Variáveis Aleatórias Contínuas - UFGD - Conceitos e Aplicações

Variaveis Aleatorias Contınuas Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD 7 de Novembro de 2024 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 1 42 Introducao Uma variaveis aleatorias contınua e o resultado de uma mensuracao e podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo finito ou infinito de numeros reais Em contraste com variaveis discretas que assumem valores especıficos e pontuais A probabilidade de uma variavel contınua assumir exatamente um valor especıfico e zero Em vez disso calculamos a probabilidade de que a variavel caia dentro de um intervalo a b que e obtida pela area sob a curva da FDP entre os limites do intervalo Aplicacoes desses tipos de variaveis modelagem de precipitacao Ex ponencial ou Gama distribuicao de nutrientes no solo Normal ou Lognormal peso e rendimento de colheita Normal ou Gama mo delagem de crescimento de plantas distribuicao de pragas e doencas Exponencial ou Normal dentre outras Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 2 42 Variaveis Aleatorias Contınuas Definicao Uma funcao X definida no espaco amostral Ω e assumindo valores num intervalo de numeros reais e dita uma variavel aleatoria contınua Figura Exemplo de figura Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 3 42 Formalmente dizemos que se uma va X Ω é contínua se XΩ for um intervalo Seja X uma va contínua então a função densidade de probabilidade fdp f é uma função que satisfaz as condições i fx 0 ii XΩ fx dx 1 Além disso definimos que para qualquer a e b pertencentes a XΩ com a b Pa X b ab fx dx Observação Considere uma va contínua X assumindo um valor pontual X x0 então PX x0 Px0 X x0 x0x0 fx dx 0 Ou seja temos que Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b Exemplo 1 Seja X uma variável aleatória contínua tal que a fdp fx 2x 0 x 1 e fx 0 caso contrário Qual a probabilidade de X estar entre 0 e 12 P0 X 12 P0 X 05 005 2x dx x2005 14 Valor Médio de uma Variáveis Aleatórias Definição Dado uma variável aleatória contínua X definimos valor esperado de X como EX x fx dx Usaremos o seguinte símbolo para indicar a média de uma va X EX μX μX De um modo geral dada uma função hx temse Ehx hx fx dx Variância de uma Variáveis Aleatórias Definição Chamamos de variância da variável aleatória contínua X o valor VarX EX EX² X EX² fx EX² EX² Usaremos o seguinte símbolo para indicar a variância de uma va X VarX σ²X σX² O desvio padrão de X é definido como a raiz quadrada positiva da variância DPX VarX σX Exemplo de Valor Esperado e Variˆancia Exemplo 2 A demanda diaria de arroz em um supermercado em centenas de quilos e uma va contınua X com fdp f x 2 3x se 0 x 1 1 3x 1 se 1 x 3 0 se x 0 ou x 3 a Qual a probabilidade em um dia escolhido ao acaso de se vender mais do que 150 kg b Em 30 dias quanto o gerente do supermercado pretende vender Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 9 42 a PX 15 ₁₅³ x3 1 dx x²6 x 1₅³ 96 3 15²6 15 32 3 2256 15 6756 15 675 96 2256 0375 b EX ₀¹ x 23 x dx ₁³ x²3 x dx 29 x³ 0¹ x³9 x²2 ₁³ 29 279 92 19 12 29 279 92 19 12 4 54 81 2 918 2418 133 Resposta Em 30 dias o vendedor pretende vender 4 toneladas Definição Se X é uma va contínua com fdp fx definimos função de distribuição acumulada fda Fx como sendo Fx PX x₀ from to x₀ fx dx para todo x₀ ℝ Proposição Se Fx é a fda de uma va contínua X com fdp fx então Fx dFxdx fx para todo x onde f seja derivável Exemplo 3 Considere uma va contínua X com fdp fx 2x se 0 x 1 e fx 0 caso contrário Construir a fda para va X Solução fx 2x se 0 x 1 0 se x 0 ou x 1 Fx 0 se x 0 x² se 0 x 1 1 se x 1 Observacoes sobre Funcao de Distribuicao Acumulada Observe Seja X uma va contınua com fdp f x e fda Fx entao 0 Fx 1 para todo x R Fx e nao decrescente ou seja se x1 x2 entao Fx1 Fx2 limx Fx 0 e limx Fx 1 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 13 42 Variaveis Aleatorias Contınuas Exemplo 4 Retomando o Exemplo 2 sobre a demanda diaria de arroz em um supermercado centenas de kilos Qual a quantidade de arroz que deve ser deixado a disposicao dos clientes diariamente para que nao falte arroz em 95 dos dias f x 2 3x se 0 x 1 1 3x 1 se 1 x 3 0 se x 0 ou x 3 x f x 2x 3 x 3 1 1 0 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 14 42 Fx from 0 to 1 23 x dx from 1 to x 13 x 1 dx 095 23 x²2 from 0 to 1 13 x²2 x from 1 to x 095 x²3 from 0 to 1 x²6 x from 1 to x 095 13 0 x²6 x 16 1 095 13 x²6 x 16 1 095 Variaveis Aleatorias Contınuas 2 x2 6x 1 6 6 0 95 x2 6x 3 6 0 95 x2 6x 3 5 7 x2 6x 8 7 0 x2 6x 8 7 0 Assim temos que as solucoes dessa equacao do segundo grau sao x1 2 45 e x2 3 55 Como o intervalo considerado e entre 0 e 3 entao a resposta e x 2 45 Portanto deve ser deixado a disposicao dos clientes diariamente 245 kg de arroz para que nao falte em 95 dos dias Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 16 42 Variaveis Aleatorias Contınuas Fx 0 se x 0 1 3x2 se 0 x 1 1 6x2 x 1 2 se 1 x 3 1 se x 3 x Fx 0 1 3 1 3 1 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 17 42 Alguns Modelos Probabilısticos para VA Discretas I Distribuicao Uniforme Contınua II Distribuicao Exponencial III Distribuicao Normal IV Distribuicao Quiquadrada V Distribuicao Gama Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 18 42 I Distribuicao Uniforme Contınua Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 19 42 I Distribuicao Uniforme A Distribuicao Uniforme modela uma variavel aleatoria com igual pro babilidade em um intervalo Esse modelo e util quando nao ha razao para acreditar que algum valor e mais provavel que outro Caracterizada pelos parˆametros mınimo a e maximo b Se X e uma va com distribuicao uniforme com parˆametros a e b entao denotamos por X Unif a b Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 20 42 Definição A va X tem distribuição uniforme com parâmetros a e b a b reais se sua fdp é definida por fx 1ba se a x b 0 se x a ou x b Valor Esperado e Variância μ EX a b2 e σ² VarX b a²12 Funcao de Distribuicao Acumulada Fx 0 se x a xa ba se a x b 1 se x b x Fx a b 0 1 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 22 42 Exemplo 5 A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto Suponha que T seja considerada uma va contínua com distribuição uniforme de 150 a 300 graus Celsius Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo seja C₁ Se o óleo é destilado a uma temperatura inferior a 200ºC o produto obtido é vendido a um custo C₂ caso contrário se a temperatura for superior a 200ºC o produto é vendido a um custo C₃ a Fazer o gráfico da fdp da va contínua T b Qual o lucro esperado por galão Solução a ft 1150 se 150 x 300 0 se cc b Vamos considerar a va lucro L Então queremos calcular EL PT 200 ₁₅₀²⁰⁰ 1150 dt t150 ₁₅₀²⁰⁰ 13 033 PT 200 1 PT 200 1 13 23 067 Portanto EL 13 C₂ C₁ 23 C₃ C₁ II Distribuicao Exponencial Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 25 42 II Distribuicao Exponencial A Distribuicao Exponencial modela o tempo entre eventos em um pro cesso de Poisson Util para modelar o tempo entre transacoes falhas de equipamentos etc Caracterizada pelo parˆametro β taxa Se X e uma va com distribuicao exponecial com parˆametro β entao denotamos por X Expβ Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 26 42 Valor Esperado e Variância Definição A va X tem distribuição exponencial com parâmetro β se sua fdp é definida por fx 1β exβ se x 0 0 se x 0 Exemplos de Distribuicao Exponencial Exemplo 6 Um componente eletrˆonico tem um tempo de vida T medido em 100 horas que e uma va com distribuicao exponencial com parˆametro β 1 Cada componente tem custo de 2 dolares e o preco de venda de 5 dolares Se o fabricante garante total devolucao se T 0 8 qual o lucro esperado por item Solucao Se considerar a va lucro L entao vamos calcular EL Observe que o lucro L 3 dolares PT 0 8 1 PT 0 8 1 e08 1 0 4493 0 5507 PT 0 8 0 4493 Portanto EL 3 0 4493 2 0 5507 0 2465 dolares Resposta O lucro esperado por item e de aproximadamente 25 centavos de dolares Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 29 42 Exemplo 7 Suponha Xt o número de partículas emitidas em t horas por uma fonte radioativa e suponhase que Xt tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro λ β t Se T é uma va que representa o número de horas transcorridas entre emissões sucessivas mostre que T tem uma distribuição exponencial com parâmetro 1β III Distribuicao Normal Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 31 42 Distribuicao Normal A Distribuicao Normal e uma das distribuicoes contınuas mais impor tantes Caracterizada por sua forma de sino e pelos parˆametros media µ e variˆancia σ2 Valores da variavel aleatoria x simetricos em relacao a media µ ocorrem com mesma frequˆencia A regiao definida pelo grafico da funcao e pelo eixo das abcissas tem area total igual a 1 Se X e uma va com distribuicao normal com parˆametros µ e σ2 entao denotamos por X Nµ σ2 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 32 42 Definicao Uma va contınua X tem distribuicao normal com parˆametros µ e σ2 se sua fdp e definida por f x 1 σ 2π e xµ2 2σ2 onde x x f x 0 1 2π µ µ σ µ σ Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 33 42 Valor Esperado e Variância EX μ e VarX σ² Demonstração EX x 1σ2π e12xμσ² dx 1σ2π x e12xμσ² dx Fazendo a seguinte substituição z xμσ x σz μ dx σ dz EX 1σ2π σz μ ez²2 σ dz 12π σz μ ez²2 dz σ2π z ez²2 dz l₁ μ2π ez²2 dz l₂ l₁ l₂ Integral I1 observe que a funcao gz ze z2 2 e uma funcao ımpar ou seja gz gz e o intervalo de integracao e simetrico em torno de zero Logo a integral I1 0 Integral I2 A menos do fator µ observe que essa integral e a fdp da normal padrao Logo a interal I2 1 Portanto EX 0 µ 1 EX µ Para demonstrar VarX σ2 basta usar a igualdade VarX EX 2 EX2 onde EX2 µ2 e EX 2 e uma integral por partes cujo valor e EX 2 σ2 µ2 Portanto VarX σ2 µ2 µ2 VarX σ2 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 35 42 Função de Distribuição Acumulada Fxo PX xo Fxo xo 12π ex²2 dx Distribuicao Normal Padrao Z Xµ σ Se uma va contınua X tem distribuicao normal com parˆametros µ 0 e σ2 1 entao temos uma distribuicao normal padrao ou reduzida e denotamos por Z N0 1 X Nµ σ2 Z X µ σ N0 1 z f z 1 2πe x2 2 0 1 1 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 37 42 Calculo de probabilidade da distribuicao Normal Para calcular a probabilidade de um ponto a ate b no grafico temos que calcular a area da regiao sob a curva Para isso usamos uma tabela conhe cida como tabela normal padrao ou normal reduzida que nos fornece as areas dessas regioes O grafico a seguir ilustra as probabilidades na curva normal padrao isto e qual o valor de P0 Z zo z f z 0 zo Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 38 42 Por exemplo se zo 1 73 temos que a area sob a curva do ponto zero ate o ponto zo 1 73 e 045818 ou seja 4582 de toda a area abaixo da curva z f z 0 zo 1 73 45 82 Observe que P1 73 Z 0 0 45818 z f z 0 zo 1 73 45 82 ou seja P1 73 Z 0 P0 Z 1 73 devido a simetria da curva Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 39 42 Qual a probabilidade de Z ser maior ou igual a 173 PZ 1 73 1 PZ 1 73 0 5 P0 Z 1 73 0 5 0 45818 0 04182 ou 4 2 Qual a probabilidade do valor de Z ser menor ou igual a 173 PZ 1 73 1 PZ 1 73 0 45818 ou 45 8 Qual a probabilidade do valor de Z estar entre 047 e 173 P0 47 Z 1 73 P0 Z 1 73 P0 Z 0 47 0 45818 0 18082 0 27736 ou 27 7 Qual a probabilidade do valor de Z estar entre 1 e 2 P2 Z 1 P1 Z 2 0 47725 0 34134 0 13591 ou 13 6 Alexandre Pitangui Calixto Universidade Federal da Grande Dourados UFGD Variaveis Aleatorias Contınuas 7 de Novembro de 2024 40 42 Exemplo 8 O experimento é medir a altura de 10 mil alunos de um colégio cuja altura média dos alunos é de 170 cm com um desvio padrão de 5 cm Sabese que a variável aleatória altura de pessoas é modelado por uma normal Qual a probabilidade de você escolher ao acaso um aluno desse colégio e ele ter uma altura superior a 165 cm Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm Solução Vamos definir a va contínua X como sendo a altura dos 10 mil alunos do colégio PX 165 PZ 1651705 PX 1 034134 05 084134 ou 8413 O número esperado de alunos com altura superior a 165 cm é 8413 alunos Exemplos de distribuição normal Qual o intervalo de medidas de alturas em torno da média cujo 75 dos alunos se encaixam Transformando a pergunta em notação matemática temos Px1 X x2 075 Px1 μσ Z x2 μσ 075 Px1 1705 Z x2 1705 075 x1 1705 115 e x2 1705 115 x1 170 575 e x2 170 575 x1 16425cm e x2 17575cm