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Geometria Analítica
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Propriedade: da soma de vetores\n1. Comutatividade: (A, B) ∈ \\vec{u} e (B, C) ∈ \\vec{v}\n\\vec{u} + \\vec{v} = \\vec{v} + \\vec{u}\n2. Associatividade: \\vec{u} + \\vec{v} + \\vec{w} = (\\vec{u} + \\vec{v}) + \\vec{w} = \\vec{u} + (\\vec{v} + \\vec{w})\n\\vec{u} + (\\vec{v} + \\vec{w})\n\nSubtração de vetores\n\\vec{u} - \\vec{v} = \\vec{u} + (-\\vec{v})\n\nMultiplicação de vetor por número real\n\\vec{u} = \\lambda \\vec{u} = \\lambda (x, y)\n\\mathbf{R} continuando: que significa\n1) O tamanho de \\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{w} = |\\mathbf{u}| = \\mathbf{v}_i \\times \\mathbf{u}_i = \\alpha_1 + e_2 \\cdot \\mathbf{v}_i\\in \\mathbb{R}\\text{,}\n\n\\ \\sum_{i=1}^{n} \\mathbf{u}_i =\\sum_{j=1}^{n} \\mathbf{v}_i = \\alpha_1 + \\mathbf{u}_2 + \\beta_3 .\\,(2) \\text{,}\n\\ \\alpha_i=0\\text{,} \\|a\\|^2=1\\text{.}\\|\\mathbf{v} - \\mathbf{w}\\|^2. Exemplo\n1) \\mathbf{v} = \\alpha_1 \\mathbf{e}_1 + \\alpha_2 \\mathbf{e}_2 + \\alpha_3 \\mathbf{e}_3\n\nSejam \\mathbf{v}_1 = \\mathbf{e}_1 + \\mathbf{e}_2 + \\mathbf{v}_3 + \\mathbf{e}_3.\n\nCom \\mathbf{v} \\neq 0, então \\mathbf{v} \\neq \\mathbf{0}.\n\n\\ \\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i = 0 \\\n\n\\ \\mathbf{0} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} + \\mathbf{v}\n\\ \\| A \\|^2 \n\n2) \\mathbf{e} = \\| \\mathbf{u} \\| \\cdot \\mathbf{v} = \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{e} \\cdot R\n\n3) \\mathbf{0} - \\alpha_{v1} + (-2)\\mathbf{v}^2 + \\mathbf{u}^3 + . . . + \\mathbf{0}\\mathbf{u}_n Definição: Sejam \\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots, \\mathbf{v}_n \\in \\mathbb{R}^n, são chamados linearmente dependentes se existem scalars \\alpha_1, \\alpha_2, \\ldots, \\alpha_n, não todos nulos, tais que \\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i \\mathbf{v}_i = \\mathbf{0}\\in \\mathbb{R}^n.\nExemplo:\n1) \\mathbf{v} = \\alpha_1 \\mathbf{u}_1 + \\alpha_2 \\mathbf{u}_2 \\\n2) \\alpha_3 \\cdot 0 = 0\\mathbf{v}\n3) \\mathbf{u} = \\mathbf{0} ou \\mathbf{u} = \\alpha_2 \\text{, }\n\n\\ \\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i \\mathbf{v}_i + \\sum_{i=1}^{n} \\mathbf{u}^2 \\text{,}\n\\ \\, i \\in \\mathbb{R}\\text{,} \\alpha_i\\neq0\n\\ \\mathbf{0} = 0. Base e coordenadas\nDEFINIÇÃO: uma base de \\( V^n \\) é uma família ordenada \\( (v_1,v_2,...,v_n) \\) de vetores distintos de \\( V \\).\n\n\\( \\underline{v} = \\alpha_1 v_1 + \\alpha_2 v_2 + \\alpha_3 v_3 \\)\n\nDefinimos \\( \\underline{v} \\in V^n \\) a partir de \\( (v_1, v_2, v_3) \\) e vamos considerar que verificam:\n\n\\( \\underline{v} = \\alpha_1 v_1 + \\alpha_2 v_2 + \\alpha_3 v_3 \\)\n\nNOTAÇÃO: \\( [\\underline{v}]_B = (\\alpha_1, \\alpha_2, \\alpha_3) \\)\n\nExemplo:\n(1) \\( B = (v_1 = (\\sqrt{3}, \\sqrt{2}, \\sqrt{3})) \\)\n\\( [\\underline{v}]_B = (1,0,0) \\)\n\n(2) \\( [\\underline{v}]_B = (1, \\sqrt{3}) = 1.0 + 1.\\sqrt{3} \\)\n\n(3) \\( [\\underline{v}]_B = = 0,0,0\n\nProposição: Seja a base \\( B = (v_1, v_2, v_3) \\) uma base de \\( V^3 \\) e \\( \\underline{v} = (\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3) \\)\n\n\\( \\alpha_1, \\alpha_2, \\alpha_3 \\in \\mathbb{R} \\)\n\n\\( \\underline{v} = \\alpha_1 v_1 + \\alpha_2 v_2 + \\alpha_3 v_3 \\)\n\n\\underline{Prova:}\n\\( \\underline{v} = \\alpha_1 v_1 + \\alpha_2 v_2 + \\alpha_3 v_3 \\)\n\n\\underline{1:} \\( \\underline{v} = (\\beta_1,\\beta_2,\\beta_3) \\)\n\n\\( \\underline{\\beta} = (\\alpha_1 + \\beta_1, \\alpha_2 + \\beta_2, \\alpha_3 + \\beta_3) \\)\n\n\\underline{Conclusão:}\n[\\underline{v}]_B = \\lambda_B\\beta = \\beta_1 v_1 + \\beta_2 v_2 + \\beta_3 v_3\n Base e coordenadas\n\\( [\\underline{v}]_B = (0,0,0) \\)\\n\\( [\\sqrt{2}]_B = (0,1,0) \\)\\n\\( \\underline{v} = (1,0,0) \\)\n\n\\underline{Proposição:}\\nSe a base \\( B = (v_1,v_2,v_3) \\) é tal que \\( \\underline{v} = (\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3) \\) e \\( \\underline{v}_B = (\\beta_1,\\beta_2,\\beta_3) \\). Então \\( [\\underline{v}]_B = \\lambda_i (\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3) \\)\n\nExemplo: \\( \\underline{v} = (2, -3) \\)\n\\( [\\underline{v}]_B = (1, \\beta_1,\\beta_2) \\) \n\\( 6\\ ;\\ \\underline{v}_B = (-2, -6) \\)\n\nCaso \\( t = 2, B \\)\n\\( [\\underline{v}]_B = (0,0,0) \\)\n\nProposição: \\( \\underline{v} \\) é uma base de \\( V^3 \\)\n\n\\( \\underline{v} = [\\underline{v}] \\), sendo assim:\n\\( \\underline{\\lambda } \\in \\mathbb{R} \\equiv \\lambda_1 \\) e \\( \\lambda_2 \\)\n \\( 1 = \\beta_2 \\) como \\( \\beta \\neq 0 \\)\\n\\( \\beta = 2 \\)\\n\n\\( \\| u \\| = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \\)\n\nProposição: Se \\( B \\) é uma base de \\( V^n \\) \\( (\\underline{v_1},\\underline{v_2},\\underline{v_n}) \\)\\n\\( [\\underline{u}]_{B} = \"[u_1,u_2,v_k] = (\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3) \\)\\n\\( \\underline{u}, [\\underline{u}]_{B} \\)\\n\n\\( \\det(v_1,v_2,v_3) \\neq 0 \\)\n\nExemplo: Se a base \\( B \\) é uma base de \\( \\mathbb{R}^3\\) \\n\n\\( \\underline{v} = (1,0,0) \\) e \\( \\underline{v} = (0,1,0) \\)\\n\\( \\-1 = \\lambda_1 \\)\\n\n\\( (\\underline{v_1},\\underline{v_2},\\underline{v_3}) \\rightarrow \\lambda \\in \\mathbb{R}^3 \\)\\n\\( \\lambda_2 =1 \\)\\n\\( x = (0,1) \\)\\n Então as v1, v2 são (funcionalmente) iguais à: \n | 1 b2\n | a2 b2 \n [ b1 a1 ] \n | a1 b2 \n\n |[ 0 ] \n [ 0 ] \n |[ 0 ] \n\n MUNDANÇA DE BASE\n \n O grupo dado é: E = (e1, e2 e3) e F = (f1, f2, f3), e um vetor (v). Agora vamos entender como os elementos na base são lineares.\n\n [ i1 ] \n a11 f1 + a21 e2 + a31 3 \n [ i2 ] \n a22 e2 + a32 e2 + a12 e1 \n [ i3 ] \n a33 e3 + a32 e2 + a01 e3 \n\n [W'] = (y1, y2, y3)\n = [y1 a1 + ...] \n\n Prova: MFC = \n | a11 a12 a13 |\n | a21 a22 a23 |\n | a31 a32 a33 |\n\n ... Glu\n onde W = [phi1 phi2 phi3] e [gamma 1, 2] \n [g2, ...\n\n Propriedades: \n Sejam E = (e1, e2, e3) e F = (f1, f2, f3) são um vetor (v) tal que [w] = (MFE [W] F) \nExemplo: \n F = (x1, x2, x3)\n e F = (f1, f2, f3) - base.\n\n 1:\n [y1] = (1, 0, 1) \n [y2] = (0, 0, 0) \n \n mfc = | 0 0 0 | \n | 0 | \n mfc = -1 (vetor \n [ 0 | 0 | 0 |) \n\nContinuaçäo... \n\n\nDefinição: Sejam E = (e1, e2, e3)\n e F = (f1, ..., f3) como: A matriz tradicional de base F para dar E, se é definida como: \n MFC = [phi1 phi2 phi3] \n E = (1,1,2) eu = \n |[ 1 0 ] |\n |[ 0 | |\n\n x1 = y1 a1 + y2 a2 + y3 a3\nx2 = y1 y2 a22 + y3 a33\nx3 = y1 a1 + y2 y2 a22 + y3 a33\n\n mfc \n\n [ \n a11 a12 a13 \n a21 a22 a23 \n a31 a32 a33 \n ] \n\nContents: \n\nExemplo: \n(1) Um exemplo entendendo a matriz tradicional era. \n mfc = \n [-1 0 0]\n [ 0 0 1]\n\nDeterminante [W] = valores que [W'] = Mfc de [W'] \n[W'] (1, 2, 3) \n\nw1 = 1 \n x1 = 2 \n x2 = 2 \n x3 = 2\n\n2) No mesmo exemplo (---) determinar [Y], utilizando que: \n [7] e = (1, 0, 0) \n\n [Y] = (Mfc = [7]) \n\n [Y] = (y1 - y2 y2)\n\n [X] = \n [ 2 -1 0 0 ] \n [ 0 0 1 ] \n\n = y1 - y4 = y2 - y3 -> -1 - y3 = 3 - y4\n0 = y2 - y5 -> 0 - y2 + 3 = - y3\n[v^]' = (1, 2, -3)\n\nMUDANÇA ENTRE TRÊS BASES\n* Propriedade: Se E, F e G são bases, então:\nM_{EG} = M_{EF} M_{FG} \n\nL. Propria: Iya é um vetor qualquer:\n[v_{1}]_{E} = M_{EF}(M_{F} M_{G}) - M_{F} M_{EF} [v]_{G}\n\n[ v_{g} ]_{E} = M_{EF} M_{F} [ v_{G}] - M_{[G]F} o - Ma coluna M_{F} - M_{G}\n\n[v]_{E} = M_{EF}.\n\nce\n* Propriedades: Se E e F são bases distintas:\nM_{EF} = M_{E} M_{F} \n\nL. Propria: M_{EF} = M_{E} M_{F} \n\nEm que:\nM_{F} = Matriz identidade (I)\nI - M_{EF} M_{F} e\n\n//Angulos entre vetores e produto escalar\n\n* Propriedades: Se [v1] e [v2] dão nasc. \"Propriedades e ângulos\"\n\nAumenta aos angulos entre $\pi/2 (90)$\n\\ onde \\ |v1|, \\ |v2| = 0 1. ou 2\\pi // e o melhor entre os $$\\ times com o angulot dos \\ \\ e o que deseja $$ \\ \\ \\ \n**\\ \\ a radianos entre 90 e 0** \\ \\ \\ \\ \\ ⟨ \\ \\ **\\ \\ e a igualdade entre $$ \\ e um \\ \\ na continção M \\ \\ |\n 2. $$\\ o \\ \\ \\ isso entre as $ $\\ **\\ \\ construção permanece \\ e Jo\\ \\ \\ \\ $ \\ \\ \\ | \\ \\ * *\\ \\ A parte \\ \\ entre um \\ \\ outro, \\ $ $\\ \\ \\ e\\ \\ + * \\ \n\n* Observação: #\, base vocês referem-se a 10 #\n\n* Propriedade: O sistema de $${F} = (e_{1},e_{2},e_{3}) $$ é dito.\n\n1 - ortogonal ou aos vetores e2, e3 que formam os \\\n3. - ortonormais um-os - vetores antigos referem-se a norm 1 \\\.\n\n1 - 1 vivendo sistema \\ = (e1,e2)\n = \\ = \\\ \\ = \\\ > \\ u_{i}.u_{1}+u_{\pi}(2+3u(\\u));\n* *E onde u1=(e1,e1,e2,e3)\n\n2 [v] = \\x^2 + y^2 + z^2\\ \\ _t \\ 2 Utipo (m[1],m[2],m[3]) \\;\nDado que product- \\ = (g_{1}) / (g_{1}^2) + (g_{2}) |\n\\ = (1,14) / (1)|\n\\ ||u{1}||^{2} = ||a||^4 + ||b_{n}des||^2\nEmplemer E = uma base , (U = (1,5) = (1,5,4/5)\n\nConsequilhos eas\\ = \\ ||\\ E{i}(0+1) \\ = \\ ||\\ _{1})\\ = &&\\U\\\n\n\\ (f\\ ) * P = u||En )\\ = \\m_a U = U^{(\ || |\\)\n\n= G = =L = L .5 + |ex (G {G \ | U G\\ r.{ =e}{0.x^2)}&\\ \\ $\\ ||q v_{\= u_{12} \\ \\ u_{11} || - \\ =U$ \n\\ =q 0^2||\\ (1,0,0)(1,5)8 || |0$\n\nSendo (OP) = u{F} - u{P \\ 0 }\n\n$ H = XI$ *\n\\ ||(a,b,c)|| = ||v= = || = \v{e}$ \\ e \n\\ = iStatusq ||e^n ||y ||u (no)t \\ e (0_) )=
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Propriedade: da soma de vetores\n1. Comutatividade: (A, B) ∈ \\vec{u} e (B, C) ∈ \\vec{v}\n\\vec{u} + \\vec{v} = \\vec{v} + \\vec{u}\n2. Associatividade: \\vec{u} + \\vec{v} + \\vec{w} = (\\vec{u} + \\vec{v}) + \\vec{w} = \\vec{u} + (\\vec{v} + \\vec{w})\n\\vec{u} + (\\vec{v} + \\vec{w})\n\nSubtração de vetores\n\\vec{u} - \\vec{v} = \\vec{u} + (-\\vec{v})\n\nMultiplicação de vetor por número real\n\\vec{u} = \\lambda \\vec{u} = \\lambda (x, y)\n\\mathbf{R} continuando: que significa\n1) O tamanho de \\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{w} = |\\mathbf{u}| = \\mathbf{v}_i \\times \\mathbf{u}_i = \\alpha_1 + e_2 \\cdot \\mathbf{v}_i\\in \\mathbb{R}\\text{,}\n\n\\ \\sum_{i=1}^{n} \\mathbf{u}_i =\\sum_{j=1}^{n} \\mathbf{v}_i = \\alpha_1 + \\mathbf{u}_2 + \\beta_3 .\\,(2) \\text{,}\n\\ \\alpha_i=0\\text{,} \\|a\\|^2=1\\text{.}\\|\\mathbf{v} - \\mathbf{w}\\|^2. Exemplo\n1) \\mathbf{v} = \\alpha_1 \\mathbf{e}_1 + \\alpha_2 \\mathbf{e}_2 + \\alpha_3 \\mathbf{e}_3\n\nSejam \\mathbf{v}_1 = \\mathbf{e}_1 + \\mathbf{e}_2 + \\mathbf{v}_3 + \\mathbf{e}_3.\n\nCom \\mathbf{v} \\neq 0, então \\mathbf{v} \\neq \\mathbf{0}.\n\n\\ \\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i = 0 \\\n\n\\ \\mathbf{0} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} + \\mathbf{v}\n\\ \\| A \\|^2 \n\n2) \\mathbf{e} = \\| \\mathbf{u} \\| \\cdot \\mathbf{v} = \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{e} \\cdot R\n\n3) \\mathbf{0} - \\alpha_{v1} + (-2)\\mathbf{v}^2 + \\mathbf{u}^3 + . . . + \\mathbf{0}\\mathbf{u}_n Definição: Sejam \\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots, \\mathbf{v}_n \\in \\mathbb{R}^n, são chamados linearmente dependentes se existem scalars \\alpha_1, \\alpha_2, \\ldots, \\alpha_n, não todos nulos, tais que \\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i \\mathbf{v}_i = \\mathbf{0}\\in \\mathbb{R}^n.\nExemplo:\n1) \\mathbf{v} = \\alpha_1 \\mathbf{u}_1 + \\alpha_2 \\mathbf{u}_2 \\\n2) \\alpha_3 \\cdot 0 = 0\\mathbf{v}\n3) \\mathbf{u} = \\mathbf{0} ou \\mathbf{u} = \\alpha_2 \\text{, }\n\n\\ \\sum_{i=1}^{n} \\alpha_i \\mathbf{v}_i + \\sum_{i=1}^{n} \\mathbf{u}^2 \\text{,}\n\\ \\, i \\in \\mathbb{R}\\text{,} \\alpha_i\\neq0\n\\ \\mathbf{0} = 0. Base e coordenadas\nDEFINIÇÃO: uma base de \\( V^n \\) é uma família ordenada \\( (v_1,v_2,...,v_n) \\) de vetores distintos de \\( V \\).\n\n\\( \\underline{v} = \\alpha_1 v_1 + \\alpha_2 v_2 + \\alpha_3 v_3 \\)\n\nDefinimos \\( \\underline{v} \\in V^n \\) a partir de \\( (v_1, v_2, v_3) \\) e vamos considerar que verificam:\n\n\\( \\underline{v} = \\alpha_1 v_1 + \\alpha_2 v_2 + \\alpha_3 v_3 \\)\n\nNOTAÇÃO: \\( [\\underline{v}]_B = (\\alpha_1, \\alpha_2, \\alpha_3) \\)\n\nExemplo:\n(1) \\( B = (v_1 = (\\sqrt{3}, \\sqrt{2}, \\sqrt{3})) \\)\n\\( [\\underline{v}]_B = (1,0,0) \\)\n\n(2) \\( [\\underline{v}]_B = (1, \\sqrt{3}) = 1.0 + 1.\\sqrt{3} \\)\n\n(3) \\( [\\underline{v}]_B = = 0,0,0\n\nProposição: Seja a base \\( B = (v_1, v_2, v_3) \\) uma base de \\( V^3 \\) e \\( \\underline{v} = (\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3) \\)\n\n\\( \\alpha_1, \\alpha_2, \\alpha_3 \\in \\mathbb{R} \\)\n\n\\( \\underline{v} = \\alpha_1 v_1 + \\alpha_2 v_2 + \\alpha_3 v_3 \\)\n\n\\underline{Prova:}\n\\( \\underline{v} = \\alpha_1 v_1 + \\alpha_2 v_2 + \\alpha_3 v_3 \\)\n\n\\underline{1:} \\( \\underline{v} = (\\beta_1,\\beta_2,\\beta_3) \\)\n\n\\( \\underline{\\beta} = (\\alpha_1 + \\beta_1, \\alpha_2 + \\beta_2, \\alpha_3 + \\beta_3) \\)\n\n\\underline{Conclusão:}\n[\\underline{v}]_B = \\lambda_B\\beta = \\beta_1 v_1 + \\beta_2 v_2 + \\beta_3 v_3\n Base e coordenadas\n\\( [\\underline{v}]_B = (0,0,0) \\)\\n\\( [\\sqrt{2}]_B = (0,1,0) \\)\\n\\( \\underline{v} = (1,0,0) \\)\n\n\\underline{Proposição:}\\nSe a base \\( B = (v_1,v_2,v_3) \\) é tal que \\( \\underline{v} = (\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3) \\) e \\( \\underline{v}_B = (\\beta_1,\\beta_2,\\beta_3) \\). Então \\( [\\underline{v}]_B = \\lambda_i (\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3) \\)\n\nExemplo: \\( \\underline{v} = (2, -3) \\)\n\\( [\\underline{v}]_B = (1, \\beta_1,\\beta_2) \\) \n\\( 6\\ ;\\ \\underline{v}_B = (-2, -6) \\)\n\nCaso \\( t = 2, B \\)\n\\( [\\underline{v}]_B = (0,0,0) \\)\n\nProposição: \\( \\underline{v} \\) é uma base de \\( V^3 \\)\n\n\\( \\underline{v} = [\\underline{v}] \\), sendo assim:\n\\( \\underline{\\lambda } \\in \\mathbb{R} \\equiv \\lambda_1 \\) e \\( \\lambda_2 \\)\n \\( 1 = \\beta_2 \\) como \\( \\beta \\neq 0 \\)\\n\\( \\beta = 2 \\)\\n\n\\( \\| u \\| = \\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \\)\n\nProposição: Se \\( B \\) é uma base de \\( V^n \\) \\( (\\underline{v_1},\\underline{v_2},\\underline{v_n}) \\)\\n\\( [\\underline{u}]_{B} = \"[u_1,u_2,v_k] = (\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3) \\)\\n\\( \\underline{u}, [\\underline{u}]_{B} \\)\\n\n\\( \\det(v_1,v_2,v_3) \\neq 0 \\)\n\nExemplo: Se a base \\( B \\) é uma base de \\( \\mathbb{R}^3\\) \\n\n\\( \\underline{v} = (1,0,0) \\) e \\( \\underline{v} = (0,1,0) \\)\\n\\( \\-1 = \\lambda_1 \\)\\n\n\\( (\\underline{v_1},\\underline{v_2},\\underline{v_3}) \\rightarrow \\lambda \\in \\mathbb{R}^3 \\)\\n\\( \\lambda_2 =1 \\)\\n\\( x = (0,1) \\)\\n Então as v1, v2 são (funcionalmente) iguais à: \n | 1 b2\n | a2 b2 \n [ b1 a1 ] \n | a1 b2 \n\n |[ 0 ] \n [ 0 ] \n |[ 0 ] \n\n MUNDANÇA DE BASE\n \n O grupo dado é: E = (e1, e2 e3) e F = (f1, f2, f3), e um vetor (v). Agora vamos entender como os elementos na base são lineares.\n\n [ i1 ] \n a11 f1 + a21 e2 + a31 3 \n [ i2 ] \n a22 e2 + a32 e2 + a12 e1 \n [ i3 ] \n a33 e3 + a32 e2 + a01 e3 \n\n [W'] = (y1, y2, y3)\n = [y1 a1 + ...] \n\n Prova: MFC = \n | a11 a12 a13 |\n | a21 a22 a23 |\n | a31 a32 a33 |\n\n ... Glu\n onde W = [phi1 phi2 phi3] e [gamma 1, 2] \n [g2, ...\n\n Propriedades: \n Sejam E = (e1, e2, e3) e F = (f1, f2, f3) são um vetor (v) tal que [w] = (MFE [W] F) \nExemplo: \n F = (x1, x2, x3)\n e F = (f1, f2, f3) - base.\n\n 1:\n [y1] = (1, 0, 1) \n [y2] = (0, 0, 0) \n \n mfc = | 0 0 0 | \n | 0 | \n mfc = -1 (vetor \n [ 0 | 0 | 0 |) \n\nContinuaçäo... \n\n\nDefinição: Sejam E = (e1, e2, e3)\n e F = (f1, ..., f3) como: A matriz tradicional de base F para dar E, se é definida como: \n MFC = [phi1 phi2 phi3] \n E = (1,1,2) eu = \n |[ 1 0 ] |\n |[ 0 | |\n\n x1 = y1 a1 + y2 a2 + y3 a3\nx2 = y1 y2 a22 + y3 a33\nx3 = y1 a1 + y2 y2 a22 + y3 a33\n\n mfc \n\n [ \n a11 a12 a13 \n a21 a22 a23 \n a31 a32 a33 \n ] \n\nContents: \n\nExemplo: \n(1) Um exemplo entendendo a matriz tradicional era. \n mfc = \n [-1 0 0]\n [ 0 0 1]\n\nDeterminante [W] = valores que [W'] = Mfc de [W'] \n[W'] (1, 2, 3) \n\nw1 = 1 \n x1 = 2 \n x2 = 2 \n x3 = 2\n\n2) No mesmo exemplo (---) determinar [Y], utilizando que: \n [7] e = (1, 0, 0) \n\n [Y] = (Mfc = [7]) \n\n [Y] = (y1 - y2 y2)\n\n [X] = \n [ 2 -1 0 0 ] \n [ 0 0 1 ] \n\n = y1 - y4 = y2 - y3 -> -1 - y3 = 3 - y4\n0 = y2 - y5 -> 0 - y2 + 3 = - y3\n[v^]' = (1, 2, -3)\n\nMUDANÇA ENTRE TRÊS BASES\n* Propriedade: Se E, F e G são bases, então:\nM_{EG} = M_{EF} M_{FG} \n\nL. Propria: Iya é um vetor qualquer:\n[v_{1}]_{E} = M_{EF}(M_{F} M_{G}) - M_{F} M_{EF} [v]_{G}\n\n[ v_{g} ]_{E} = M_{EF} M_{F} [ v_{G}] - M_{[G]F} o - Ma coluna M_{F} - M_{G}\n\n[v]_{E} = M_{EF}.\n\nce\n* Propriedades: Se E e F são bases distintas:\nM_{EF} = M_{E} M_{F} \n\nL. Propria: M_{EF} = M_{E} M_{F} \n\nEm que:\nM_{F} = Matriz identidade (I)\nI - M_{EF} M_{F} e\n\n//Angulos entre vetores e produto escalar\n\n* Propriedades: Se [v1] e [v2] dão nasc. \"Propriedades e ângulos\"\n\nAumenta aos angulos entre $\pi/2 (90)$\n\\ onde \\ |v1|, \\ |v2| = 0 1. ou 2\\pi // e o melhor entre os $$\\ times com o angulot dos \\ \\ e o que deseja $$ \\ \\ \\ \n**\\ \\ a radianos entre 90 e 0** \\ \\ \\ \\ \\ ⟨ \\ \\ **\\ \\ e a igualdade entre $$ \\ e um \\ \\ na continção M \\ \\ |\n 2. $$\\ o \\ \\ \\ isso entre as $ $\\ **\\ \\ construção permanece \\ e Jo\\ \\ \\ \\ $ \\ \\ \\ | \\ \\ * *\\ \\ A parte \\ \\ entre um \\ \\ outro, \\ $ $\\ \\ \\ e\\ \\ + * \\ \n\n* Observação: #\, base vocês referem-se a 10 #\n\n* Propriedade: O sistema de $${F} = (e_{1},e_{2},e_{3}) $$ é dito.\n\n1 - ortogonal ou aos vetores e2, e3 que formam os \\\n3. - ortonormais um-os - vetores antigos referem-se a norm 1 \\\.\n\n1 - 1 vivendo sistema \\ = (e1,e2)\n = \\ = \\\ \\ = \\\ > \\ u_{i}.u_{1}+u_{\pi}(2+3u(\\u));\n* *E onde u1=(e1,e1,e2,e3)\n\n2 [v] = \\x^2 + y^2 + z^2\\ \\ _t \\ 2 Utipo (m[1],m[2],m[3]) \\;\nDado que product- \\ = (g_{1}) / (g_{1}^2) + (g_{2}) |\n\\ = (1,14) / (1)|\n\\ ||u{1}||^{2} = ||a||^4 + ||b_{n}des||^2\nEmplemer E = uma base , (U = (1,5) = (1,5,4/5)\n\nConsequilhos eas\\ = \\ ||\\ E{i}(0+1) \\ = \\ ||\\ _{1})\\ = &&\\U\\\n\n\\ (f\\ ) * P = u||En )\\ = \\m_a U = U^{(\ || |\\)\n\n= G = =L = L .5 + |ex (G {G \ | U G\\ r.{ =e}{0.x^2)}&\\ \\ $\\ ||q v_{\= u_{12} \\ \\ u_{11} || - \\ =U$ \n\\ =q 0^2||\\ (1,0,0)(1,5)8 || |0$\n\nSendo (OP) = u{F} - u{P \\ 0 }\n\n$ H = XI$ *\n\\ ||(a,b,c)|| = ||v= = || = \v{e}$ \\ e \n\\ = iStatusq ||e^n ||y ||u (no)t \\ e (0_) )=