Analise e Projeto de Sistemas Metodo do Lugar das Raizes - Engenharia de Controle

Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 6 C A P Í T U L O 61 Introdução A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada está intima mente relacionada à localização dos polos de malha fechada Se o ganho de malha do sistema for variável então a localização dos polos de malha fechada dependerá do valor do ganho de malha escolhido É importante então que o projetista saiba como os polos de malha fechada se movem no plano s à medida que o ganho de malha varia Do ponto de vista do projeto em alguns sistemas o simples ajuste do ganho pode mover os polos de malha fechada para as localizações desejadas Então o problema do projeto pode se reduzir à escolha de um valor de ganho apropriado Se apenas o ajuste do ganho não produzir o resultado desejado será necessário adicionar um compensador ao sistema Este assunto será discutido em detalhes nas seções 66 a 69 Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica A determinação das raízes de uma equação característica de grau superior a 3 é trabalhosa e requer a busca de uma solução por meio de um computador O MATLAB fornece uma solução simples para esse problema Entretanto apenas a determinação das raízes da equação característica pode ser uma solução limi tada porque à medida que o ganho da função de transferência de malha aberta varia a equação característica se altera e os cálculos devem ser refeitos Um método simples para a determinação das raízes da equação característica foi desenvolvido por W R Evans e tem sido amplamente utilizado na engenharia de controle Esse método chama do método do lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema As raízes correspondentes a um valor específico desse parâmetro podem então ser localizadas no gráfico resultante Observe que o parâmetro é normalmente o ganho mas é possível utilizar qualquer outra variável da função de transferência de malha aberta A menos que se estabeleça o contrário vamos supor que o ganho da função de transferência de malha aberta seja o parâmetro a ser variado por toda a gama de valores de zero a infinito Utilizando o método do lugar das raízes o projetista pode prever quais os efeitos da varia ção do valor do ganho ou da adição de polos de malha aberta eou zeros de malha aberta sobre a localização dos polos de malha fechada Portanto é desejável que o projetista tenha uma boa compreensão do método de geração do lugar das raízes do sistema de malha fechada tanto manualmente como por meio de aplicativos como o MATLAB Ogatacap06indd 246 16112010 113256 No projeto de um sistema de controle linear vemos que o método do lugar das raízes prova sua eficiência pois indica o modo pelo qual os polos e os zeros de malha aberta devem ser modi ficados para que a resposta satisfaça às especificações de desempenho do sistema Esse método é em particular eficiente para a obtenção rápida de resultados aproximados Pelo fato de a geração do lugar das raízes pelo MATLAB ser bastante simples podese pensar que esboçar o lugar das raízes manualmente seja desperdício de tempo e esforço Entretanto a experiência em esboçar manualmente o lugar das raízes é da maior importância para a interpre tação do próprio lugar das raízes gerado por computador além de servir para que se tenha de maneira rápida uma ideia aproximada do lugar das raízes Visão geral do capítulo A estrutura deste capítulo é como se segue a Seção 61 apresentou uma introdução ao método do lugar das raízes A Seção 62 detalha os conceitos básicos do método do lugar das raízes e apresenta o procedimento geral para o esboço desse método com exemplos ilustrativos A Seção 63 discute a geração do gráfico do lugar das raízes pelo MATLAB A Seção 64 trata de um caso especial quando o sistema de malha fechada apresenta realimentação positiva A Seção 65 apresenta os aspectos gerais do método do lugar das raízes no projeto de sistemas de malha fechada A Seção 66 mostra o projeto de sistemas de controle com compensação por avanço A Seção 67 trata da técnica de compensação por atraso A Seção 68 aborda a técnica de compensação por atraso e avanço Por fim a Seção 69 discute a técnica de compensação paralela 62 Gráfico do lugar das raízes Condições de ângulo e de módulo Considere o sistema mostrado na Figura 61 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h 61 A equação característica desse sistema de malha fechada é obtida igualando a zero o denominador do lado direito da Equação 61 Ou seja 1 GsHs 0 ou GsHs 1 62 Aqui vamos supor que GsHs seja uma relação dos polinômios em s Note que podemos estender a análise ao caso em que GsHs apresenta retardo de transporte eTs Como GsHs é uma grandeza complexa a Equação 62 pode ser dividida em duas equações equiparandose os ângulos e módulos de ambos os lados respectivamente obtendose Condição angular G s H s h h 1802k 1 k 0 1 2 63 Condição de módulo GsHs 1 64 Os valores de s que satisfazem tanto a condição angular como a de módulo são as raízes da equa ção característica ou os polos de malha fechada Um lugar dos pontos no plano complexo que FIGURA 61 Hs Gs Cs Rs Sistema de controle 247 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 247 16112010 113257 satisfaz somente a condição angular é o lugar das raízes As raízes da equação característica os polos de malha fechada que correspondem a dado valor do ganho podem ser determinadas pela condição de módulo Os detalhes sobre a aplicação das condições de ângulo e de módulo para a obtenção dos polos de malha fechada serão apresentados posteriormente nesta seção Em muitos casos GsHs envolve um parâmetro de ganho K e a equação característica pode ser escrita como 1 0 s p s p s p K s z s z s z n m 1 2 1 2 g g h h h h h h Então o lugar das raízes do sistema é o lugar dos polos de malha fechada quando o ganho K varia de zero a infinito Note que para começar o esboço do lugar das raízes de um sistema pelo método do lugar das raízes devemos conhecer a localização dos polos e zeros de GsHs Lembrese de que os ângulos dos vetores no plano complexo grandezas complexas que se originam nos polos e zeros de malha aberta e vão até o ponto de teste s são medidos no sentido antihorário Por exemplo se GsHs for dado por G s H s s p s p s p s p K s z 1 2 3 4 1 h h h h h h h onde p2 e p3 são polos complexos conjugados então o ângulo de GsHs será G s H s 1 1 2 3 4 z i i i i h h onde z1 θ1 θ2 θ3 e θ4 são medidos no sentido antihorário como mostram as figuras 62a e b O módulo de GsHs para esse sistema é G s H s A A A A KB 1 2 3 4 1 h h onde A1 A2 A3 A4 e B1 são os módulos das grandezas complexas s p1 s p2 s p3 s p4 e s z1 respectivamente como mostra a Figura 62a Note que pelo fato de os polos e zeros complexos conjugados de malha aberta caso existam situaremse sempre simetricamente em relação ao eixo real o lugar das raízes tam bém será sempre simétrico em relação a esse eixo Portanto será necessário construir apenas a metade superior do lugar das raízes e desenhar a imagem espelhada da metade superior na metade inferior do plano s FIGURA 62 Ponto de teste Ponto de teste p4 p3 p2 p1 s s z1 ϕ1 ϕ1 j θ4 θ2 θ3 θ4 θ1 θ3 θ1 θ2 v 0 p4 p2 A4 B1 A3 A2 A1 p1 p3 z1 j v 0 b a a e b Diagramas que mostram medidas dos ângulos a partir do ponto de testes s e dos polos e zeros de malha aberta 248 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 248 16112010 113259 Exemplos ilustrativos Serão apresentados a seguir dois exemplos ilustrativos de construção do gráfico do lugar das raízes Embora existam métodos computacionais facilmente acessíveis para construir o lugar das raízes utilizaremos aqui computação gráfica combinada com inspe ção para determinar o lugar geométrico sobre o qual as raízes da equação característica do sistema de malha fechada devem ser localizadas Esse método gráfico aumentará a compreensão de como os polos de malha fechada se movem no plano complexo quando os polos e zeros de malha aberta se deslocam Ainda que apenas sistemas simples tenham sido apresentados para fins de ilustração o procedimento para a construção do lugar das raízes de sistema de ordem mais elevada não é mais complicado Pelo fato de as medidas gráficas dos ângulos e dos módulos estarem envolvidas na análise será muito conveniente utilizar a mesma escala tanto para o eixo das abscissas como para o das ordenadas quando se desenha o lugar das raízes em gráficos no papel Exemplo 61 Considere o sistema com realimentação negativa mostrado na Figura 63 Vamos supor que o valor do ganho K seja não negativo Para esse sistema 1 G s s s s K H s 1 2 h h h h Vamos esboçar o gráfico do lugar das raízes e em seguida determinar o valor de K de modo que o coeficiente de amortecimento z do par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada seja 05 Para o sistema dado a condição angular é G s s s s K s s s k k 1 2 1 2 180 2 1 0 1 2 c f h h h h h A condição de módulo é 1 G s s s s K 1 2 h h h Um procedimento típico para esboçar o gráfico do lugar das raízes é o seguinte 1 Determinar o lugar das raízes no eixo real O primeiro passo na construção de um gráfico do lugar das raízes é localizar no plano complexo os polos de malha aberta s 0 s 1 e s 2 Não existem zeros de malha aberta nesse sistema As posições dos polos de malha aberta são indicadas por cruzes As posições dos zeros de malha aberta neste livro serão indicadas por pequenos círculos Observe que os pontos de partida do lugar das raízes os pontos correspon dentes a K 0 são os polos de malha aberta O número de lugares das raízes individuais para esse sistema é 3 que é igual ao número de polos de malha aberta Para determinar o lugar das raízes no eixo real selecionase um ponto de teste s Se esse ponto de teste estiver no eixo real positivo então 0 s s s 1 2 c FIGURA 63 Rs Cs K ss 1 s 2 Sistema de controle 249 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 249 16112010 113301 Isso demonstra que a condição angular não pode ser satisfeita Então não existe lugar das raízes no eixo real positivo A seguir selecionase um ponto de teste no eixo real negativo entre 0 e 1 Então 180 0 s s s 1 2 c c Assim 180 s s s 1 2 c e a condição angular é satisfeita Dessa maneira o segmento do eixo real negativo entre 0 e 1 pertence ao lugar das raízes Se um ponto de teste for selecionado entre 1 e 2 então 180 0 s s s 1 2 c c e 360 s s s 1 2 c Podese observar então que a condição angular não será satisfeita Portanto o eixo real negati vo entre 1 e 2 não pertence ao lugar das raízes Da mesma maneira se um ponto de teste for localizado no eixo real negativo entre 2 e a condição angular será satisfeita Portanto o lugar das raízes existirá sobre o eixo real negativo entre 0 e 1 e entre 2 e 2 Determinar as assíntotas do lugar das raízes As assíntotas do lugar das raízes à medida que s se aproxima do infinito podem ser definidas da seguinte maneira se um ponto de teste for selecionado muito distante da origem então lim lim lim G s s s s K s K 1 2 s s s 3 3 3 3 h h h e a condição angular tornase 3 180 s k k 2 1 0 1 2 c f h h ou Ângulos í 012 das ass ntotas k k 3 180 2 1 c f h Como o ângulo se repete à medida que k varia os ângulos distintos para as assíntotas são deter minados como 60 60 e 180 Assim existem três assíntotas A que corresponde ao ângulo de 180 é o eixo real negativo Antes de podermos desenhar essas assíntotas no plano complexo devemos determinar o ponto onde elas cruzam o eixo real Como G s s s s K 1 2 h h h se um ponto de teste estiver muito distante da origem então Gs poderá ser escrito como G s s s K 3 3 2 g h Para valores elevados de s essa última equação pode ser aproximada como G s s K 1 3 Z h h 65 Um gráfico do lugar das raízes de Gs dado pela Equação 65 consiste em três retas Isso pode ser visto a seguir onde a equação do lugar das raízes é 180 s K k 1 2 1 3 c h h ou 3 180 s k 1 2 1 c h 250 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 250 16112010 113305 que pode ser escrita como 60 s k 1 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação obtemos 60 j k 1 2 1 c v h ou 60 60 0 tg 1 1 c c c v Considerando a tangente de ambos os lados dessa última equação 0 1 3 3 v que podem ser escritas como 1 0 1 0 0 3 3 v v Essas três equações representam três linhas retas como mostra a Figura 64 Essas três linhas retas são as assíntotas Elas se encontram no ponto s 1 Assim a abscissa de intersecção entre as assíntotas e o eixo real é obtida igualando a zero o denominador do lado direito da Equação 65 e resolvendo para s As assíntotas são praticamente partes do lugar das raízes nas regiões muito distantes da origem 3 Determinar o ponto de partida do eixo real Para desenhar com precisão o lugar das raízes devese definir o ponto de partida do eixo real onde as ramificações do lugar das raízes originárias dos polos em 0 e 1 saem do eixo real à medida que K aumenta e se movem no plano complexo O ponto de partida do eixo real corresponde a um ponto no plano s onde ocorrem raízes múltiplas da equação característica Existe um método simples para a determinação do ponto de partida do eixo real que apre sentaremos a seguir Escreveremos a equação característica como fs Bs KAs 0 66 FIGURA 64 j v 0 1 j 3 j 3 v 1 3 0 v 1 3 0 0 Três assíntotas 251 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 251 16112010 113308 onde As e Bs não contêm K Note que fs 0 tem raízes múltiplas nos pontos onde 0 ds df s h Isso pode ser visto como segue Suponha que fs tenha raízes múltiplas de ordem r onde r 2 Então fs pode ser escrita como fs s s1rs s2 s sn Derivando essa equação em relação a s e estimandose o valor de dfsds em s s1 teremos 0 ds df s s s1 h 67 Isso indica que raízes múltiplas de fs satisfazem à Equação 67 A partir da Equação 66 obtemos 0 ds df s B s KA s l l h h h 68 onde A s ds dA s B s ds dB s l l h h h h O valor específico de K que produzirá raízes múltiplas da equação característica é obtido a partir da Equação 68 como K A s B s l l h h Se substituirmos esse valor de K na Equação 66 teremos 0 f s B s A s B s A s l l h h h h h ou BsAs BsAs 0 69 Se a Equação 69 for resolvida em relação a s podem ser obtidos os pontos onde ocorram as raízes múltiplas Por outro lado a partir da Equação 66 obtemos K A s B s h h e ds dK A s B s A s B s A s 2 l l h h h h h Se dKds for igualado a zero obteremos novamente a Equação 69 Assim os pontos de partida do eixo real podem ser determinados a partir das raízes de ds dK 0 Podese notar que nem todas as soluções da Equação 69 ou de dKds 0 correspondem ao ponto de partida real do eixo real Se um ponto no qual dKds 0 estiver sobre o lugar das raízes este será mesmo um ponto de partida ou de chegada ao eixo real Em outras palavras se o valor de K for real e positivo em um ponto em que dKds 0 então este será de fato um ponto de partida ou de chegada do eixo real No presente exemplo a equação característica Gs 1 0 é dada por 1 0 s s s K 1 2 h h ou K s3 3s2 2s 252 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 252 16112010 113311 Definindo dKds 0 obtemos ds dK 3s2 6s 2 0 ou s 04226 s 15774 Como o ponto de partida do eixo real deve estar sobre o lugar das raízes entre 0 e 1 está claro que s 04226 corresponde efetivamente ao ponto de partida do eixo real O ponto s 15774 não está sobre o lugar das raízes Então esse ponto não é realmente um ponto nem de partida nem de chegada De fato o cálculo dos valores de K correspondentes a s 04226 e s 15774 resulta em K 03849 para s 04226 K 03849 para s 15774 4 Determinar os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Esses pontos podem ser determinados com a utilização do critério de estabilidade de Routh do seguinte modo como a equação característica para o presente sistema é s3 3s2 2s K 0 a matriz de Routh tornase s3 1 2 s2 3 K s1 K 3 6 s0 K O valor de K que faz que o termo s1 na primeira coluna seja igual a zero é K 6 Os pontos de cruzamento com o eixo imaginário podem então ser determinados com a resolução da equação auxiliar obtida a partir da linha s2 isto é 3s2 K 3s2 6 0 do que resulta s j 2 As frequências no ponto de cruzamento do eixo imaginário são portanto 2 O valor do ganho correspondente aos pontos de cruzamento é K 6 Um método alternativo é fazer s j na equação característica igualar a zero tanto a parte real como a parte imaginária e então resolver para e K Para o presente sistema a equação característica com s j é j3 3j2 2j K 0 ou K 32 j2 3 0 Igualando tanto a parte real como a imaginária dessa última equação a zero obtemos K 32 0 2 3 0 A partir da qual 2 K 6 ou 0 K 0 Assim o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em 2 e o valor de K no ponto de cru zamento é 6 Além disso um ramo do lugar das raízes no eixo real toca o eixo imaginário em 0 O valor de K nesse ponto é zero 5 Escolher um ponto de teste nos entornos do eixo j e da origem como mostra a Figura 65 e aplicar a condição angular Se um ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes então a soma 253 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 253 16112010 113311 dos três ângulos q1 q2 q3 deve ser 180 Se o ponto de teste não satisfizer à condição angular selecione outro ponto de teste até que a condição seja atendida A soma dos ângulos no ponto de teste indicará a direção em que o ponto de teste deve ser movido Continue com esse processo e localize um número suficiente de pontos que satisfaçam à condição do ângulo 6 Desenhar o lugar das raízes com base nas informações obtidas nos passos anteriores como mostra a Figura 66 7 Determinar um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada de modo que o coeficiente de amortecimento z seja 05 Os polos de malha fechada com z 05 situados em linhas que passam pela origem e formam os ângulos cos1 z cos1 05 60 com o eixo real negativo Com o auxílio da Figura 66 esses polos de malha fechada com z 05 são obtidos da seguinte maneira s1 03337 j05780 s2 03337 j05780 O valor de K que fornece esses polos é determinado pela condição de módulo como segue K ss 1 s 2s 03337 j05780 10383 Utilizando esse valor de K o terceiro polo é obtido em s 23326 FIGURA 65 j j1 j1 1 2 s 1 s 2 θ2 θ1 θ3 0 s v Construção do lugar das raízes FIGURA 66 j j1 j1 1 2 3 0 v K 6 K 6 K 10383 K 10383 K K j2 j2 60 1 Gráfico do lugar das raízes 254 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 254 16112010 113312 Observe que a partir do passo 4 podese ver que para K 6 os polos de malha fechada dominantes se situam no eixo imaginário em s j 2 Com esse valor de K o sistema apre sentará oscilações permanentes Para K 6 os polos de malha fechada dominantes se situam no semiplano direito do plano s resultando em um sistema instável Por fim note que se necessário o lugar das raízes pode ser facilmente graduado em termos dos valores de K utilizando para isso a condição de módulo Simplesmente selecionase um ponto sobre o lugar das raízes medese o módulo das três grandezas complexas s s 1 e s 2 e multiplicamse esses valores o produto é igual ao valor do ganho K naquele ponto ou s s 1 s 2 K A graduação do lugar das raízes pode ser feita facilmente com a utilização do MATLAB Veja a Seção 63 Exemplo 62 Neste exemplo será esboçado o gráfico do lugar das raízes de um sistema com polos de malha aberta complexos conjugados Considere o sistema mostrado na Figura 67 Para esse sistema 1 G s s s K s H s 2 3 2 2 h h h onde K 0 Vêse que Gs tem um par de polos complexos conjugados em s 1 j 2 s 1 j 2 Um procedimento típico para esboçar o gráfico do lugar das raízes é o seguinte 1 Determinar o lugar das raízes no eixo real Para qualquer ponto de teste s no eixo real a soma das contribuições angulares dos polos complexos conjugados é 360 como mostra a Figura 68 Assim o efeito resultante dos polos complexos conjugados sobre a condição angular no eixo real é nulo A localização do lugar das raízes sobre o eixo real é determinada pelo zero de malha aberta existente nesse mesmo eixo Um teste simples revela que o intervalo entre 2 e no eixo real negativo constitui uma parte do lugar das raízes Verificase que como esse lugar está situado entre dois zeros em s 2 e s é de fato uma parte formada por dois ramos do lugar das raízes cada um partindo de um dos dois polos complexos conjugados Em outras palavras dois ramos do lugar das raízes se separam em um ponto da região sobre o eixo real negativo entre 2 e FIGURA 68 j 1 0 2 v j 2 j 2 Ponto de teste θ2 θ1 Determinação do lugar das raízes no eixo real FIGURA 67 Rs Cs Ks 2 s2 2s 3 Sistema de controle 255 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 255 16112010 113314 Como existem dois polos de malha aberta e um zero existe apenas uma assíntota que coin cide com o eixo real negativo 2 Determinar o ângulo de partida dos polos complexos conjugados de malha aberta A presença de um par de polos complexos conjugados de malha aberta requer a determinação do ângulo de partida desses polos O conhecimento desse ângulo é importante já que o lugar das raízes próximo a um polo complexo fornece informações de como o polo originário do polo complexo migra para o eixo real ou se estende sobre a assíntota Referindose à Figura 69 se for escolhido um ponto de teste móvel em uma região muito próxima do polo complexo conjugado de malha aberta em s p1 verificase que a soma das contribuições angulares do polo em s p2 e do zero em s z1 pode ser considerada invariável Se o ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes então a soma de z1 q1 e q2 deverá ser 1802k 1 onde k 0 1 2 Assim no exemplo z1 θ1 θ2 1802k 1 ou θ1 180 θ2 z1 180 θ2 z1 O ângulo de partida é então θ1 180 θ2 z1 180 90 55 145 Como o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real o ângulo de partida do polo em s p2 é 145 3 Determinar o ponto de chegada ao eixo real Um ponto de chegada ao eixo real existe onde um par de ramos do lugar das raízes se funde quando K aumenta Para esse problema o ponto de chegada ao eixo real pode ser determinado da seguinte maneira dado que K s s s 2 2 3 2 temos 0 ds dK s s s s s 2 2 2 2 2 3 2 2 h h h h o que resulta em s2 4s 1 0 FIGURA 69 j 0 v θ2 s p2 ϕ1 ϕ1 z1 p1 θ2 θ1 Determinação do ângulo de partida 256 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 256 16112010 113315 ou s 37320 ou s 02680 Note que o ponto s 37320 está sobre o lugar das raízes Então este é efetivamente um ponto de chegada ao eixo real Note que no ponto s 37320 o valor do ganho correspondente é K 54641 Como o ponto s 02680 não está sobre o lugar das raízes não pode ser um ponto de chegada ao eixo real Para o ponto s 02680 o valor correspondente do ganho é K 14641 4 Esboçar o gráfico do lugar das raízes tomando por base as informações obtidas nos pas sos anteriores Para determinar com precisão o lugar das raízes devem ser determinados vários pontos entre o ponto de chegada ao eixo real e os polos complexos de malha aberta pelo método de tentativa e erro Para facilitar o esboço do gráfico do lugar das raízes devese encontrar a direção na qual o ponto de teste deve ser movido guardando mentalmente a soma das variações dos ângulos nos polos e nos zeros A Figura 610 mostra um gráfico completo do lugar das raízes para o sistema considerado O valor do ganho K em qualquer ponto do lugar das raízes pode ser determinado aplicandose a condição de módulo ou por meio do MATLAB veja a Seção 63 Por exemplo o valor de K em que os polos complexos conjugados de malha fechada têm o coeficiente de amortecimento z 07 pode ser encontrado pela localização das raízes como mostra a Figura 610 e calculando o valor de K da seguinte maneira 134 K s s j s j 2 1 2 1 2 s j 1 67 1 70 h h Ou utilizar o MATLAB para determinar o valor de K veja a Seção 64 Observe que nesse sistema o lugar das raízes no plano complexo é parte de um círculo Esse lugar das raízes circulares não ocorre na maioria dos sistemas Lugares das raízes circulares podem ocorrer em sistemas que têm dois polos e um zero dois polos e dois zeros ou um polo e dois zeros Mesmo nesses sistemas a ocorrência de partes de lugares das raízes circulares depende da localização dos polos e dos zeros existentes Para mostrar a existência de partes circulares do lugar das raízes no presente sistema é necessário deduzir a equação do lugar das raízes Para esse sistema a condição de ângulo é 180 s s j s j k 2 1 2 1 2 2 1 c h FIGURA 610 j j1 j1 1 2 3 4 0 v Linha de ζ 07 j2 j2 145 1 Gráfico do lugar das raízes 257 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 257 16112010 113316 Se s v j for substituído nessa última equação obtemos 180 j j j j j k 2 1 2 1 2 2 1 c v v v h que pode ser escrita como 180 tg tg tg k 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h ou 180 tg tg tg k 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação e utilizando a relação 1 tg tg tg tg tg x y x y x y h 610 obtemos 180 tg tg tg tg tg k 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 v v v c c c m m m h E E ou 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 v v v v v v c c m m que pode ser simplificada para 1 2 2 1 2 2 2 v v v h h h ou v 22 2 3 0 Essa última equação é equivalente a 0 ou v 22 2 3 2 Essas duas equações são equações do lugar das raízes do presente sistema Observe que a primeira 0 é a equação para o eixo real O eixo real entre s 2 e s corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte remanescente do eixo real corresponde ao lugar das raízes quando K é negativo Nesse sistema K é não negativo Note que K 0 corresponde ao caso em que a realimentação é positiva A segunda equação para o lugar das raízes é a equação de um círculo com centro em v 2 0 e raio igual a 3 A parte do círculo à esquerda dos polos com plexos conjugados corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte remanescente do círculo corresponde ao lugar das raízes quando K é negativo É importante notar que equações de fácil interpretação para o lugar das raízes podem ser deduzidas apenas para sistemas simples Para sistemas complexos que contenham muitos polos e zeros qualquer tentativa de dedução de equações para o lugar das raízes é desencorajada Essas equações deduzidas são muito complicadas e sua configuração no plano complexo é difícil de ser visualizada Regras para a construção do lugar das raízes Para um sistema complexo com muitos polos e zeros de malha aberta a construção do gráfico do lugar das raízes pode parecer complicada mas na verdade não é difícil se forem aplicadas as regras de construção para esse fim Pela localização de pontos específicos e assíntotas e pelo cálculo dos ângulos de partida de polos complexos e ângulos de chegada em zeros complexos podese construir a forma geral do lugar das raízes sem dificuldade 258 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 258 16112010 113319 Vamos resumir agora as regras e os procedimentos gerais para a construção do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 611 Inicialmente obtenha a equação característica 1 GsHs 0 Em seguida modifique essa equação de modo que o parâmetro de interesse apareça como fator de multiplicação na forma 1 0 s p s p s p K s z s z s z n m 1 2 1 2 g g h h h h h h 611 Na presente discussão supomos que o parâmetro de interesse seja o ganho K sendo K 0 No caso de K 0 o que corresponde à realimentação positiva a condição de ângulo deve ser modi ficada Veja a Seção 64 Verificase entretanto que o método ainda é aplicável a sistemas com outros parâmetros de interesse além do ganho Veja a Seção 66 1 Localizar os polos e zeros de GsHs no plano s Os ramos do lugar das raízes se iniciam nos polos de malha aberta e terminam nos zeros zeros finitos ou zeros no infinito A partir da forma fatorada da função de transferência de malha aberta determinar a localização dos polos e dos zeros de malha aberta no plano s Note que os zeros de malha aberta são os zeros de GsHs enquanto os zeros de malha fechada constituem os zeros de Gs e os polos de Hs Observe que os lugares das raízes são simétricos ao eixo real do plano s pois os polos com plexos e os zeros complexos ocorrem apenas em pares conjugados Um gráfico do lugar das raízes possui tantos ramos quantas forem as raízes da equação caracte rística Como o número de polos de malha aberta geralmente excede o número de zeros o número de ramos é igual ao de polos Se o número de polos de malha fechada for o mesmo que o de polos de malha aberta então o número de ramos individuais do lugar das raízes que terminam em zeros finitos de malha aberta será igual ao número m dos zeros de malha aberta Os ramos restantes n m que terminam no infinito n m zeros implícitos no infinito ao longo das assíntotas Se forem incluídos polos e zeros no infinito o número de polos de malha aberta será igual ao de zeros de malha aberta Portanto podese afirmar que os lugares das raízes que se iniciam nos polos de GsHs e terminam nos zeros de GsHs à medida que K varia de zero a infinito inclui os polos e zeros que se situam tanto no plano finito de s como no infinito 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real Os trechos do lugar das raízes no eixo real são determinados pelos polos e zeros de malha aberta que se encontram sobre ele Os polos e zeros complexos conjugados de malha aberta da função de transferência não têm nenhum efeito na determinação dos trechos do lugar das raízes no eixo real porque a contribuição angular de um par de polos ou zeros complexos conjugados sobre o eixo real é de 360 Cada região do lugar das raízes no eixo real se estende sobre uma área de um polo ou zero a outro polo ou zero Para a construção dos trechos do lugar das raízes no eixo real escolha um ponto de teste sobre ele Se o número total de polos reais e zeros reais à direita desse ponto de teste for ímpar então esse ponto estará situado em uma região do lugar das raízes Se polos de malha aberta e zeros de malha aberta forem polos simples e zeros simples então o lugar das raízes e seus complementos formarão segmentos alternados ao longo do eixo real FIGURA 611 Hs Gs Cs Rs Sistema de controle 259 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 259 16112010 113320 3 Determinar as assíntotas dos lugares das raízes Se o ponto de teste s estiver localizado distante da origem então o ângulo de cada vetor do plano complexo poderá ser consi derado o mesmo Um zero de malha aberta e um polo de malha aberta podem cancelar seus efeitos mutuamente Portanto os lugares das raízes se os valores de s forem muito elevados deverão ser assintóticos para as retas cujos ângulos inclinações são dados por Ângulos das assíntotas n m k k 180 2 1 0 1 2 c f h h onde n número finito de polos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs Aqui k 0 corresponde às assíntotas de menor ângulo em relação ao eixo real Embora k assu ma um número infinito de valores à medida que k aumenta o ângulo se repete e o número de assíntotas distintas é n m Todas as assíntotas se cruzam em um ponto no eixo real Os pontos de intersecção são obtidos como a seguir se tanto o numerador como o denominador da função de transferência de malha aberta forem expandidos o resultado será G s H s s p p p s p p p K s z z z s z z z n n n n m m m m 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 g g g g g g h h h h 6 Se um ponto de teste for situado muito distante da origem então dividindo o denominador pelo numerador será possível escrever GsHs como G s H s s p p p z z z s K n m n m n m 1 2 1 2 1 g g g h h h h 6 ou G s H s s n m p p p z z z K n m n m 1 2 1 2 g g h h h h G 612 A abscissa do ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é então obtida igualandose a zero o denominador do lado direito da Equação 612 e resolvendo para s ou s n m p p p z z z n m 1 2 1 2 g g h h 613 O Exemplo 61 mostra por que a Equação 613 resulta na intersecção Uma vez determinada a intersecção podese desenhar as assíntotas no plano complexo É importante notar que as assíntotas mostram o comportamento dos lugares das raízes para s 1 Um ramo do lugar das raízes pode se situar de um lado da assíntota correspondente ou pode cruzar a assíntota correspondente de um lado ao outro 4 Determinar os pontos de partida e os de chegada ao eixo real Em virtude da simetria conjugada do lugar das raízes os pontos de partida ao eixo real e os de chegada estão localizados sobre o eixo real ou ocorrem em pares complexos conjugados Se um lugar das raízes estiver localizado entre dois polos de malha aberta adjacentes no eixo real então existirá pelo menos um ponto de partida do eixo real entre os dois polos Da mesma maneira se o lugar das raízes estiver entre dois zeros adjacentes um dos zeros pode estar localizado em no eixo real então sempre existirá pelo menos um ponto de chegada entre os dois zeros Se o lugar das raízes se situar entre um polo e um zero de malha aberta finito ou infinito sobre o eixo real poderão existir pontos de partida e de chegada simultaneamente mas não de modo isolado Suponha que a equação característica seja dada por Bs KAs 0 260 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 260 16112010 113323 Os pontos de partida e os de chegada ao eixo real correspondem às raízes múltiplas da equação característica Então como foi discutido no Exemplo 61 os pontos de partida e de chegada podem ser determinados a partir das raízes de 0 ds dK A s B s A s B s A s 2 l l h h h h h 614 onde o apóstrofo indica a diferenciação em relação a s É importante notar que os pontos de partida e os de chegada devem ser as raízes da Equação 614 mas nem todas as raízes da Equação 614 são pontos de partida ou pontos de chegada Se uma raiz real da Equação 614 estiver sobre a região do lugar das raízes no eixo real então este é realmente um ponto de partida ou de chagada Se uma raiz real da Equação 614 não estiver sobre a região do lugar das raízes no eixo real então essa raiz não corresponderá nem a um ponto de partida nem a um ponto de chegada Se duas raízes s s1 e s s1 da Equação 614 forem um par de complexos conjugados e se não for certo que pertençam ao lugar das raízes então será necessário verificar o valor correspondente de K Se o valor de K correspondente a uma raiz s s1 de dKds 0 for positivo o ponto s s1 será realmente um ponto de partida ou um ponto de chegada Como se supõe que K seja não negativo se o valor de K assim obtido for negativo ou um vetor no plano complexo então o ponto s s1 não será nem um ponto de partida nem um ponto de chegada 5 Determinar o ângulo de partida de um polo complexo ou de chegada a um zero complexo do lugar das raízes Para esboçar o lugar das raízes com precisão razoável devese determinar a direção dos ramos do lugar das raízes próximos aos polos e zeros complexos Se um ponto de teste for escolhido e movido nas proximidades de um polo complexo ou de um zero com plexo podese considerar que a soma das contribuições angulares de todos os outros polos e zeros permanece invariável Assim o ângulo de partida ou o ângulo de chegada do lugar das raízes de um polo complexo ou em um zero complexo pode ser determinado subtraindo de 180 a soma de todos os ângulos dos vetores de todos os outros polos e zeros que chegam ao polo complexo ou do zero complexo em questão incluindo os sinais apropriados Ângulo de partida de um polo complexo 180 soma dos ângulos dos vetores que chegam ao polo complexo em questão com origem em outros polos soma dos ângulos dos vetores que chegam ao polo complexo em questão com origem nos zeros Ângulo de chegada em um zero complexo 180 soma dos ângulos dos vetores que chegam ao zero complexo em questão originários de outros zeros soma dos ângulos dos vetores de chegada ao zero complexo em questão partindo dos polos O ângulo de partida é mostrado na Figura 612 FIGURA 612 j v Ângulo de partida θ2 θ1 ϕ 0 Construção do lugar das raízes Ângulo de partida 180 θ1 θ2 z 261 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 261 16112010 113323 6 Encontrar os pontos onde o lugar das raízes pode cruzar o eixo imaginário Os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo j podem ser determinados facilmente a pelo uso do critério de estabilidade de Routh ou b fazendo s j na equação característica igualando a zero tanto a parte real como a parte imaginária e resolvendo para e K Os valores de assim determinados fornecem as frequências em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário O valor de K correspondente a cada frequência de cruzamento representa o ganho nesse ponto de cruzamento 7 Obter uma série de pontos de teste na região da origem do plano s e esboçar o lugar das raízes Determinar o lugar das raízes em ampla região nas proximidades do eixo j e da origem A parte mais importante do lugar das raízes não se situa nem no eixo real nem junto às assíntotas mas em uma região próxima ao eixo j e à origem O formato do lugar das raízes nessa importante região do plano s deve ser obtido com uma precisão razoável Se for necessário obter a forma do lugar das raízes com exatidão podese usar o MATLAB em vez de fazer o cálculo manualmente 8 Determinar os polos de malha fechada Um ponto em particular sobre cada um dos ramos do lugar das raízes será um polo de malha fechada se o valor de K nesse ponto satisfizer a condição de módulo Reciprocamente a condição de módulo possibilita que se deter mine o valor do ganho K em qualquer ponto especificado sobre o lugar das raízes Se necessário o lugar das raízes pode ser graduado em função de K Os valores de K variam continuamente ao longo do lugar das raízes O valor de K correspondente a um ponto s no lugar das raízes pode ser obtido com a utilização da condição de módulo ou seja â â produto da dist ncia entre o ponto e os zeros produto da dist ncia entre o ponto e os polos K s s Esse valor pode ser calculado tanto gráfica como analiticamente O MATLAB pode ser utilizado para graduar o lugar das raízes em função de K Veja a Seção 63 Se o ganho K da função de transferência de malha aberta for um dado do problema então pela aplicação da condição de módulo podese determinar as posições corretas dos polos de malha fechada em cada um dos ramos do lugar das raízes para dado valor de K Para isso pode se utilizar o método de tentativa e erro ou o MATLAB que será apresentado na Seção 63 Comentários sobre os gráficos do lugar das raízes Observe que a equação característica do sistema de realimentação negativa cuja função de transferência de malha aberta é G s H s s a s a K s b s b n m n n n m m m 1 1 1 1 g g h h h h é uma equação algébrica de grau n em s Se a ordem do numerador de GsHs for menor que a do denominador em duas ou mais unidades o que significa que existem dois ou mais zeros no infinito então o coeficiente a1 será a soma negativa das raízes das equações e é independente de K Nesse caso se algumas das raízes se moverem para a esquerda sobre o lugar das raízes à medida que K aumenta então as outras raízes devem se mover para a direita conforme K aumenta Essa informação é útil na determinação da forma geral do lugar das raízes Note também que uma pequena alteração na posição dos polos e zeros pode ocasionar mudanças importantes na configuração do lugar das raízes A Figura 613 demonstra que uma pequena variação no posicionamento de um zero ou de um polo resultará em uma configuração do lugar das raízes bastante diferente Cancelamento dos polos de Gs com zeros de Hs É importante notar que se o deno minador de Gs e o numerador de Hs contiverem fatores comuns então os polos e os zeros de malha aberta correspondentes se cancelarão mutuamente reduzindo o grau da equação carac terística em uma ou mais unidades Por exemplo considere o sistema da Figura 614a Esse sistema possui realimentação de velocidade Mudando o diagrama de blocos da Figura 614a 262 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 262 16112010 113324 para o mostrado na Figura 614b fica claro que Gs e Hs têm em comum o fator s 1 A função de transferência de malha fechada CsRs é R s C s s s s K s K 1 2 1 h h h h h A equação característica é ss 2 Ks 1 0 Entretanto em virtude do cancelamento dos termos s 1 que aparecem em Gs e Hs temse G s H s s s s s K s s s s s K 1 1 1 2 1 2 2 h h h h h h h A equação característica reduzida é ss 2 K 0 O gráfico do lugar das raízes de GsHs não mostra todas as raízes da equação característica mas apenas as raízes da equação reduzida FIGURA 613 j v j v Gráficos do lugar das raízes FIGURA 614 Cs Rs a 1 s K s 1 s 2 Cs Rs c 1 s 1 K ss 1 s 2 K ss 2 s 1 Hs Cs Rs b Gs a Sistema de controle com realimentação de velocidade b e c diagramas de blocos modificados 263 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 263 16112010 113326 Para obter o conjunto completo dos polos de malha fechada devese adicionar o polo can celado de GsHs aos polos de malha fechada obtidos a partir do gráfico do lugar das raízes de GsHs É importante lembrar que o polo cancelado de GsHs é um polo de malha fechada do sistema como mostra a Figura 614c Configurações típicas de polos e zeros e o lugar das raízes correspondentes Em resumo mostramos na Tabela 61 várias configurações de polos e zeros de malha aberta e seus correspondentes lugares das raízes O padrão do lugar das raízes depende apenas da separação relativa dos polos e zeros de malha aberta Se o número de polos exceder o número de zeros finitos em três ou mais unidades haverá um valor do ganho K além do qual o lugar das raízes entrará no semiplano direito do plano s e assim o sistema se tornará instável Para que um sistema seja estável todos os polos de malha fechada devem se situar no semiplano esquerdo do plano s Observe que uma vez que se tenha alguma experiência com o método é possível avaliar com facilidade as alterações no lugar das raízes em decorrência de modificações no número e no posicionamento dos polos e zeros Conseguese isso visualizando o gráfico do lugar das raízes resultante das várias configurações de polos e zeros TABELA 61 j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v Configurações de polos e zeros de malha aberta e os lugares das raízes correspondentes 264 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 264 16112010 113326 Resumo A partir das discussões anteriores fica claro que é possível esboçar um gráfico do lugar das raízes com razoável precisão para dado sistema seguindo regras simples É aconselhável que o leitor estude os vários gráficos do lugar das raízes apresentados nos problemas resolvidos no final do capítulo Nos estágios preliminares de um projeto não são necessárias as posições precisas dos polos de malha fechada Frequentemente necessitase apenas das localizações aproximadas para fazer uma estimativa do desempenho do sistema É importante então que o projetista tenha a capacidade de esboçar rapidamente o lugar das raízes de dado sistema 63 Desenhando o gráfico do lugar das raízes com o MATLAB Nesta seção apresentamos o método de geração do gráfico do lugar das raízes e a obtenção de informações relevantes usando o MATLAB Desenhando o gráfico do lugar das raízes com o MATLAB Na construção do gráfico do lugar das raízes a equação do sistema é apresentada na forma da Equação 611 que pode ser escrita como 1 0 den K num onde num é o polinômio do numerador e den o polinômio do denominador Ou seja num s z1s z2 s zm sm z1 z2 zmsm1 z1z2 zm den s p1s p2 s pn sn p1 p2 pnsn1 p1 p2pn Note que ambos os vetores num e den devem ser escritos segundo as potências decrescentes de s Um comando MATLAB comumente utilizado para desenhar o lugar das raízes é rlocusnumden Esse comando faz que o gráfico do lugar das raízes seja desenhado na tela O vetor de ganho K é determinado automaticamente O vetor K contém todos os valores do ganho para os quais os polos de malha fechada são calculados Para os sistemas definidos no espaço de estados rlocusABCD traça o lugar das raízes do sistema determinando automaticamente o vetor de ganho Note que os comandos rlocusnumdenK e rlocusABCDK utilizam o vetor de ganho K informado pelo usuário Se for desejável traçar o lugar das raízes com as marcas o ou x será necessário utilizar o seguinte comando r rlocusnumden plotro ou plotr x Traçar o gráfico do lugar das raízes utilizando as marcas o ou x é instrutivo uma vez que cada um dos polos de malha fechada calculados será mostrado graficamente algumas regiões do lugar das raízes são mais densamente ocupadas por essas marcas e em outras a ocupação é mais esparsa O MATLAB fornece seu próprio conjunto de valores de ganho utilizado no cálculo para traçar um lugar das raízes Isso é feito por uma rotina interna de passo variável adaptativo O MATLAB também utiliza no comando plot uma forma automática de escalar os eixos Exemplo 63 Considere o sistema mostrado na Figura 615 Trace o lugar das raízes com razão de quadratura de modo que uma linha com inclinação 1 seja uma linha verdadeiramente a 45 Escolha a região do lugar das raízes delimitada por 265 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 265 16112010 113327 6 x 6 6 y 6 onde x e y são respectivamente a coordenada do eixo real e a coordenada do eixo imaginário Para configurar na tela determinada região que tenha a forma de um quadrado utilize o seguinte comando v 6 6 6 6 axisv axissquare Com esse comando a região do gráfico ficará configurada de acordo com a especificação e uma linha de coeficiente angular 1 estará de fato a 45 sem apresentar distorção decorrente da forma irregular da tela Neste problema o denominador é determinado pelo produto dos termos de primeira e segunda ordens Portanto devese multiplicar esses termos para obter um polinômio em s A multiplicação desses termos pode ser feita facilmente com a utilização do comando de convolução como é mostrado a seguir Defina a ss 1 a 1 1 0 b s2 4s 16 b 1 4 16 Em seguida utilize o seguinte comando c convab Observe que convab fornece o produto dos dois polinômios a e b O resultado do processa mento é apresentado a seguir a 1 1 0 b 1 4 16 c conv ab c 1 5 20 16 0 O polinômio do denominador é então den 1 5 20 16 0 Para determinar os polos complexos conjugados de malha aberta as raízes de s2 4s 16 0 devese digitar o comando roots como a seguir r rootsb r 20000 3464li 20000 3464li Consequentemente o zero de malha aberta e os polos de malha aberta do sistema são os seguintes Zero de malha aberta s 3 Polos de malha aberta s 0 s 1 s 2 j34641 O Programa 61 em MATLAB traça o gráfico do lugar das raízes para esse sistema A Figura 616 mostra o gráfico resultante FIGURA 615 Ks 3 ss 1s2 4s 16 Sistema de controle 266 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 266 16112010 113327 Programa 61 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 3 den 1 5 20 16 0 rlocusnumden v 6 6 6 6 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Ks 3ss 1s2 4s 16 Note que no Programa 61 em MATLAB em vez de den 1 5 20 16 0 podese codificar den conv 1 1 0 1 4 16 Os resultados serão os mesmos Exemplo 64 Considere o sistema de realimentação negativa cuja função de transferência em malha aberta GsHs é G s H s s s s s K s s s s K 0 5 0 6 10 1 1 10 3 5 2 4 3 2 h h h h Não existem zeros de malha aberta Os polos de malha aberta estão localizados em s 03 j31480 s 03 j31480 s 05 e s 0 Digitando o Programa 62 em MATLAB no computador obtémse o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 617 FIGURA 616 0 2 Eixo real Eixo imaginário 6 4 2 4 6 0 2 6 4 2 4 6 Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks 3ss 1s2 4s 16 Gráfico do lugar das raízes 267 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 267 16112010 113328 Programa 62 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 den 1 11 103 5 0 r locusnumden plotr o v 6 6 6 6 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário Observe que nas regiões próximas de x 03 y 23 e x 03 y 23 dois ramos se aproximam um do outro Podese desejar saber se esses dois ramos devem ou não se tocar Para analisar essa situação é possível traçar gráficos do lugar das raízes com pequenos incrementos no valor de K na região crítica Pelo método convencional de tentativa e erro ou usando o comando rlocfind que será apresentado adiante nesta seção encontrase a região de interesse específica como utilizando aquela em que 20 K 30 Utilizando o Programa 63 em MATLAB obtemos o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 618 Esse gráfico mostra que os dois ramos que se aproximam no semiplano superior ou no semiplano inferior não se tocam Programa 63 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 den 1 11 103 5 0 K1 00220 K2 200130 K3 3051000 K K1 K2 K3 r locusnumdenK plotr o v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário FIGURA 617 Eixo real 6 4 6 4 2 2 0 Eixo imaginário 6 2 4 6 2 0 4 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 Gráfico do lugar das raízes 268 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 268 16112010 113328 Exemplo 65 Considere o sistema mostrado na Figura 619 As equações do sistema são ẋ Ax Bu y Cx Du u r y Neste problema obteremos o gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados Como exemplo consideremos o caso em que as matrizes A B C e D são A B C D 0 0 160 1 0 56 0 1 14 0 1 14 1 0 0 0 6 6 H H 615 O gráfico do lugar das raízes desse sistema pode ser obtido com a utilização do seguinte comando do MATLAB rlocusABCD Esse comando produz o mesmo gráfico do lugar das raízes que é obtido pelo comando rlocus numden onde num e den são obtidos a partir de numden ss2tfABCD como a seguir num 0 0 1 0 den 1 14 56 160 FIGURA 618 Eixo real 4 2 3 4 2 1 3 1 0 Eixo imaginário 4 1 3 3 4 2 0 1 2 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 Gráfico do lugar das raízes FIGURA 619 r u B y A C D x x Sistema de controle de malha fechada 269 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 269 16112010 113331 O Programa 64 em MATLAB gera o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 620 Programa 64 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes A 0 1 00 0 1160 56 14 B 0114 C 1 0 0 D 0 K 001400 rlocusABCDK v 20 20 20 20 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes do Sistema Definido no Espaço de Estados Lugares com z constante e lugares com n constante Lembrese de que no plano com plexo o coeficiente de amortecimento z de um par de polos complexos conjugados pode ser expresso em termos do ângulo z que é medido em relação ao eixo real negativo como mostra a Figura 621a com ζ cos z Em outras palavras as linhas de coeficiente de amortecimento z constante são linhas radiais que passam pela origem como mostra a Figura 621b Por exemplo se o coeficiente de amorteci mento for 05 será necessário que os polos complexos estejam situados em linhas que passem pela origem formando ângulos de 60 com o eixo real negativo Se a parte real de um par de polos complexos conjugados for positiva o que significa que o sistema é instável o z corres pondente será negativo O coeficiente de amortecimento determina a localização angular dos polos enquanto a distância entre o polo e a origem é determinada pela frequência natural não amortecida n Os lugares de n constantes são círculos Para desenhar linhas com ζ constante e círculos com n constante no gráfico do lugar das raízes com o MATLAB devese utilizar o comando sgrid FIGURA 620 Eixo real 20 15 20 0 15 10 5 5 10 Eixo imaginário 20 5 20 10 15 0 15 10 5 Gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados Gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados onde A B C e D são dadas pela Equação 615 270 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 270 16112010 113331 Traçando grades polares no gráfico do lugar das raízes O comando sgrid sobrepõe linhas de coeficiente de amortecimento constante z 0 1 com incremento de 01 e círculos de n constante no gráfico do lugar das raízes Veja o Programa 65 em MATLAB e o gráfico resultante mostrado na Figura 622 Programa 65 em MATLAB sgrid v 3 3 3 3 axisv axissquare titleLinhas com zeta Constantes e Círculos omegan Constantes xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário FIGURA 621 0 j j n d ϕ v 0 v 02 02 05 05 07 07 08 08 ζ 09 ζ 09 ζ 0 ζ 0 ζ 0 ζ 1 a b a Polos complexos b linhas com coeficiente de amortecimento z constantes FIGURA 622 3 2 1 0 3 2 1 0 1 3 2 1 3 2 Eixo real Linhas com ζ constantes e círculos com n constantes Eixo imaginário 2 1 2 1 05 034 016 064 05 034 016 064 076 086 094 0985 076 086 094 0985 Linhas com ζ constantes e círculos com n constantes 271 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 271 16112010 113332 Se forem desejáveis apenas determinadas linhas com z constante como a linha com z 05 e a linha com z 0707 e determinados círculos com n constante como o círculo com n 05 o círculo com n 1 e o círculo com n 2 utilizase o seguinte comando sgrid05 0707 05 1 2 Se for desejável desenhar linhas com z constante e círculos com n constante como os fornecidos anteriormente para um gráfico do lugar das raízes de um sistema com num 0 0 0 1 den 1 4 5 0 então execute o Programa 66 em MATLAB O gráfico resultante do lugar das raízes é mostrado na Figura 623 Programa 66 em MATLAB num 1 den 1 4 5 0 K 00011000 r rlocusnum denK plotr v 3 1 2 2 axisv axissquare sgrid050707 0512 sgrid titleGráfico do Lugar das Raízes com Linhas com zeta 05 e 0707 e com Círculos omegan 05 1 e 2 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário gtextomegan 2 gtextomegan 1 gtextomegan 05 Insira o marcador x em cada um dos 3 polos de malha aberta gtextx gtextx gtextx Se quisermos omitir todas as linhas de valores inteiros z ou todos os círculos de valores n constantes devemos utilizar chaves vazias nos argumentos do comando sgrid Por exemplo se for desejável desenhar somente a linha com coeficiente de amortecimento constante correspondente a z 05 e nenhum círculo com n constante no gráfico do lugar das raízes podemos usar o comando Sgrid05 FIGURA 623 05 0707 05 0707 n 1 n 05 n 2 1 05 0 05 1 15 2 25 3 0 05 1 15 2 05 1 15 2 Eixo real Gráficos do lugar das raízes com linhas ζ 05 e 0707 e com círculos n 05 1 e 2 Eixo imaginário 05 1 2 Linhas com ζ constante e círculos com n constante sobrepostos no lugar das raízes 272 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 272 16112010 113332 Sistemas condicionalmente estáveis Considere o sistema com realimentação negativa mos trado na Figura 624 Podemos traçar o gráfico do lugar das raízes para esse sistema aplicando as regras e procedimentos gerais para a construção do lugar das raízes ou usar o MATLAB para obter gráficos de lugar das raízes O Programa 67 em MATLAB vai traçar o diagrama de lugar das raízes para o sistema A Figura 625 mostra o gráfico resultante Programa 67 em MATLAB num 1 2 4 den convconv1 4 01 6 1 14 1 rlocusnum den v 7 3 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Ks2 2s 4ss 6s 2 14s 1 text10 055K 12 text1030K 73 text10415K 154 Podese ver pelo gráfico da Figura 625 que o sistema é estável apenas para amplitudes limi tadas do valor de K ou seja 0 K 12 e 73 K 154 O sistema tornase instável se 12 K 73 e se 154 K Se K assumir um valor correspondente a uma operação instável o sistema pode deixar de funcionar ou tornarse não linear em virtude da não linearidade resultante de saturação que pode existir Tal sistema é chamado condicionalmente estável Na prática os sistemas condicionalmente estáveis não são desejáveis A estabilidade con dicional é perigosa mas ocorre em certos sistemas particularmente em sistemas que tenham um ramo direto instável Um ramo direto instável pode ocorrer se o sistema tiver uma malha interna Aconselhase evitar tal estabilidade condicional já que se o ganho cair abaixo do valor FIGURA 624 Rs Cs Ks2 2s 4 ss 4 s 6s2 14s 1 Sistema de controle FIGURA 625 Eixo real 5 4 3 2 1 6 7 3 0 2 1 Eixo imaginário 5 5 4 3 2 3 2 1 4 0 1 Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks2 2s 4ss 4s 6s2 14s 1 K 12 K 73 K 154 Gráfico do lugar das raízes de um sistema condicionalmente estável 273 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 273 16112010 113333 crítico seja qual for o motivo o sistema se tornará instável Note que a inclusão de uma rede de compensação adequada eliminará a estabilidade condicional A inclusão de um zero fará que o lugar das raízes se incline para a esquerda Veja a Seção 65 Portanto a estabilidade condicional pode ser eliminada incluindose a compensação adequada Sistemas de fase não mínima Se todos os polos e zeros do sistema estiverem no semiplano s esquerdo então o sistema é chamado sistema de fase mínima Se o sistema tiver pelo menos um polo ou zero no semiplano s direito será denominado sistema de fase não mínima O termo fase não mínima vem das características de mudança de fase de tal sistema quando sujeito a entradas senoidais Considere o sistema mostrado na Figura 626a Para esse sistema 1 G s s Ts K T s T H s 1 1 0 a a 2 h h h h h Este é um sistema de fase não mínima já que há um zero no semiplano s direito Para esse sis tema a condição angular é G s s Ts K T s s Ts K T s k k 1 1 1 1 180 180 2 1 0 1 2 a a c c f h h h h h h h ou 0 s Ts K T s 1 1 a c h h 616 O lugar das raízes pode ser obtido a partir da Equação 616 A Figura 626b mostra um grá fico de lugar das raízes para esse sistema Pelo diagrama vemos que o sistema é estável se o ganho K for menor que 1Ta Para obter um gráfico de lugar das raízes com o MATLAB digite o numerador e o denomi nador como de costume Por exemplo se T 1 s e Ta 05 s digite os seguintes num e den no programa num 05 1 dem 1 1 0 O Programa 68 em MATLAB resulta no lugar das raízes mostrado na Figura 627 FIGURA 626 a b Rs Cs j K 0 K 0 K K 1 Ta K 1 Ta K 1 Ta 1 T v K1 Tas sTs 1 a Sistema de fase não mínima b gráfico do lugar das raízes 274 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 274 16112010 113335 Programa 68 em MATLAB num 0 05 1 den 1 1 0 k1 000130 k2 301100 K3 1005500 K k1 k2 k3 rlocusnumdenK v 2 6 4 4 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs K1 05sss 1 Posicione a marca x de cada um dos 2 polos de malha aberta Posicione a marca o do zero de malha aberta gtextx gtextx gtexto Ortogonalidade do lugar das raízes e lugares de ganho constante Considere o sistema de realimentação negativa cuja função de transferência de malha aberta é GsHs No plano GsHs os lugares em que GsHs constante são círculos com centro na origem e os luga res correspondentes a G s H s h h 1802k 1 onde k 0 1 2 se situam no eixo real negativo do plano GsHs como mostra a Figura 628 Note que o plano complexo utilizado aqui não é o plano s mas o plano GsHs Os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s são mapeamentos confor mes dos lugares de G s H s h h 1802k 1 e de GsHs constante no plano GsHs Como a fase constante e os lugares de ganho constante no plano GsHs são ortogonais os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s são ortogonais A Figura 629a mostra os lugares das raízes e os lugares de ganho constante para o seguinte sistema 1 G s s s K s H s 2 3 2 2 h h h Note que como a configuração de polos e zeros é simétrica em relação ao eixo real os lugares de ganho constante também são simétricos em relação ao eixo real A Figura 629b mostra o lugar das raízes e os lugares de ganho constante para o sistema 1 G s s s s K H s 1 2 h h h h FIGURA 627 Gráfico do lugar das raízes de Gs K1 05sss 1 Eixo real Eixo imaginário 1 3 42 1 0 1 2 3 4 5 6 2 1 2 0 3 4 Gráfico do lugar das raízes de G s s s K s 1 1 0 5 h h h 275 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 275 16112010 113336 Observe que como a configuração dos polos no plano s é simétrica em relação ao eixo real e como a linha paralela ao eixo imaginário passa pelo ponto v 1 0 os lugares de ganho constante são simétricos em relação à linha 0 eixo real e à linha v 1 Verificase nas figuras 629a e b que cada ponto no plano s tem o valor correspondente de K Se for utilizado o comando rlocfind apresentado a seguir o MATLAB vai fornecer o valor de K do ponto específico assim como os polos de malha fechada mais próximos que correspondem a esse valor de K Determinando o valor do ganho K em um ponto arbitrário no lugar das raízes Na análise de sistemas de malha fechada pelo MATLAB é necessário frequentemente determinar o valor do ganho K em um ponto arbitrário do lugar das raízes Isso pode ser feito com a utilização do comando rlocfind como segue K r rlocfindnum den O comando rlocfind que deve seguir um comando rlocus sobrepõe coordenadas xy móveis na tela Com o mouse posicionase a origem das coordenadas xy sobre o ponto desejado no lugar FIGURA 628 Re Im 0 Plano Gs Hs Re Im 0 Plano Gs Hs Constante Gs Hs Gs Hs 180 2k 1 Diagrama de ganho constante e lugares de fase constante no plano GsHs FIGURA 629 a b v j 0 K 6 K 6 j4 j6 j4 K 1 K 2 K 1 6 4 2 4 6 K 10 K 03 j2 j2 j6 K 03 K 03 2 v j 0 j2 j3 j2 3 2 1 2 j1 j1 j3 1 B C A Gráfico do lugar das raízes e lugares de ganho constante a Sistema com Gs Ks 2s2 2s 3 Hs 1 b sistema com Gs Kss 1s 2 Hs 1 276 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 276 16112010 113338 das raízes e pressionase o botão do mouse Em seguida o MATLAB exibe na tela as coordenadas daquele ponto o valor do ganho naquele ponto e os polos de malha fechada correspondentes a esse valor de ganho Se o ponto selecionado não estiver no lugar das raízes tal como o ponto A na Figura 629a o comando rlocfind fornece as coordenadas desse ponto selecionado o valor do ganho desse ponto como K 2 e a posição dos polos de malha fechada como os pontos B e C correspondentes a esse valor de K Note que cada ponto no plano s tem um valor de ganhoVeja por exemplo as figuras 629a e b 64 Gráficos do lugar das raízes para sistemas com realimentação positiva Lugar das raízes para sistemas com realimentação positiva1 Em um sistema de controle complexo pode haver uma malha de realimentação positiva interna como mostra a Figura 630 Essa malha é normalmente estabilizada pela malha externa A seguir avaliaremos apenas a malha de realimentação positiva interna A função de transferência de malha fechada da malha interna é R s C s G s H s G s 1 h h h h h A equação característica é 1 GsHs 0 617 Essa equação pode ser resolvida por um método análogo ao utilizado na Seção 62 para o caso do lugar das raízes A condição de ângulo entretanto deve ser alterada A Equação 617 pode ser reescrita como GsHs 1 que é equivalente às duas equações a seguir G s H s h h 0 k360 k 0 1 2 GsHs 1 Para o caso de realimentação positiva a soma total de todos os ângulos dos polos e zeros de malha aberta deve ser igual a 0 k360 Assim esse lugar das raízes segue uma condição angular de 0 em vez da condição de 180 considerada previamente A condição de módulo permanece inalterada Para ilustrar o gráfico do lugar das raízes de um sistema com realimentação positiva utili zaremos as seguintes funções de transferência Gs e Hs como exemplo 1 G s s s s K s H s 3 2 2 2 2 h h h h h O ganho K é admitido como positivo 1 Veja Wojcik nas Referências ao final do livro FIGURA 630 Cs G1s H1s Rs Hs Gs Sistema de controle 277 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 277 16112010 113339 As regras para a construção do lugar das raízes dadas na Seção 62 devem ser modificadas da seguinte maneira A Regra 2 é modificada como segue se o número total de polos e zeros reais à direita do ponto de teste no eixo real for par então esse ponto de teste estará posicionado no lugar das raízes A Regra 3 é modificada como segue Ângulos das assíntotas n m k k 360 0 1 2 c f h onde n número de polos finitos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs A Regra 5 é modificada como segue o cálculo do ângulo de partida de um polo complexo de malha aberta ou do ângulo de chegada de um polo complexo de malha aberta ou em um zero complexo pode ser determinado subtraindo de 0 a soma de todos os ângulos dos vetores com origem nos outros polos e zeros que se dirigem ao polo complexo ou ao zero complexo em questão incluindo os sinais apropriados As demais regras para a construção do gráfico do lugar das raízes permanecem as mesmas Agora vamos aplicar as regras modificadas para a construção do gráfico do lugar das raízes 1 Posicione os polos de malha aberta s 1 j s 1 j s 3 e zero s 2 no plano complexo À medida que K cresce de 0 a os polos de malha fechada têm origem nos polos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta finitos ou infinitos exata mente como nos casos de sistemas com realimentação negativa 2 Determine os lugares das raízes no eixo real Os lugares das raízes existem no eixo real entre 2 e e entre 3 e 3 Determine as assíntotas do lugar das raízes Para o presente sistema Ângulos das assíntotas 180 k 3 1 360 c c Isso significa simplesmente que as assíntotas estão sobre o eixo real 4 Determine os pontos de partida e de chegada Dado que a equação característica é s 3s2 2s 2 Ks 2 0 obtemos K s s s s 2 3 2 2 2 h h Derivando K em relação a s obtemos ds dK s s s s 2 2 11 20 10 2 3 2 h Note que 2s3 11s2 20s 10 2s 08s2 47s 624 2s 08s 235 j077s 235 j077 O ponto s 08 está sobre o lugar das raízes Como esse ponto se situa entre dois zeros um zero finito e outro infinito é de fato um ponto de chegada do eixo real Os pontos s 235 j077 não satisfazem a condição angular e portanto não são nem pontos de partida nem de chegada 5 Determine o ângulo de partida do lugar das raízes de um polo complexo Para o polo complexo em s 1 j o ângulo de partida θ é θ 0 27 90 45 ou θ 72 278 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 278 16112010 113341 O ângulo de partida do polo complexo em s 1 j é 72 6 Escolha um ponto de teste em uma região ampla próxima ao eixo j e à origem e aplique a condição angular Determine um número suficiente de pontos que satisfaça a condição angular A Figura 631 mostra o lugar das raízes do sistema dado com realimentação positiva O lugar das raízes é mostrado com linhas e uma curva tracejadas Note que se 3 K s s s s 2 3 2 2 s 2 0 2 h h uma das raízes reais entra no semiplano direito do plano s Então para valores de K maiores que 3 o sistema tornase instável Para K 3 o sistema deve ser estabilizado com uma malha externa Note que a função de transferência para o sistema com realimentação positiva é dada por R s C s G s H s G s s s s K s K s 1 3 2 2 2 2 2 h h h h h h h h h Para comparar o gráfico do lugar das raízes desse sistema e o do sistema correspondente com realimentação negativa a Figura 632 mostra o lugar das raízes do sistema com realimentação negativa cuja função de transferência é dada por R s C s s s s K s K s 3 2 2 2 2 2 h h h h h h FIGURA 631 5 4 3 2 1 1 2 v j 0 j1 j2 j1 j2 Gráfico do lugar das raízes para um sistema com realimentação positiva com Gs Ks 2s 3 s2 2s 2 Hs 1 FIGURA 632 5 4 3 2 1 1 2 v j 0 j1 j2 j3 j1 j3 j2 Gráfico do lugar das raízes para um sistema com realimentação negativa com Gs Ks 2s 3 s2 2s 2 Hs 1 279 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 279 16112010 113343 A Tabela 62 mostra vários gráficos do lugar das raízes de sistemas com realimentação positiva e realimentação negativa As funções de transferência de malha fechada são dadas por R C GH G R C GH G 1 1 para sistemas com realimentação negativa para sistemas com realimentação positiva onde GH é a função de transferência de malha aberta Na Tabela 62 nos gráficos do lugar das raízes dos sistemas com realimentação negativa as linhas e as curvas estão traçadas com linhas contínuas e nos gráficos dos sistemas com realimentação positiva estão com linhas e curvas tracejadas TABELA 62 j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v As linhas e curvas contínuas correspondem aos sistemas com realimenta ção negativa as linhas e as curvas tracejadas correspondem aos sistemas com realimentação positiva Gráficos do lugar das raízes de sistemas com realimentação positiva e com realimentação negativa 280 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 280 16112010 113344 65 Abordagem do lugar das raízes no projeto de sistemas de controle Considerações preliminares de projeto Na construção de um sistema de controle sabemos que uma modificação adequada na dinâmica da planta pode ser uma maneira simples de atender às especificações de desempenho Isso no entanto pode não ser possível em muitas situações práticas porque a planta pode ser fixa e não ser passível de modificações Nesses casos devemos ajustar outros parâmetros que não aqueles da planta fixa Neste livro consideramos que a planta é dada e inalterável Na prática o gráfico do lugar das raízes de um sistema pode indicar que o desempenho dese jado não pode ser atingido simplesmente com o ajuste de ganho ou de algum outro parâmetro ajustável De fato em alguns casos o sistema pode ser instável em todos os valores de ganho ou de outro parâmetro ajustável Tornase então necessário remodelar os lugares das raízes para atender às especificações de desempenho Os problemas de projeto portanto tornamse aqueles de melhorar o desempenho do sistema por meio da inclusão de um compensador A compensação de um sistema de controle fica reduzida ao projeto de um filtro cujas características tendem a compensar as características indesejáveis e inalteráveis da planta Projeto pelo método de lugar das raízes O projeto pelo método de lugar das raízes baseiase na modificação do lugar das raízes do sistema por meio do acréscimo de polos e zeros à função de transferência de malha aberta do sistema forçando o lugar das raízes a passar pelos polos de malha fechada desejados no plano s A característica do projeto pelo método do lugar das raízes é que ele se baseia no pressuposto de que o sistema de malha fechada tem um par dominante de polos de malha fechada Isso significa que o efeito dos zeros e polos adicionais não afeta muito as características de resposta No projeto de um sistema de controle se for necessário outro ajuste além do ganho ou de outro parâmetro devemos modificar o lugar das raízes original pela inserção de um compen sador apropriado Uma vez que os efeitos da adição de polos eou zeros no gráfico do lugar das raízes forem perfeitamente compreendidos podemos determinar facilmente a localização dos polos e zeros do compensador que vão remodelar o lugar das raízes conforme o desejado Em essência no projeto pelo método do lugar das raízes o lugar das raízes do sistema é modificado por meio de um compensador de modo que um par de polos de malha fechada dominantes possa ser colocado na posição desejada Compensação em série e compensação em paralelo ou por realimentação As figu ras 633a e b mostram os esquemas de compensação comumente utilizados pelos sistemas de controle com realimentação A Figura 633a mostra a configuração em que o compensador Gcs é colocado em série com a planta Esse esquema é chamado compensação em série A alternativa para a compensação em série é retornar os sinalis a partir de determinados elementos e inserir um compensador no ramo da realimentação interna resultante como mostra a Figura 633b Essa compensação é chamada compensação em paralelo ou compensação por realimentação Na compensação de um sistema de controle normalmente vemos que o problema se reduz ao projeto adequado de um compensador em série ou em paralelo A escolha entre o compensa dor em série e o compensador em paralelo depende da natureza dos sinais no sistema do nível de potência nos vários pontos dos componentes disponíveis da experiência do projetista de considerações econômicas entre outras Em geral a compensação em série pode ser mais simples que a compensação em paralelo entretanto a compensação em série requer frequentemente amplificadores adicionais para aumentar o ganho eou produzir isolamento Para evitar dissipação de potência o compensador em série é colocado no ponto de menor potência do ramo direto Devese notar que em geral o número de componentes requeridos na compensação em paralelo será menor que o número de componentes 281 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 281 16112010 113344 na compensação em série desde que esteja disponível um sinal adequado porque a transferên cia de energia ocorre do nível mais alto de potência para o nível mais baixo Isso significa que amplificadores adicionais podem ser desnecessários Nas seções 66 a 69 discutiremos primeiro as técnicas de compensação em série e depois apresentaremos uma técnica de compensação em paralelo utilizando o projeto de um sistema de controle com realimentação de velocidade Compensadores comumente usados Se for necessário um compensador para satisfazer às especificações de desempenho o projetista deve implementar um dispositivo físico que tenha a função de transferência prescrita para o compensador Vários dispositivos físicos têm sido utilizados para esse fim De fato muitas ideias excelentes e úteis para a construção física de compensadores podem ser encontradas na literatura Se for aplicada uma excitação senoidal à entrada de uma rede e a resposta em regime per manente que também é senoidal tiver um avanço de fase então a rede será chamada rede de avanço de fase O valor do ângulo de avanço de fase é uma função da frequência de entrada Se a resposta em regime permanente tiver um atraso de fase então a rede será denominada rede de atraso de fase Em uma rede de atraso e avanço de fase tanto o atraso como o avanço de fase ocorrem no sinal de saída mas em regiões de frequências diferentes o atraso de fase ocorre na região de baixa frequência e o avanço de fase ocorre na região de alta frequência Um compensador com características de uma estrutura de avanço de fase de atraso de fase ou de atraso e avanço de fase é chamado compensador por avanço de fase compensador por atraso de fase ou compensador por atraso e avanço de fase respectivamente Entre os vários tipos de compensadores são amplamente empregados os compensadores por avanço de fase compensadores por atraso de fase compensadores por atraso e avanço de fase e compensadores por realimentação de velocidade tacométricos Neste capítulo a maior parte das discussões estará limitada a esses tipos Os compensadores por avanço de fase atraso de fase e atraso e avanço de fase podem ser dispositivos eletrônicos como circuitos com amplificadores operacionais ou redes RC elétricas mecânicas pneumáticas hidráulicas ou uma combinação desses tipos e amplificadores Compensadores em série usados frequentemente em sistemas de controle são os compensa dores por avanço de fase por atraso de fase e por atraso e avanço de fase Os controladores PID que são frequentemente usados nos sistemas de controle industriais são discutidos no Capítulo 8 FIGURA 633 G1s G2s Hs Gcs Gcs Gs Hs a b a Compensação em série b compensação em paralelo ou por realimentação 282 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 282 16112010 113344 Note que no projeto de um sistema de controle pelo método do lugar das raízes ou pelo método de resposta em frequência o resultado final não é único porque a melhor solução ou a solução ótima pode não ser precisamente definida se forem dadas as especificações de domínio do tempo ou de domínio de frequência Efeitos da adição de polos A adição de um polo à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a direita tendendo a diminuir a estabilidade relativa do sistema e fazendo com que a acomodação da resposta seja mais lenta Lembrese de que a adição de um controle integral acrescenta um polo na origem tornando assim o sistema menos estável A Figura 634 mostra exemplos de lugares das raízes que ilustram os efeitos da adição de um polo a um sistema com um único polo e da adição de dois polos a um sistema com um único polo Efeitos da adição de zeros A adição de um zero à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a esquerda tendendo a tornar o sistema mais estável e mais rápida a acomodação da resposta Fisicamente a adição de um zero na função de transferência do ramo direto significa adicionar um controle derivativo ao sistema O efeito desse controle é introduzir certo grau de antecipação no sistema e aumentar a velocidade da resposta transitória A Figura 635a mostra o lugar das raízes de um sistema que é estável para pequenos valores de ganho mas é instável para valores elevados As figuras 635b c e d mostram os gráficos do lugar das raízes do sistema quando um zero é adicionado à função de transferência de malha aberta Note que quando um zero é inserido no sistema da Figura 635a ele se torna estável para todos os valores de ganho FIGURA 635 a j v b j v c j v d j v a Gráfico do lugar das raízes de um sistema com três polos b c e d gráficos do lugar das raízes que mostram os efeitos da adição de um zero ao sistema com três polos FIGURA 634 a j v b j v c j v a Gráfico do lugar das raízes de um sistema com um único polo b gráfico do lugar das raízes de um sistema com dois polos c gráfico do lugar das raízes de um sistema com três polos 283 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 283 16112010 113345 66 Compensação por avanço de fase Na Seção 65 apresentamos uma introdução à compensação de sistemas de controle e discu timos o material preliminar para o método do lugar das raízes no projeto de sistemas de controle e sua compensação Nesta seção trataremos do projeto de sistemas de controle utilizandose a técnica de compensação por avanço de fase No projeto de um sistema de controle colocamos um compensador em série com a função de transferência inalterável Gs para obter um comporta mento desejável Então o maior problema tornase a escolha criteriosa dos polos e zeros do compensador Gcs onde deverão estar os polos de malha fechada dominantes no lugar desejado do plano s de forma a atender às especificações de desempenho Compensadores por avanço de fase e compensadores por atraso de fase Existem várias maneiras de construir compensadores de avanço de fase e de atraso de fase como as redes eletrônicas utilizando amplificadores operacionais redes elétricas RC e sistemas mecânicos do tipo molaamortecedor A Figura 636 mostra um circuito eletrônico que utiliza amplificadores operacionais A função de transferência para esse circuito foi obtida no Capítulo 3 como segue veja a Equação 336 E s E s R R R R R C s R C s R C R C s R C s R C K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 1 1 1 i o c c 1 3 2 4 2 2 1 1 3 2 4 1 2 2 1 1 a a a h h 618 onde T R C T R C K R C R C c 1 1 2 2 3 2 4 1 a Observe que K R C R C R C R C R R R R R C R C c 3 2 4 1 1 1 2 2 1 3 2 4 1 1 2 2 a a Essa rede tem um ganho dc de Kcα R2R4R1R3 A partir da Equação 618 vemos que essa rede é uma rede de avanço de fase se R1C1 R2C2 ou a 1 Essa rede será de atraso de fase se R1C1 R2C2 As configurações dos polos e zeros dessa rede quando R1C1 R2C2 e quando R1C1 R2C2 são mostradas nas figuras 637a e b respectivamente FIGURA 636 C1 C2 R1 R2 R3 R4 Eis Eos Es Circuito eletrônico que é uma rede de avanço de fase se R1C1 R2C2 e uma rede de atraso de fase se R1C1 R2C2 284 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 284 16112010 113347 Técnicas de compensação por avanço de fase baseadas no método do lugar das raí zes O método do lugar das raízes para projetos é muito eficiente quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do tempo como o coeficiente de amortecimento e a frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada dominantes máximo sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação Considere o problema de um projeto no qual o sistema original seja instável para todos os valores de ganho ou que seja estável mas apresente características de resposta transitória inde sejáveis Nesses casos é necessário redesenhar o lugar das raízes na região próxima ao eixo j e à origem de modo que os polos de malha fechada dominantes tenham localização desejada no plano complexo Esse problema pode ser resolvido pela inserção de um compensador por avanço de fase apropriado em cascata com função de transferência no ramo direto Os procedimentos para o projeto de um compensador por avanço de fase para o sistema da Figura 638 pelo método do lugar das raízes podem ser enunciados como segue 1 Com base nas especificações de desempenho determine a localização desejada dos polos de malha fechada dominantes 2 Desenhe o gráfico do lugar das raízes do sistema não compensado sistema original e verifique se é possível apenas com o ajuste do ganho obter os polos de malha fechada desejados Caso não seja possível calcule a deficiência de ângulo z Esse ângulo deve ser completado pelo compensador por avanço de fase desde que o novo lugar das raízes passe pela localização desejada dos polos de malha fechada dominantes 3 Suponha que o compensador por avanço de fase Gcs seja G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c c 1 1 a a a a h h onde a e T são determinados com base na deficiência angular Kc é determinado a partir do requisito de ganho de malha aberta 4 Se não forem especificadas as constantes de erro estático determine a posição do polo e do zero do compensador por avanço de fase de modo que esse compensador complete o ângulo z necessário Se não for imposto nenhum outro requisito ao sistema tente fazer FIGURA 637 j v a 1 R2C2 1 R1C1 j v b 1 R2C2 1 R1C1 0 0 Configurações de polos e zeros a rede por avanço de fase b rede por atraso de fase FIGURA 638 Gcs Gs Sistema de controle 285 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 285 16112010 113348 que o valor de a seja o maior possível Um valor elevado de a geralmente resulta em um valor elevado de Kυ o que é desejável Observe que lim lim K sG s G s K sG s s c c s c 0 0 a y h h h 5 Determine o valor de Kc do compensador de avanço de fase a partir da condição de módulo Uma vez projetado o compensador verifique se todas as especificações de desempenho foram alcançadas Se o sistema compensado não satisfizer às especificações de desempenho então repita os procedimentos de projeto ajustando o polo e o zero do compensador até que essas especificações sejam atendidas Se for requerida uma constante de erro estático de valor elevado acrescente uma rede de atraso de fase em cascata ou substitua o compensador por avanço de fase por um compensador por atraso e avanço de fase Note que se os polos de malha fechada selecionados como dominantes não forem realmente dominantes será necessário modificar a posição desse par de polos dominantes Os outros polos de malha fechada que não os dominantes apenas modificam a resposta obtida a partir desses polos dominantes A importância das modificações depende da localização dos polos de malha fechada remanescentes Além disso os zeros de malha fechada afetam a resposta se estiverem situados próximos da origem Exemplo 66 Considere o sistema mostrado na Figura 639a A função de transferência do ramo direto é G s s s 1 10 h h O gráfico do lugar das raízes desse sistema é mostrado na Figura 639b A função de transfe rência de malha fechada é 05 05 R s C s s s s j s j 10 10 31225 31225 10 2 h h h h Os polos de malha fechada estão situados em s 05 j31225 O coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada é ζ 12 10 01581 A frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada é n 10 31623 rads Como o coeficiente FIGURA 639 Rs Cs a b 10 ss 1 Gs Polos de malha fechada j 1 3 2 1 j3 j2 j1 j3 j2 j1 v a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 286 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 286 16112010 113351 de amortecimento é muito pequeno o sistema terá um grande sobressinal na resposta em degrau o que não é desejável Desejase projetar um compensador por avanço de fase Gcs como mostra a Figura 640a de forma que os polos de malha fechada dominantes tenham um coeficiente de amortecimento de z 05 e a frequência natural não amortecida n 3 rads As localizações desejadas dos polos de malha fechada dominantes podem ser determinadas por s2 2ζns 2 n s2 3s 9 s 15 j25981s 15 j25981 Seguese que s 15 j25981 Veja a Figura 640b Em alguns casos depois de obtido o lugar das raízes do sistema original os polos de malha fechada dominantes podem ser movidos para a posição desejada simplesmente pelo ajuste do ganho Entretanto este não é o caso do sistema em questão Por essa razão vamos inserir um compensador por avanço de fase no ramo direto Um procedimento geral para determinar o compensador por avanço de fase é o seguinte primeiro determine a soma dos ângulos junto a um dos polos de malha fechada dominantes na posição desejada com os polos e zeros de malha aberta do sistema original e em seguida o ângulo z necessário a ser acrescentado para que a soma total dos ângulos seja igual a 1802k 1 O compensador por avanço de fase deve contribuir com esse ângulo z Se o ângulo z for muito grande então podem ser necessárias duas ou mais redes de avanço de fase e não uma única Considere que o compensador Gcs tem a seguinte função de transferência G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c c 1 1 a a a a h h O ângulo entre o polo na origem e o polo de malha fechada dominante em s 15 j25981 é 120º O ângulo do polo em s 1 ao polo de malha fechada desejado é 100894º Portanto a deficiência angular é Deficiência angular 180 120 100894 40894 A deficiência angular de 40894º deve ser preenchida por um compensador de avanço de fase FIGURA 640 a 10 ss 1 Gs Rs Cs Gcs b Polo de malha fechada desejado j 1 3 15 j25981 j2 j1 j3 j2 j1 v 60 n 3 a Sistema de compensação b posição de polos de malha fechada desejados 287 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 287 16112010 113352 Note que a solução para esse problema não é única Existe uma infinidade de soluções Apresentaremos duas possibilidades de solução a seguir Método 1 Há muitas maneiras de determinar a localização do zero e do polo do compen sador por avanço de fase A seguir apresentaremos um procedimento para obter o maior valor possível para a Note que um valor maior de α resulta em um valor de Kυ maior Na maioria dos casos quanto maior o valor de Kυ melhor é o desempenho do sistema Primeiro trace uma reta horizontal passando pelo ponto P a localização desejada para um dos polos de malha fechada dominantes Isso é mostrado na Figura 641 pela reta PA Trace também uma reta conectando o ponto P à origemTrace a bissetriz do ângulo entre as retas PA e PO como mostra a Figura 641 Desenhe duas retas PC e PD que formem ângulos z2 com a bissetriz PB As intersecções de PC e PD com o eixo real negativo fornecem as localizações necessárias para o polo e o zero da rede de avanço de fase O compensador assim projetado fará que o ponto P seja um ponto de compensação do sistema sobre o lugar das raízes O ganho de malha aberta será determinado pela condição de módulo No sistema considerado o ângulo de Gs no polo de malha fechada desejado é 220894 s s 1 10 s j 1 5 2 5981 c h Assim se for necessário forçar o lugar das raízes a passar pelo polo de malha fechada desejado o compensador por avanço de fase deve contribuir com z 40894 nesse ponto Seguindo o procedimento de projeto apresentado anteriormente podemos determinar o polo e o zero do compensador por avanço de fase Considerando a Figura 642 seccionando o ângulo APO em duas partes iguais e tomando 40894º2 de cada lado encontramse os lugares do zero e do polo como segue zero em s 19432 polo em s 46458 Assim Gcs pode ser dado como G s K s T s T K s s 1 1 4 6458 1 9432 c c c a h Para esse compensador o valor de a é α 1943246458 0418 O valor de Kc pode ser determinado a partir da condição de módulo 1 K s s 4 6458 s s 1 9432 1 10 c s j 1 5 2 5981 h ou FIGURA 641 j v O A P C B D 1 αT 1 T ϕ 2 ϕ 2 Determinação do polo e do zero de uma rede de avanço de fase 288 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 288 16112010 113354 12287 K s s s s 10 1 9432 4 6458 1 c s j 1 5 2 5981 h h h Logo o compensador por avanço de fase Gcs projetado é dado por 12287 G s s s 4 6458 1 9432 c h Portanto a função de transferência de malha aberta do sistema projetado tornase 12287 G s G s s s 4 6458 s s 1 9432 1 10 c c h h m h e a função de transferência de malha fechada tornase R s C s s s s s s s s s s 1 4 6458 12 287 1 9432 12 287 1 9432 5 646 16 933 23 876 12 287 23 876 3 2 h h h h h h A Figura 643 mostra o gráfico de lugar das raízes para o sistema projetado FIGURA 643 j 1 3 1 2 4 5 j2 j1 j3 j3 j2 j1 v Gráfico do lugar das raízes do sistema projetado FIGURA 642 j 1 0 2 19432 46458 A P j3 j2 j1 j2 j1 v 20447 20447 3 Determinação do polo e do zero de um compensador por avanço de fase 289 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 289 16112010 113356 Vale a pena verificar a constante de erro estático de velocidade Kυ para o sistema projetado lim lim K sG s G s s s s s s 1 2287 4 6458 1 9432 1 10 5 139 s c s 0 0 y h h h E Note que o terceiro polo de malha fechada do sistema projetado é encontrado pela divisão da equação característica pelos fatores conhecidos como segue s3 5646s2 16933s 23875 s 15 j25981s 15 j25981s 265 O método de compensação precedente nos possibilita situar os polos dominantes de malha fechada nos pontos desejados do plano complexo O terceiro polo em s 265 está bastante próximo do zero adicionado em s 19432 Assim o efeito desse polo sobre a resposta tran sitória é relativamente pequeno Desde que nenhuma restrição tenha sido imposta ao polo não dominante e que não haja nenhuma especificação relativa ao valor da constante de erro estático de velocidade concluímos que o atual projeto é satisfatório Método 2 Se determinarmos o zero do compensador de avanço de fase em s 1 de forma que ele cancele o polo da planta em s 1 o polo compensador deverá estar localizado em s 3 Veja a Figura 644 Então o compensador de avanço tornase G s K s s 3 1 c c h O valor de Kc pode ser determinado por meio da condição de módulo 1 K s s 3 s s 1 1 10 c s j 1 5 2 5981 h ou 09 K s s 10 3 c s j 1 5 2 5981 h Então 09 G s s s 3 1 c h FIGURA 644 j 1 3 1 2 4 j2 j1 j3 j2 j1 v Polo de malha fechada desejado Polo compensador Zero compensador 60 120 Polo compensador e zero compensador 290 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 290 16112010 113358 A função de transferência de malha aberta do sistema projetado é 09 G s G s s s s s s s 3 1 1 10 3 9 c h h h h A função de transferência de malha fechada do sistema projetado é R s C s s 3s 9 9 2 h h Note que no caso em questão o zero ou o compensador de avanço de fase cancelará um polo da planta resultando em um sistema de segunda ordem em lugar de um sistema de terceira ordem como projetamos por meio do Método 1 A constante do erro estático de velocidade para o caso em questão é obtida como segue lim lim K sG s G s s s s 3 9 3 s s 0 0 y h h h E Observe que o sistema projetado pelo Método 1 resulta em um valor maior para a constante de erro estático de velocidade Isso significa que o sistema projetado pelo Método 1 terá erros menores de estado permanente nas entradas em rampa do que o sistema projetado pelo Método 2 Para variações na combinação de zero e polo do compensador que acrescentem 40894º o valor de Kυ será diferente Embora alguma mudança possa ser feita no valor de Kυ por meio da alteração do lugar de polo e de zero do compensador de avanço de fase se for desejável um grande aumento no valor Kυ será preciso mudar o compensador de avanço de fase para um compensador de atraso e avanço de fase Comparação das respostas ao degrau dos sistemas compensados e não compensados A seguir examinaremos as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária dos três sistemas o sistema original não compensado o sistema projetado pelo Método 1 e o sistema projetado pelo Método 2 O programa do MATLAB utilizado para obter as curvas de resposta ao degrau unitário é o Programa 69 em MATLAB onde num1 e den1 indicam o numerador e o denominador do sistema projetado pelo Método 1 e num2 e den2 indicam o sistema projetado pelo Método 2 Num e den também são utilizados para o sistema sem compensação original A Figura 645 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário resultantes O programa em MATLAB para obter as curvas de resposta à rampa unitária dos Programa 69 em MATLAB Resposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 num2 9 den2 1 3 9 num 10 den 1 1 10 t 00055 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t c stepnumdent plottc1tc2tcx grid titleResposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 c2 e c text151148Sistema compensado Método 1 text09048Sistema compensado Método 2 text251067Sistema não compensado 291 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 291 16112010 113359 sistemas projetados é o Programa 610 em MATLAB no qual usamos o comando step para obter respostas de rampa unitária utilizando os numeradores e denominadores dos sistemas projetados com o Método 1 e com o Método 2 como segue num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 0 num2 9 den2 1 3 9 0 A Figura 646 mostra as curvas de resposta à rampa unitária resultantes Programa 610 em MATLAB Resposta à rampa unitária do sistema compensado num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 0 num2 9 den2 1 3 9 0 t 00055 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t plottc1tc2tt grid titleResposta à rampa unitária do sistema compensado xlabelt s ylabelEntrada em rampa unitária e Saídas c1 e c2 text25538Entrada text05528Sistema compensado Método 1 text235175Sistema compensado Método 2 Ao examinar essas curvas de resposta note que o sistema compensado projetado pelo Método 1 exibe um sobressinal um pouco maior na resposta ao degrau do que o sistema compensado projetado pelo Método 2 No entanto o primeiro tem melhores características de resposta para a entrada em rampa do que o segundo Portanto é difícil dizer qual o melhor A decisão quanto FIGURA 645 Saídas c1 c2 e c 04 08 18 0 1 05 15 0 2 25 t s 3 35 4 45 5 12 06 1 02 14 16 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Método 1 Sistema compensado Método 2 Sistema não compensado Curvas de resposta ao degrau unitário para os sistemas projetados e para o sistema original sem compensação 292 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 292 16112010 113359 à escolha deve ser feita conforme os requisitos de resposta como sobressinais menores para entradas do tipo degrau ou erros de estado permanente menores após uma entrada em rampa ou entrada variável esperados no sistema projetado Se houver o requisito tanto de sobressinais menores nas entradas em degrau quanto de erros de estado permanente menores após alterações na entrada é possível que seja necessário usar um compensador de atraso e avanço de fase Veja a Seção 68 quanto às técnicas para compensadores de atraso e avanço de fase 67 Compensação por atraso de fase Compensador eletrônico por atraso de fase usando amplificadores operacionais A configuração do compensador eletrônico por atraso de fase com a utilização de amplificadores ope racionais é a mesma que a do compensador por avanço de fase mostrado na Figura 636 Escolhendo R2C2 R1C1 no circuito mostrado na Figura 636 este se torna um compensador por atraso de fase Com base na Figura 636 a função de transferência do compensador por atraso de fase é dada por E s E s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 i o c c b b b t t h h onde 1 T R C T R C R C R C K R C R C c 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 4 1 2 b b t Note que utilizamos β no lugar de a nas expressões apresentadas No compensador por avanço de fase usamos a para indicar a relação R2C2R1C1 que era menor que 1 ou 0 a 1 Neste capítulo vamos supor sempre que 0 a 1 e β 1 Técnicas de compensação por atraso de fase baseadas no método do lugar das raízes Considere o problema de determinar uma rede de compensação apropriada para o caso em que o sistema apresente resposta transitória com características satisfatórias mas as características em FIGURA 646 Entrada em rampa unitária e saídas c1 e c2 Respostas à rampa unitária do sistema compensado Sistema compensado Método 1 Entrada Sistema compensado Método 2 1 05 15 0 2 25 3 35 4 45 5 t s 5 2 0 3 45 1 05 4 25 35 15 Curvas de resposta à rampa unitária de sistemas projetados 293 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 293 16112010 113401 regime permanente sejam insatisfatórias A compensação nesse caso consiste essencialmente no aumento do ganho de malha aberta sem alterar apreciavelmente as características da respos ta transitória Isso significa que o lugar das raízes nas proximidades dos polos dominantes de malha fechada não deve ser modificado significativamente mas o ganho de malha aberta deve ser aumentado tanto quanto necessário Isso pode ser obtido se for colocado um compensador por atraso de fase em cascata com a função de transferência do ramo direto dada Para evitar uma modificação apreciável no lugar das raízes a contribuição angular da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno digamos inferior a 5º Para assegurar que isso ocorra colocamos o polo e o zero da rede de atraso de fase relativamente próximos um do outro e próximos da origem do plano s Então os polos de malha fechada do sistema compensado serão apenas um pouco deslocados das posições originais Por essa razão as características da resposta transitória terão apenas uma ligeira alteração Considere um compensador por atraso de fase Gcs onde G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c b b b t t h 619 Se colocarmos o zero e o polo do compensador por atraso de fase muito próximos um do outro então s s1 onde s1 é um dos polos dominantes de malha fechada os módulos de s1 1T e s1 1βT serão quase iguais ou G s K s T s T K 1 1 c c c 1 1 1 Z b t t h Para fazer que a contribuição angular da porção de atraso de fase do compensador seja pequena será necessário que 5 0 s T s T 1 1 1 1 c c 1 1 b Isso quer dizer que se o ganho K c do compensador por atraso de fase for definido como igual a 1 as características da resposta transitória não serão alteradas Isso significa que o ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode ser aumentado de um fator β onde β 1 Se o polo e o zero forem colocados muito próximos da origem então o valor de β pode ser aumentado Podese utilizar um valor alto de β se for possível a implementação física de um compensador por atraso de fase Note que o valor de T deve ser elevado mas seu valor exato não é crítico Entretanto não deve ser muito alto para evitar dificuldades na implementação do compensador por atraso de fase em decorrência dos componentes físicos Um aumento do ganho significa um aumento das constantes de erro estático Se a função de transferência de malha aberta do sistema não compensado for Gs então a constante de erro estático de velocidade Kυ do sistema não compensado será lim K sG s s 0 y h Se for escolhido um compensador como o que é dado pela Equação 619 então para o sistema compensado com a função de transferência de malha aberta GcsGs a constante de erro estático de velocidade se tornará lim lim K sG s G s G s K K K s c s c c 0 0 b y y y t t h h h onde Kυ é a constante de erro estático de velocidade do sistema não compensado Assim se o compensador for o dado pela Equação 619 então a constante de erro estático de velocidade deverá ser multiplicada por K cβ onde K c é aproximadamente a unidade 294 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 294 16112010 113403 O principal efeito negativo da compensação por atraso de fase é que o zero do compensador que será gerado próximo da origem cria um polo de malha fechada também próximo da origem Esse polo de malha fechada e esse zero do compensador produzirão uma cauda alongada de pequena amplitude na resposta ao degrau aumentando assim o tempo de acomodação Procedimentos de projeto de compensação por atraso de fase pelo método do lugar das raízes O procedimento para o projeto de compensadores por atraso de fase para o sistema da Figura 647 pelo método do lugar das raízes pode ser enunciado como segue vamos supor que o sistema não compensado satisfaça às especificações da resposta transitória por meio do simples ajuste do ganho se não for esse o caso considere como referência a Seção 68 1 Desenhe o gráfico do lugar das raízes para o sistema não compensado no qual a função de transferência de malha aberta é Gs Com base nas especificações da resposta transitória localize os polos dominantes de malha fechada sobre o lugar das raízes 2 Suponha que a função de transferência do compensador por atraso de fase seja dada pela Equação 619 G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c b b b t t h Então a função de transferência de malha aberta do sistema compensado tornase GcsGs 3 Calcule a particular constante de erro estático especificada no problema 4 Determine o acréscimo na constante de erro estático necessário para satisfazer às espe cificações 5 Determine o polo e o zero do compensador por atraso de fase que produzam o aumento necessário no valor em particular da constante de erro estático sem modificar aprecia velmente o lugar das raízes Note que a relação entre o valor do ganho requerido pelas especificações e o ganho encontrado no sistema não compensado deve ser igual à relação entre a distância do zero à origem e a distância do polo à origem 6 Desenhe o novo gráfico do lugar das raízes para o sistema compensado Posicione os polos dominantes de malha fechada desejados sobre o lugar das raízes Se a contribuição angular da rede de atraso for muito pequena isto é de uns poucos graus então o lugar das raízes original e o novo serão quase idênticos Caso contrário haverá uma pequena discrepância entre eles Localize então sobre o novo lugar das raízes os polos dominantes de malha fechada desejados com base nas especificações da resposta transitória 7 Ajuste o ganho K c do compensador a partir da condição de módulo de modo que os polos dominantes de malha fechada se situem na posição desejada K c será aproximadamente 1 Exemplo 67 Considere o sistema mostrado na Figura 648a A função de transferência do ramo direto é G s s s 1 s 2 1 06 h h h FIGURA 647 Gcs Gs Sistema de controle 295 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 295 16112010 113404 A Figura 648b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s j s j s 1 2 1 06 1 06 0 3307 0 5864 0 3307 0 5864 2 3386 1 06 h h h h h h h Os polos dominantes de malha fechada são s 03307 j05864 O coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada é z 0491 A frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada dominantes é 0673 rads A constante de erro estático de velocidade é 053 s1 É desejável aumentar a constante de erro estático de velocidade Kυ para aproximadamente 5 s1 sem que haja modificação significativa na posição dos polos dominantes de malha fechada Para atender a essa especificação vamos inserir um compensador por atraso de fase em cascata com a função de transferência de ramo direto de acordo com a Equação 619 Para aumentar a constante de erro estático de velocidade por um fator em torno de 10 escolhemos β 10 e posicionamos o zero e o polo do compensador por atraso de fase em s 005 e s 0005 respectivamente A função de transferência do compensador por atraso de fase vem a ser G s K s s 0 005 0 05 c c t h A contribuição angular dessa rede de atraso de fase próxima de um polo de malha fechada domi nante é de aproximadamente 4 Pelo fato de essa contribuição angular não ser muito pequena existe uma ligeira alteração no novo lugar das raízes próximo aos polos dominantes de malha fechada desejados A função de transferência de malha aberta do sistema compensado tornase G s G s K s s s s s s s s s K s 0 005 0 05 1 2 1 06 0 005 1 2 0 05 c c t h h h h h h h h FIGURA 648 106 ss 1 s 2 Polo de malha fechada j1 j2 j1 0 1 2 3 1 j v a b j2 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 296 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 296 16112010 113406 onde K 106K c A Figura 649 mostra o gráfico de blocos do sistema compensado A Figura 650a exibe o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo dos polos dominantes de malha fechada e inclui também o gráfico do lugar das raízes do sistema original A Figura 650 b expõe o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo à origem O Programa 611 em MATLAB gera os gráficos do lugar das raízes mostrados pelas figuras 650 a e b Programa 611 em MATLAB Gráficos de lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado Digite os numeradores e denominadores dos sistemas compensado e não compensado numc 1 005 denc 1 3005 2015 001 0 num 106 den 1 3 2 0 Digite o comando rlocus Esboce o gráfico do lugar das raízes de ambos os sistemas rlocusnumcdenc hold Current plot held rlocusnumden v 3 1 2 2 axisv axissquare grid text2802Sistema compensado text2812Sistema não compensado text28058Polo de malha fechada original text01085Novo polo de text01062malha fechada titleGráficos do lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado hold Current plot released Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem rlocusnumcdenc v 06 06 06 06 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Se o coeficiente de amortecimento dos novos polos dominantes de malha fechada permanecer o mesmo então os polos serão obtidos a partir do novo gráfico do lugar das raízes como segue s1 031 j055 s2 031 j055 O ganho de malha aberta K é determinado a partir da condição de módulo como segue FIGURA 649 Kc s 005 s 0005 Kc 0966 106 ss 1 s 2 Sistema compensado 297 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 297 16112010 113406 K s s s s s 0 05 0 005 1 2 1 0235 s j 0 31 0 55 h h h Então o ganho do compensador por atraso de fase K c é determinado como 09656 K K 1 06 1 06 1 0235 c t Assim a função de transferência do compensador por atraso de fase projetado é 09656 9656 G s s s s s 0 005 0 05 200 1 20 1 c h 620 Portanto o sistema compensado tem a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s s s s s s s s s 0 005 1 2 1 0235 0 05 200 1 1 0 5 1 5 12 20 1 1 h h h h h h h h h A constante de erro estático de velocidade Kυ é 512 lim K sG s s s 0 1 1 y h No sistema compensado a constante de erro estático de velocidade aumentou para 512 s1 ou 512053 966 vezes o valor original O erro estacionário a uma excitação em rampa decresceu para cerca de 10 do valor do erro do sistema original Assim o objetivo principal do projeto de aumentar a constante de erro estático para aproximadamente 5 s1 foi essencialmente alcançado Note que como o polo e o zero do compensador por atraso de fase estão muito próximos entre si e posicionados muito perto da origem o efeito sobre a forma do lugar das raízes original FIGURA 650 Eixo real 25 3 0 1 05 05 15 2 1 a Eixo imaginário 2 2 15 1 15 1 0 05 05 Gráficos do lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Polo de malha fechada original Sistema compensado Novo polo de malha fechada 04 06 02 02 04 0 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Eixo real Eixo imaginário 01 01 05 03 04 03 0 02 02 04 05 b a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado e do sistema não compensado b gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem 298 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 298 16112010 113409 é pequeno Exceto pela presença de uma pequena região do lugar das raízes próxima à origem os lugares das raízes dos sistemas não compensado e compensado serão muito semelhantes Entretanto o valor da constante de erro estático de velocidade do sistema compensado é 966 vezes maior que o do sistema não compensado Os outros dois polos de malha fechada do sistema compensado são encontrados em s3 2326 s4 00549 A inserção do compensador por atraso de fase aumenta a ordem do sistema de 3 para 4 acres centando um polo adicional de malha fechada próximo do zero do compensador de atraso de fase O polo de malha fechada adicionado em s 00549 fica próximo de zero em s 005 Esse par de zero e polo produz uma cauda longa de pequena amplitude na resposta transitória como será visto adiante na resposta ao degrau unitário Como o polo em s 2326 está muito distante do eixo j em comparação com os polos dominantes de malha fechada o efeito desse polo sobre a resposta transitória também é pequeno Por essa razão podese considerar os polos em s 031 j055 como os polos dominantes de malha fechada A frequência natural não amortecida dos polos dominantes de malha fechada do sistema compensado é 0631 rads Esse valor é aproximadamente 6 menor que o valor original 0673 rads Isso implica que a resposta transitória do sistema compensado fica mais lenta que a resposta do sistema original A resposta levará mais tempo para se acomodar O máximo sobressinal na resposta ao degrau será maior no sistema compensado Se esses efeitos adversos puderem ser tolerados a compensação por atraso de fase que foi discutida aqui se apresentará como uma solução satisfatória para esse problema de projeto Em seguida vamos comparar as respostas a uma rampa unitária do sistema compensado com a do sistema não compensado e verificar que o desempenho em regime permanente é muito melhor no sistema compensado do que no não compensado Para obter a resposta a uma rampa unitária com o MATLAB utilizamos o comando step para o sistema CssRs Como CssRs para o sistema compensado é sR s C s s s s s s s s s s s s s s 0 005 1 2 1 0235 0 05 1 0235 0 05 3 005 2 015 1 0335 0 0512 1 0235 0 0512 5 4 3 2 h h h h h h h 6 temos numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 0 Além disso CssRs para o sistema não compensado é sR s C s s s s s s s s s 1 2 1 06 1 06 3 2 1 06 1 06 4 3 2 h h h h 6 Então num 106 den 1 3 2 106 0 O Programa 612 em MATLAB produz o gráfico das curvas de resposta a uma rampa unitária A Figura 651 mostra o resultado Fica claro que o sistema compensado apresenta um erro esta cionário muito menor um décimo do erro estacionário do original ao seguir uma entrada em rampa unitária 299 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 299 16112010 113410 Programa 612 em MATLAB Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado A resposta à rampa unitária será obtida como a resposta ao degrau unitário do sistema CssRs Digite os numeradores e denominadores de C1ssRs e C2ssRs onde C1s e C2s são transformados em Laplace dos sinais de saída dos sistemas compensado e não compensado respectivamente numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 0 num 106 den 1 3 2 106 0 Especifique o intervalo de tempo tal como t 00150 e digite o comando step e o comando plot t 00150 c1 stepnumcdenct c2 stepnumdent plottc1tc2tt grid text2227Sistema compensado text26213Sistema não compensado titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 O Programa 613 em MATLAB fornece as curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado A Figura 652 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário desses sistemas Note que o sistema compensado por atraso de fase apresenta um máximo sobres sinal maior e uma resposta mais lenta que o sistema original não compensado Observe que um par constituído por um polo em s 00549 e um zero em s 005 gera uma cauda de pequena amplitude e longa duração na resposta transitória Se o valor mais alto do máximo sobressinal e a resposta mais lenta não forem desejados tornase necessário utilizar um compensador por atraso e avanço de fase como apresentado na Seção 68 FIGURA 651 t s 10 0 5 35 50 30 40 45 20 15 25 Saídas c1 e c2 50 0 15 5 35 25 30 20 45 40 10 Resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado Resposta dos sistemas compensado e não compensado a uma entrada em rampa O compensador é dado pela Equação 620 300 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 300 16112010 113410 Programa 613 em MATLAB Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Digite os numeradores o denominadores dos sistemas compensado e não compensado numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 num 106 den 1 3 2 106 Especifique o intervalo de tempo tal como t 00140 e digite o comando step e o comando plot t 00140 c1 stepnumcdenct c2 stepnumdent plottc1tc2 grid text13112Sistema compensado text136088Sistema não compensado titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 Comentários Entretanto devese observar que em certas circunstâncias tanto o compensador por avanço de fase como o compensador por atraso de fase podem satisfazer às especificações dadas tanto as especificações da resposta transitória como as de regime permanente Assim ambas as formas de compensação podem ser utilizadas 68 Compensação por atraso e avanço de fase A compensação por avanço de fase basicamente aumenta tanto a velocidade de resposta como a estabilidade do sistema A compensação por atraso de fase melhora a precisão do sistema em regime permanente mas reduz a velocidade de resposta FIGURA 652 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Saídas c1 e c2 Sistema não compensado Sistema compensado t s 5 0 30 40 25 35 15 10 20 14 04 0 12 08 1 06 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado O compensador é dado pela Equação 620 301 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 301 16112010 113411 Se for desejado melhorar não só a resposta transitória mas também a resposta em regime permanente podese utilizar simultaneamente o compensador por avanço de fase e o compen sador por atraso de fase No entanto em vez de inserir os compensadores por avanço de fase e por atraso de fase como elementos separados é econômico utilizar um único compensador por atraso e avanço de fase O compensador por atraso e avanço de fase combina as vantagens da compensação por atraso de fase e por avanço de fase Como o compensador por atraso e avanço de fase possui dois polos e dois zeros essa compensação aumenta a ordem do sistema em duas unidades a menos que ocorra o cancelamento de polos e zeros no sistema compensado Compensador eletrônico por atraso e avanço de fase com a utilização de amplificado res operacionais A Figura 653 mostra um compensador eletrônico por atraso e avanço de fase com a utilização de amplificadores operacionais A função de transferência desse compensador pode ser obtida como segue a impedância complexa Z1 é dada por Z R C s R 1 1 1 1 1 1 1 3 ou Z R R C s R C s R 1 1 1 1 3 1 1 1 3 h h Da mesma maneira a impedância complexa Z2 é dada por Z R R C s R C s R 1 1 2 2 4 2 2 2 4 h h Temse então E s E s Z Z R R R C s R R C s R R C s R C 1 1 1 1 i 1 2 3 4 1 1 1 3 1 2 4 2 2 2 h h h h A função de transferência do inversor de sinal é E s E s R R o 5 6 h h Assim a função de transferência do compensador mostrado na Figura 653 é E s E s E s E s E s E s R R R R R C s R R C s R R C s R C s 1 1 1 1 i o o i 3 5 4 6 1 1 1 3 1 2 4 2 2 2 h h h h h h h h G G 621 FIGURA 653 C1 C2 R1 R5 Eis Eos Es Rede de avanço e atraso de fase Inversor de sinal Z1 Z2 R2 R3 R4 R6 Compensador por avanço e atraso de fase 302 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 302 16112010 113414 Vamos definir T R R C T R C T R C T R C C 1 1 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 c b h h A Equação 621 tornase E s E s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 i o c c 1 1 2 2 1 2 1 2 c b c b c b f e e c e e h h p o o m o o 622 onde 1 1 R R R R R R K R R R R R R R R R R c 1 1 3 2 2 4 1 3 5 2 4 6 2 4 1 3 2 2 c b Observe que g é frequentemente escolhido como igual a β Técnicas de compensação por atraso e avanço de fase baseadas no método do lugar das raízes Considere o sistema mostrado na Figura 654 Suponha que tenha sido utilizado o compensador por atraso e avanço de fase G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 2 1 2 1 1 2 2 c b c b c b J L K K KK J L K K KK e N P O O OO N P O O OO h o h h h 623 onde β 1 e g 1 Considere Kc pertencente à porção de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase No projeto de compensadores por atraso e avanço de fase consideramse dois casos g β e g β Caso 1 g β Nesse caso o procedimento de projeto é uma combinação de um projeto de compensador por avanço de fase e de um compensador por atraso de fase O procedimento do projeto do compensador por atraso e avanço de fase é o seguinte 1 Com base nas especificações de desempenho dadas determine a localização desejada dos polos dominantes de malha fechada 2 Utilizando a função de transferência de malha aberta Gs do sistema não compensado determine a deficiência angular z para que os polos dominantes de malha fechada estejam na posição desejada A parte de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com esse ângulo z 3 Supondo que adiante será escolhido T2 suficientemente alto para que o módulo da parte de atraso de fase s T s T 1 1 1 2 1 2 b seja aproximadamente igual à unidade onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada escolha os valores de T1 e g a partir do requisito FIGURA 654 Gcs Gs Sistema de controle 303 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 303 16112010 113416 s T s T 1 1 1 1 1 c z A escolha de T1 e g não é única Uma infinidade de pares de T1 e g é possível Então determine o valor de Kc da condição de módulo 1 K s T s T G s 1 c 1 1 1 1 1 c h 4 Se a constante de erro estático de velocidade Kυ for especificada determine o valor de β que satisfaça esse requisito para Kυ A constante de erro estático de velocidade Kυ é dada por lim lim lim K sG s G s sK s T s T s T s T G s sK G s 1 1 1 s c s c s c 0 0 1 1 2 2 0 c b c b y J L K K K J L K K K N P O O O N P O O O h h h h onde Kc e g já foram determinados no passo 3 Assim dado o valor de Kυ podese determinar o valor de β com base nessa última equação Então utilizando o valor de β assim determinado escolha o valor de T2 tal que s T s T s T s T 1 1 1 5 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b O Exemplo 68 ilustra o procedimento de projeto apresentado Caso 2 g β Se for requerido que g β na Equação 623 então o procedimento de projeto para o compensador por atraso e avanço de fase pode ser modificado como segue 1 Com base nas especificações de desempenho dadas determine a posição desejada dos polos dominantes de malha fechada 2 O compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 623 é modificado para G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b e e e e e h o h h h o o o o 624 onde β 1 A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é Gcs Gs Se a constante de erro estático de velocidade Kυ for especificada determine o valor do coeficiente Kc a partir da seguinte equação lim lim K sG s G s sK G s s c s c 0 0 y h h h 304 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 304 16112010 113419 3 Para obter a posição desejada dos polos dominantes de malha fechada determine a con tribuição angular z que deve ser fornecida pela porção de avanço de fase do compensador de atraso e avanço de fase 4 Para o compensador por atraso e avanço de fase será escolhido mais à frente um valor de T2 suficientemente grande para que o módulo dado por s T s T 1 1 1 2 1 2 b seja aproximadamente igual à unidade onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada Determine os valores de T1 e β com base nas condições de módulo e de ângulo K s T s T G s s T s T 1 1 1 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b z J L K K K N P O O O h 5 Utilizando o valor de β determinado escolha o valor de T2 para que s T s T s T s T 1 1 1 5 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b O valor de βT2 a maior constante de tempo do compensador por atraso e avanço de fase não deve ser muito grande para que seja fisicamente realizável Um exemplo de projeto de compensador por atraso e avanço de fase com g β é dado no Exemplo 69 Exemplo 68 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 655 A função de transferência de ramo direto é G s s s 0 5 4 h h Esse sistema possui polos de malha fechada em s 02500 j19843 O coeficiente de amortecimento é 0125 a frequência natural não amortecida é 2 rads e a cons tante de erro estático de velocidade é 8 s1 É desejável tornar o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada igual a 05 e aumentar a frequência natural não amortecida para 5 rads e a constante de erro FIGURA 655 4 ss 05 Sistema de controle 305 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 305 16112010 113421 estático de velocidade para 80 s1 Projete um compensador apropriado para atender a todas as especificações de desempenho Vamos supor que seja utilizado um compensador por atraso e avanço de fase com a função de transferência G s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 c c 1 1 2 2 2 2 c b c b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h h onde g é diferente de β Então a função de transferência em malha aberta do sistema compensado será G s G s K s T s T s T s T G s 1 1 1 c c 1 1 2 2 c b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h h h A partir das especificações de desempenho os polos dominantes de malha fechada devem situarse em s 250 j433 Como 235 s s 0 5 4 s j 2 50 4 33 c h a parte relativa ao avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com 55 de modo que o lugar das raízes passe pela localização desejada dos polos dominantes de malha fechada No projeto da parte de avanço de fase do compensador primeiro são determinadas as posições do zero e do polo que fornecerão a contribuição de 55 Existem muitas possibilidades de escolha mas aqui foi adotado o zero em s 05 de maneira que cancele o polo da planta em s 05 Uma vez escolhido o zero o polo pode ser localizado de modo que a contribuição angular seja 55 Por um cálculo simples ou por meio de análise gráfica verificase que o polo deve situarse em s 5021 Assim a parte relativa ao avanço de fase do compensador será K s T s T K s s 1 5 02 0 5 c c 1 1 c Assim 2 1004 T 0 5 5 02 1 c Em seguida determine o valor de Kc com base na condição de módulo 1 K s s 5 02 s s 0 5 0 5 4 c s j 2 5 4 33 h Então 626 K s s 4 5 02 c s j 2 5 4 33 h A parte de atraso de fase do compensador pode ser projetada como segue primeiro determinase o valor de β para satisfazer o requisito da constante de erro estático de velocidade lim lim lim K sG s G s sK G s s 6 26 10 04 s s 0 5 4 4 988 80 s c s c s 0 0 0 c b b b y h h h h h 306 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 306 16112010 113425 Então β é determinado como β 1604 Por fim escolhese um valor de T2 tal que satisfaça as duas condições a seguir 1 5 0 s T s T s T s T 16 04 1 1 16 04 1 1 s j s j 2 2 2 50 4 33 2 2 2 50 4 33 c c 1 1 Z Podemos escolher vários valores para T2 e verificar se as condições de módulo e angular são satisfeitas Com cálculos simples chegamos a T2 5 1 módulo 098 210 ângulo 0 Como T2 5 satisfaz as duas condições podemos escolher T2 5 Agora a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase projetado é dada por G s s s s s s s s s s s s s 6 26 2 10 04 2 1 16 04 5 1 5 1 6 26 5 02 0 5 0 01247 0 2 0 1992 1 80 19 1 10 2 1 5 1 c J L K K KK J L K K KK e e N P O O OO N P O O OO h h o o h h h h O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta G s G s s s s s 5 02 0 01247 25 04 0 2 c h h h h h Em virtude do cancelamento dos termos s 05 o sistema compensado é de terceira ordem Matematicamente esse cancelamento é exato mas na prática ele não é exato porque a dedução do modelo matemático do sistema envolve em geral algumas aproximações e como resultado as constantes de tempo não são precisas O gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 656a Uma visão aumentada do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 656b Pelo fato de a contribuição angular da parte de atraso de fase do compensador de atraso e avanço de fase ser muito pequena há apenas um pequeno deslocamento da posição desejada s 25 j433 A equação característica para o sistema compensado é ss 502s 001247 2504s 02 0 ou s3 50325s2 251026s 5008 s 24123 j42756s 24123 j42756s 02078 0 Então os novos polos de malha fechada ficam localizados em s 24123 j42756 O novo coeficiente de amortecimento é z 0491 Portanto o sistema compensado atende a todas as especificações de desempenho requeridas O terceiro polo de malha fechada do sistema com pensado está localizado em s 02078 Como esse polo está muito próximo do zero situado em s 02 o efeito desse polo na resposta é pequeno Note que em geral se um polo e um zero estiverem situados próximos um do outro sobre o semieixo real negativo e próximo à origem então essa combinação de polo e zero produzirá uma espécie de cauda alongada de pequena amplitude na resposta transitória 307 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 307 16112010 113426 As curvas de resposta ao degrau unitário e as curvas de resposta à rampa unitária antes e depois da compensação são mostradas na Figura 657 Observe que há uma longa cauda de baixa amplitude na resposta ao degrau unitário do sistema compensado Exemplo 69 Considere novamente o sistema de controle do Exemplo 68 Suponha que seja utilizado um compensador por atraso e avanço de fase na forma dada pela Equação 624 ou FIGURA 656 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo imaginário 10 5 5 10 0 Eixo real a 2 2 8 6 0 4 10 10 4 6 8 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Eixo real Eixo imaginário 05 0 01 03 04 02 005 005 02 015 025 015 0 01 01 025 02 b a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo da origem FIGURA 657 t s 1 0 6 8 5 7 3 2 4 a Saídas 04 08 18 0 12 06 1 02 14 16 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado Erro estacionário do sistema compensado 00125 Erro estacionário do sistema não compensado 0125 Sistema compensado Sistema não compensado t s 2 1 7 9 6 8 10 0 4 3 5 b Saídas 10 4 0 6 9 2 1 8 5 7 3 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Curvas da resposta transitória dos sistemas compensado e não compensado a Curvas de resposta ao degrau unitário b curvas de resposta à rampa unitária 308 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 308 16112010 113427 G s K s T s T s T s T 1 1 1 1 c c 1 2 1 2 2 b b b c c e e h m m o o h Supondo que as especificações sejam as mesmas dadas no Exemplo 68 projete um compensador Gcs As localizações desejadas para os polos dominantes de malha fechada são s 250 j433 A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s K s T s T s T s T s s 1 1 1 0 5 4 c c 1 2 1 2 b b c c e e h h m m o o h Como o requisito da constante de erro estático de velocidade Kυ é 80 s1 temos 8 80 lim lim K sG s G s K K 0 5 4 s c s c c 0 0 y h h Portanto Kc 10 A constante de tempo T1 e o valor de β são determinados a partir de s T s T s s s T s T s T s T 1 0 5 40 1 4 77 8 1 1 55 s j s j 1 1 2 5 4 33 1 1 1 1 2 5 4 33 c b b b h A deficiência angular de 55 foi obtida no Exemplo 68 Com base na Figura 658 podemos localizar facilmente os pontos A e B tais que 55 APB PB PA 8 4 77 c Utilize abordagem gráfica ou trigonométrica O resultado é AO 238 BO 834 ou T1 2 38 1 0420 β 834T1 3503 A parte relativa ao avanço de fase da rede de atraso e avanço de fase tornase então 10 s s 8 34 2 38 c m Para a porção relativa ao atraso de fase podemos escolher T2 de forma que satisfaça às condições 1 5 0 s T s T s T s T 3 503 1 1 3 503 1 1 s j s j 2 2 2 50 4 33 2 2 2 50 4 33 c c 1 1 Z 309 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 309 16112010 113430 Com cálculos simples constatamos que T2 5 então 1 módulo 098 15 ângulo 0 e se escolhermos T2 10 temos 1 módulo 099 1 ângulo 0 Como T2 é uma das constantes de tempo do compensador por atraso e avanço de fase não deve ser muito grande Se T2 10 for aceitável do ponto de vista prático podemos escolher T2 10 Então 00285 T 1 3 503 10 1 2 b Assim o compensador por atraso e avanço de fase tornase G s s s s s 10 8 34 2 38 0 0285 0 1 c c c h h m m O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta G s G s s s s s s s 8 34 0 0285 0 5 40 2 38 0 1 c h h h h h h h Nenhum cancelamento ocorre nesse caso e o sistema compensado é de quarta ordem Pelo fato de a contribuição angular da parte relativa ao atraso de fase da rede de atraso e avanço ser muito pequena os polos dominantes de malha fechada ficam muito próximos da localização desejada De fato a localização dos polos dominantes de malha fechada pode ser encontrada a partir da seguinte equação característica a equação característica do sistema compensado é s 834s 00285ss 05 40s 238s 01 0 que pode ser simplificada para s4 88685s3 444219s2 993188s 952 s 24539 j43099s 24539 j43099s 01003s 38604 0 Os polos dominantes de malha fechada estão localizados em s 24539 j43099 Os outros polos de malha fechada estão localizados em s 01003 s 38604 FIGURA 658 0 j v A B P 55 j5 j4 j3 j2 j1 j4 j3 j2 j1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 Determinação da localização desejada do polo e do zero 310 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 310 16112010 113432 Como o polo de malha fechada em s 01003 está muito próximo de um zero em s 01 eles quase se cancelam Assim o efeito desse polo de malha fechada é muito pequeno O polo de malha fechada restante s 38604 não cancela completamente o zero em s 24 O efeito desse zero é causar maior sobressinal na resposta ao degrau do que no caso de um sistema seme lhante mas sem esse zero A Figura 659a mostra as curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado As curvas de resposta à rampa unitária de ambos os sistemas estão representadas na Figura 659b O máximo sobressinal na resposta ao degrau do sistema compensado é aproximadamente 38 Este é bem mais elevado que o máximo sobressinal de 21 do projeto apresentado no Exemplo 68 É possível reduzir o máximo sobressinal de um pequeno valor a partir de 38 mas não para 20 se for requerido g β como neste exemplo Note que por não se exigir g β temos um parâmetro adicional a ser ajustado o que permite reduzir o máximo sobressinal FIGURA 659 t s 1 05 0 35 45 3 4 5 2 15 25 a Saídas 04 08 18 0 12 06 1 02 14 16 Resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 05 0 3 4 25 35 15 1 2 b Saídas 15 25 4 05 0 35 2 3 1 Resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado a Curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b curvas de resposta à rampa unitária para ambos os sistemas 311 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 311 16112010 113433 69 Compensação em paralelo Foram apresentadas até aqui técnicas de compensação em série com a utilização de com pensadores por avanço de fase por atraso de fase ou por atraso e avanço de fase Nesta seção discutiremos as técnicas de compensação em paralelo Como no projeto de compensação em paralelo o controlador ou compensador fica na malha interna o projeto pode parecer mais complicado que no caso da compensação em série Entretanto isso não acontecerá se a equação característica for reescrita de modo que fique com a mesma forma da equação característica do sistema compensado em série Nesta seção será apresentado um problema de projeto simples que envolve compensação em paralelo Princípio básico de projeto de um sistema compensado em paralelo Com base na Figura 660a a função de transferência de malha fechada do sistema com compensação em série é R C G GH G G 1 c c A equação característica é 1 GcGH 0 Dados G e H o problema de projeto vem a ser a determinação do compensador Gc que satisfaça às especificações dadas A função de transferência de malha fechada do sistema com compensação em paralelo Figura 660b é R C G G G G H G G 1 c 2 1 2 1 2 A equação característica é 1 G1G2H G2Gc 0 Dividindo essa equação característica pela soma dos termos que não contêm Gc obtemos 1 0 G G H G G 1 c 1 2 2 625 FIGURA 660 G1s G2s Hs Gcs Gcs Gs Hs a b C R R C a Compensação em série b compensação em paralelo ou por realimentação 312 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 312 16112010 113434 Se definirmos G G G H G 1 f 1 2 2 a Equação 625 tornase 1 GcGf 0 Como Gf é uma função de transferência fixa o projeto de Gc será o mesmo que no caso da com pensação em série Então o mesmo método se aplica ao sistema com compensação em paralelo Sistemas com realimentação de velocidade Um sistema com realimentação de velocidade sistema com realimentação tacométrica é um exemplo de sistema com compensação em paralelo O controlador ou compensador nesse sistema é um elemento de ganho O ganho do componente de realimentação na malha interna deve ser adequadamente determinado para que o sistema como um todo satisfaça às especificações de projeto dadas A característica desse sistema com reali mentação de velocidade é que o parâmetro variável não aparece como fator de multiplicação na função de transferência de malha aberta de maneira que a aplicação direta da técnica de projeto pelo lugar das raízes não é possível Entretanto se a equação característica for reescrita de modo que o parâmetro variável apareça como um fator de multiplicação então o projeto pelo método do lugar das raízes se tornará possível Um exemplo de projeto de sistema de controle que utiliza a técnica de compensação em paralelo é apresentado no Exemplo 610 Exemplo 610 Considere o sistema mostrado na Figura 661 Desenhe o gráfico do lugar das raízes Em segui da determine o valor de k para que o coeficiente de amortecimento do polo dominante de malha fechada seja 04 Aqui o sistema envolve realimentação de velocidade A função de transferência de malha aberta é s s s ks 1 4 20 20 Função de transferência de malha aberta h h Note que a variável ajustável k não aparece como um fator de multiplicação A equação carac terística do sistema é s3 5s2 4s 20ks 20 0 626 Definindo 20k K a Equação 626 tornase s3 5s2 4s Ks 20 0 627 Dividindo ambos os lados da Equação 627 pela soma dos termos que não contêm K obtémse 1 0 s s s Ks 5 4 20 3 2 ou FIGURA 661 Cs Rs 20 s 1 s 4 1 s k Sistema de controle 313 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 313 16112010 113436 1 0 s j s j s Ks 2 2 5 h h h 628 A Equação 628 tem a forma da Equação 611 Vamos esboçar agora o lugar das raízes do sistema dado pela Equação 628 Note que os polos de malha aberta estão localizados em s j2 s j2 e s 5 e o zero de malha aberta está localizado em s 0 O lugar das raízes existe sobre o eixo real entre 0 e 5 Como lim lim s j s j s Ks s K 2 2 5 s s 2 3 3 h h h temos  í 90 ngulos da ass ntota k 2 180 2 1 c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real pode ser encontrada a partir de lim lim lim s s s Ks s s K s K 5 4 20 5 2 5 s s s 3 2 2 2 g 3 3 3 h como s 25 O ângulo de partida ângulo θ do polo em s j2 é obtido como segue θ 180 90 218 90 1582 Portanto o ângulo de partida do polo s j2 é 1582 A Figura 662 mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que dois ramos do lugar das raízes têm origem nos polos em s j2 e terminam nos zeros no infinito O ramo restante tem origem no polo em s 5 e termina no zero em s 0 FIGURA 662 j j6 j5 j4 j3 j2 j1 j6 j5 j4 j3 j2 j1 v 1 1 0 2 3 4 5 6 7 s 21589 j49652 Q P s 10490 j24065 s 29021 6642 Gráfico do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 661 314 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 314 16112010 113438 Note que os polos de malha fechada com z 04 devem se situar sobre as retas que passam pela origem e formam os ângulos de 6642º com o semieixo real negativo Nesse caso existem duas intersecções do ramo do lugar das raízes no semiplano superior do plano s e a reta cujo ângulo é 6642º Portanto dois valores de K vão fornecer o coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada z 04 No ponto P o valor de K é 89801 K s s j s j s 2 2 5 s j 1 0490 2 4065 h h h Consequentemente 04490 k K P 20 no ponto No ponto Q o valor de K é 28260 K s s j s j s 2 2 5 s j 2 1589 4 9652 h h h Consequentemente 14130 k K Q 20 no ponto Assim temos duas soluções para esse problema Para k 04490 os três polos de malha fechada estão localizados em s 10490 j24065 s 10490 j24065 s 29021 Para k 14130 os três polos de malha fechada estão localizados em s 21589 j49652 s 21589 j49652 s 06823 É importante evidenciar que o zero na origem é o zero de malha aberta mas não o zero de malha fechada Isso fica claro porque o sistema original mostrado na Figura 661 não tem um zero de malha fechada pois R s G s s s s ks 1 4 20 1 20 h h h h h O zero de malha aberta em s 0 foi introduzido no processo de modificação da equação carac terística de modo que a variável ajustável K 20k se apresentasse como fator de multiplicação Foram obtidos dois valores diferentes de k que satisfazem o requisito de ser o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada igual a 04 A função de transferência de malha fechada com k 04490 é dada por R s C s s s s s j s j s 5 12 98 20 20 1 0490 2 4065 1 0490 2 4065 2 9021 20 3 2 h h h h h A função de transferência de malha fechada com k 14130 é dada por R s C s s s s s j s j s 5 32 26 20 20 2 1589 4 9652 2 1589 4 9652 0 6823 20 3 2 h h h h h Note que o sistema no qual k 04490 tem um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada enquanto no sistema com k 14130 o polo dominante de malha fechada em s 06823 é real e os polos complexos conjugados de malha fechada não são dominantes Nesse caso a resposta característica é determinada essencialmente pelo polo real de malha fechada 315 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 315 16112010 113441 Vamos comparar as respostas ao degrau unitário de ambos os sistemas O Programa 614 em MATLAB pode ser utilizado para traçar as curvas de resposta ao degrau unitário no mesmo diagrama A Figura 663 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário resultantes c1t para k 04490 e c2t para k 14130 Programa 614 em MATLAB Resposta ao degrau unitário Digites os numeradores e denominadores dos sistemas com k 04490 e k 14130 respectivamente num1 20 den1 1 5 1298 20 num2 20 den2 1 5 3226 20 t 00110 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t plottc1tc2 text25112k 04490 text37085k 14130 grid titleRespostas ao degrau unitário dos dois sistemas xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 Na Figura 663 observamos que a resposta do sistema com k 04490 é oscilatória O efeito do polo de malha fechada em s 29021 sobre a resposta em degrau unitário é pequeno Para o sistema com k 14130 as oscilações devidas aos polos de malha fechada em s 21589 j49652 são atenuadas mais rapidamente do que a resposta puramente exponencial devida somente ao polo de malha fechada em s 06823 O sistema com k 04490 que apresenta uma resposta mais rápida com um máximo sobres sinal relativamente pequeno tem uma característica de resposta bem melhor do que o sistema com k 14130 que apresenta uma resposta superamortecida lenta Portanto podese escolher k 04490 para o sistema em questão FIGURA 663 t s 0 1 10 5 2 3 4 6 7 8 9 Saídas c1 e c2 12 04 0 06 02 1 08 Resposta ao degrau unitário dos dois sistemas k 14130 k 04490 Curvas de resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 661 para um coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada igual a 04 Dois valores possíveis de k resultam em um coeficiente de amortecimento z igual a 04 316 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 316 16112010 113441 Exemplos de problemas com soluções A61 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado da Figura 664a Suponha que o ganho K seja positivo Observe que para valores de K pequenos ou grandes o sistema é superamortecido e para valores médios de K é subamortecido Solução Eis o procedimento para traçar o gráfico do lugar das raízes 1 Localize os polos e zeros de malha aberta no plano complexo Existe o lugar das raízes no eixo real negativo entre 0 e 1 e entre 2 e 3 2 O número de polos de malha aberta e de zeros finitos é o mesmo Isso significa que não há assíntotas na região complexa do plano s 3 Determine os pontos de partida e de chegada ao eixo real A equação característica do sistema é 1 0 s s K s s 1 2 3 h h h ou K s s s s 2 3 1 h h h Os pontos de partida e de chegada são determinados a partir de ds dK s s s s s s s s s s s s 2 3 2 1 2 3 1 2 5 2 3 4 0 634 2 366 0 2 2 h h h h h h h h h h h 6 6 como segue s 0634 s 2366 Note que ambos os pontos estão sobre o lugar das raízes Portanto eles são realmente pontos de partida e de chegada No ponto s 0634 o valor de K é FIGURA 664 a b Rs Cs j v K 00718 K 14 3 2 1 0 1 j1 j2 j1 j2 Ks 2 s 3 ss 1 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 317 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 317 16112010 113443 00718 K 1 366 2 366 0 634 0 366 h h h h Da mesma maneira em s 2366 14 K 0 366 0 634 2 366 1 366 h h h h Pelo fato de o ponto s 0634 estar entre dois polos ele é um ponto de partida e pelo fato de o ponto s 2366 estar entre dois zeros ele é um ponto de chegada 4 Determine um número suficiente de pontos que satisfaça à condição angular Podese verificar que o lugar das raízes possui um círculo com o centro em 15 que passa pelos pontos de partida e de chegada O gráfico do lugar das raízes para esse sistema é mostrado na Figura 664b Note que o sistema é estável para todos os valores positivos de K já que todo o lugar das raízes se situa no semiplano esquerdo do plano s Pequenos valores de K 0 K 00718 correspondem a um sistema superamortecido Valores intermediários de K 00718 K 14 correspondem a um sistema subamortecido Por fim valores grandes de K 14 K correspondem a um sistema superamortecido Com um valor grande de K o regime permanente pode ser atingido muito mais rapidamente do que com valores pequenos de K O valor de K deve ser ajustado de modo que o desempenho do sistema seja ótimo de acordo com um dado índice de desempenho A62 Desenhe o lugar das raízes do sistema de controle mostrado na Figura 665a Solução Existe um ramo do lugar das raízes no eixo real entre os pontos s 1 e s 36 As assíntotas podem ser determinadas como segue  í 90 90 ngulos das ass ntotas k 3 1 180 2 1 c c c h FIGURA 665 a b j v 4 3 2 0 1 j3 j1 j1 j3 1 j2 j2 Ks 1 s2s 36 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 318 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 318 16112010 113445 A intersecção das assíntotas com o eixo real é dada por 13 s 3 1 0 0 3 6 1 Como a equação característica é s3 36s2 Ks 1 0 temos K s s s 1 3 6 3 2 Os pontos de partida e de chegada são encontrados por 0 ds dK s s s s s s 1 3 7 2 1 3 6 2 2 3 2 h h h h ou s3 33s2 36 s 0 de onde obtemos s 0 s 165 j09367 s 165 j09367 O ponto s 0 corresponde realmente a um ponto de partida Os pontos s 165 j09367 no entanto não são pontos de partida nem de chegada porque os valores correspondentes de K são números complexos Para testar os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário substituímos s j na equação característica obtendo j3 36 j2 K j K 0 ou K 362 j K 2 0 Note que essa equação somente será satisfeita se 0 K 0 Em virtude da presença de um duplo polo na origem o lugar das raízes é tangente ao eixo j em 0 Os ramos do lugar das raízes não cruzam o eixo j A Figura 665b é o gráfico do lugar das raízes do sistema A63 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 666a Solução Existe um ramo do lugar das raízes entre os pontos s 04 e s 36 Os ângulos das assíntotas podem ser determinados como segue  í 90 90 ngulos das ass ntotas k 3 1 180 2 1 c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é dada por 16 s 3 1 0 0 3 6 0 4 Em seguida encontramos o ponto de partida Como a equação característica é s3 36s2 Ks 04K 0 temos K s s s 0 4 3 6 3 2 Os pontos de partida e de chegada ficam determinados com o auxílio da equação 0 ds dK s s s s s s 0 4 3 7 2 0 4 3 6 2 2 3 2 h h h h 319 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 319 16112010 113447 da qual resulta s3 24s2 144s 0 ou ss 122 0 Então os pontos de partida e de chegada são s 0 e s 12 Note que s 12 é uma raiz dupla Quando uma raiz dupla ocorre em dKds 0 no ponto s 12 d 2Kds2 0 nesse ponto O valor do ganho K no ponto s 12 é 432 K s s s 4 3 6 s 3 2 1 2 Isso significa que com K 432 a equação característica tem uma raiz tripla no ponto s 12 Isso pode ser facilmente verificado como segue s3 36s2 432s 1728 s 123 0 Então os ramos da raiz tripla se encontram no ponto s 12 Os ângulos de partida dos ramos do lugar das raízes no ponto s 12 que tendem às assíntotas são 1803 isto é 60 e 60 Veja o Problema A64 Por fim devemos examinar os ramos do lugar das raízes que cruzam o eixo imaginário Pela substituição de s j na equação característica temos j3 36 j2 Kj 04K 0 ou 04K 362 jK 2 0 Essa equação só é satisfeita se 0 e K 0 No ponto 0 o lugar das raízes é tangente ao eixo j por causa de um polo duplo na origem Não há pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzem o eixo imaginário FIGURA 666 a b j v 4 3 2 0 1 j3 j1 j1 j3 j2 j2 Ks 04 s2s 36 1 60 60 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 320 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 320 16112010 113448 Um gráfico do lugar das raízes para esse sistema é mostrado na Figura 666b A64 Obtenha para o Problema A63 a equação dos ramos do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 666a Mostre que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo real no ponto de partida do eixo real com ângulos de 60 Solução As equações dos ramos do lugar das raízes podem ser obtidas a partir da condição angular 180 s s K s k 3 6 0 4 2 1 2 c h h h que pode ser escrita como 2 180 s s s k 0 4 3 6 2 1 c h Substituindo s v j obtemos 2 180 j j j k 0 4 3 6 2 1 c v v v h ou 2 180 tg tg tg k 0 4 3 6 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Rearranjando os termos temos 180 tg tg tg tg k 0 4 3 6 2 1 1 1 1 1 c v v v v c c c c m m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação e notando que 180 tg tg k 3 6 2 1 3 6 1 c v v c m h E obtemos 1 0 4 0 4 1 3 6 3 6 v v v v v v v v que pode ser simplificada como segue 0 4 0 4 3 6 3 6 2 2 v v v v v v v v h h h h ou v3 24v2 144v 162 v2 0 que pode ser ainda mais simplificada como vv 122 v 162 0 Para v 16 podemos escrever essa última equação como 0 1 2 1 6 1 2 1 6 v v v v v v h h G G o que nos fornece as seguintes equações para o lugar das raízes 0 1 2 1 6 1 2 1 6 v v v v v v h h 321 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 321 16112010 113452 A equação 0 representa o eixo real O lugar das raízes para 0 K encontrase entre s 04 e s 36 O eixo real além desse segmento linear e da origem s 0 corresponde ao lugar das raízes para K 0 As equações 1 2 1 6 v v v h 629 representam os ramos complexos para 0 K Esses dois ramos situamse entre v 16 e v 0 Veja a Figura 666b As inclinações dos ramos complexos do lugar das raízes no ponto de partida v 12 podem ser obtidas avaliando ddv na Equação 629 no ponto v 12 d d 1 6 0 4 1 2 3 1 2 1 2 v v v v v Como tg1 3 60 os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo real com ângulos de 60 A65 Considere o sistema da Figura 667a Trace o gráfico do lugar das raízes desse sistema Observe que para valores de K pequenos ou grandes o sistema é subamortecido e para valores interme diários de K ele é superamortecido Solução Existe um ramo do lugar das raízes entre a origem e Os ângulos das assíntotas dos ramos do lugar das raízes são obtidos como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real fica localizada no eixo real em 13333 s 3 0 2 2 Os pontos de partida e de chegada ao eixo real são localizados por dKds 0 Como a equação característica é s3 4s2 5s K 0 FIGURA 667 a b K ss2 4s 5 j v 4 3 2 0 1 j3 j2 j1 j2 j1 j3 1 K 2 K 1852 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 322 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 322 16112010 113454 temos K s3 4s2 5s Então impomos ds dK 3s2 8s 5 0 de onde resulta s 1 s 16667 Como esses dois pontos pertencem ao lugar das raízes eles são efetivamente pontos de partida e de chegada No ponto s 1 o valor de K é 2 e no ponto s 16667 o valor de K é 1852 O ângulo de partida do polo complexo no semiplano superior do plano s é obtido com o auxílio da equação θ 180 15343 90 ou θ 6343 O ramo do lugar das raízes que parte do polo complexo no semiplano superior do plano s chega ao eixo real no ponto s 16667 Em seguida determinamos os pontos em que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imagi nário Substituindo s j na equação característica temos j3 4j2 5j K 0 ou K 42 j5 2 0 e a partir dele obtemos 5 K 20 ou 0 K 0 Os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário nos pontos 5 e 5 O ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo j em 0 A Figura 667b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que como esse sistema é de terceira ordem existem três polos de malha fechada A natureza da resposta do sistema à determinada entrada depende da localização dos polos de malha fechada Para 0 K 1852 existe um par de polos complexos conjugados e um polo real todos de malha fechada Para 1852 K 2 existem três polos reais de malha fechada Por exemplo os polos de malha fechada estão localizados em s 1667 s 1667 s 0667 para K 1852 s 1 s 1 s 2 para K 2 Para 2 K existe um conjunto de polos de malha fechada formado por um par de polos complexos conjugados e um polo real Assim pequenos valores de K 0 K 1852 correspondem a um sistema subamortecido Como o polo dominante é o polo real de malha fechada apenas uma pequena oscilação pode ser notada na resposta transitória Valores intermediários de K 1852 K 2 correspondem a um sistema subamortecidoValores grandes de K 2 K correspondem a um sistema subamortecido Para valores grandes de K o sistema responde muito mais rapida mente do que para valores pequenos de K A66 Trace o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 668a Solução Os polos de malha aberta estão localizados em s 0 s 1 s 2 j3 e s 2 j3 Existe um ramo do lugar das raízes no eixo real entre os pontos s 0 e s 1 Os ângulos das assíntotas são determinados como 323 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 323 16112010 113454  í 45 45 135 135 ngulos das ass ntotas k 4 180 2 1 c c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é determinada a partir de 125 s 4 0 1 2 2 Os pontos de partida e de chegada são obtidos a partir de dKds 0 Como K ss 1s2 4s 13 s4 5s3 17s2 13s temos ds dK 4s3 15s2 34s 13 0 do que resulta s 0467 s 1642 j2067 s 1642 j2067 O ponto s 0467 pertence ao lugar das raízes Portanto tratase realmente de um ponto de partida O valor dos ganhos K nos pontos s 1642 j2067 são números complexos Como os valores de ganhos não são reais e positivos esses pontos não são pontos de partida nem de chegada O ângulo de partida do polo complexo situado no semiplano superior do plano s é θ 180 12369 10844 90 ou θ 14213 Em seguida determinamos os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo j A equação característica é s4 5s3 17s2 13s K 0 Substituindo s j na equação característica temos j4 5j3 17j2 13j K 0 ou K 4 172 j13 52 0 FIGURA 668 a b j v 4 3 6 5 3 2 2 0 1 j3 j4 j5 j1 j1 j3 j4 j5 1 j2 j2 K ss 1 s2 4s 13 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 324 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 324 16112010 113455 da qual obtemos 16125 K 3744 ou 0 K 0 Os ramos do lugar das raízes que se estendem para o semiplano direito do plano s cruzam o eixo imaginário em 16125 Além disso o ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo imaginário em 0 A Figura 668b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que os ramos do lugar das raízes que se estendem para o semiplano direito do plano s cruzam as respectivas assíntotas A67 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 669a Determine os valores de K para os quais o sistema é estável Solução Os polos de malha aberta estão localizados em s 1 s 2 j 3 e s 2 j 3 Um ramo do lugar das raízes existe no eixo real entre os pontos s 1 e s As assíntotas dos ramos do lugar das raízes são determinadas como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é obtida por 1 s 3 1 2 2 Os pontos de partida e de chegada ao eixo real podem ser localizados a partir de dKds 0 Como K s 1s2 4s 7 s3 3s2 3s 7 temos ds dK 3s2 6s 3 0 ou seja s 12 0 FIGURA 669 j v j3 j2 j1 a b K s 1 s2 4s 7 j3 j1 4 3 2 0 1 K 7 K 8 K 16 1 j2 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 325 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 325 16112010 113456 Então a equação dKds 0 tem uma raiz dupla em s 1 Isso significa que a equação caracte rística tem uma raiz tripla em s 1 O ponto de encontro está localizado em s 1 Três ramos do lugar das raízes se cruzam nesse ponto de encontro Os ângulos de partida dos ramos nesse ponto de encontro são 1803 isto é 60 e 60 Em seguida vamos determinar os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo ima ginário Notando que a equação característica é s 1s2 4s 7 K 0 ou s3 3s2 3s 7 K 0 substituímos s j nessa equação e obtemos j3 3j2 3j 7 K 0 Reescrevendo essa última equação obtemos K 7 32 j3 2 0 Essa equação é satisfeita quando 3 K 7 32 16 ou 0 K 7 Os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário em 3 onde K 16 e 0 onde K 7 Como o valor de K na origem é 7 o intervalo dos valores do ganho K para estabilidade é 7 K 16 A Figura 669b mostra o gráfico do lugar das raízes para esse sistema Note que todos os ramos são retilíneos O fato de os ramos do lugar das raízes serem retilíneos pode ser verificado como a seguir como a condição angular é 180 s s j s j K k 1 2 3 2 3 2 1 c h h h h temos 180 s s j s j k 1 2 3 2 3 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação 180 j j j j j k 1 2 3 2 3 2 1 c v v v h ou 180 j j j k 2 3 2 3 1 2 1 c v v v h h h que pode ser reescrita como 180 tg tg tg k 2 3 2 3 1 2 1 1 1 1 c v v v e e e o o o h Considerando as tangentes de ambos os lados da última equação obtemos 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1 v v v v v e oe o ou 4 4 3 2 2 1 2 2 v v v v h 326 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 326 16112010 113459 que pode ser simplificada para 2v 2v 1 v2 4v 7 2 ou 3v2 6v 3 2 0 A simplificação adicional dessa última equação permite escrever 0 1 3 1 1 3 1 v v c mc m que define três linhas 0 1 0 1 0 3 1 3 1 v v Assim os ramos do lugar das raízes consistem em três linhas retas Note que o lugar das raízes para K 0 consiste nas três semirretas mostradas na Figura 669b Veja que cada semirreta parte dos polos de malha aberta e se estende ao infinito na direção de 180 60 ou 60 medidos a partir do eixo real A parte restante das linhas retas corresponde a K 0 A68 Considere um sistema com realimentação unitária com a seguinte função de transferência do ramo direto G s s s s K 1 2 h h h Desenhe o lugar das raízes e suas assíntotas com o MATLAB Solução Desenharemos o lugar das raízes e as assíntotas em um diagrama Como a função de transferência no ramo direto é dada por G s s s s K s s s K 1 2 3 2 3 2 h h h a equação para as assíntotas pode ser obtida como segue notando que lim lim s s s K s s s K s K 3 2 3 3 1 1 s s 3 2 3 2 3 Z 3 3 h a equação para as assíntotas pode ser dada por G s s K 1 a 3 h h Assim para o sistema temos num 1 den 1 3 2 0 e para as assíntotas numa 1 dena 1 3 3 1 Usando os seguintes comandos de lugar das raízes e plot r rlocusnumden a rlocusnumadena plotr a o número de linhas de r e de a deve ser o mesmo Para garantir isso incluímos a constante de ganho K nos comandos Por exemplo K1 00103 K2 03000505 327 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 327 16112010 113501 K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK y r a ploty O Programa 615 em MATLAB gerará o gráfico do lugar das raízes e suas assíntotas como mostra a Figura 670 Programa 615 em MATLAB Gráficos do lugar das raízes num 1 den 1 3 2 0 numa 1 dena 1 3 3 1 K1 00103 K2 03000505 K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK y r a ploty v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntotas xlabelEixo real ylabelEixo imaginário Desenhe manualmente na cópia impressa os polos em malha aberta Podese desenhar dois ou mais gráficos no mesmo diagrama usando o comando hold O Programa 616 em MATLAB utiliza o comando hold A Figura 671 mostra o gráfico do lugar das raízes resultante FIGURA 670 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntotas Eixo imaginário 4 4 0 3 2 1 1 2 3 Eixo real 4 1 3 2 1 0 4 2 3 Gráfico do lugar das raízes 328 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 328 16112010 113502 Programa 616 em MATLAB Gráficos do lugar das raízes num 1 den 1 3 2 0 numa 1 dena 1 3 3 1 K1 00103 K2 03000505 K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK plotro hold Current plot held plota v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Kss1s2 e assíntotas xlabelEixo real ylabelEixo imaginário A69 Desenhe e faça o gráfico do lugar das raízes e as assíntotas de um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência no ramo direto é a seguinte G s s s s s K 2 2 2 5 2 2 h h h Determine os pontos exatos onde os lugares das raízes cruzam o eixo j Solução A função de transferência do ramo direto Gs pode ser escrita como G s s s s s K 4 11 14 10 4 3 2 h Observe que à medida que s se aproxima do infinito lim s 3 Gs pode ser escrita como FIGURA 671 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntota Eixo imaginário 4 4 0 3 2 1 1 2 3 Eixo real 4 1 3 2 1 0 4 2 3 Gráfico do lugar das raízes 329 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 329 16112010 113503 lim lim lim lim G s s s s s K s s s s K s K 4 11 14 10 4 6 4 1 1 s s s s 4 3 2 4 3 2 4 Z 3 3 3 3 h h onde usamos a seguinte fórmula s a4 s4 4as3 6a2s2 4a3s a4 A expressão lim lim G s s K 1 s s 4 3 3 h h fornece a equação para as assíntotas O Programa 617 em MATLAB permite desenhar o gráfico do lugar das raízes de Gs e suas assíntotas Observe que o numerador e o denominador de Gs são num 1 nen 1 4 11 14 10 Para o numerador e o denominador das assíntotas lim s 3 Gs usamos numa 1 dena 1 4 6 4 1 A Figura 672 mostra o gráfico do lugar das raízes e das assíntotas Como a equação característica do sistema é s2 2s 2s2 2s 5 K 0 Programa 617 em MATLAB Gráfico do lugar das raízes num 1 den 1 4 11 14 10 numa 1 dena 1 4 6 4 1 r rlocusnumden plotr hold Current plot held plotro rlocusnumadena v 6 4 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes e assíntota os pontos onde os lugares das raízes cruzam o eixo imaginário podem ser encontrados substituindo se s j com a equação característica como segue j2 2j 2j2 2j 5 K 4 112 10 K j 43 14 0 e igualando a parte imaginária a zero O resultado é 18708 Portanto os pontos exatos onde os lugares das raízes atravessam o eixo j são 18708 Igualando a parte real a zero constatamos que o valor do ganho K no ponto de cruzamento é 1625 330 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 330 16112010 113504 A610 Considere um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência do ramo direto Gs é dada por G s s s s s K s 2 2 2 5 1 2 2 h h h h Desenhe o gráfico do lugar das raízes utilizando o MATLAB Solução A função de transferência do ramo direto Gs pode ser escrita como G s s s s s K s 4 11 14 10 1 4 3 2 h h Uma opção de programa MATLAB para desenhar o gráfico do lugar das raízes está no Programa 618 em MATLAB A Figura 673 mostra o gráfico resultante Programa 618 em MATLAB num 1 1 den 1 4 11 14 10 K1 0012 K2 200225 K3 250510 K4 10150 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK plotr o v 8 2 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Ks1s22s2s22s5 xlabelEixo real ylabelEixo imaginário FIGURA 672 4 2 0 6 4 2 0 1 5 3 2 4 2 1 5 4 3 Eixo real Eixo imaginário Gráfico do lugar das raízes e assíntotas Gráfico do lugar das raízes e assíntotas 331 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 331 16112010 113505 A611 Obtenha a função de transferência do sistema mecânico mostrado na Figura 674 Suponha que o deslocamento xi seja a entrada e o deslocamento xo seja a saída do sistema Solução Com base no diagrama obtemos as seguintes equações de movimento b2ẋi ẋo b1ẋo ẏ b1ẋo ẏ ky Considerando as transformadas de Laplace dessas duas equações e supondo as condições iniciais nulas e em seguida eliminando Ys obtemos X s X s b b b b b b k b s k b s 1 1 i o 1 2 2 1 2 2 1 1 h h FIGURA 673 3 2 1 0 1 4 5 8 2 7 6 0 1 3 2 4 5 2 1 5 4 3 Eixo real Eixo imaginário Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks 1s2 2s 2s2 2s 5 Gráfico do lugar das raízes FIGURA 674 b2 b1 k y xi xo Sistema mecânico 332 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 332 16112010 113507 Esta é a função de transferência entre Xos e Xis Definindo 1 k b T b b b 1 1 2 2 a 1 obtemos X s X s Ts Ts s T s T 1 1 1 1 i o a a a h h Esse sistema é uma estrutura mecânica de avanço de fase A612 Obtenha a função de transferência do sistema mecânico mostrado na Figura 675 Suponha que o deslocamento xi seja a entrada e o deslocamento xo seja a saída Solução As equações do movimento desse sistema são b2ẋi ẋo k2xi xo b1ẋo ẏ b1ẋo ẏ k1 y Considerando as transformadas de Laplace dessas duas equações e supondo condições iniciais nulas obtemos b2sXis sXos k2Xis Xos b1sXos sYs b1sXos sYs k1Ys Se for eliminado Ys das duas últimas equações obteremos a função de transferência XosXis como X s X s k b s k b s k b s k b s k b s 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 c c c c h h m m m m Defina T k b T k b 1 1 1 2 2 2 Se k1 k2 b1 e b2 forem escolhidos de forma que haja um β que satisfaça à seguinte equação k b k b k b T T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 b b b h 630 FIGURA 675 b1 b2 y xi xo k2 k1 Sistema mecânico 333 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 333 16112010 113509 Então XosXis pode ser determinada por X s X s T s T s T s T s s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 i o 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b c c c e e h h m h h h m m o o Note que dependendo da escolha de k1 k2 b1 e b2 pode não haver β que satisfaça à Equação 630 Se tal β existir e for um dado s1 onde s s1 é um dos polos de malha fechada dominantes do sistema de controle para o qual desejamos usar esse dispositivo mecânico as seguintes condições são satisfeitas 1 5 0 s T s T s T s T 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b e então o sistema mecânico mostrado na Figura 675 funciona como compensador de atraso e avanço de fase A613 Considere o modelo de sistema de controle de um veículo espacial mostrado na Figura 676 Projete um compensador de avanço de fase Gcs tal que o coeficiente de amortecimento z e a frequência natu ral não amortecida n dos polos dominantes de malha fechada sejam 05 e 2 rads respectivamente Solução Primeira tentativa suponha que o compensador por avanço de fase Gcs seja G s K s T s T 1 1 0 1 c c 1 1 a a J L K K K N P O O O h h A partir das especificações z 05 e n 2 rads os polos dominantes de malha fechada devem estar localizados em s 1 j 3 Devemos calcular primeiro a deficiência angular nesse polo de malha fechada Deficiência angular 120 120 108934 180 708934 Essa deficiência angular deve ser compensada por um compensador de avanço de fase Existem muitas maneiras de determinar a localização dos polos e zeros da rede de avanço de fase Vamos esco lher o zero do compensador em s 1 Então com base na Figura 677 temos a seguinte equação 034641 tg x 1 1 73205 90 70 8934 c c h ou 1 6 x 0 34641 1 73205 FIGURA 676 Rs Cs Compensador de avanço de fase Gcs Veículo espacial Sensor 1 s2 1 01s 1 Sistema de controle de veículo espacial 334 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 334 16112010 113512 Portanto G s K s s 6 1 c c h O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo 1 K s s s s 6 1 1 0 1 1 1 c s j 2 1 3 como segue 112000 K s s s s 1 6 0 1 1 c s j 2 1 3 h h Assim 112 G s s s 6 1 c h Como a função de transferência de malha aberta tornase G s G s H s s s s s s s s s 11 2 6 0 1 1 1 0 1 1 6 6 11 2 1 c 2 4 3 2 h h h h h h um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado pode ser obtido facilmente com o MATLAB digitandose num e den e utilizandose o comando rlocus O resultado é mostrado na Figura 678 A função de transferência de malha fechada do sistema compensado tornase R s C s s s s s s s 6 0 1 1 11 2 1 11 2 1 0 1 1 2 h h h h h h h A Figura 679 mostra a curva de resposta ao degrau unitário Mesmo que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 o valor do sobressinal está muito acima do esperado Uma visão mais detalhada do gráfico do lugar das raízes indica que a presença do zero em s 1 aumenta o valor do máximo sobressinal Em geral se um ou mais zeros de malha fechada um ou mais zeros do compensador ficam à direita do par dominante de polos complexos conjugados então esses polos dominantes já não são mais dominantes Se um máximo sobressinal elevado não puder ser tolerado os zeros do compensador devem ser deslocados o suficiente para a esquerda FIGURA 677 j v 1 0 191066 708934 j173205 x Determinação do polo da rede de avanço de fase 335 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 335 16112010 113515 Nesse projeto é desejável modificar o compensador e fazer que o máximo sobressinal seja menor Isso pode ser feito pela modificação do compensador por avanço de fase como será apresentado na segunda tentativa a seguir Segunda tentativa para modificar a forma do lugar das raízes podemos utilizar duas redes por avanço de fase cada uma contribuindo com metade do ângulo de avanço de fase que é 7089342 354467 Vamos escolher a localização dos zeros em s 3 Esta é uma escolha arbitrária Podem ser feitas outras escolhas como s 25 e s 4 Uma vez escolhidos os dois zeros em s 3 a localização necessária dos polos pode ser deter minada como mostra a Figura 680 ou 54466 009535 tg tg y 1 1 73205 40 89334 35 4467 c c c h FIGURA 678 Eixo real 10 5 10 5 0 Eixo imaginário 0 10 5 5 10 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado FIGURA 679 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 Saída 05 15 0 1 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta ao degrau unitário do sistema compensado 336 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 336 16112010 113516 do que resulta 1 191652 y 0 09535 1 73205 Então o compensador por avanço de fase terá a seguinte função de transferência G s K s s 19 1652 3 c c 2 c h m O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo como segue 1 K s s s s 19 1652 3 1 0 1 1 1 c s j 2 2 1 3 c m ou Kc 1743864 Então o compensador por avanço de fase projetado é 1743864 G s s s 19 1652 3 c 2 c h m Assim a função de transferência de malha aberta tornase 1743864 G s G s H s s s s s 19 1652 3 1 0 1 1 1 c 2 2 c h h h m A Figura 681a mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Note que não existe zero de malha fechada próximo à origem Uma visão ampliada do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 681b A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s s 19 1652 0 1 1 174 3864 3 174 3864 3 0 1 1 2 2 2 2 h h h h h h h Os polos de malha fechada encontrados são os seguintes s 1 j173205 s 91847 j74814 s 279606 FIGURA 680 20 16 12 8 4 1 0 j v 354467 4089334 j173205 y Determinação do polo da rede de avanço de fase 337 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 337 16112010 113519 As figuras 682a e b mostram as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado A curva de resposta ao degrau unitário é razoável e a resposta à rampa unitária parece aceitável Observe que na resposta à rampa unitária a saída está um pouco adiantada em relação à entrada Isso ocorre porque o sistema tem uma função de transferência de realimentação igual a 101s 1 Se for construído o gráfico do sinal de realimentação em função de t juntamente com a entrada em rampa unitária notase que em regime permanente o primeiro não estará à frente da entrada em rampa Veja a Figura 682c FIGURA 681 Eixo real 25 30 0 10 5 5 15 20 10 a Eixo imaginário 10 5 15 0 10 15 5 20 20 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Polos de malha fechada Eixo real 4 1 0 2 2 3 1 b Eixo imaginário 2 1 3 1 2 3 0 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo a origem Polos de malha fechada a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 338 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 338 16112010 113519 FIGURA 682 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 1 0 5 4 2 3 b Entrada em rampa unitária e saída 15 25 35 2 3 0 05 1 4 45 5 Resposta à rampa unitária do sistema compensado Saída t s 1 0 5 4 2 3 c Entrada em rampa unitária e sinal de realimentação 15 25 35 2 3 0 05 1 4 45 5 Sinal de realimentação na resposta à rampa unitária Sinal de realimentação a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado c gráfico do sinal de realimentação em função de t na resposta à rampa unitária 339 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 339 16112010 113520 A614 Considere um sistema com uma planta instável como mostra a Figura 683a Utilizando o método do lugar das raízes projete um controlador proporcionalderivativo isto é determine os valores de Kp e de Td para que o coeficiente de amortecimento z do sistema de malha fechada seja 07 e a frequência natural não amortecida n seja 05 rads Solução Note que a função de transferência de malha aberta possui dois polos em s 1085 e s 1085 e um zero em s 1Td que ainda não é conhecido Como os polos de malha fechada desejados devem ter n 05 rads e z 07 eles devem estar situados em 05 s 180 c 45 573 c z 07 corresponde a uma reta cujo ângulo com o eixo real negativo é de 45573 Assim os polos de malha fechada desejados estão em s 035 j0357 Os polos de malha aberta e o polo desejado de malha fechada no semiplano superior estão localizados no diagrama da Figura 683b A deficiência angular no ponto s 035 j0357 é 166026 25913 180 11939 Isso significa que o zero em s 1Td deve contribuir com 11939 o qual por sua vez determina a localização do zero como segue 2039 s T 1 d FIGURA 683 a b Kp1 Tds 1 10000 s2 11772 0 j v 45573 j3 j2 j1 j1 j3 j2 25913 166026 Polo de malha fechada 1085 2 1085 4 3 2039 a Controle PD de uma planta instável b gráfico do lugar das raízes do sistema 340 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 340 16112010 113521 Portanto temse K T s K T T s K T s 1 1 2 039 p d p d d p d e h o h 631 O valor de Td é 04904 T 2 039 1 d O valor do ganho Kp pode ser determinado com base na condição de módulo como segue 1 K T s s 10000 1 1772 2 039 p d s j 2 0 35 0 357 h ou KpTd 69995 Então 14273 K 0 4904 6999 5 p Substituindo os valores numéricos de Td e Kp na Equação 631 obtemos Kp1 Td s 142731 04904s 69995s 2039 que é a função de transferência do controlador proporcionalderivativo desejado A615 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 684 Projete um compensador por atraso de fase Gcs tal que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 sem modificar apreciavelmente a localização original dos polos de malha fechada que estão em s 2 j 6 Solução Suponha que a função de transferência do compensador por atraso de fase seja G s K s T s T 1 1 1 c c 2 b b t h h Como Kυ foi especificado em 50 s1 temse 25 50 lim K sG s s s K 4 10 s c c 0 b y t h h Assim Kcβ 20 Agora escolha K c 1 Então β 20 Escolha T 10 Então o compensador por atraso de fase pode ser dado por G s s s 0 005 0 1 c h A contribuição angular do compensador por atraso de fase no polo s 2 j 6 de malha fechada é FIGURA 684 Gcs Rs Cs 10 ss 4 Sistema de controle 341 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 341 16112010 113525 tg tg G s 1 9 6 1 995 6 1 3616 s j c 2 6 1 1 c h que é pequena O valor de Gcs em s 2 j6 é 0981 Portanto a modificação na posição dos polos dominantes de malha fechada também é muito pequena A função de transferência de malha aberta do sistema tornase G s G s s s 0 005 s s 0 1 4 10 c h h h A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s 4 005 10 02 1 10 1 3 2 h h Para comparar as características da resposta transitória antes e depois da compensação as res postas ao degrau unitário e à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado são mostradas nas figuras 685a e b respectivamente O erro estacionário na resposta à rampa unitária é mostrado na Figura 685c O compensador por atraso de fase projetado é aceitável FIGURA 685 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saídas 04 08 0 12 06 1 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Rampa de entrada e saída 2 4 0 6 3 5 1 7 8 9 10 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compesando Sistema não compensado com erro estacionário de 04 Sistema compensado com erro estacionário de 002 t s 36 355 35 385 395 38 39 40 37 365 375 c Rampa de entrada e saídas 375 385 40 35 395 38 39 355 37 365 36 Resposta à rampa unitária 35 t 40 Sistema não compensado Sistema compensado a Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b respostas à rampa unitária de ambos os sistemas c respostas à rampa unitária que mostra os erros estacionários 342 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 342 16112010 113527 A616 Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência do ramo direto é dada por G s s s 2 s 8 10 h h h Projete um compensador que os polos de malha fechada dominantes estejam localizados em s 2 j2 3 e a constante de erro estático de velocidade Kυ seja igual a 80 s1 Solução A constante de erro estático de velocidade do sistema não compensado é Kυ 16 10 0625 Como desejamos Kυ 80 tornase necessário multiplicar o ganho de malha aberta por 128 Isso significa que necessitamos também de um compensador por atraso de fase O gráfico do lugar das raízes do sistema sem compensação mostra que não é possível trazer os polos domi nantes de malha fechada para 2 j2 3 apenas pelo ajuste do ganho Veja a Figura 686 Isso significa que também é necessário um compensador por avanço de fase Então utilizaremos um compensador por atraso e avanço de fase Vamos supor que a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase seja G s K s T s T s T s T 1 1 1 c 1 1 2 2 b b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h onde Kc 128 Isso porque 80 lim lim K sG s G s sK G s K 16 10 s c s c c 0 0 y h h h e obtemos Kc 128 A deficiência angular no polo desejado de malha fechada s 2 j2 3 é Deficiência angular 120 90 30 180 60 A parte de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com 60º Para escolhermos T1 podemos utilizar o método gráfico apresentado na Seção 68 A parte relativa ao avanço de fase deve satisfazer às seguintes condições 1 s T s T G s 128 1 s j 1 1 1 1 1 2 2 3 1 b J L K K K N P O O O h FIGURA 686 Eixo real 10 5 10 5 0 Eixo imaginário 10 10 6 6 8 4 0 2 2 8 4 Gráfico do lugar das raízes de Gs 10ss 2s 8 Polo desejado de malha fechada Polo complexo conjugado em malha fechada Gráfico do lugar das raízes de Gs 10ss 2s 8 343 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 343 16112010 113529 e 60 s T s T 1 s j 1 1 1 1 2 2 3 1 c b A primeira condição pode ser simplificada como segue s T s T 1 13 3333 1 s j 1 1 1 1 2 2 3 1 b Utilizando o mesmo método da Seção 68 o zero s 1T1 e o polo s βT1 podem ser deter minados como segue 370 5335 T T 1 1 1 b Veja a Figura 687 O valor de β fica determinado como β 14419 Para a porção de atraso de fase do compensador escolhemos 001 T 1 b 2 Então 01442 T 1 2 Notando que 09837 s s 0 01 0 1442 s j 1 1 2 2 3 1 1697 s s 0 01 0 1442 s j 1 1 2 2 3 1 c a contribuição angular da parte de atraso de fase é 1697 e a contribuição de módulo é 09837 Isso significa que os polos de malha fechada dominantes ficam próximos da localização desejada s 2 j2 3 Assim o compensador projetado FIGURA 687 5335 133333x 370 60 x j v s1 0 Determinação gráfica do zero e do polo da parte de avanço de fase do compensador 344 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 344 16112010 113532 128 G s s s s s 53 35 3 70 0 01 0 1442 c c c h m m é aceitável A função de transferência do ramo direto do sistema tornase G s G s s s s s s s s 53 35 0 01 2 8 1 280 3 7 0 1442 c h h h h h h h h Um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 688a Um gráfico ampliado do lugar das raízes próximo à origem é exposto na Figura 688b Para constatar a melhora do desempenho do sistema compensado veja as respostas ao degrau uni tário e à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado mostrados nas figuras 689a e b respectivamente FIGURA 688 Eixo real 40 60 20 60 40 20 0 a Eixo imaginário 60 60 40 40 0 20 20 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo real 10 5 10 5 0 b Eixo imaginário 10 10 8 6 8 6 0 4 2 2 4 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo à origem Polos desejados de malha fechada a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 345 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 345 16112010 113534 A617 Considere o sistema mostrado na Figura 690 Projete um compensador por atraso e avanço de fase de forma que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 e o coeficiente de amor tecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Escolha o zero da porção de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de modo que cancele o polo em s 1 da planta Determine todos os polos de malha fechada do sistema compensado FIGURA 689 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saídas 04 08 14 0 12 06 1 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Saídas 3 5 0 9 4 7 1 8 6 2 10 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado a Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b respostas à rampa unitária de ambos os sistemas FIGURA 690 1 ss 1 s 5 Gcs Sistema de controle 346 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 346 16112010 113535 Solução Vamos utilizar o compensador por atraso e avanço de fase dado por G s K s T s T s T s T K T s T s T s T s 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 1 2 2 1 2 1 2 b b b b J L K K K J L K K K c N P O O O N P O O O h m h h h onde β 1 Então lim lim K sG s G s s T s T K T s T s s s s K 1 1 1 1 1 5 1 5 s c s c c 0 0 1 2 1 2 b b y c h h m h h h h h A especificação Kυ 50 sec1 determina o valor de Kc ou Kc 250 Escolhemos agora T1 1 para que s 1T1 cancele o termo s 1 da planta A parte de avanço de fase tornase então s s 1 b Para a parte de atraso de fase do compensador é requerido 1 5 s T s T s T s T 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada Observandose esses requisitos para a parte de atraso de fase do compensador para s s1 a função de transferência de malha aberta tornase G s G s K s s s s s K s s s 1 1 5 1 5 1 c c c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Z b b c h h m h h h h Então em s s1 as seguintes condições de módulo e de ângulo devem ser satisfeitas 1 K s s s 5 1 c 1 1 1 b h h 632 180 K s s s k 5 1 2 1 c 1 1 1 c b h h h 633 onde k 0 1 2 Nas equações 632 e 633 β e s1 são desconhecidos Sendo o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada especificado como z 05 o polo de malha fechada s s1 pode ser escrito como s1 x j 3 x onde x ainda é indeterminado Note que a condição de módulo Equação 632 pode ser reescrita como 1 x j x x j x x j x K 3 3 5 3 c b h h h Observando que Kc 250 temos 125 x x x x x 3 5 3 2 2 2 2 b h h 634 347 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 347 16112010 113539 A condição de ângulo Equação 633 pode ser reescrita como 120 180 tg tg K x j x x j x x j x x x x x 3 3 5 3 1 3 5 3 c 1 1 c c b b e e h h h o o ou 60 tg tg x x x x 3 5 3 1 1 c b e e o o 635 Devemos resolver as equações 634 e 635 para β e x Utilizando o método de tentativa e erro é possível obtermos os seguintes resultados β 16025 x 19054 Assim s1 19054 j 3 19054 19054 j33002 A parte de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase pode ser determinada a seguir Notando que o polo e o zero da parte de atraso de fase do compensador devem estar localizados perto da origem podemos escolher 001 T 1 b 2 Ou seja 016025 625 T T 1 ou 2 2 Com a escolha de T2 625 encontramos s T s T j j j j 1 1 1 9054 3 3002 0 01 1 9054 3 3002 0 16025 1 89054 3 3002 1 74515 3 3002 0 98 1 1 2 1 2 Z b 636 e 1937 tg tg s T s T j j 1 1 1 9054 3 3002 0 01 1 9054 3 3002 0 16025 1 74515 3 3002 1 89054 3 3002 1 2 1 2 1 1 c b e e o o 637 Como 5 1937 0 nossa escolha de T2 625 é aceitável Então o compensador por atraso e avanço de fase que acabamos de projetar pode ser escrito como 250 G s s s s s 16 025 1 0 01 0 16025 c c c h m m Consequentemente o sistema compensado tem a seguinte função de transferência de malha aberta G s G s s s s s s 0 01 5 16 025 250 0 16025 c h h h h h h 348 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 348 16112010 113542 Um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é apresentado na Figura 691a Uma ampliação do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 691b A função de transferência de malha fechada tornase R s C s s s s s s s 0 01 5 16 025 250 0 16025 250 0 16025 h h h h h h h Os polos de malha fechada ficam localizados em s 18308 j32359 s 01684 s 17205 Note que os polos dominantes de malha fechada s 18308 j32359 diferem dos polos domi nantes de malha fechada s s1 admitidos no cálculo de β e T2 Pequenos desvios dos polos dominantes de malha fechada 18308 j32359 em relação a s s1 19054 j33002 são causados pelas aproximações ocorridas na determinação da parte de atraso de fase do compen sador Veja as equações 636 e 637 FIGURA 691 Eixo real 20 5 0 10 10 15 5 a Eixo imaginário 5 5 15 0 10 10 15 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo real 1 05 05 1 0 b Eixo imaginário 06 0 06 02 02 1 1 08 04 08 04 Gráfico do lugar das raízes do sistema próximo à origem a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 349 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 349 16112010 113543 As figuras 692a e b mostram a resposta ao degrau unitário e à rampa unitária respectivamente do sistema projetado Note que o polo de malha fechada em s 01684 quase cancela o zero em s 016025 Entretanto esse par de polo e zero de malha fechada localizado próximo à origem produz uma cauda alongada de pequena amplitude Como o polo de malha fechada em s 17205 está localizado muito longe à esquerda em relação aos polos de malha fechada em s 18308 j32359 o efeito desse polo real na resposta do sistema é muito pequeno Portanto os polos de malha fechada em s 18308 j32359 são na verdade os polos dominantes de malha fechada que determinam as características da resposta do sistema de malha fechada Na resposta à rampa unitária o erro estacionário de acompanhamento à rampa de entrada tornase 1Kυ 50 1 002 A618 A Figura 693a é um diagrama de blocos do modelo de um sistema de controle de variação de posição A função de transferência de malha fechada desse sistema é R s C s s s s s s j s j s s 0 1 6 0 1 2 0 1 0 0417 2 4489 0 0417 2 4489 0 0167 2 0 05 3 2 h h h h h h FIGURA 692 t s 4 2 0 14 12 8 6 10 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Saída 3 7 0 9 4 8 2 6 5 1 10 Resposta à rampa unitária do sistema compensado a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado 350 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 350 16112010 113544 A resposta ao degrau unitário desse sistema é mostrada na Figura 693b A resposta mostra oscilações de alta frequência no início em razão dos polos em s 00417 j24489 A resposta é dominada pelo polo em s 00167 O tempo de acomodação é aproximadamente 240 s É desejável acelerar a resposta e também eliminar o modo oscilatório no início da resposta Projete um compensador adequado que os polos dominantes de malha fechada estejam em s 2 j2 3 Solução A Figura 694 mostra um diagrama de blocos do sistema compensado Note que o zero de malha aberta em s 005 e o polo em s 0 geram um polo de malha fechada entre s 0 e s 005 Esse polo de malha fechada tornase um polo dominante de malha fechada e faz que a resposta seja muito lenta Então é necessário substituir esse zero por um zero que esteja localizado longe do eixo j por exemplo um zero em s 4 Agora escolhemos um compensador da seguinte maneira G s G s s s 2 0 1 4 c c t h h FIGURA 693 Tempo s 50 0 200 300 250 100 150 b Amplitude 03 06 0 1 04 07 01 09 08 05 02 Resposta ao degrau unitário do sistema não compensado Rs Cs 1 Giroscópio de velocidade Servomecanismo hidráulico Aeronave 1 s 2s 01 s2 01s 4 a a Sistema de controle de variação de posição b resposta ao degrau unitário FIGURA 694 Gcs Rs Cs 1 Giroscópio de velocidade Servomecanismo hidráulico Aeronave 1 s 2s 01 s2 01s 4 Sistema de controle de variação de posição 351 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 351 16112010 113546 Então a função de transferência de malha fechada do sistema compensado tornase G s G s G s s s s s s s G s s s s s 2 0 1 4 1 0 1 4 2 0 1 0 1 4 4 c c c 2 2 t t h h h h h Para determinar Ĝcs pelo método do lugar das raízes necessitamos encontrar a deficiência angular no polo desejado de malha fechada em s 2 j2 3 A deficiência angular pode ser encontrada como segue Deficiência angular 143088 120 109642 60 180 13273 Portanto o compensador de avanço Ĝcs deve acrescentar 13273 Como a deficiência angular é 13273 são necessários dois compensadores por avanço de fase cada um contribuindo com 66365 Assim Ĝcs terá a seguinte forma G s K s s s s c c p z 2 t e h o Suponha que tenham sido escolhidos dois zeros em s 2 Então os dois polos dos compensa dores podem ser obtidos a partir da relação 04376169 tg s 2 3 4641 90 66 365 p c c h ou s 2 0 4376169 3 4641 9 9158 p Veja a Figura 695 Portanto G s K s s 9 9158 2 c c 2 t c h m O compensador completo Gcs para esse sistema será G s G s s s K s s s s 2 0 1 4 9 9158 2 2 0 1 4 c c c 2 2 t h h h h O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo Como a função de trans ferência de malha aberta é FIGURA 695 2 4 6 2 0 4 8 10 12 j4 j2 j4 j2 66365 sp s 2 j2 3 j v Polo e zero de Gˆ cs 352 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 352 16112010 113549 G s G s K s s s s s s 9 9158 0 1 4 2 4 c c 2 2 2 h h h h h h a condição de módulo tornase 1 K s s s s s s 9 9158 0 1 4 2 4 c s j 2 2 2 2 2 3 h h h h Então K s s s s s s 2 4 9 9158 0 1 4 88 0227 c s j 2 2 2 2 2 3 h h h h Assim o compensador Gcs tornase 880227 G s s s s s 9 9158 2 0 1 2 4 c 2 2 h h h h h A função de transferência de malha aberta é dada por G s G s s s s s s s 9 9158 0 1 4 88 0227 2 4 c 2 2 2 h h h h h h O gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 696 Os polos de malha fechada desse sistema compensado estão indicados no gráfico Os polos de malha fechada raízes da equação característica s 991582ss2 01s 4 880227s 22s 4 0 são os seguintes s 20000 j34641 s 75224 j65326 s 08868 Agora que o compensador foi projetado vamos examinar as características da resposta transitória utilizando o MATLAB A função de transferência de malha fechada é dada por FIGURA 696 Eixo real 15 10 5 15 5 10 0 Eixo imaginário 10 0 10 5 5 15 15 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Polos de malha fechada Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado 353 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 353 16112010 113551 R s C s s s s s s s s s 9 9158 0 1 4 88 0227 2 4 88 0227 2 4 2 2 2 2 h h h h h h h h As figuras 697a e b mostram os gráficos de resposta ao degrau unitário e da resposta à rampa unitária do sistema compensado Essas curvas de resposta mostram que o sistema projetado é aceitável A619 Considere o sistema mostrado na Figura 698a Determine o valor de a de modo que o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Solução A equação característica é 1 0 s s s s a 1 8 10 h h h A variável a não é um fator de multiplicação Então devemos modificar a equação característica Assim a equação característica pode ser escrita como FIGURA 697 t s 1 05 0 35 45 3 4 5 2 15 25 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 0 5 4 6 2 1 3 b Entrada e saída 2 4 6 0 3 5 1 Resposta à rampa unitária do sistema compensado a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado 354 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 354 16112010 113553 s3 9s2 18s 10a 0 reescrevemos essa equação de modo que a apareça como um fator de multiplicação como segue 1 0 s s s a 9 18 10 2 h Defina 10a K Então a equação característica tornase 1 0 s s s K 9 18 2 h Note que a forma dessa equação característica é adequada para a construção do lugar das raízes Esse sistema possui três polos e nenhum zero Os três polos estão em s 0 s 3 e s 6 Existe um ramo do lugar das raízes sobre o eixo real entre os pontos s 0 e s 3 Existe também outro ramo entre os pontos s 6 e s As assíntotas do lugar das raízes serão encontradas como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é obtida a partir de 3 s 3 0 3 6 Os pontos de partida do eixo real e de chegada no eixo real podem ser determinados a partir de dKds 0 onde K s3 9s2 18s Agora definimos FIGURA 698 a b s a s 8 10 ss 1 j4 j3 j2 j4 j3 j2 j1 0 1 1 3 5 7 2 2 4 6 j v 60 K 28 K 28 j1 j6 j6 j5 j5 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes onde K 10a 355 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 355 16112010 113555 ds dK 3s2 18s 18 0 de onde vem s2 6s 6 0 ou s 1268 s 4732 O ponto s 1268 está sobre um ramo do lugar das raízes Consequentemente o ponto s 1268 é de fato um ponto de partida do eixo real Entretanto o ponto s 4732 não está sobre o lugar das raízes e portanto não é ponto nem de partida nem de chegada Em seguida vamos determinar os pontos em que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário Substituindo s j na equação característica que é s3 9s2 18s K 0 resulta em j3 9j2 18j K 0 ou K 92 j18 2 0 de onde obtemos 3 2 K 92 162 ou 0 K 0 Os pontos de cruzamento estão em 3 2 e o valor correspondente do ganho K é 162 Um ramo do lugar das raízes também toca o eixo imaginário em 0 A Figura 698b mostra um esboço do lugar das raízes do sistema Como o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada foi especificado como 05 o polo de malha fechada desejado no semiplano superior do plano s fica localizado na intersecção do ramo do lugar das raízes nesse semiplano s com a reta que tem uma inclinação de 60º em relação ao semieixo real negativo Os polos dominantes de malha fechada desejados ficam localizados em s 1 j1732 s 1 j1732 Nesses pontos o valor do ganho K é 28 Então a K 10 28 Como o sistema possui dois ou mais polos do que zeros de fato três polos e nenhum zero o terceiro polo pode ser localizado no eixo real negativo com base no fato de que a soma dos três polos de malha fechada seja 9 Então concluise que o terceiro polo está em s 9 1 j1732 1 j1732 ou s 7 A620 Considere o sistema mostrado na Figura 699a Desenhe o lugar das raízes do sistema com realimentação de velocidade em que o ganho k varia de zero a infinito Determine o valor de k de modo que os polos de malha fechada tenham o coeficiente de amortecimento z igual a 07 Solução A função de transferência de malha aberta é çã ê Fun o de transfer ncia de malha aberta s k s 1 10 10 h Como k não é um fator de multiplicação modificamos a equação de modo que k apareça como tal Sendo a equação característica s2 s 10ks 10 0 356 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 356 16112010 113555 reescrevemos a equação como segue 1 0 s s ks 10 10 2 638 Defina 10k K Então a Equação 638 tornase 1 0 s s Ks 10 2 Observe que o sistema tem um zero em s 0 e dois polos em s 05 j31225 Como esse siste ma possui dois polos e um zero é possível que exista um lugar das raízes circular De fato esse sistema tem um lugar das raízes circular como veremos Como a condição de ângulo é 180 s s Ks k 10 2 1 2 c h temos 180 s s j s j k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação e reorganizando os termos obtemos 180 j j j k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 c v v v h h h que pode ser reescrita como 180 tg tg tg k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação obtemos 1 0 5 3 1225 0 5 3 1225 0 5 3 1225 0 5 3 1225 v v v v v c mc m FIGURA 699 Rs Cs 1 s k j v a b 10 s 1 j4 j3 j2 j1 j1 j3 j2 j4 0 1 1 4 6 2 3 5 7 2 K 3427 4557 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes onde K 10k 357 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 357 16112010 113559 que pode ser simplificada para 0 5 3 1225 2 0 5 2 2 2 v v v h h h ou v2 10 2 0 do que resulta 0 ou v2 2 10 Note que 0 corresponde ao eixo real O eixo real negativo entre s 0 e s corresponde a K 0 e o eixo real positivo corresponde a K 0 A equação v2 2 10 é uma equação de uma circunferência com centro em v 0 0 e raio igual a 10 A parte dessa circunferência que está à esquerda dos polos complexos corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte da circunferência que fica à direita dos polos complexos corresponde ao lugar das raízes para K 0 A Figura 699b mostra o gráfico do lugar das raízes para K 0 Como desejamos z 07 para os polos de malha fechada determinamos a intersecção do ramo cir cular do lugar das raízes com uma reta que forma um ângulo de 4557 note que cos 4557 07 com o semieixo real negativo A intersecção está em s 2214 j2258 O ganho K correspondente a esse ponto é 3427 Então o valor desejado do ganho k do ramo de realimentação de velocidade é k K 10 03427 Problemas B61 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s K s H s 1 2 h h h B62 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s s s K H s 1 4 5 2 h h h h B63 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema sendo 1 G s s s s s K H s 0 5 0 6 10 2 h h h h B64 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle sendo 1 G s s s K s s H s 2 10 6 10 2 2 h h h são arcos do círculo cujo centro é a origem e cujo raio é igual a 10 B65 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s K s H s 3 6 0 2 2 h h h h B66 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s s K s H s 4 11 9 2 h h h h 358 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 358 16112010 113601 Situe os polos de malha fechada no lugar das raízes cujos polos dominantes tenham coeficiente de amortecimento igual a 05 Determine o valor correspondente ao ganho K B67 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 6100 Determine o intervalo de valores do ganho K que corresponde à estabilidade B68 Considere um sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de trans ferência de ramo direto G s s s s K 4 8 2 h h Desenhe o lugar das raízes do sistema Se o valor do ganho K for igual a 2 onde se situam os polos de malha fechada B69 Considere o sistema no qual a função de transferência de malha aberta é dada por G s H s s s s K s 3 3401 7 0325 0 6667 4 3 2 h h h Mostre que a equação para as assíntotas é dada por G s H s s s s K 4 0068 5 3515 2 3825 a a 3 2 h h Trace o gráfico do lugar das raízes e das assíntotas do sistema utilizando o MATLAB B610 Considere o sistema com realimentação unitária em que a função de transferência de ramo direto é G s s s K 1 h h O lugar de ganho constante do sistema para dado valor de K é definido pela seguinte equação 1 s s K 1 h Mostre que os lugares de ganho constante para 0 K podem ser dados por vv 1 22 2 K2 Esboce os lugares de ganho constante para K 1 2 5 10 e 20 no plano s B611 Considere o sistema mostrado na Figura 6101 Trace o gráfico do lugar das raízes utilizando o MATLAB Situe os polos de malha fechada para o ganho K for igual a 2 FIGURA 6100 2 s2 s 2 s 1 s 5 K Rs Cs Sistema de controle FIGURA 6101 1 s 1 Ks 1 ss2 2s 6 Sistema de controle 359 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 359 16112010 113604 B612 Trace os gráficos do lugar das raízes para os sistemas de fase não mínima mostrados na Figura 6102a e b respectivamente B613 Considere o sistema mecânico mostrado na Figura 6103 que consiste em uma mola e dois amortecedores Obtenha a função de transferência do sistema O deslocamento xi é a entrada e o deslocamento xo é a saída Nesse sistema a estrutura mecânica é de avanço de fase ou de atraso de fase B614 Considere o sistema mostrado na Figura 6104 Desenhe o gráfico do lugar das raízes do sistema Determine o valor de K para que o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Em seguida determine todos os polos de malha fechada Trace o diagrama das curvas de resposta ao degrau unitário usando o MATLAB FIGURA 6102 Ks 1 s 2 s 4 G1s a b K1 s s 2 s 4 G2s a e b Sistema de fase não mínima FIGURA 6103 b2 b1 k xi xo Sistema mecânico FIGURA 6104 K ss2 4s 5 Sistema de controle 360 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 360 16112010 113606 B615 Determine os valores de K T1 e T2 do sistema mostrado na Figura 6105 para que os polos domi nantes de malha fechada tenham coeficiente de amortecimento z 05 e a frequência natural não amortecida n 3 rads B616 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6106 Determine o ganho K e a constante de tempo T do controlador Gcs tal que os polos de malha fechada estejam localizados em s 2 j2 B617 Considere o sistema mostrado na Figura 6107 Projete um compensador de avanço de fase que os polos dominantes estejam localizados em s 2 j2 3 Trace a curva de resposta ao degrau unitário do sistema projetado com o MATLAB B618 Considere o sistema mostrado na Figura 6108 Projete um compensador de modo que os polos dominantes de malha fechada fiquem localizados em s 1 j1 FIGURA 6105 C R T1s 1 K T2s 1 10 ss 1 Sistema de controle FIGURA 6106 1 ss 2 KTs 1 Gcs Gs Sistema de controle FIGURA 6107 Gcs 5 s05s 1 Sistema de controle FIGURA 6108 Gcs 1 s2 Compensador de avanço de fase Veículo espacial Sistema de controle 361 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 361 16112010 113608 B619 Considerando o sistema mostrado na Figura 6109 projete um compensador cuja constante de erro estático Kυ seja 20 s1 sem modificação apreciável da localização original s 2 j2 3 do par de polos complexos conjugados de malha fechada B620 Considere o sistema de posicionamento angular mostrado na Figura 6110 Os polos dominantes de malha fechada estão localizados em s 360 j480 O coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada é 06 A constante de erro estático de velocidade Kυ é 41 s1 o que significa que para uma entrada em rampa de 360s o erro estático de acompanhamento da rampa é 41 360 878 s s e K i c 1 c i y y Desejase diminuir eυ para um décimo do valor atual ou aumentar o valor da constante de erro estático de velocidade Kυ para 41 s1 Desejase também manter o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada em 06 É permitida uma pequena modificação na frequência natural não amortecida n dos polos dominantes de malha fechada Projete um com pensador por atraso de fase apropriado para aumentar a constante de erro estático de velocidade conforme desejado B621 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6111 Projete um compensador de modo que os polos dominantes de malha fechada estejam localizados em s 2 j2 3 e a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 FIGURA 6109 Gcs 16 ss 4 Sistema de controle FIGURA 6110 Gcs 820 ss 10 s 20 Sistema de posicionamento angular FIGURA 6111 Gcs 10 ss 2 s 5 Sistema de controle 362 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 362 16112010 113610 B622 Considere o sistema mostrado na Figura 6112 Projete um compensador tal que a curva de resposta ao degrau unitário apresente um máximo sobressinal de 30 ou menos e o tempo de acomodação seja de 3 s ou menos B623 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6113 Projete um compensador de modo que a curva de resposta ao degrau unitário apresente um máximo sobressinal de 25 ou menos e o tempo de acomodação seja de 5 s ou menos B624 Considere o sistema de controle com realimentação de velocidade mostrado na Figura 6114 Determine os valores do ganho do amplificador K e do ganho da realimentação de velocidade Kh de modo que sejam satisfeitas as seguintes especificações 1 Coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada de 05 2 Tempo de acomodação 2 s 3 Constante de erro estático de velocidade Kυ 50 s1 4 0 Kh 1 B625 Considere o sistema mostrado na Figura 6115 O sistema possui realimentação de velocidade Determine o valor do ganho K de modo que os polos dominantes de malha fechada tenham um coeficiente de amortecimento igual a 05 Utilizando o ganho K assim determinado obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema FIGURA 6112 Gcs 2s 1 ss 1 s 2 Sistema de controle FIGURA 6113 Gcs 1 s2 s 4 Sistema de controle FIGURA 6114 Rs Cs 1 s Kh K 2s 1 Sistema de controle 363 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 363 16112010 113611 B626 Considere o sistema mostrado na Figura 6116 Construa o gráfico do lugar das raízes quando a varia de zero a Determine o valor de a para que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 B627 Considere o sistema mostrado na Figura 6117 Desenhe o gráfico do lugar das raízes para valores de k que variem de 0 a Qual é o valor de k para que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Determine a constante de erro estático de velocidade do sistema para esse valor de k B628 Considere o sistema mostrado na Figura 6118 Supondo que o valor do ganho K varie de 0 a construa o gráfico do lugar das raízes quando Kh 01 03 e 05 Compare as respostas ao degrau unitário do sistema para os três casos a seguir 1 K 10 Kh 01 2 K 10 Kh 03 3 K 10 Kh 05 FIGURA 6115 Rs Cs 1 s 02 K s 1 s 2 Sistema de controle FIGURA 6117 s 14 s 5 10 ss 1 ks s 10 Sistema de controle FIGURA 6116 s a 2 s2 s 2 Sistema de controle 364 Engenharia de controle moderno Ogatacap06indd 364 16112010 113613 FIGURA 6118 Rs Cs 1 s Kh K s 1 Sistema de controle 365 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Ogatacap06indd 365 16112010 113613