Lista de Exercicios Resolvidos Mecanica Classica - Osciladores e Hamiltoniana

1 Mecânica Clássica 1 Prof Jonas Floriano Gomes dos Santos Lista de Exercícios 1 Considere a hamiltoniana descrevendo dois osciladores harmônicos acoplados H p2 1 2m p2 2 2m mω2x2 1 2 mωx2 2 2 γx1x2 1 onde γ é uma constante a Encontre uma transformação de coordenadas nas posições de modo que os dois osciladores quem desacoplados b Escreva as novas frequências de oscilação para essas coordenadas que desacoplam os osciladores c Assumindo que os osciladores iniciam o movimento com posição e momentos iniciais x10 x20 p10 e p20 use as equações de Hamilton para determinar as equações de movimento 2 Considere uma partícula num potencial gravitacional expressa pela lagrangeana L m x2 2 mgx 2 a Encontre o momento generalizado b Escreva a hamiltoniana do sistema c Obtenha as equações de movimento 3 Dada a hamiltoniana H q1p1 q2p2 aq2 1 bq2 2 3 mostre que F1 p2 bq2 q1 F2 q1q2 F3 q1et são constantes de movimento 4 a Dada a lagrangeana L Q2 2 cos2 ωt ω 2 Q Q sin 2ωt ω2Q2 2 cos 2ωt 4 encontre o momento generalizado e então a hamiltoniana correspondente b Essa hamiltoniana é constante de movimento c Mostre que a hamiltoniana expressa em termos da nova variável q Q cos ωt e de seu momento canônico conjugado não depende explicitamente do tempo 5 A partícula de massa m está sujeita à força cuja energia potencial é V x ax2 bx3 5 onde a e b são constantes a Determine a força e e esboce os grácos de F x e V x b Determine se existe um ponto de equilíbrio e se sim determine este ponto c Se existe um ponto de equilíbrio determine se o equilíbrio é estável ou instável 2 d Se a partícula inicia o movimento na origem com velocidade v0 mostre que se v0 vc onde vc é uma velocidade crítica a partícula ca connada na região perto da origem e Determine vc 6 A energia potencial para a força de interação entre dois átomos numa molécula diatômica tem a forma aproximada dada por V x a x6 b x12 6 com a e b constantes a Determine a força b Supondo que um dos átomos é muito pesado e portanto permanece em repouso enquanto que o outro se move ao longo de uma reta descreva os movimentos possíveis