ⁿ pᵢ 1 iii Se A Ω então PA ωᵢ A pωᵢ Exemplo Trˆes cavalos AB e C estao em uma corrida O cavalo A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar do que o cavalo B que por sua vez tem duas vezes mais probabilidade de ganhar do que o cavalo C Quais sao as probabilidades de vitoria de cada cavalo ou seja PA PB e PC Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 16 55 Resultados Igualmente Provaveis Seja Ω um espaco amostral finito Se associarmos a cada ponto amostral a mesma probabilidade dizemos que o espaco amostral e equiprovavel Em particular se Ω contem n pontos amostrais entao a probabilidade de cada ponto amostral e 1 n Agora se um evento A tiver m pontos entao PA m n m 1 n Este modo de avaliar PA e frequentemente enunciado da seguinte maneira PA NCFA NTC A Ω Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 17 55 Exemplo 1 Uma carta e selecionada ao acaso de um baralho comum de 52 cartas Calcule a probabilidade que esta carta seja a Uma figura b Um rei ou uma carta de paus Solucao a A1 a carta e uma figura PA1 NCFA NTC A1 Ω 12 52 3 13 0 23 b A1 a carta e um rei e A2 a carta e de paus PA1 A2 PA1 PA2 PA1 A2 4 52 13 52 1 52 16 52 4 13 0 3077 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 18 55 Exemplo 2 Uma urna contém cinco bolas brancas e quatro vermelhas Três bolas são retiradas simultaneamente ao acaso da urna Calcule a probabilidade que a sejam todas brancas b duas sejam brancas e uma vermelha c ao menos uma seja vermelha Solução a A as três bolas retiradas sejam brancas PA A Ω 5 choose 3 9 choose 3 5 23 9 63 54 2 987 32 10 84 01191 b B1 duas bolas retiradas sejam brancas B2 uma bola retirada seja vermelha PB1 B2 B1 B2 Ω 5 2 4 1 9 3 10 4 3 1 84 10 4 84 10 21 04762 c C ao menos uma bola vermelha Caso 1 Calculando todas a probabilidades de sair 1 ou 2 ou 3 vermelhas PC Psair 1 verm Psair 2 verm Psair 3 verm PC 4 1 5 2 9 3 4 2 5 1 9 3 4 3 5 0 9 3 PC 4 10 84 6 5 84 4 1 84 14 84 40 84 30 84 4 84 74 84 PC 0881 Caso 2 Fazer o cálculo utilizando a propriedade P2 de probabilidade complementar ou seja PC 1 PC Mas se observarmos no item a concluímos que PC PA PC 1 PC PC 1 PA PC 1 5 3 9 3 1 10 84 PC 1 01191 0881 Probabilidade Condicional Seja o experimento aleatorio E lancamento de um dado O espaco amostral Ω 1 2 3 4 5 6 Seja os eventos A representa ocorrer face 1 no dado e B representa ocorrer face com numero ımpar no dado ou seja A 1 B 1 3 5 Calculando as probabilidades dos dois eventos temos PA 1 6 PB 1 2 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 23 55 Probabilidade Condicional Podemos no entanto estarmos interessados em avaliar a probabilidade do evento A condicionada a ocorrˆencia do evento B Denotase esta probabilidade por PAB lˆese Probabilidade do evento A condicionada a ocorrˆencia do evento B lˆese Probabilidade de A dado B Temos que PAB 1 3 1 6 PA PAB PA Observacao Dada a informacao da ocorrˆencia de um evento temos a reducao do espaco amostral Ω No experimento acima Ω 1 2 3 4 5 6 foi reduzido para Ω 1 3 5 e e nesse espaco reduzido que avaliamos a probabilidade do evento A Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 24 55 Definicao de Probabilidade Condicional Considere dois eventos quaisquer A B Ω com PB 0 A probabilidade condicional do evento A quando B tiver ocorrido e PAB PA B PB Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 25 55 Exemplo 1 Probabilidade Condicional Em uma cidade 40 da população tem cabelos castanhos 25 olhos castanhos e 15 tem simultaneamente cabelos e olhos castanhos Uma pessoa dessa cidade é selecionada aleatóriamente a Se a pessoa tem cabelos castanhos qual é a probabilidade dela também ter olhos castanhos b Se a pessoa tem olhos castanhos qual a probabilidade de não ter cabelos castanhos Solução Vamos definir os eventos A a pessoa escolhida ter cabelo castanho e B a pessoa escolhida ter olhos castanhos Exemplo 1 Probabilidade Condicional a PBA PB APA 015040 38 0375 b Para resolver esse item temos que considerar a seguinte igualdade de conjuntos B A B Abar B PB PA B Abar B PB PA B PAbar B PAbar B PB PA B PAbar B 025 015 010 Dessa forma PAbarB PAbar BPB 010025 1025 040 Exemplo 2 Probabilidade Condicional Um dado e desbalanceado de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto e proporcional ao seu valor Por exemplo o ponto 6 e trˆes vezes mais provavel de ocorrer que o ponto 2 Calcule a A probabilidade de sair o numero 5 sabendose que ocorreu face ımpar b A probabilidade de ocorrer face par sabendose que ocorreu um numero maior ou igual a 3 Solucao Ω 1 2 3 4 5 6 P1 p P2 2p P3 3p P4 4p P5 5p P6 6p Como por definicao p 2p 3p 4p 5p 6p 1 temos que p 1 21 0 0476 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 28 55 a Vamos definir os eventos A sair face 5 e B ocorrer face ímpar PAB PA BPB P5P135 521921 59 05555 b Vamos definir os eventos C ocorrer face par e D sair número maior ou igual a 3 PCD PC DPD 10211821 59 05555 Teorema do Produto A probabilidade da ocorrˆencia simultˆanea de dois eventos A1 e A2 do mesmo espaco amostral e igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro dado o primeiro isto e PA1 A2 PA1 PA2A1 Observe que e facil verificar essa igualdade se partirmos da definicao de probabilidade condicional de A dado B De fato PA2A1 PA1 A2 PA1 PA1 A2 PA1 PA2A1 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 30 55 Exemplo 1 Teorema do Produto Um lote com 12 peças possuem 8 peças boas e 4 peças defeituosas Se retirarmos duas peças uma atrás da outra sem devolução qual a probabilidade de que as duas sejam boas Solução Vamos definir os eventos A1 a primeira peça escolhida é boa A2 a segunda peça escolhida é boa Dessa forma temos A1 A2 Ω PA1 A2 PA1 PA2A1 812 711 1433 04242 Exemplo 2 Teorema do Produto Considere um baralho de 52 cartas Retirase duas cartas sem reposição e observeas Qual a probabilidade de que ambas sejam ases Solução Vamos definir os eventos A1 a primeira carta é um ás A2 a segunda carta é um ás Dessa forma temos A1 A2 Ω PA1 A2 PA1 PA2A1 452 351 1221 00045 Observação Teorema do Produto O conceito acima pode ser estendido para um número n qualquer de eventos Assim se A1 A2 A3 An são eventos de um espaço amostral Ω temse PA1 A2 A3 An PA1 PA2A1 PA3A1 A2 PA4A1 A2 A3 PAnA1 A2 A3 An1 Que pode ser elegantemente representado por Pi1n Ai i1n PAi j1i1 Aj Independˆencia Estatıstica Um evento A2 e considerado independente de um evento A1 se a probabilidade condicional de A2 dado A1 e igual a probabilidade de A2 PA2A1 PA2 Como pelo Teorema do Produto temos que PA1 A2 PA1 PA2 A1 podemos afirmar que se A1 e A2 sao independentes entao PA1 A2 PA1 PA2 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 34 55 Exemplo 1 Independência Estatística Considerando novamente o lote de 12 peças dentre as quais 4 são defeituosas Se retirarmos duas peças com reposição qual a probabilidade de que ambas sejam não defeituosas boa Solução Vamos definir os eventos A1 a primeira peça seja boa A2 a segunda peça seja boa PA1 A2 PA1 PA2 812 812 49 04444 Observacao Independˆencia Estatıstica Aqui tambem o conceito acima pode ser estendido para um numero n de eventos independentes Nesse caso os n eventos sao independentes se forem independentes 2 a 2 3 a 3 n a n isto e Caso 2 a 2 independentes PA1 A2 PA1 PA2 PA1 A3 PA1 PA3 PAi Aj PAi PAj PAn1 An PAn1 PAn onde i j i 1 2 n 1 e j 2 3 n Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 36 55 Caso 3 a 3 independentes PA1 A2 A3 PA1 PA2 PA3 PA1 A2 A4 PA1 PA2 PA4 PAi Aj Ak PAi PAj PAk PAn2 An1 An PAn2 PAn1 PAn onde i j k i 1 2 n 2 j 2 3 n 1 k 3 4 n Caso n a n independentes PA1 A2 An PA1 PA2 PAn Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 37 55 Exemplo 2 Independˆencia Estatıstica Seja Ω 1 2 3 4 um espaco amostral equiprovavel Verifique se os eventos A1 1 2 A2 1 3 e A3 1 4 sao independentes Solucao PA1 PA2 PA3 1 2 PA1 A2 A3 P1 1 4 PA1 PA2 PA3 1 8 PA1 A2 A3 Portanto os eventos A1 A2 e A3 nao sao independentes Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 38 55 Teorema de Bayes Sejam n eventos mutuamente exclusivos A1 A2 An tais que i A1 A2 An Ω ii PAi deve ser conhecida para i 1 2 n iii B um evento qualquer de Ω tal que PBAi i 1 2 n tambem sejam conhecidas Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 39 55 De fato da definicao de probabilidade condicional temos que para cada i 1 2 n PAiB PAi B PB Podemos escrever o conjunto B como uma uniao de subconjuntos disjuntos ou seja B A1 B A2 B An B onde Ai B sao mutuamente exclusivos para i 1 2 n Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 40 55 Aplicando a função probabilidade de ambos os lados e utilizando o Teorema do Produto temos PB PA1 B PA2 B PAn B PB PA1 B PA2 B PAn B PB PA1 PBA1 PA2 PBA2 PAn PBAn PB j1n PAj PBAj Portanto PAiB PAi PBAi j1n PAj PBAj Exemplo 1 Teorema de Bayes Uma Companhia produz circuitos integrados em trˆes fabricas F1 F2 e F3 A fabrica F1 produz 40 dos circuitos enquanto as fabricas F2 e F3 produzem 30 cada uma As probabilidades de um circuito integrado produzido por estas fabricas nao funcione e 001 da F1 004 da F2 e 003 da F3 Escolhido um circuito da producao conjunta das trˆes fabricas verificase que o mesmo e defeituoso Determine a probabilidade de ter sido produzido por cada uma das fabricas Solucao Vamos definir os eventos A1 o circuito e produzido pela fabrica F1 A2 o circuito e produzido pela fabrica F2 A3 o circuito e produzido pela fabrica F3 B o circuito e defeituoso Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 42 55 PA1B PA1PBA1 PA1PBA1 PA2PBA2 PA3PBA3 0 40 01 0 40 01 0 30 04 0 30 03 0 004 0 025 0 16 PA2B PA2PBA2 PA1PBA1 PA2PBA2 PA3PBA3 0 40 01 0 40 01 0 30 04 0 30 03 0 012 0 025 0 48 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 43 55 PA3B PA3PBA3 PA1PBA1 PA2PBA2 PA3PBA3 0 40 01 0 40 01 0 30 04 0 30 03 0 009 0 025 0 36 Portanto a probabilidade do circuito defeituoso ter vindo da fabrica F1 e de 16 da fabrica F2 e de 48 e da fabrica F3 e de 36 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 44 55 Exemplo 2 Teorema de Bayes Uma urna A contém 4 bolas 2 brancas e 2 pretas Uma outra urna B contém 5 bolas 3 brancas e 2 pretas Uma bola é transferida de A para B e em seguida uma bola é retirada de B e verificada ser branca Qual a probabilidade de que a bola transferida tenha sido branca Solução Vamos definir os eventos M a bola retirada de B é branca N1 a bola transferida de A para B é branca N2 a bola transferida de A para B é preta PN1M PN1 PMN1 PN1 PMN1 PN2 PMN2 24 46 24 46 24 36 47 057 Exemplo 3 Teorema de Bayes Uma urna contem 5 bolas vermelhas e 3 bolas brancas Uma bola e selecionada aleatoriamente da urna e e abandonada Em seguida duas bolas da outra cor sao colocadas na urna Umas segunda bola e entao selecionada da urna Encontre a probabilidade de que a a segunda bola seja vermelha b ambas as bolas sejam da mesma cor c se a segunda bola e vermelha qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha d se ambas sao da mesma cor qual e a probabilidade de que sejam branca Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 46 55 Solucao Exemplo 3 Vamos definir os eventos A1 a primeira bola retirada e vermelha A2 a segunda bola retirada e vermelha C ambas as bolas retiradas sao da mesma cor a A2 A2 A1 A2 A1 PA2 PA2 A1 PA2 A1 PA2 PA1PA2A1 PA1PA2A1 PA2 5 8 4 9 3 8 7 9 41 72 0 5694 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 47 55 b C A1 A2 A1 A2 PC PA1PA2A1 PA1PA2 A1 PC 5849 3829 2672 03611 c PA1A2 PA1 A2 PA2 PA1PA2A1 PA2 PA1PA2A1 PA1PA2A1 PA1PA2A1 2072 4172 2041 04878 d PA1 A2C PA1 A2 C PC PA1 A2 PCA1 A2 PC PA1 A2 PCA1 A2 PA1 A2 PCA1 A2 PA1 A2 PCA1 A2 PA1 PA2A1 PCA1 A2 PA1 PA2A1 PCA1 A2 PA1 PA2A1 PCA1 A2 38291 38291 58491 626 02308 Exemplo 4 Teorema de Bayes Mostre que se A e B sao eventos independentes entao os eventos a seguir tambem o serao a A e B b A e B c A e B Solucao a PA B PA PB A A B A B PA PA B PA B PA B PA PA B PA B PA PA PB PA B PA 1 PB PA B PA PB Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 50 55 b PA B PA PB B A B A B PB PA B PA B PA B PB PA B PA B PB PA PB PA B PB1 PA PA B PB PA c PA B PA PB De Morgan PA B PA B PA B 1 PA B PA B 1 PA PB PA B PA B 1 PA PB PAPB PA B 1 PA PB1 PA PA B 1 PA1 PB PA B PAPB Exercıcios de Probabilidade 1 Sejam A e B dois eventos de um espaco amostral Ω Suponha que PA 0 4 PA B 0 7 e PB p Para que valor de p os eventos A e B sao independentes 2 Considere A B e C trˆes eventos pertencentes a um espaco amostral Ω Sabendo que PA 1 2 PB 1 3 e PA B 1 4 calcular a PA B b PAB c PBA d PA BB 3 Sabese que durante o mˆes de novembro a probabilidade de chuva e de 03 Sabese tambem que um time de futebol ganha um jogo em um dia de chuva com a probabilidade de 04 e consequentemente ganha um jogo em um dia sem chuva com a probabilidade 06 Se esse time ganhou um jogo em novembro qual a probabilidade de que choveu nesse dia Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 52 55 4 Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas Retire duas bolas da urna sem reposicao a Obtenha os resultados possıveis e as respectivas probabilidades b Qual a probabilidade de sair bola preta na primeira e segunda extracao c Qual a probabilidade de sair bola preta na segunda extracao d Qual a probabilidade de sair bola vermelha na primeira extracao 5 Suponha que a ocorrˆencia ou nao de chuva nos meses de dezembro janeiro e fevereiro dependa das condicoes do tempo no dia imediatamente anterior Admitase que se chove hoje chovera amanha com probabilidade 0 4 Por outro lado se nao chove hoje chovera amanha com probabilidade 0 5 Sabendose que choveu dia 10 de janeiro calcule a probabilidade de que chovera no dia 13 deste mesmo mˆes Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 53 55 6 Apenas uma em cada dez pessoas de uma populacao tem tuberculose Das pessoas que tem tuberculose 80 reagem positivamente ao teste Y enquanto apenas 30 dos que nao tem tuberculose reagem positivamente Uma pessoa da populacao e selecionada ao acaso e o teste Y e aplicado Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha tuberculose se reagiu positivamente ao teste 7 Uma mesa tem trˆes gavetas e cada gaveta tem duas bolas A primeira gaveta tem duas bolas brancas a segunda gaveta tem uma bola branca e uma bola preta e a terceira gaveta tem duas bolas pretas Se escolhermos uma das trˆes gavetas ao acaso e retirarmos uma bola sem olhar ao acaso e constatarmos que ela e de cor branca qual a probabilidade da segunda bola retirada tambem ser da cor branca 8 Em certo colegio 5 dos homens e 2 das mulheres tˆem mais do que 1 80 m de altura Por outro lado 60 dos estudantes sao homens Se um estudante e selecionado aleatoriamente e tem mais de 1 80 m de altura qual a probabilidade de que o estudante seja mulher Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 54 55 9 Bussab Morettin Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeicoes Uma salada completa ou um prato a base de carne Sabese que 20 dos fregueses do sexo masculino preferem salada Sabese tambem que 30 das mulheres escolhem carne E finalmente sabese que 75 dos fregueses sao homens Considere os seguintes eventos H freguˆes e homem A freguˆes prefere salada M freguˆes e mulher B freguˆes prefere carne Calcular a PA PAH PBM b PA H PA H c PMA Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Probabilidade 11 de Agosto de 2024 55 55