Resolver as Questões

2 Faça as questo es com todos os detalhes 21 Se não for explicado cada passagem a resposta não será considerada 22 Se não tiver unidade na resposta ela estará errada 125 Um projétil é lançado com velocidade inicial v0 tal que ela passe por dois pontos ambos a mesma distância h acima da horizontal Mostre que se o canhão é ajustado para o projétil ter alcance máximo a separação entre os dois pontos é d v0 g v0² 4gh 225 Considere o sistema massamola a Escreva a lagrangeana do sistema b Obtenha a hamiltoniana do sistema c Use as equações de Hamilton para obter as equações de movimento do sistema 325 Dada a hamiltoniana H q1p1 q2p2 a q1² bq2² 1 a Obtenha as quatro equações de movimento ou seja q1 t q2 t p1 t p2 t b Mostre que F1 p2 bq2 q1 F2 q1q2 F3 q1et são equações de movimento 425 Considere um disco fino com densidade uniforme de massa M e raio a Encontre a força gravitacional sobre uma massa de prova m localizada ao longo do eixo do disco As equações horárias no MRUV considerando a posição inicial como 𝑠0 0 são 𝑠 𝑣𝑜𝑡 𝑎𝑡2 2 𝑣 𝑣𝑜 𝑎𝑡 No eixo x não temos aceleração 𝑥 𝑣𝑜𝑥𝑡 Como 𝑣𝑜𝑥 𝑣𝑜 cos 𝜃 𝑥 𝑣𝑜 cos 𝜃 𝑡 Na vertical temos 𝑣𝑜𝑦 𝑣𝑜 sin 𝜃 Considere agora a altura máxima Nesse ponto temos 𝑣 0 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑜 𝑡 2 𝑎 𝑔 Então temos 𝑣 𝑣𝑜𝑦 𝑔𝑡 Substituindo 0 𝑣0 sin 𝜃 𝑔𝑡 2 𝑡 2𝑣𝑜 sin 𝜃 𝑔 Voltando para a equação de x 𝑥 𝑣𝑜 cos 𝜃 𝑡 𝑥 𝑣𝑜 cos 𝜃 2𝑣𝑜 sin 𝜃 𝑔 𝑥 2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑣0 2 𝑔 Usando a identidade trigonométrica 2 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 2𝜃 Temos 𝑥 𝑣0 2 sin2𝜃 𝑔 O alcance máximo se dá quando sin2𝜃 1 ou 𝜃 45 𝑥 𝑣0 2 𝑔 Agora considere exatamente o meio do caminho no alcance máximo ou seja 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑥 2 Dois pontos separados que tenham a mesma altura ℎ são simétricos em relação ao ponto 𝑥 2 Considere a distância entre um desses pontos é 𝑥 2 Vamos chamar essa distância de 𝑟 Então a distância entre esses dois pontos 𝑑 será 𝑑 𝑥 2𝑟 Podemos escrever 𝑟 como velocidade vezes tempo 𝑟 𝑣0𝑐𝑜𝑠45 𝑡2 𝑟 𝑣0𝑡2 2 Onde 𝑡2 é o tempo que se leva para sair de um ponto a outro ponto A altura ℎ é a altura máxima H menos o deslocamento vertical devido à gravidade quando se desloca de 𝑥 2 onde a altura é H para 𝑟 onde a altura é h sabendo que levou 𝑡2 para o deslocamento ocorrer ℎ 𝑣𝑜𝑡2 2 𝑔𝑡2 2 2 𝑔𝑡2 2 2 𝑣𝑜𝑡2 2 ℎ 0 Temos uma equação do 2º grau para 𝑡2 Usando a fórmula de Bhaskara 𝑎 𝑔 2 𝑏 𝑣𝑜 2 𝑐 ℎ 𝑡2 𝑣0 2 𝑣0 2 2 4 𝑔 2 ℎ 𝑔 𝑡2 𝑣0 2 𝑣0 2 2 2𝑔ℎ 𝑔 Mas lembrando que 𝑟 𝑣0𝑡2 2 𝑟 𝑣0 2 𝑣0 2 𝑣0 2 2 2𝑔ℎ 𝑔 Lembrando da equação para a distância d 𝑑 𝑥 2𝑟 Mas 𝑥 𝑣02 𝑔 𝑑 𝑣0 2 𝑔 2 𝑣0 2 𝑣0 2 𝑣0 2 2 2𝑔ℎ 𝑔 𝑑 𝑣0 2 𝑔 2𝑣0 2𝑔 𝑣0 2 𝑣0 2 2 2𝑔ℎ 𝑑 𝑣0 2 𝑔 2𝑣0² 2𝑔 2𝑣0 2𝑔 𝑣0 2 2 2𝑔ℎ 𝑑 𝑣0 2 𝑔 𝑣0² 𝑔 2𝑣0 2𝑔 𝑣0 2 2 2𝑔ℎ 𝑑 2𝑣0 2𝑔 𝑣0 2 2 2𝑔ℎ Escolhendo a solução positiva 𝑑 2𝑣0 2𝑔 𝑣0 2 2 2𝑔ℎ 𝑑 𝑣0 𝑔 4 𝑣0 2 2 2 4 2 2𝑔ℎ 𝑑 𝑣0 𝑔 𝑣0 2 4𝑔ℎ 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑆𝐼 Assim chegando no resultado desejado Para escrever a lagrangeana de um sistema massamola simples em Movimento Harmônico Simples MHS vamos considerar um sistema com uma massa m conectada a uma mola de constante elástica k e comprimento de repouso l O sistema pode se mover em uma dimensão ao longo de um eixo x onde x0 corresponde à posição de equilíbrio da mola ou seja a mola não está nem esticada nem comprimida A energia cinética T do sistema é dada pela energia cinética da massa em movimento 𝑇 1 2 𝑚𝑥2 onde 𝑥 é a velocidade da massa que é a derivada temporal da posição x A energia potencial V do sistema é dada pela energia potencial elástica armazenada na mola quando ela é deslocada de sua posição de equilíbrio 𝑉 1 2 𝑘𝑥 𝑙2 No entanto para a mola ideal em um sistema massamola simples geralmente consideramos o comprimento de repouso l como sendo o ponto onde 𝑥 0 posição de equilíbrio simplificando a expressão para 𝑉 1 2 𝑘𝑥2 A lagrangeana L do sistema é a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial V 𝐿 𝑇 𝑉 1 2 𝑚𝑥2 1 2 𝑘𝑥2 Para obter a Hamiltoniana do sistema massamola em Movimento Harmônico Simples MHS a partir da Lagrangeana que já determinamos utilizaremos o procedimento padrão da mecânica analítica A Lagrangeana do sistema é 𝐿 1 2 𝑚𝑥2 1 2 𝑘𝑥2 A Hamiltoniana H é obtida primeiramente calculando o momento conjugado p associado à coordenada generalizada x que é definido como 𝑝 𝐿 𝑥 Substituindo a expressão da Lagrangeana temos 𝑝 𝑥 1 2 𝑚𝑥2 1 2 𝑘𝑥2 𝑚𝑥 Em seguida a Hamiltoniana é definida como a transformada de Legendre da Lagrangeana dada por 𝐻 𝑝𝑥 𝐿 Substituindo 𝑝 𝑚𝑥 e a expressão de L obtemos 𝐻 𝑚𝑥𝑥 1 2 𝑚𝑥2 1 2 𝑘𝑥2 Simplificando a expressão encontramos 𝐻 1 2 𝑚𝑥2 1 2 𝑘𝑥2 A Hamiltoniana H representa a energia total do sistema que é a soma da energia cinética 𝑇 1 2 𝑚𝑥2 e da energia potencial 𝑉 1 2 𝑘𝑥2 No contexto da mecânica Hamiltoniana H é uma função das variáveis canônicas x e p mas para expressála explicitamente nessas variáveis substituímos 𝑥 por 𝑝𝑚 obtendo 𝐻 𝑝2 2𝑚 1 2 𝑘𝑥2 Para obter as equações de movimento do sistema massamola em Movimento Harmônico Simples MHS usando as equações de Hamilton partimos da Hamiltoniana que já derivamos 𝐻 𝑝2 2𝑚 1 2 𝑘𝑥2 As equações de Hamilton são dadas por 𝑥 𝐻 𝑝 𝑝 𝐻 𝑥 Para 𝑥 𝑥 𝑝 𝑝2 2𝑚 1 2 𝑘𝑥2 𝑝 𝑚 Para 𝑝 𝑝 𝑥 𝑝2 2𝑚 1 2 𝑘𝑥2 𝑘𝑥 Portanto as equações de movimento derivadas das equações de Hamilton para o sistema massa mola são 𝑥 𝑝 𝑚 𝑝 𝑘𝑥 Estas são as equações diferenciais de primeira ordem que descrevem o movimento do sistema massamola em termos da posição x e do momento p Para obter a equação diferencial de segunda ordem que descreve o movimento da massa podemos derivar a primeira equação em relação ao tempo e substituir 𝑝 pela sua expressão encontrada na segunda equação 𝑥 𝑝 𝑚 𝑝 𝑚 𝑘𝑥 𝑚 Assim obtemos a equação diferencial de segunda ordem que descreve o MHS 𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 0 Para obter as equações de movimento para o sistema descrito pela Hamiltoniana 𝐻 𝑞1𝑝1 𝑞2𝑝2 𝑎𝑞1 2 𝑏𝑞2 2 usamos as equações de Hamilton 𝑞𝑖 𝐻 𝑝𝑖 𝑝𝑖 𝐻 𝑞𝑖 onde 𝑖 1 2 a e b são constantes 𝑞𝑖 são as coordenadas generalizadas e 𝑝𝑖 são os momentos conjugados correspondentes Para 𝑞1 𝑞1 𝐻 𝑝1 𝑞1 𝑞1 𝑞1 Essa é uma equação diferencial simples cuja solução é 𝑞1𝑡 𝐶𝑒𝑡 Onde C é a constante de integração Para 𝑞2 𝑞2 𝐻 𝑝2 𝑞2 𝑞2 𝑞2 𝑞2𝑡 𝐷𝑒𝑡 Onde D é outra constante de integração Para 𝑝1 𝑝1 𝐻 𝑞1 𝑝1 2𝑎𝑞1 𝑝1 𝑝1 2𝑎Ce𝑡 A EDO acima é linear 𝑝1 𝑝1 2𝑎Ce𝑡 Quem multiplica 𝑝1 é 1 𝜇𝑡 1 Então ln 𝜇𝑡 1 ln𝜇𝑡 𝑡 𝜇𝑡 𝑒𝑡 Multiplicando a EDO pelo fator integrante 𝑝1 𝑒𝑡 𝑝1𝑒𝑡 2𝑎Ce2𝑡 𝑝1𝑒𝑡 2𝑎Ce2𝑡 𝑝1𝑒𝑡 2𝑎𝐶𝑒2𝑡𝑑𝑡 𝑝1𝑒𝑡 𝑎𝐶𝑒2𝑡 𝐸 𝑝1𝑡 𝑎𝐶𝑒𝑡 𝐸𝑒𝑡 Onde 𝐸 é outra constante de integração Para 𝑝2 𝑝2 𝐻 𝑞2 𝑝2 2𝑏𝑞2 𝑝2 𝑝2 2𝑏𝐷𝑒𝑡 A resolução dessa EDO é muito parecida com a EDO do item anterior usando 𝑒𝑡 em vez de 𝑒𝑡 𝑝2𝑡 𝑏𝐷𝑒𝑡 𝐹𝑒𝑡 Aqui F é outra constante de integração Corrigindo 𝐹1 𝐹2 𝐹3 são CONSTANTES de movimento Derivando 𝐹1 Se é constante de movimento devese esperar um resultado igual a zero 𝑑𝐹1 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑝2 𝑏𝑞2 𝑞1 𝑑 𝑑𝑡 𝑏𝐷𝑒𝑡 𝐹𝑒𝑡 𝑏𝐷𝑒𝑡 𝐶𝑒𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐹𝑒𝑡 𝐶𝑒𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐹 𝐶 0 Então 𝐹1 é constante de movimento Derivando 𝐹2 𝑑𝐹2 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐶𝑒𝑡𝐷𝑒𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐶𝐷 0 Então 𝐹2 é constante de movimento Derivando 𝐹3 𝑑𝐹3 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐶𝑒𝑡𝑒𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐶 0 Então 𝐹3 é constante de movimento 425 Considere um disco fino com densidade uniforme de massa M e raio a Encontre a força gravitacional sobre uma massa de prova m localizada ao longo do eixo do disco Vamos primeiro definir os diferenciais de área e de massa já que vamos integrar esse negócio aí O diferencial de área de cada anel é dA 2πrr dr E o diferencial de massa é um percentual da massa toda distribuída por toda área dM M πa² dA E substituindo dA ali de cima temos o diferencial de massa em função do diferencial do raio que é o que queremos já que a força gravitacional tem a ver com o raio sacou dM 2M a² rdr A distância dessa massa até um ponto do anel externo é x² a² certo Então a força que uma massinha na ponta de fora desse anel vai ser assim dF G m dM x² a² Mas isso ao longo de todo anel Então temos que ver se alguma componente vai ser cancelada Pra isso vou fazer um desenho saca só A componente da força que vai contribuir e a em vermelha no desenho já a preta vai se cancelar E assumindo que o ângulo entre o vetor azul força gravitacional e a distância x vertical seja θ a componente vertical ali em vermelho vai ir com o cosseno desse ângulo E cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa né Então a contribuição da força na integral vai ser a seguinte dFy 2dF cosθ 2 x x² a² dF O fator 2 é por causa das duas componentes ali tá Daí o diferencial de força vai ficar assim dFy 2GMm x a² x² a²32 r dr Agora é só integrar por todo comprimento de r que vai de 0 até o raio externo a F ₀ᵃ dF ₀ᵃ 2 G M m x a2 x2 a232 r dr 2 G M m x a2 ₀ᵃ r dr x2 a232 Agora consultando a tabela de integrais no fim do livro temos o valor dessa belezinha aí F 2 G M m x a2 1x 1x2 r2₀ᵃ 2 G M m x a2 1x 1x2 a2 E colocando 1x em evidência pra cancelar com aquele x ali no numerador ficamos com a seguinte expressão F 2 G M m a2 1 xx2 a2 E o sentidodireção é vertical para cima na direção da massa m E para x a xx2 a2 1 12 ax2 e a força fica assim F 2 G M m a2 1 1 12 ax2 2 G M m a2 a2 2 x2 G M m x2 As equações horárias no MRUV considerando a posição inicial como s00 são svot at 2 2 vv oat No eixo x não temos aceleração xvoxt Como voxvocosθ xvocosθt Na vertical temos voyvosinθ Considere agora a altura máxima Nesse ponto temos v0 tempode voo t 2 ag Então temos vv oy Substituindo 0v0sinθ 2 t2vosinθ g Voltando para a equação de x xvocosθt xvocosθ 2vosinθ g x2sinθcosθ v0 2 g Usando a identidade trigonométrica 2sinθcosθsin2θ Temos xv0 2sin 2θ g O alcance máximo se dá quando sin 2θ1 ou θ45 xv0 2 g Agora considere exatamente o meio do caminho no alcance máximo ou seja meio docaminhox 2 Dois pontos separados que tenham a mesma altura h são simétricos em relação ao ponto x 2 Considere a distância entre um desses pontos é x 2 Vamos chamar essa distância de r Então a distância entre esses dois pontos d será dx2r Podemos escrever r como velocidade vezes tempo rv0cos 45 t2 rv0t 2 2 Onde t 2 é o tempo que se leva para sair de um ponto a outro ponto A altura h é a altura máxima H menos o deslocamento vertical devido à gravidade quando se desloca de x 2 onde a altura é H para r onde a altura é h sabendo que levou t 2 para o deslocamento ocorrer hvot2 2 gt 2 2 2 gt 2 2 2 vot2 2 h0 Temos uma equação do 2º grau para t 2 Usando a fórmula de Bhaskara ag 2 bvo 2 ch t 2 v0 2 v0 2 2 4 g 2 h g t 2 v0 2 v0 2 2 2 gh g Mas lembrando que rv0t 2 2 r v0 2 v0 2 v0 2 2 2gh g Lembrando da equação para a distância d dx2r Mas xv0 2 g d v0 2 g 2 v0 2 v0 2 v0 2 2 2gh g d v0 2 g 2v0 2g v 0 2 v0 2 2 2 gh d v0 2 g 2v0² 2g 2v 0 2 g v0 2 2 2 gh d v0 2 g v0² g 2v0 2g v0 2 2 2gh d 2v0 2g v 0 2 2 2 gh Escolhendo a solução positiva d 2v0 2g v0 2 2 2gh d v0 g 4v0 2 22 4 2 2 gh d v0 g v0 24 ghunidadesde comprimentometrosno SI Assim chegando no resultado desejado Para escrever a lagrangeana de um sistema massamola simples em Movimento Harmônico Simples MHS vamos considerar um sistema com uma massa m conectada a uma mola de constante elástica k e comprimento de repouso l O sistema pode se mover em uma dimensão ao longo de um eixo x onde x0 corresponde à posição de equilíbrio da mola ou seja a mola não está nem esticada nem comprimida A energia cinética T do sistema é dada pela energia cinética da massa em movimento T1 2 m x 2 onde x é a velocidade da massa que é a derivada temporal da posição x A energia potencial V do sistema é dada pela energia potencial elástica armazenada na mola quando ela é deslocada de sua posição de equilíbrio V1 2 k xl 2 No entanto para a mola ideal em um sistema massamola simples geralmente consideramos o comprimento de repouso l como sendo o ponto onde x0 posição de equilíbrio simplificando a expressão para V1 2 k x 2 A lagrangeana L do sistema é a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial V LTV 1 2 m x 21 2 k x 2 Para obter a Hamiltoniana do sistema massamola em Movimento Harmônico Simples MHS a partir da Lagrangeana que já determinamos utilizaremos o procedimento padrão da mecânica analítica A Lagrangeana do sistema é L1 2 m x 21 2 k x 2 A Hamiltoniana H é obtida primeiramente calculando o momento conjugado p associado à coordenada generalizada x que é definido como p L x Substituindo a expressão da Lagrangeana temos p x 1 2 m x 21 2 k x 2m x Em seguida a Hamiltoniana é definida como a transformada de Legendre da Lagrangeana dada por Hp xL Substituindo pm x e a expressão de L obtemos Hm x x 1 2 m x 21 2 k x 2 Simplificando a expressão encontramos H1 2 m x 2 1 2 k x 2 A Hamiltoniana H representa a energia total do sistema que é a soma da energia cinética T1 2 m x 2 e da energia potencial V1 2 k x 2 No contexto da mecânica Hamiltoniana H é uma função das variáveis canônicas x e p mas para expressála explicitamente nessas variáveis substituímos x por p m obtendo H p 2 2m 1 2 k x 2 Para obter as equações de movimento do sistema massamola em Movimento Harmônico Simples MHS usando as equações de Hamilton partimos da Hamiltoniana que já derivamos H p 2 2m 1 2 k x 2 As equações de Hamilton são dadas por x H p p H x Para x x p p 2 2m 1 2 k x 2 p m Para p p x p 2 2m 1 2 k x 2kx Portanto as equações de movimento derivadas das equações de Hamilton para o sistema massamola são x p m pkx Estas são as equações diferenciais de primeira ordem que descrevem o movimento do sistema massamola em termos da posição x e do momento p Para obter a equação diferencial de segunda ordem que descreve o movimento da massa podemos derivar a primeira equação em relação ao tempo e substituir p pela sua expressão encontrada na segunda equação x p m p mkx m Assim obtemos a equação diferencial de segunda ordem que descreve o MHS x k m x0 Para obter as equações de movimento para o sistema descrito pela Hamiltoniana Hq1 p1q2 p2aq1 2bq2 2 usamos as equações de Hamilton qiH pi pi H qi onde i12 a e b são constantes qi são as coordenadas generalizadas e pi são os momentos conjugados correspondentes Para q1 q1 H p1 q1 q1q1 Essa é uma equação diferencial simples cuja solução é q1t C e t Onde C é a constante de integração Para q2 q2 H p2 q2 q2q2 q2t D e t Onde D é outra constante de integração Para p1 p1 H q1 p12aq1 p1p12aCe t A EDO acima é linear p1 p12aCe t Quem multiplica p1 é 1 μ t 1 Então ln μ t t μ t e t Multiplicando a EDO pelo fator integrante p1e tp1e t2aCe 2t p1e t 2aCe 2t p1e t2aC e 2tdt p1e taC e 2tE p1 taCe tE e t Onde E é outra constante de integração Para p2 p2 H q2 p22bq2 p2p22b D e t A resolução dessa EDO é muito parecida com a EDO do item anterior usando e t em vez de e t p2 tbD e tFe t Aqui F é outra constante de integração Corrigindo F1 F2 F3 são CONSTANTES de movimento Derivando F1 Se é constante de movimento devese esperar um resultado igual a zero d F1 dt d dt p2bq2 q1 d dt b D e tF e tbD e t C e t d dt Fe t Ce t d dt F C0 Então F1 é constante de movimento Derivando F2 d F2 dt d dt Ce t D e t d dt CD 0 Então F2 é constante de movimento Derivando F3 d F3 dt d dt Ce te t d dt C 0 Então F3 é constante de movimento 425 Considere um disco fino com densidade uniforme de massa M e raio a Encontre a força gravitacional sobre uma massa de prova m localizada ao longo do eixo do disco Vamos primeiro definir os diferenciais de área e de massa já que vamos integrar esse negócio aí O diferencial de área de cada anel é dA 2πr dr E o diferencial de massa é um percentual da massa toda distribuída por toda área dM Mπa2dA E substituindo dA ali de cima temos o diferencial de massa em função do diferencial do raio que é o que queremos já que a força gravitacional tem a ver com o raio sacou dM 2Ma2 r dr A distância dessa massa até um ponto do anel externo é sqrtx2 a2 certo Então a força que uma massinha na ponta de fora desse anel vai ser assim dF G m dM sqrtx2 a2 Mas isso ao longo de todo anel Então temos que ver se alguma componente vai ser cancelada Pra isso vou fazer um desenho saca só A componente da força que vai contribuir e a em vermelha no desenho já a preta vai se cancelar E assumindo que o ângulo entre o vetor azul força gravitacional e a distância x vertical seja θ a componente vertical ali em vermelho vai ir com o cosseno desse ângulo E cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa né Então a contribuição da força na integral vai ser a seguinte dFy 2 dF cosθ 2 x sqrtx2 a2 dF O fator 2 é por causa das duas componentes ali tá Daí o diferencial de força vai ficar assim dFy 2 G M m x a2 x2 a232 r dr Agora é só integrar por todo comprimento de r que vai de 0 até o raio externo a F ₀ᵃ dF ₀ᵃ 2GMmx a²x² a²32 r dr 2GMmx a² ₀ᵃ r dr x² a²32 Agora consultando a tabela de integrais no fim do livro temos o valor dessa belezinha aí F 2GMmx a² 1x 1x² r²₀ᵃ 2GMmx a² 1x 1x² a² E colocando 1x em evidência pra cancelar com aquele x ali no numerador ficamos com a seguinte expressão F 2GMm a² 1 x x² a² E o sentidodireção é vertical para cima na direção da massa m E para x a x x² a² 1 12 ax² e a força fica assim F 2GMm a² 1 1 12 ax² 2GMm a² a² 2x² GMm x²