Teste de Hipóteses em Estatística para Engenharia

nº PPGEPUFRGS TESTE DE HIPÓTESE Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Comentários Iniciais Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de uma distribuição de probabilidade Por exemplo podemos formular a hipótese que a produtividade é diferente de 25 peçashora Formalmente isso é escrito como Ho é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa Nesse caso a alternativa formulada é bilateral mas também podem ser estabelecidas alternativas unilaterais tais como peçashora H peçashora H 52 52 1 0 ¹ µ µ peçashora H peças hora H 52 52 1 0 µ µ Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística mais usadas Via de regra a hipótese nula é feita com base no comportamento passado do produtoprocessoserviços enquanto a alternativa é formulada em função de alterações inovações recentes No ambiente atual de melhoria contínua é fácil entender a importância dos testes de hipótese eles permitem confirmar a eficácia das medidas de melhoria adotadas Ao testar a hipótese tomase uma amostra aleatória do sistema em estudo e se calcula o parâmetro desejado Conforme o valor do parâmetro a hipótese nula será aceita ou rejeitada a partir de procedimentos estatísticos Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Passos para realizar um Teste de Hipóteses Passo 1 Definição da Hipótese O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses hipótese nula e hipótese alternativa Hipótese Nula Ho É um valor suposto para um parâmetroSe os resultados da amostra não forem muito diferentes de Ho ela não poderá ser rejeitada Hipótese AlternativaH1 É uma hipótese que contraria a hipótese nula complementar de Ho Essa hipótese somente será aceita se os resultados forem muito diferentes de Ho Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Passos para realizar um Teste de Hipótese Passo 2 Calcular a estatística do Teste É o valor calculado a partir da amostra que será usado na tomada de decisão Uma maneira de tomarse uma decisão é comparar o valor tabelado com a estatística do teste Para o caso de testes de médias a estatística do teste é a variável padronizada Z n X Zcal s µ Estatística do teste Variabilidade das médias Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Passos para realizar um Teste de Hipótese Passo 3 Região Crítica O valor da estatística do teste no caso o valor Z é calculado supondo que a hipótese nula Ho é verdadeira No entanto o valor calculado pode estar associado a uma probabilidade de ocorrência muito baixa Nesse caso a hipótese nula deve ser rejeitada e aceitamos a hipótese alternativa A região crítica é a região onde Ho é rejeitada A área da região crítica é igual ao nível de significância a que estabelece a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira Por exemplo se utilizarmos o nível de significância de 5 a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira é igual a 5 Na prática os valores usuais de alfa são a 001 ou 005 ou 010 Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Passos para realizar um Teste de Hipótese Unilateral à esquerda Ho µ 50 H1 µ 50 Unilateral à direita Ho µ 50 H1 µ 50 Bilateral Ho µ 50 H1 µ ¹ 50 Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Passos para realizar um Teste de Hipótese Passo 4 Regra de Decisão Se o valor da estatística do teste cair na região crítica rejeita se Ho Ao rejeitar a hipótese nula Ho existe uma forte evidência de sua falsidade Ao contrário quando aceitamos dizemos que não houve evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Passos para realizar um Teste de Hipótese Passo 5 Conclusão Aceitar Ho implica que a hipótese nula não pode ser rejeitada Rejeitar Ho implica que temos evidências estatísticas para rejeitála com um risco conhecido a Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Comparação de médias variância conhecida Suponha que X é uma variável aleatória com média µ conhecida e variância conhecida E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado µ0 O teste de hipótese pode ser formulado como segue Para testar a hipótese tomase uma amostra aleatória de n observações e se calcula a estatística Note que o teste é feito usandose no denominador uma vez que esse é o desvio padrão da média 2 s 0 1 0 o H H ¹ µ µ µ µ n X Z o o s µ n s Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA A hipótese Ho é rejeitada se onde é um valor limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores externos a é a A probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hipótese nula é menor do que logo rejeitase a hipótese nula Ho Se resultar próximo de a hipótese Ho é aceita Se resultar longe de a hipótese Ho é rejeitada Za 2 a 2 0 Za Z a 2 Z X a 2 o Z Z X 2 a o Z Z o µ µo Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para a média EXEMPLO A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável com uma resistência média de 72 kgmm2 e um desvio padrão de 20 kgmm2 Recentemente a máquina foi ajustada A fim de determinar o efeito do ajuste 10 amostras foram testadas 762 783 764 747 726 784 757 702 733 742 Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração de aço Adote um nível de significância de 5 Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para a média EXEMPLO Passo 1 Definição da Hipótese Ho µ 72 kgmm2 H1 µ 72 kgmm2 s 2 kgmm2 Passo 2 Calcular a estatística do Teste Sendo 750 e s 2 kgmm2 temos Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está a 474 deviospadrão da média alegada em Ho que é 72 X 4 74 6325 0 3 10 2 72 75 n X Z o cal s µ Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para a média Passo 3 Região Crítica Passo 4 Regra de Decisão Como o valor crítico para 5 é 196 desvios Z tabelado estamos na região de rejeição de Ho Passo 5 Conclusão Ho é rejeitada e concluímos que a resistência à tração do aço mudou Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Exemplo 01 Um processo deveria produzir bancadas com 085 m de altura O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou Sabendo que o desvio padrão é teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância a005 Solução Þ Rejeitase Ho 087 X 0010 s 0025 566 196 Zo Z 1 o 085 085 087 085 Z 566 0010 8 o H H µ µ ¹ Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA µ 196 196 a2 a2 0850 Aceita Ho Za 2 a 2 Z Rejeita Ho 2 0 Za Z Rejeita Ho 2 0 Za Z 2 0 Za Z Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Em alguns casos o objetivo pode ser rejeitar Ho somente se a verdadeira média for maior que µo Assim a hipótese alternativa unilateral será e a hipótese nula será rejeitada somente se Se o objetivo for rejeitar Ho somente quando a verdadeira média for menor que µo a hipótese alternativa será e a hipótese nula será rejeitada somente se ou Quando há duas populações com médias desconhecidas digamos e variâncias conhecidas o teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é o seguinte o H1 µ µ a Z Zo 1 o e µ µ 2 2 2 1 e s s 2 1 1 2 1 o H H ¹ µ µ µ µ Za Zo a o H1 µ µ Zo Za Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Nesse caso a partir de uma amostra aleatória de n1 observações da população 1 e n2 observações da população 2 calculase E Ho é rejeitada se No caso da alternativa unilateral a hipótese nula Ho será rejeitada quando E se a alternativa unilateral for a hipótese nula Ho será rejeitada quando resultar ou 2 2 2 1 2 1 2 1 o n n X X Z s s 2 H1 1 µ µ Za Zo 2 1 1 µ µ H a Z Zo Za Zo 2 0 Za Z Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Tabela 7 Teste de Médias Variância Conhecida Exemplo Hipótese Estatística Critério para rejeitar Ho o o H H µ µ µ µ ¹ 1 0 o o H H µ µ µ µ 1 0 o o H H µ µ µ µ 1 0 n X Z o o s µ 2 0 Za Z Za Zo Za Zo ou Za Zo 2 1 1 2 1 µ µ µ µ ¹ H Ho 2 1 1 2 1 µ µ µ µ H Ho 2 1 1 2 1 µ µ µ µ H Ho 2 2 2 1 2 1 2 1 n n X X Zo s s 2 0 Za Z Za Zo Za Zo ou Zo Za Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Comparação de médias variância desconhecida Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média µ e variância desconhecidas Para testar a hipótese de que a média é igual a um valor especificado µo formulamos Esse problema é idêntico àquele da seção anterior exceto que agora a variância é desconhecida Como a variância é desconhecida é necessário fazer a suposição adicional de que a variável tenha distribuição Normal Essa suposição é necessária para poder desenvolver a estatística do teste contudo os resultados ainda serão válidos se o afastamento da normalidade não for forte 2 s o 1 0 o H H ¹ µ µ µ µ Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Como não é conhecido usase a distribuição de Student para construir a estatística do teste E a hipótese nula é rejeitada se onde t a 2 é um valor limite da distribuição de Student tal que a probabilidade de se obter valores externos a t a 2 é a A Tabela 8 mostra os testes apropriados para os casos de hipóteses unilaterais 2 s n S X t o o µ 0 Ho µ µ 1 2 n 0 t t a Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para a média desvio padrão desconhecido Um trecho de uma rodoviária estadual quando é utilizado o radar são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado Para verificar isso o radar foi mantido por 10 dias consecutivos Os resultados foram 8 9 5 7 8 12 6 9 6 10 Os dados trazem evidência de aumento nas infrações Passo 1 Definição da Hipótese Ho µ 7 H1 µ 7 Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para a média desvio padrão desconhecido Passo 2 Calcular a estatística do Teste Temos 8 Não conhecendo estimamos por S desviopadrão da amostra logo S 210 Desviopadrão foi estimado a partir de uma pequena amostra devese usar a estatística tstudent Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está a 15 desviospadrão da média alegada em Ho que é 7 X s 15 666 0 1 10 10 2 7 8 n S X t o cal µ Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para a média desvio padrão desconhecido O valor tabelado de t depende do nível de significância 5 e dos graus de liberdade que são função do tamanho da amostra GL n 1 9 Nesse exemplo t tabelado 1833 nPasso 3 Região Crítica Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para a média desvio padrão desconhecido Passo 4 Regra de Decisão O valor calculado de t está dentro da região de aceitação de Ho Passo 5 Conclusão Como aceitamos Ho a conclusão é que e não houve um aumento significativo no número de infrações Veja que apesar de 8 ser maior que 7 a diferença não foi significativa para concluir que o número de infrações aumentou É como se não houvesse provas suficientes para condenar o réu Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Exemplo 72 Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou para ser atendido O resultado dessa pesquisa aparece a seguir 22 20 21 23 22 20 23 22 20 24 21 20 21 24 22 22 23 22 20 24 20min 20min 1 µ µ H Ho 21 8 min X 1 40min S 75 5 20 40 1 20 8 21 n S X t o o µ 1 729 5 75 0 0519 0 t t Rejeitase Ho Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para comparação de médias Independentes Existem situações que queremos comparar duas amostras independentes por exemplo queremos verificar se existe diferença significativa entre dois lotes em relação à média de uma característica de qualidade importante Neste caso temos duas amostras e utilizaremos a diferença entre as médias amostrais Se esta diferença for significativa dizemos que as populações possuem médias diferentes quanto a característica utilizada Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para comparação de médias Independentes Passo 1 Definição da Hipótese Quando há duas populações normais com médias e variâncias desconhecidas as hipóteses para testar se as médias são iguais são as seguintes Passo 2 Calcular a estatística do Teste O procedimento do teste irá depender de que Se essa suposição for razoável então calculase a variância combinada E a seguir calculase a estatística do teste 2 1 1 2 1 µ µ µ µ ¹ H Ho 2 1 2 1 1 1 n n S x x tcal p 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 n n S n S n S p 2 2 2 1 s s Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para comparação de médias Independentes Passo 3 Região Crítica Similar aos demais testes Passo 4 Regra de Decisão Comparar o valor da estatística do teste tcal com o valor tabelado ttab com n1n22 graus de liberdade Ho será rejeitada se 2 n n2 0 2 1 t t a Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Teste de Hipótese para comparação de médias Independentes EXEMPLO Um engenheiro desconfia que a qualidade de um material pode depender da matériaprima utilizada Há dois fornecedores de matériaprima sendo usados Testes com 10 observações de cada fornecedor indicaram Use um nível de significância a 5 e teste a hipótese do engenheiro X1 39 S1 7 X2 43 2 9 S 2 1 1 2 1 µ µ µ µ ¹ H Ho 8 06 65 2 10 10 9 9 7 9 2 2 2 S S p p Þ 11 1 10 1 10 1 06 8 43 39 tcal 2101 111 t t tab cal Þ Aceito Ho Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Se houver evidências de que então a estatística a ser usada é e o número de graus de liberdade para t é calculado da forma aproximada Ho será rejeitada se Os testes unilaterais correspondentes aparecem na Tabela 8 2 2 2 1 ¹ s s 2 2 2 1 2 1 2 1 0 n S n S x x t 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 n n S n n S n S n S n n a 2 0 t t Testes de Hipótese nº ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA Hipótese Estatística Critério para rejeitar Ho o o H H µ µ µ µ ¹ 1 0 o o H H µ µ µ µ 1 0 o o H H µ µ µ µ 1 0 n S X t o o µ 1 2 0 n t t a 1 n o t t a 1 n o t t a ou 1 n o t t a 2 1 1 2 1 µ µ µ µ ¹ H Ho 2 1 1 2 1 µ µ µ µ H Ho 2 1 1 2 1 µ µ µ µ H Ho 2 1 2 1 0 1 1 n n S x x t p 2 2 1 n n n 2 2 2 1 2 1 2 1 n S n S X X to 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 n n S n n S n S n S n n a 2 0 t t tan to tan to ou tan to Tabela 8 Teste de Médias Variância desconhecida