Anotações de Aula - Mecânica Clássica 1 - UFGD

Notas de Mecânica Clássica 1 Jonas F G Santos Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia Universidade Federal da Grande Dourados jonassantosufgdedubr 2 CONTENTS I Introdução 2 II Aula 01 Transformação de sistema de coordenadas 3 III Aula 02 Mecânica newtoniana uma partícula 6 Leis de Newton 6 Teoremas de conservação 7 Conservação do momento linear 8 Conservação do momento angular 8 Conservação da energia 9 IV Aula 03 Mecânica Newtoniana sistema de Partículas 11 V Aula 04 Vínculos Princípio de Dalembert 15 Vínculos 15 Princípio de DAlembert 17 VI Aula 05 Equações de Lagrange e exemplos 19 Exemplos 21 Partícula se movendo no espaço cartesiano 21 Oscilador harmônico unidimensional 22 Máquina de Atwood 22 VII Aula 06 Método variácional Princípio de Hamilton Equações de Lagrange 24 Método variacional 24 Equações de Euler 25 Exemplo 01 Menor distância entre dois pontos num plano cartesiano 26 Exemplo 02 O problema da Braquistócrona 27 Princípio de Hamilton e equações de Lagrange 28 VIII Aula 07 Noções sobre simetria e leis de conservação 30 Simetria por translação e conservação do momento linear 30 IX Dinâmica Hamiltoniana 32 A função hamiltoniana 32 Signicado físico de H 33 Equações de movimento dinâmica hamiltoniana 33 Exemplo 01 Pêndulo esférico 34 Exemplo 02 Partícula restrita a se mover na superfície de um cilindro 35 X Oscilações parte 1 37 Equilíbrio 37 Estudo do movimento da partícula 37 Classiação do ponto de equilíbrio 38 Equilíbrio estável 38 Equilíbrio instável 39 Oscilações 1D 40 Oscilações harmônicas 2D 41 References 43 I INTRODUÇÃO 3 II AULA 01 TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMA DE COORDENADAS Nesta aula iremos fazer uma breve revisão sobre conceitos de grandezas escalares e vetoriais e denir estas últimas em termos de transformações de coordenadas A aula será baseada em 2 Para denir grandezas escalares considere uma sequência de partículas cujas massas são indexada por m x y Veja a gura a seguir gura a esquerda Figure 1 Rotação de um sistema de coordenadas Agora considere que o conjunto de partículas sofra uma rotação gura acima a direita para um novo sistema de coordenadas x y O que notamos é que para uma data partícula temos m x y m x y 1 ou seja a massa não é afetada por rotações no sistema de coordenadas ou em torno de um sistema de coordenadas Outros exemplos de grandezas apresentando o mesmo comportamento após uma rotação são o volumetemperatura e energia de um corpo entre outros Podemos concluir que Grandezas que são invariantes por transformação de coordenadas são chamadas escalares Outras grandezas não são invariantes por transformação de coordenadas e podem ser denidas em termos dessas transformações São os vetores Exemplos são velocidade aceleração força torque momento angular momento linear entre outros Vamos denir portanto as transformações de coordenadas Considere um ponto P com coordenadas x1 x2 x3 num sistema de coordenadas cartesiano S Considere um outro sistema de coordenadas S gerado pela rotação de S em que as coordenadas do ponto P são x 1 x 2 x 3 Veja a gura abaixo Figure 2 Rotação de um sistema de coordenadas Note o seguinte x1 é a soma da projeção de x1 sobre o eixo x1 linha Oa mais a projeção de x2 sobre o eixo x1 linha ab bc Assim podemos escrever x1 x1 cosθ x2 sinθ x1 cosθ x2 cos π2 θ x2 é uma soma similar ou seja x2 Od de E de forma análoga podemos escrever x2 x1 sinθ x2 cosθ x1 cos π2 θ x2 cosθ Notação vamos denotar o ângulo entre os eixos x1 e x1 por x1 x1 de modo que em geral o ângulo entre os eixos xi e xj é indicado por xi xj Além disso definimos λij cos xi xj Assim notase que λ11 cos x1 x1 cos θ λ12 cos x1 x2 cos π2 θ sin θ λ21 cos x2 x1 cos π2 θ sin θ λ22 cos x2 x2 cos θ e podemos escrever x1 λ11x1 λ12x2 x2 λ21x1 λ22x2 A generalização para três dimensões é trivial e dada por x1 λ11x1 λ12x2 λ13x3 x2 λ21x1 λ22x2 λ23x3 x3 λ31x1 λ32x2 λ33x3 Em uma linguagem compacta e elegante podemos escrever xi Σ j1 até 3 λijxj com i 1 2 3 Fazendo o mesmo procedimento podese obter a transformação inversa xi Σ j1 até 3 λjixj com i 1 2 3 Por fim se λ é a matrix de todos os elementos λij podemos escrever λ λ11 λ12 λ13 λ21 λ22 λ23 λ31 λ32 λ33 ou seja λ é a matriz de transformação ou matriz de rotação entre dois sistemas de coordenadas Podemos concluir que Grandezas que se transformam segundo a matriz de tranformação λ são chamados vetores Exemplo Em x1 x2 x3 o ponto P é especificado por P2 1 3 Em outro sistema de coordenadas o ponto P é especificado por Px1 x2 x3 com x2 tendo rotacionado na direção de x3 em torno do eixo x1 em 30 graus Encontre a matriz de rotação e determine Px1 x2 x3 Veja a figura abaixo Com base na figura acima podemos determinar todos os elementos da matriz de rotação ou seja λ11 cosx1 x1 cos 0 1 λ12 cosx1 x2 cos 900 0 λ13 cosx1 x3 cos 900 0 λ21 cosx2 x1 cos 900 0 λ22 cosx2 x2 cos 300 086 λ23 cosx2 x3 cos 600 05 λ31 cosx3 x1 cos 900 0 λ32 cosx3 x2 cos 1200 05 λ33 cosx3 x3 cos 300 086 e a matriz de transformação fica λ 1 0 0 0 086 05 0 05 086 Para o ponto P nas coord rotacionadas x1 λ11x1 2 x2 λ21x1 λ22x2 086 1 05 3 237 x3 λ32x2 λ33x3 05 1 086 3 210 Por fim mostre que a norma é preservada por uma rotação ou seja r x₁² x₂² x₃² r x₁² x₂² x₂² 6 III AULA 02 MECÂNICA NEWTONIANA UMA PARTÍCULA Nesta aula iremos revisar a mecânica newtoniana para uma partícula Faremos isso usando uma matemática um pouco mais eleborada Aula baseada na Ref 1 Leis de Newton Primeira lei Um corpo permanece em repouso ou em movimento uniforme a menos que uma força resultante atue sobre ele Segunda lei Um corpo sujeito a uma força resultatne se move de tal modo que a taxa de mudança do momento linear no tempo se iguala à força resultante Esta lei é válida para referenciais inerciais em repouso ou em movimento uniforme em relação ao sistema observado Esta lei pode é escrita matematicamente como FR dp dt 12 Terceira lei Se dois corpos exercem forças um sobre o outro estas forças são iguais em magnitude e em sentidos opostos Com base nas leis de Newton vamos analisar a mecânica para uma partícula Considere uma partícula de massa m vetor posição r até a origem de um sistema de coordenadas cartesiano e vetor velocidade v tal que v dr dt 13 O momento linear p da partícula é denido como p mv 14 A partícula pode interagir com outras partículas bem como com campos campo gravitacional elétrico Denotemos a soma de todas as forças atuando sobre a partícula por FR Segue da Segunda lei que FR dp dt p 15 ou FR d mv dt 16 Para muitos casos em que v c a massa pode ser assumida constante e temos FR md v dt ma 17 com a o vetor aceleração da partícula a d2r dt2 18 A Eq 17 é uma equação diferencial de segunda ordem assumindo que FR não dependa de derivadas superiores e é conhecida como equação de movimento Sua solução depende da natureza física das forças envolvidas Exemplo Plano inclinado Considere a gura abaixo 7 Figure 4 Figura ilustrativa do exemplo Ao invés de usarmos o sistema de coord x y podemos usar o sistema de coord x y No eixo y N P cos θ enquanto no eixo x P sin θ ma e como o bloco se movimenta apenas no eixo x temos da segunda lei mg sin θ md2x t dt2 19 d2x t dt2 g sin θ 20 que é exatamente a equação de movimento para um bloco num plano inclinado mostrando que a aceleração do bloco é constante no tempo dependendo apenas de g e θ Exercício Qual solução satisfaz a equação de movimento 20 Exemplo Sistema massamola sistema modelo para o oscilador harmônico clássico Considere a gura abaixo Figure 5 Figura ilustrativa do exemplo x0 é o ponto de equilíbrio e L a amplitude do movimento A força restauradora da mola é F kx com k a constante da mola Ela é a única força atuando na direção do movimento Logo FR kx md2x dt2 21 e denindo ω2 km podemos escrever x t ω2x t 0 22 que é a equação de movimento para qualquer oscilador harmônico simples unidimensional Exercício Qual a solução geral para x t que satisfaz a Eq 22 Teoremas de conservação Muitos resultados importantes da mecânica newtoniana são oriundos de teoremas de conservação que resultam em quantidades físicas constantes no tempo Vejamos os tereomas de conservação para uma partícula 8 Conservação do momento linear Da Eq 15 se a força resulatnte é zero então p 0 o que signica que o momento linear é conservado ou seja pf pi 23 Conservação do momento angular Considere uma partícula de massa m e com vetor posição r em relação a origem de um sist de coord cartesiano Se a partícula tem um momento linear p então o momento angular é denido como ℓ r p 24 com ℓ rp sin θ e θ sendo o ângulo entre r e p De maneira análoga à força no movimento de translação o torque é o responsável pelo movimento de rotação e é denido por τ r F 25 Note que τ r F r d dt mv 26 e que d dt r mv dr dt mv r d dt mv 27 v mv r d dt mv 28 r d dt mv 29 pois v mv 0 Desse modo o torque resultante sobre uma partícula é τR r d dt mv d dt r mv d dt r p τR d dt ℓ 30 Segue da Eq 30 que se o torque total é zero então ℓ 0 e o momento angular é conservado ℓf ℓi 31 Conservação da energia Considere agora o trabalho feito por uma força externa F para levar uma partícula do ponto 1 ao ponto 2 Definese o trabalho como W₁₂ 1 a 2 F ds onde ds é o elemento infinitesimal da trajetória realizada pela partícula entre os dois pontos veja figura abaixo Figura 6 Figura ilustrativa para o trabalho para deslocar uma partícula do ponto 1 até o ponto 2 por uma trajetória S Usando que ds v dt temos que W₁₂ 1 a 2 F ds 1 a 2 dpdt ds m 1 a 2 dvdt v dt m2 1 a 2 dv²dt dt m2 1 a 2 dv² W₁₂ m2 v₂² v₁² e definimos T m v²2 chamado de energia cinética da partícula de modo que W₁₂ T₂ T₁ A Eq 34 é conhecida como teorema trabalho energia cinética Note que assumimos um caminho S para calcular W₁₂ Se a força F é tal que W₁₂ é o mesmo para qualquer caminho escolhido entre os pontos 1 e 2 então a força e o sistema são chamados conservativos Exemplos são a força gravitacional a força elétrica a força elástica da mola Para forças conservativas se a partícula vai de 1 2 e depois de 2 1 temos F ds 0 o que implica W 0 10 Agora vamos usar que W12 é independente do caminho em W12 ˆ 2 1 F ds 36 Assumindo isso então é possível expressar W12 como ma variação de uma quantidade que depende apenas dos pontos inicial e nal Denotando esta quantidade por V temos F ds dV 37 ou F V s 38 e inserindo a Eq 37 na Eq 36 W12 ˆ 2 1 dV V2 V1 39 onde a quantidade V é denida como a energia potencial da partícula Das Eqs 34 e 39 T2 V2 T1 V1 E2 E1 40 com E T V a energia total da partícula que é justamente a conservação da energia total para uma partícula válida para forças conservativas Assim podese dizer Se as forças atuando sobre uma partícula são conservativas então a energia total da partícula T V é conservada IV AULA 03 MECÂNICA NEWTONIANA SISTEMA DE PARTÍCULAS Nesta aula iremos generalizar os resultados obtidos na aula anterior para um sistema formado por N partículas Considere um sistema formado por N partículas como na figura abaixo Figure 7 Figura ilustrativa para um sistema formado por N partículas Devemos distinguir as forças existentes entre forças externas atuando sobre as partículas e forças internas atuando entre as partículas Para a iésima partícula do sistema a equação de movimento segunda lei de Newton é escrita como j FjiFie pi 41 onde j Fji é a soma de todas forças internas atuando sobre a iésima partícula e Fie é a força externa atuando sobre a iésima partícula Note que Fii 0 Assumiremos que Fij e Fie obedecem à forma original da terceira as forças entre duas partículas são iguais e opostas no sentido Somando sobre todas as partículas do sistema temos d2dt2 i1Nmi ri i1N Fie ij ijN Fji 42 onde i1NFie Fe é a força externa total e ijijN Fji 0 devido a terceira lei de Newton pois Fij Fji 0 aos pares Do lado lado esquerdo de 42 vamos introduzir o centro de massa do sistema de partículas ou seja R i1Nmi ri i1Nmi i1Nmi riM 43 com M i1Nmi sendo a massa total do sistema Inserindo o centro de massa em 42 Md2Rdt2 i1NFie Fe 44 A Eq 44 significa que o centro de massa se move como se toda força externa agindo sobre o sistema de partículas estivesse agindo sobre o centro de massa que é um ponto do sistema Note que as forças internas não afetam o movimento do centro de massa do sistema de partículas O momento linear total do sistema é P i1Nmi dridt MdRdt 45 ou seja a massa total do sistema vezes a velocidade do centro de massa A Eq 45 é exatamente a equação de movimento para o centro de massa do sistema de partículas Derivando a Eq 45 e inserindo na Eq 44 dPdt Md2Rdt2 Fe dPdt 46 e disso resulta o teorema de conservação para o momento linear de um sistema de partículas Se a força total externa sobre um sistema de partículas é zero o momento linear total é conservado Segue da Eq 46 que se Fe 0 então Pi Pf 47 Uma vez que definimos o momento angular para uma partícula o momento angular total de um sistema de partícula é a soma vetorial de todos os momentos angulares individuais ou seja somandose ri pi sobre todas as partículas Lembre que ddtrm v r ddt m v 48 ddt r p r p 49 e somando temos i1N ri pi i1N ddt ri pi L i1N ri Fie ij1 ijN ri Fji 50 onde usamos a Eq 41 Sobre o termo ij1 ijN ri Fji na Eq 50 temos que considerando a soma de pares ri Fji rj Fij ri rj Fji pois da terceira lei Fij Fji Ainda de acordo com a figura abaixo ri rj rij logo Figure 8 Figura ilustrativa para um sistema formado por N partículas ri Fji rj Fij rij Fji Agora se as forças internas entre duas partículas além de serem iguais e opostas também estão ao longo do vetor posição entre as duas partículas então rij Fji e rij Fji 0 Enta condição é conhecida como a forma forte da terceira lei de Newton Portanto ij1 ijN ri Fji 0 51 aos pares Logo da Eq 50 L i1N ri Fie τe 52 onde τe é o torque total externo Em resumo τe dLdt 53 significando que a derivada temporal do momento angular total é igual ao torque das forças externas Disso segue o seguinte teorema de conservação Se o torque externo total aplicado sobre um sistema de partículas é zero então o momento angular total é conservado Segue que se τe 0 então Li Lf 54 Por fim vamos generalizar a conservação da energia mecânica para um sistema de partículas Vamos calcular o trabalho feito por todas forças externas para mover o sistema de partículas da configuração inicial 1 para a configuração final 2 Temos então que W12 i1N 12 Fi dsi i1N 12 Fie dsi i1 ijN 12 Fji dsi Note que i1N 12 Fi dsi i1N 12 mivi vidt i1N 12 d 12 miv2i logo o trabalho feito pode ser escrito como a diferença das energias cinéticas final e inicial W12 T2 T1 55 com T 12 i1N miv2i 56 14 a energia cinética total do sistema de partículas Se todas as forças externas atuando sobre o sistema de partículas são conservativas são conservativas então é possível denir um potencial externo total V ri e mostrar que a soma da energia cinética e energia potencial é conservada ao longo do movimento A demonstração ca a cargo do leitor V AULA 04 VÍNCULOS PRINCÍPIO DE DALEMBERT Nesta aula iremos introduzir a noção de vínculos em um sistema mecânico e o princípio de Dalembert Também introduziremos o conceito de coordenadas generalizadas ou graus de liberdade e veremos que escrevendo o princípio de Dalembert em termos das coordenadas generalizadas leva diretamente às chamadas Equações de Lagrange um dos resultados mais importantes do curso Vínculos Lembremos da equação de movimento para um sistema de partículas qual seja j F j i F i e p i m r i F i e j F j i A expressão acima dá a impressão de que todos os problemas em mecânica consiste em resolver tal expressão encontrando as forças externas atuando sobre o sistema e as forças entre as partes do sistema No entanto em muitas situações devemos considerar os vínculos restrições ao movimento que as partículas estão sujeitas Exemplos 1 Um corpo rígido onde a distância entre as partículas r i j fixa 2 Moléculas de um gás restritas a se moverem dentro das paredes de um recipiente 3 Uma partícula restrita a se mover em uma superfície 4 Uma partícula restrita a se mover acima de uma superfície Em geral tais vínculos podem ser classificados da seguinte forma Vínculos holonômicos As condições de vínculo são expressas como equações das coordenadas das partículas e ocasionalmente do tempo na forma f r 1 r 2 r N t 0 57 Exemplos 1 e 3 No caso do exemplo 1 temos o vínculo r i r j c 2 i j 0 onde c i j é a distância fixa entre as partículas do corpo rígido No caso do exemplo 3 se a superfície for uma esfera temos r 2 a 2 0 onde a é o raio da esfera Algumas dificuldades introduzidas pelos vínculos são 1 As coordenadas r i não são mais independentes como vemos os casos acima Elas são conectadas pelas equações de vínculo Isso leva naturalmente à equações de movimento que são acopladas 2 Devemos levar em conta a forças de vínculo que a princípio não são dadas especificando apenas o sistema em questão Vínculos que não obedecem a Eq 57 são chamados nãoholonômicos e não serão tratados aqui mas um exemplo é o caso 4 em que a equação de vínculo é r 2 a 2 0 no caso de uma esfera Para problemas que contenham vínculos holonômicos a dificuldade 1 é resolvida introduzindo as chamadas coordenadas generalizadas Tais coordenadas são coordenadas que descrevem o movimento do sistema mas que são independentes e por isso também são chamadas de graus de liberdade Suponha um sistema de N partículas descrito por um sistema de coordenadas cartesiano x y z Se o sistema é livre de vínculos então ele possui 3 N coordenadas independentes ou graus de liberdade Teremos partícula 1 x 1 y 1 z 1 partícula 2 x 2 y 2 z 2 partícula N x N y N z N 16 Considere agora a existência de vínculos holonômicos na forma da Eq 57 Supondo a existência de k equações de vínculos podemos usálas para eliminar k das 3N coordenadas que não são mais independentes O número de equações independentes será então 3N k também denominado graus de liberdade Por simplicidade vamos denotar n 3N k o número de coordenadas independentes ou coordenadas generalizadas Denotando essas variáveis por q1 q2 qn podemos escrever r1 r1 q1 q2 qn t rN rN q1 q2 qn t 58 que contém todos os vínculos de forma implícita Considerando que podemos inverter tais equações teremos q1 q1 r1r2 rN t qn qn r1r2 rN t Note que as coordenadas generalizadas não tem necessariamente a mesma estrutura vetorial das coordenadas cartesianas Exemplo 1 Partícula se movendo num anel de raio R Veja a gura abaixo Figure 9 Figura ilustrativa para o exemplo Podemos escrever as coordenadas cartesianas como x R cos θ y R sin θ se olharmos para a Eq 58 teremos algo como x x θ t y y θ t com a seguinte equação de vínculo x2 y2 R2 0 59 Note que temos apenas uma partícula N 1 para duas coordenadas cartesianas e uma equação de vínculo k 1 Desse modo n 2 1 1 1 ou seja temos apenas uma coordenadas generazalida ou coordenada independente ou grau de liberdade que nesse caso é o ângulo θ pois o raio é xo 17 Exemplo 2 Partícula se movendo numa superfície esférica de raio R Veja a gura abaixo Figure 10 Figura ilustrativa para o exemplo Podemos escrever as coordenadas cartesianas como x R cos θ cos ϕ y R cos θ sin ϕ z R sin θ e em termos da Eq 58 teremos algo como x x θ ϕ t 60 y y θ ϕ t 61 z z θ ϕ t 62 com a seguinte equação de vínculo x2 y2 z2 R2 0 63 Note que temos uma partícula N 1 três coordenadas cartesianas e uma equação de vínculo k 1 de modo que 3 1 1 2 ou seja devemos ter duas coordenadas generalizadas que neste caso são os ângulos θ e ϕ Princípio de DAlembert A segunda diculdade introduzida pelos vínculos ou seja como tratar as forças de vínculos é resolvida pelo princípio de DAlembert Considere um sistema especicado pelas coordenadas ri Se uma mudança innitesimal δri é feita nas coordenadas dizemos que a conguração do sistema sobre um deslo camento virtual innitesimal Este deslocamento ocorre por denição instantaneamente Por outro lado temos a possibilidade de um deslocamento real do sistema que é feito num intervalo de tempo dt e durante o qual as forças de vínculos podem estar sendo alteradas Suponha que o sistema esteja em equilírio Então a força total sobre cada partícula é zero F t i 0 O trabalho devido ao deslocamento virtual é F t i δri 0 e somando sobre todas as partículas do sistema i 1 N F i t δr i 0 64 que é o trabalho virtual sobre todo o sistema de partículas Vamos agora escrever a força total sobre uma partícula F i t como a soma das forças aplicadas sobre a iésima partícula mais as forças de vínculo F i t F i a f i v 65 com F i a e f i v as forças aplicadas e de vínculo sobre a iésima partícula respectivamente Assim a Eq 64 fica i 1 N F i t δr i i 1 N F i a δr i i 1 N f i v δr i 66 Em geral vamos nos restringir a situações em que o trabalho virtual da força de vínculo é zero Isso ocorre por exemplo quando f i v e δr i são perpendiculares Deste modo ficamos com i 1 N F i a δr i 0 67 que é conhecida como princípio do trabalho virtual A Eq 67 foi obtida para o caso estático em equilíbrio Para introduzir a dinâmica usase um mecanismo desenvolvido por DAlembert Ele consiste em notar que da equação de movimento para uma partícula F i p i Então escrevese a expressão acima como F i p i 0 significando que as partículas do sistema irão estar em equilíbrio sobre uma força igual à força atual mais uma força efetiva reversa p i Deste modo no caso dinâmico a Eq 67 fica i 1 N F i p i δr i 0 68 que é conhecida como Princípio de DAlembert Note que a partir de agora vamos omitir o índice a por não ser mais necessário VI AULA 05 EQUAÇÕES DE LAGRANGE E EXEMPLOS Note que em geral os deslocamentos δr i no princípio de DAlembert não são independentes devido aos vínculos Para resolver isso vamos reescrever a Eq 68 em termos das coordenadas generalizadas Vamos começar pela velocidade v i d r i d t k 1 n r i q k q k r i t 69 e o deslocamento virtual fica δr i j 1 n r i q j δq j r i t d t 70 com r i t d t 0 pela definição de trabalho virtual Deste modo o termo i 1 N F i δr i na Eq 68 fica i 1 N F i δr i i j F i r i q j δq j j Q j δq j onde definese Q j i 1 N F i r i q j 71 como força generalizada Note que nas coordenadas generalizadas os qs não precisam ter dimensão de comprimento nem os Qs de força mas o produto Q j δq j sempre terá dimensão de trabalho Exemplo Q j pode ser o torque e d q j o ângulo a ser variado de modo que o produto será o trabalho durante a dinâmica de rotação Considerando o outro termo na Eq 68 i 1 N p i δr i i 1 N j 1 n m i r i r i q j δq j 72 Por um momento considere a relação dada por i 1 N j 1 n m i r i r i q j δq j i 1 N j 1 n d d t m i r i r i q j m i r i d d t r i q j δq j 73 e no último termo acima temos d d t r i q j q j d d t r i 74 q j r i 75 v i q j 76 Além disso de 69 vemos que vecvifracd vecrid t fracpartial vecvipartial dotqjfracpartialpartial dotqjleftfracd vecrid trightfracpartial dotripartial dotqj 77 Substituindo 76 e 77 em 73 sumi1N sumj1n mi vecri cdot fracpartial vecripartial dotqj delta qjsumi1N sumj1nleftfracdd tleftmi dotr cdot fracpartial vecvipartial dotqjrightmi vecvi cdot fracpartial vecvipartial dotqjright 78 Juntando todos esses resultados a Eq 68 fica sumi1NleftvecFivecpiright cdot delta vecri0 sumi1NleftdotpivecFiright cdot delta vecri0 sumi1N sumj1nleftfracdd tleftmi vecr cdot fracpartial vecvipartial dotqjrightmi vecvi cdot fracpartial vecvipartial dotqjQjright delta qj0 e notando que sumi1N sumj1n fracdd tleftmi vecr cdot fracpartial vecvipartial dotqjrightsumi1N sumj1n fracdd tleftfracpartialpartial dotqjleftfrac12 mi vi2rightright 79 e sumi1N sumj1n mi vecvi cdot fracpartial vecvipartial partial vecqjsumi1N sumj1n fracpartialpartial dotqjleftfrac12 mi vi2right 80 temos sumi1N sumj1nleftfracdd tleftmi dotr cdot fracpartial vecvipartial dotqjrightmi vecvi cdot fracpartial vecvipartial dotqjQjright delta qj0 sumi1N sumj1nleftfracdd tleftfracpartialpartial dotqjleftfrac12 mi vi2rightrightfracpartialpartial dotqjleftfrac12 mi vi2rightQjright delta qj0 e como sumi1N frac12 mi vi2sumi1N frac12 mi dotqi2Tdotq ext é a energia cinética do sistema o princípio de Dlambert fica sumj1nleftfracdd tleftfracpartialpartial dotqj Tdotqrightfracpartialpartial qj TdotqQjright delta qj0 e como delta qj s ildeao arbitracutearios a equacc ildeao sacuteo e satisfeita se fracdd tleftfracpartialpartial dotqj Tdotqrightfracpartialpartial qj TdotqQj0 81 para cada coordenada generalizada Para forças conservativas a força generalizada pode ser escrita como Qjfracpartial Vleftqjrightpartial qj 82 ou seja não depende das velocidades generalizadas logo fracdd tleftfracpartialpartial dotqj Tdotqrightfracpartialpartial qj Tdotqfracpartial Vleftqjrightpartial qj0 fracdd tleftfracpartialpartial dotqj Tdotqrightfracpartialpartial qjTdotqVq j0 fracdd tleftfracpartialpartial dotqjTdotqVq jrightfracpartialpartial qjTdotqVq j0 onde a derivada do potencial em termos das velocidades foi inserida no primeiro termo à esquerda haja vista que ele é zero Definese então uma nova função chamada lagrangeana do sistema dada por Lleftqj dotqj trightTdotqVleftqjright de sorte que finalmente fracdd tleftfracpartialpartial dotqj Lleftqj dotqj trightrightfracpartialpartial qj Lleftqj dotqj tright0 83 é conhecida como as equações de Lagrange Principais diferenças entre o formalismo de Newton e o de Lagrange para estudar a dinâmica de sistemas Newton Lagrange Vetores Funções escalares Considera as forças de vínculo Não faz uso de forças de vínculos pois se usa as coord generalizadas Eq de Mov segunda lei de Newton Eq de Mov Equações de Lagrange Método para se estudar sistemas via equações de Lagrange 1 Escrever as energias cinética e potencial em termos das coordenadas generalizadas 2 Determinar a lagrangeana do sistema 3 Inserir nas equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento Exemplos Partícula se movendo no espaço cartesiano No caso de uma partícula livre sem vínculos no espaço cartesiano as coordenadas generalizadas são naturalmente as coordenadas cartesianas de modo que q1x q2y e q3z e consequentemente as forças generalizadas são Q1Fx Q2Fy e Q3Fz Como o potencial não depende das velocidades as equações de Lagrange ficam fracdd tleftfracpartialpartial dotqj Trightfracpartialpartial qj TQj0 84 com Tfrac12 mleftdotx2doty2dotz2right e consequentemente fracpartial Tpartial qj0 e fracpartial Tpartial dotqjm dotqj e as equações de Lagrange implicam em fracdd tleftm dotqjrightQj0 ou seja m ddotxFx 85 m ddotyFy 86 m ddotzFz 87 que são as equações de movimento independentes para uma partícula se movendo livremente no espaço Oscilador harmônico unidimensional Considere um sistema massamola É óbvio que este sistema possui apenas uma direção de movimento logo apenas uma coordenada generalizada ou grau de liberdade que neste caso é a direção de oscilação da massa digamos x Temos então a energia cinética Tfracm2 dotx2 e a energia potencial Vfrack x22 de modo que a lagrangeana fica Lleftx dotxrightfracm2 dotx2frack x22 88 com fracpartial Lpartial xk x fracpartial Lpartial dotxm dotx e das equações de Lagrange fracdd tleftfracpartial Lpartial dotxrightfracpartial Lpartial x0 fracdd tm dotxk x0 m ddotxk x0 que é a equação de movimento para o oscilador harmônico já resolvida na segunda aula em termos do formalismo newtoniano Máquina de Atwood Considere a figura abaixo onde a corda possui massa desprezível e é inextensível O comprimento total do fio é ell Figure 11 Esqueda da máquina de Atwood Só há uma coordenada a ser analisada no movimento pois a posição de um bloco é determinada pela posição outro por meio do seguinte vínculo fracpartial fpartial y fracddx left fracpartial fpartial y right 0 100 que é a famosa Equação de Euler Em outras palavras a equação de Euler é a condição que f deve satisfazer de forma a J ser um extremo Antes de entramos no princípio de Hamilton vamos considerar dois exemplos de aplicação da Equação de Euler Exemplo 01 Menor distância entre dois pontos num plano cartesiano Considere um plano cartesiano em que dois pontos são ligados por uma trajetória como ilustra a figura abaixo Figure 13 Uma trajetória conectando dois pontos num plano cartesiano O problema consiste em encontrar a menor distância entre os dois pontos ou seja queremos extremizar minimizar a distância O elemento de comprimento num plano é d s sqrtd x2 d y2 O comprimento total então é a integral por toda trajetória qual seja S int12 d s intx1x2 sqrt1 left fracd yd xright2 d x intx1x2 sqrt1 y2 d x com y d yd x Note a semelhança com a Eq 89 Agora devemos considerar a função f sqrt1 y2 nas equações de Euler para encontrar a função y que minimiza a trajetória Note que fracpartial fpartial y 0 fracpartial fpartial y fracysqrt1 y2 de sorte que 24 VII AULA 06 MÉTODO VARIÁCIONAL PRINCÍPIO DE HAMILTON EQUAÇÕES DE LAGRANGE Nesta aula iremos discutir sobre o conceito de Princípio Variacional e algumas aplicações A aula é baseada nas Ref 1 2 A noção de princípio variacional é a otimização de um dado processo não restrito à Física claro Você pode ter um processo industrial e deseja otimizálo para minimizar perdas ou um processo em que deseja otimizar seus lucros Na Física ideia é que a natureza sempre minimiza importantes quantidades quando um processo físico ocorre Podemos citar Heron de Alexandria 2 AC A reexão da luz ocorre de forma a percorrer o menor tempo Fermat 1657 A luz viaja de um ponto a outro em um meio de modo a gastar o menor tempo A lei de Snell segue daqui Método variacional Para introduzir o método variacional matematicamente considere a integral J ˆ x2 x1 f y x y x x dx 89 onde y x dydx O problema consiste em determinar a função y x tal que a integral em 89 seja um extremo um valor máximo ou mínimo Desse modo a função y x é variada até que um valor extremo de J seja encontrado Por consequência se y y x resulta num valor mínimo para J qualquer função vizinha a y x resultará num valor de J maior Para representar tais funções vizinhas considere a seguinte família de funções paramétricas y α x y 0 x αη x 90 tal que se α 0 então y 0 x y x A função η x é uma função que tem a primeira derivada contínua e é zero nos extremos tal que η x1 η x2 0 Figure 12 Ilustração para o princípio variacional Considerando caminhos do tipo 90 em 89 podemos escrever J α ˆ x2 x1 f y α x y α x x dx 91 A condição para J ter um valor estacionário ou seja que ele seja um máximo ou mínimo é que J seja independente de α em primeira ordem ao longo do caminho ou seja resultando no extremo α 0 Isso signica dizer que J αα0 0 92 para todas funções η x x1 x2 ell A energia cinética do sistema é Tdotx frac12 m1 dotx12 frac12 m2 dotx22 frac12 m1 dotx2 frac12 m2 dotx2 frac12m1 m2 dotx2 e a energia potencial é Vx m1 g x1 m2 g x2 m1 g x m2 g ell x e a lagrangeana do sistema é L Lx dotx Tdotx Vx frac12 m1 m2 dotx2 m1 g x m2 gell x de modo que fracpartial Lpartial dotx m1 m2 dotx fracpartial Lpartial x m1 g m2 g e temos fracddt left fracpartial Lpartial dotx right fracpartial Lpartial x 0 fracddt left m1 m2 dotx right m1 m2 g 0 m1 m2 ddotx m1 m2 g 0 ddotx fracm2 m1m1 m2 g que também já é um resultado bem conhecido ou deveria ser obtido pelas leis de Newton Equações de Euler Inserindo 91 em 92 temos fracpartial Jpartial alpha fracpartialpartial alpha left intx1x2 f left yalpha x yalpha x x right dx right 93 e como os limites de integração são fixos a operação diferencial afeta apenas o integrando de modo que fracpartial Jpartial alpha intx1x2 left fracpartialpartial alpha f left yalphax yalphax x right right dx 94 intx1x2 left fracpartial fpartial y fracpartial ypartial alpha fracpartial fpartial y fracpartial ypartial alpha right dx 95 Note que de 90 fracpartial ypartial alpha eta x fracpartial ypartial alpha fracpartialpartial alpha fracd yd x fracdd x left fracpartial ypartial alpha right fracd etad x Desse modo fracpartial Jpartial alpha intx1x2 left fracpartial fpartial y etax fracpartial fpartial y fracd etad x right dx 96 O segundo termo acima pode ser integrado por partes int u d v u v int v d u de sorte que se definirmos u fracpartial fpartial y e dv fracd etad x d x intx1x2 fracpartial fpartial y fracd etad x d x fracpartial fpartial y eta x1x2 intx1x2 fracdd x left fracpartial fpartial y right eta x d x e como por construção eta x1 eta x2 0temos intx1x2 fracpartial fpartial y fracd etad x d x intx1x2 fracdd x left fracpartial fpartial y right eta x d x Substituindo em 96 temos fracpartial Jpartial alpha intx1x2 fracpartial fpartial y etax fracpartial fpartial y fracd etad x dx 97 intx1x2 left fracpartial fpartial y eta x fracdd x left fracpartial fpartial y right eta x right dx 98 intx1x2 left fracpartial fpartial y fracdd x left fracpartial fpartial y right right eta x d x 0 99 Como a escolha de eta x é arbitrária logo é em geral diferente de zero Por conta disso a igualdade acima apenas é satisfeita se e somente se fy ddxfy 0 ddxy1y2 0 Do resultado acima vemos que ele é satisfeito se e apenas se o termo dentro da derivada é constante em relação a x ou seja y1y2 a onde a é uma constante Agora para isso ser satisfeito é necessário que y não dependa de x ou seja seja igual a uma outra constante digamos b dydx b dy bdx e integrando y y0 b x x0 y b x x0 y0 que é a equação de uma reta Ou seja a menor distância entre dois pontos num plano cartesiano é uma reta Exemplo 02 O problema da Braquistócrona Considere uma partícula num campo gravitacional uniforme O problema consiste em Dado que a partícula parte do repouso da posição x1y1 e chega até o ponto x2y2 qual a curva que realiza isso no menor tempo possível Este problema foi proposto originalmente por Bernoulli Veja a ilustração abaixo Figure 14 Ilustração para o problema da braquistócrona Sem perda de generalidade podemos colocar a posição inicial na origem do sistema de coordenadas x1y1 00 Desprezando a resistência do ar temos apenas forças conservativas e da conservação da energia temos que a velocidade da partícula será v 2gy O tempo para percorrer um elemento ds da trajetória é dt dsv onde ds dx2 dy2 1y2 dx com y dydx Integrando temos o tempo total durante a trajétoria t from 1 to 2 dsv from x1 to x2 1y2dx2gy from x1 to x2 1y22gy dx Novamente veja a semelhança com a Eq 89 onde agora o que queremos extremizar encontrar o mínimo é o tempo A função da integral agora pode ser escrita como fyy 1y22gy e basta colocarmos ela na Equação de Euler O resultado após um pouco de tratamento matemático é ya 1 cos x y2aya 101 onde a é uma constante arbitrária A curva acima é exatamente a curva que resulta no menor tempo no problema da Braquistócrona Veja a curva na figura abaixo Figure 15 Ilustração da trajetória com o menor tempo para o problema da braquistócrona Princípio de Hamilton e equações de Lagrange Considere um sistema descrito pelas coordenadas generalizadas q1t1 q2t1 qnt1 no instante t1 e que no instante posterior t2 seja descrito pelo conjunto de coordenadas generalizadas q1t2 q2t2 qnt2 Podemos ilustrar isso por meio de duas figuras veja abaixo Figure 16 Evolução do sistema de forma geral figura da esquerda e caso particular para apenas duas coordenadas generalizadas figura da direita No espaço de configurações cada ponto é uma possível configuração do sistema O princípio de Hamilton diz o seguinte O movimento de um sistema do tempo t1 para o tempo t2 é tal que a integral de linha chamada ação I from t1 to t2 Ldt 102 com L TV tem um valor estacionário extremo para o caminho percorrido Em resumo o movimento é tal que a variação da integral I para t1 e t2 fixos é zero δI δ from t1 to t2 Ldt 0 103 Note a similaridade nas formas entre 89 e 102 Fazendo a correspondência x1x2 t1t2 fyx yxx Lqiqit J I somos levados automaticamente às equações de Lagrange que por vezes são chamadas Equações de EulerLagrange ddt qj Lqjqjt qj Lqjqjt 0 104 Podemos afirmar então que as equações de Lagrange são as condições que L deve ter de modo a minimizar a ação do sistema numa determinada dinâmica VIII AULA 07 NOÇÕES SOBRE SIMETRIA E LEIS DE CONSERVAÇÃO Nesta aula faremos uma breve discussão sobre a relação existente entre simetrias e leis de conservação Há quem diga que essa relação é uma das coisas mais elegantes da Física mas por hora ficamos no nível zero de filosofia O ponto é entender que dado um sistema físico se este sistema apresentar alguma simetria perante alguma transformação ou seja se mantiver invariante sob alguma transformação então alguma quantidade do sistema será conservada Todos os resultados particulares desse fato são compactados num teorema muito elegante conhecido como Teorema de Noether 1 que não será visto aqui Simetria por translação e conservação do momento linear Para essa discussão vamos simplicar as coisas Vamos supor um sistema formado por uma única partícula e sem vínculos ou seja as coordenadas generalizadas são as próprias coordenadas cartesianas Suponha então que o sistema seja isolado e consideremos uma translação infinitesimal onde x1x2x3xyz e Desse modo a lagrangeana do sistema é dada por LLxixit 105 O fato do sistema estar isolado permite afirmar que qualquer translação realizada sobre ele não irá alterar sua energia mecânica Dessa forma a lagrangena do sistema deve se manter inalterada perante translações Dizemos que o sistema é simétrico perante transformações de translação Desse modo temos que para transformações a mudança na lagrangeana deve ser nula tal que δL Lxiδxi Lxiδxi 0 106 Como representa um deslocamento infinitesimal virtual por definição ele não depende do tempo tal que δxi0 ou seja Lxiδxi0 107 Como δxi é geral ou seja diferente de zero temos que a igualdade acima só é satisfeita se e somente se Lxi0 108 Substituindo isso nas equações de Lagrange ddtxiL xiL0 ddtxiL0 Assumindo que o potencial dependa apenas da posição da partícula logo xiV0 e a equação acima fica ddtxiT0 109 ddtximx2i 2 0 110 ddtmxi0 111 31 ou seja a quantidade m xi pi que é o momento linear do sistema se conserva no tempo Este resultado pode ser trivialmente estendido para um sistema de partículas Se o sistema é simétrico perante translações então o momento linear é conservado Um resulado análogo segue para o momento angular mas não iremos mostrar aqui pois está em qualquer livro texto É deixado como exercício Se o sistema é simétrico perante rotações em torno de um eixo então o momento angular é conservado IX DINÂMICA HAMILTONIANA Nesta aula iremos discutir sobre a dinâmica hamiltoniana Veremos que a dinâmica hamiltoniana é uma alternativa à dinâmica lagrangeaana para se tratar sistemas vinculados Para muitos casos relevantes que discutiremos ao longo da aula veremos que a definição de uma nova função H chamada Hamiltoniana equivale à soma das energias cinética e potencial de um sistema A grande diferença entre as dinâmicas lagrangeana e hamiltoniana é que enquanto na dinâmica lagrangena a resolução das equações de Lagrange resulta em n equações diferenciais de segunda ordem na dinâmica hamiltoniana a resolução das equações de Hamilton resulta em 2n equações diferenciais de primeira ordem n aqui é o número de graus de liberdade do sistema A função hamiltoniana Considere um sistema descrito por uma lagrangeana LLqjqjt Se o sistema é fechado então nenhuma energia sai ou entra do sistema e temos que dLdt0 112 Derivando explicitamente dLdtj Lqj dqjdt Lqj dqjdt j Lqj qj Lqj qj 113 Lembrando das equações de Lagrange Lqj ddtLqj 114 e inserindo em 113 dLdtj d dtLqj qj Lqj qj dLdt j d dtLqj qj Lqj qj 0 dLdt j ddtLqj qj 0 ddtL j Lqj qj 0 O resultado acima implica que a quantidade dentro da derivada temporal é uma constante e iremos chamar essa constante de H ou seja L j Lqj qj H 115 H j Lqj qj L 116 Chamamos essa nova função H de hamiltoniana e da Eq 116 vemos que ela é obtida da função lagrangena por meio de uma transformação de Legendre Iremos reescrever essa relação em uma forma melhor em breve Significado físico de H Ao longo do formalismo lagrangeano assumimos que a energia cinética depende apenas das velocidades generalizadas T T qj Também consideramos que a parte potencial depende apenas das coordenadas generalizadas V V qj e não das velocidades Continuaremos com essas condições aqui Disso temos que se a transformação entre as coordenadas cartesianas e coordenadas generalizadas não depende explicitamente do tempo então a energia cinética pode ser escrita como T m q2j 2 e segue que j Lqj qj j qj m q2j 2 qj j m q2j 2T Inserindo esse resultado em 116 H T V 117 mostrando que sob certas condições a hamiltoniana de um sistema é igual a soma das energias cinética e potencial As condições são as seguintes 1 A transformação entre as coordenadas generalizadas e cartesianas não pode depender explicitamente do tempo 2 A energia potencial deve depender apenas das coordenadas generalizadas e não das velocidades Equações de movimento dinâmica hamiltoniana Lembre de que o momento linear em coordenadas cartesianas pode ser escrito como pi mvi L xi 118 De maneira análoga definese o momento generalizado como pj Lqj 119 Das equações de Lagrange então d dt Lqj Lqj d dt pj Lqj pj Lqj 120 Usando a Eq 119 em 116 ddtxiL xiL0 ddtxiL0 ddtmxi0 T m q2j 2 j Lqj qj j qj m q2j 2 qj j m q2j 2T H T V pi mvi L xi pj Lqj d dt Lqj Lqj d dt pj Lqj pj Lqj H j pj 𝑞j L que é a equação que transforma a lagrangeana L L qj 𝑞j t na hamiltoniana H H qj pj t Note a diferença das variáveis em L e H De L para H deixamos de ter a velocidade generalizadas e passamos a ter o momento generalizado De H H qj pj t a derivada total é dada por dH j Hqj dqj Hpj dpj Ht dt Por outro lado usando que H j pj 𝑞j L a derivada total é dada por dH j 𝑞j dpj pj d𝑞j Lqj d𝑞j Lqj dqj Lt dt j 𝑞j dpj pj d𝑞j pj d𝑞j pj dqj Lt dt j 𝑞j dpj pj dqj Lt dt Comparando as equações 122 e 123 e sabendo que elas devem ser iguais temos 𝑞j Hpj pj Hqj que são as conhecidas Equações de Hamilton que devem ser resolvidas para obter as equações de movimento no formalismo hamiltoniano Além disso segue que Ht Lt Pela simetria das equações de Hamilton no que tange as coordenadas e momentos generalizados elas são chamadas de equações canônicas e as variáveis qj e pj são chamadas de variáveis canonicamente conjugadas Exemplo 01 Pêndulo esférico Já resolvemos esse problema usando o formalismo lagrangeano Mas lembre que as coordenadas cartesianas são dadas por x ℓ sin θ cos ϕ y ℓ sin θ sin θ z ℓ cos θ de forma que a lagrangeana é L 12 mℓ2 𝜃2 12 mℓ2 𝜙2 sin2 θ mgℓ cos θ Como temos duas coordenadas generalizadas temos dois momentos generalizados dados por pθ L𝜃 mℓ2 𝜃 pϕ mℓ2 sin2 θ de sorte que após algum ajuste matemático a hamiltoniana do sistema fica dada por H pθ22mℓ2 pϕ22mℓ2 sin2 θ mgℓ cos θ Dessa hamiltoniana podemos usar as equações de Hamilton pra obter as equações de movimento 𝜃 Hpθ pθmℓ2 𝜙 Hpϕ pϕmℓ2 sin2 θ pθ Hθ pϕ2 cos θmℓ2 sin3 θ mgℓ sin θ pϕ Hϕ 0 A última equação significa que pϕ é uma constante de movimento Exemplo 02 Partícula restrita a se mover na superfície de um cilindro A equação da superfície do cilindro é x2 y2 R2 A partícula está sujeita a uma força direcionada ao centro dada por 𝐹 k 𝑟 Usando que para forças conservativas podemos escrever V F dr kr22 k2x2 y2 z2 k2 R2 z2 Além disso em coordenadas cilindricas temos x R cos θ y R sin θ de modo que a lagrangeana fica L m2 R2 𝜃2 𝑧2 k2 R2 z2 e os momentos generalizados são pθ L𝜃 mR2 𝜃 pz L𝑧 mz Após algum rearranjo a hamiltoniana do sistema é H pθ22mR2 pz22m k2 R2 z2 o que permitenos obter as equações de movimento 𝜃 Hpθ pθmR2 ż Hpz pzm pθ Hθ 0 pz Hz kz Resolver essas equações de movimento é trivial foi feito em sala X OSCILAÇÕES PARTE 1 Nesta primeira aula veremos alguns conceitos sobre equilíbrio e o estudo do movimento de uma partícula dada um certo potencial Consideraremos apenas o caso unidimensional pois já é o suficiente para extrair os resultados relevantes Equilíbrio Considere uma partícula sob influência de uma força conservativa com potencial U x de modo que F dU x dx Usando a conservação de energia a energia total do sistema pode ser escrita como E T U mv² 2 U x Podemos escrever v² 2 m E U x donde se obtém dx dt 2 m E U x e integrando em ambos os lados from x₀ to x dx 2 m E U x t t₀ Portanto podemos encontrar a trajetória da partícula desde que conheçamos o potencial U x Alguns exemplos são o potencial harmônico e o potencial gravitacional dados respectivamente por U x k 2 x² U x k x Estudo do movimento da partícula Considere a seguinte forma geral para o potencial U x dada pela figura abaixo 38 Figure 17 Ilustração de um potencial geral A gura acima mostra várias opções de energias inicias para a partícula Vamos ver algumas situações Se a partícula tem energia E1 ou E2 ela está presa pelo potencial ligada ao Se E E0 a partícula cará no ponto x0 indenidadmente Se E E1 ela irá oscilar entre entre xa x xb Se E E2 o movimento também é periódico mas agora irá oscilar entre xc x xd ou xe x xf Se E E4 a partícula não está presa ao potencial Ela se comporta como uma partícula livre Vamos agora focar no caso em que a energia da partícula é E1 Este fato é análogo a um sistema massamola e a energia potencial é dada por U x k 2 x x02 134 O ponto x0 que a partícula oscila em torno chamase Ponto de Equilíbrio Se deixarmos a partícula em x x0 ela cará neste ponto indenidamente Classiação do ponto de equilíbrio Iremos mostrar a classicação em termos matemático mas antes vamos mostrar o conceito Equilíbrio estável Se a partícula é colocada em um ponto x ao lado de x0 ela irá retornar à x0 Figure 18 Equilíbrio estável Equilíbrio instável Se a partícula é colocada a um ponto x ao lado de x₀ ao ser solta ela se afasta de x₀ Figure 19 Equilíbrio instável Para fazer uma análise mais geral do potencial podemos expandir U x em torno do ponto de equilíbrio x x₀ Expandido em série de Taylor U x U x ₓ₀ x x₀ dU x dx ₓ₀ x x₀² 2 d²U x dx² ₓ₀ x x₀³ 3 d³U x dx³ ₓ₀ O 4 Como podemos definir o potencial em x₀ de maneira arbitrária podemos definir U x ₓ₀ 0 Além disso se x₀ é um ponto de equilíbrio então a primeira derivada do potencial neste ponto deve ser zero ou seja dU x dx ₓ₀ 0 Desse modo U x x x₀² 2 d²U x dx² ₓ₀ x x₀³ 3 d³U x dx³ ₓ₀ O 4 Podemos também assumir que a partícula oscila muito próximo a x₀ de forma que podemos desprezar termos de ordem superior a dois ou seja U x x x₀² 2 d²U x dx² ₓ₀ Como x x₀² é sempre maior ou igual a zero o sinal do potencial depende do sinal da segunda derivada Usando o conhecimento sobre a segunda derivada de uma função temos que se d²U x dx² ₓ₀ 0 a concavidade do potencial será para cima e temos o equilíbrio estável enquanto que se d²U x dx² ₓ₀ 0 a concavidade do potencial será para baixo e temos o equilíbrio instável Oscilações 1D Vamos agora assumir uma partícula restrita a se mover em uma dimensão e que exista um ponto de equilíbrio estável Vamos assumir que uma vez deslocada do ponto de equilíbrio existe uma força restauradora puxando a partícula de volta De modo geral podemos expandir essa força F F x em torno do ponto de equilíbrio como F x F x ₓ₀ x x₀ dF x dx ₓ₀ 1 2 x x₀² d²F x dx² ₓ₀ O 3 Escolhemos o ponto de equilíbrio como sendo x₀ 0 Temos que se este ponto é o de equilíbrio logo a força deve ser zero neste ponto de outro modo ele não seria de equilíbrio Logo F x ₓ₀ 0 Considerando apenas pequenas oscilações em torno de x₀ podemos tomar apenas o primeiro termo diferente de zero na expansão acima de modo que F x x dF x dx ₓ₀ Iremos definir a quantidade k dF x dx ₓ₀ que é justamente a constante elástica da mola no sistema massamola e diz sobre o quão difícil é distender a mola dada uma força aplicada Desse modo F x kx que é a famosa lei de Hoocke válida em muitos casos de interesses para pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio A dedução da equação de movimento para uma partícula sujeita à esta força foi feita em detalhes nas primeiras aulas do curso para o sistema massamola via segunda lei de Newton em que obtemos xtω02 xt 0 142 com ω0 km A solução geral para a posição e velocidade da partícula já obtida no início do curso é escrita como xtA sin ω0 tδ B cos ω0 tφ xt Aω0 cos ω0 t δ Bω0 sin ω0 t φ onde A e B podem ser determinadas impondo as condições iniciais na dinâmica Oscilações harmônicas 2D Suponha agora que a partícula esteja num plano e oscilando em torno de um ponto de equilíbrio que podemos definir na origem ou seja r0 00 Generalizando o caso anterior a força restauradora agora aponta para o centro e pode ser dada por F k r 143 onde r é o vetor posição da partícula Supondo que o vetor posição da partícula faça um ângulo θ com o eixo positivo x e assumindo isotropia entre as direções x e y podemos escrever as componentes das forças como Fx kr cos θ kx Fy kr sin θ ky Como não há acoplamento entre as direções de oscilação podemos escrever xtω0 xt 0 ytω0 yt 0 e podemos escrever as soluções como xt A cos ω0 t α yt B cos ω0 t β onde α e β são as fases iniciais nas direções x e y respectivamente Podemos manipular um pouco essas expressões para escrever uma equação da trajetória ou seja uma equação relacionando x e y Iniciamos este procedimento escrevendo yt B cos ω0 t β B cos ω0 t α α β B cos ω0 t α cos α β B sin ω0 t α sin α β e usando a solução para xt yt B cos ω0 t α cos α β B sin ω0 t α sin α β B xtA cosα β B 1 xtA2 sinα β e podemos definir uma fase relativa entre as duas fases tal que δ α β yt B xtA cos δ BA A2 x2t sin δ Ayt Bxt cos δ B A2 x2t sin δ e elevando ao quadrado de ambos os lados A2 y2t B2 x2t cos2δ 2ABxt yt cos δ B2 A2 sin2δ B2 x2t sin2δ B2 x2t 2 ABxt yt cosδ A2 y2t B2 A2 sin2δ 144 onde foi usado que B2 x2t cos2δ B2 x2 t sin2δ B2 x2t A Eq 144 é a forma final da equação da trajetória para uma partícula num plano oscilando harmonicamente As condições iniciais são dadas pela fase relativa δ α β e as amplitudes de oscilação A e B Vejamos alguns casos especiais 1 Se δ π2 equação de uma elipse x2 tA2 y2 tB2 1 2 Se δ π2 e A B equação de um círculo x2 tA2 y2 tB2 A2 3 Se δ 0 equação de uma reta B² x² 2ABxy A² y² 0 Bx Ay² 0 Bx Ay 0 y BA x 4 Se δ π equação de uma reta B² x² 2ABxy A² y² 0 Bx Ay² 0 Bx Ay 0 y BA x A figura abaixo ilustra algumas situações descritas acima ou não da trajetória da partícula para diferentes condições iniciais 43 Figure 20 Diferentes trajetórias elípticas para diferentes condições iniciais 1 H Goldstein Classical Mechanics 2a ed AddisonWesley Publishing 1980 2 Thorton Stephen T e Jerry B Marion Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas Tradução da 5ª edição norteamericana