Estudo de Ângulos e Distâncias entre Objetos no Espaço

ANGULOS E DISTANCIA 51 ANGULOS No capitulo anterior nos concentramos no estudo da posicao relativa entre dois objetos no espaco Tal estudo nos permitiu determinar se dois objetos sao ou nao paralelos e neste capitulo vamos aprofundar um pouco mais o estudo de posicao relativa definindo e estudando uma medida de posicao relativa entre estes o que denominaremos por medida angular ou angulo entre dois objetos no espaco 511 Angulo entre duas Retas O angulo entre duas retas é definido como o Angulo entre seus vetores diretores Assim se rAvtesButentao o angulo 6 entre re s sera tal que cos 0 uv 51 ll Iv e consequentemente arccos a ll Iv Lembramos que a fungao arccosx retorna um angulo x tal que 0 x 7 Como cosx cosx o Angulo que obtemos acima é nao orientado ou seja obtemos apenas o valor absoluto do angulo Em outras palavras nesta definicao o Angulo entre a reta re a retas 0 mesmo que 0 angulo entre a retas ea retar Observamos também que entre duas retas nao paralelas sempre existem dois angulos possiveis e o Angulo que encontramos nao é necessariamente o menor deles ou seja o angulo agudo Em algumas situacdes é desejavel conhecermos o angulo agudo entre as retas r e a reta s Para isto observe que se u v 0 entao Taller 0 Portanto arccos UV Zl ull lvl 2 e 0 objetivo foi alcangado Caso contrario se u v 0 temos que 7 arccos Tl 2 ful Iv 123 Versão Preliminar e estamos interessados portanto no ângulo suplementar π θ Mas note que cosπ θ cosθ e portanto substituindo em 51 obtemos que se u v 0 então cosπ θ u v u v u v u v 52 Desta forma se denotarmos por α o ângulo agudo entre as retas r e s temos que cos α u v u v com 0 α π Exemplo 51 Encontre o ângulo entre as reta r X 1 2 1 1 1 0t e s x 2 12 y 3 12 z 7 1 2 Solução A reta r tem vetor diretor 1 1 0 e a reta s tem vetor direto 12 12 1 2 E assim cos θ 1 1 012 12 1 2 1 1 012 12 1 2 1 2 2 2 e logo θ π 4 É importante observar que para medir o ângulo entre duas retas não é necessário que estas se interceptem já que a nossa definição de ângulos entre retas é na verdade o ângulo entre os vetores diretores das retas Observamos também que o ângulo entre duas retas paralelas coincidentes ou não é sempre 0 Também neste sentido duas retas são ditas ortogonais se seus vetores diretores são perpendiculares E duas retas são ditas perpendiculares se elas se interceptam e são or togonais Exemplo 52 Verifique se as retas r 1 2 1 1 1 0t e s 1 3 4 1 1 3t são ortog onais eou se são perpendiculares Solução Como 1 1 0 1 1 3 0 elas são ortogonais Para verificar se elas se interceptam basta resolvemos o sistema linear 1 2 1 1 1 0t1 1 3 4 1 1 3t2 124 z vAB Xo7 B a AL 27 Je y Ly a ao 4 oy 7 Sov 7 4 2 Za L Y Figura 51 As retas AB e FG sao ortogonais mas nao perpendiculares Como o sistema acima nao possui soluc6es as retas nao se interceptam e assim elas nao sao perpendiculares O No caso bidimensional lancando mao da representacgao por equacoes lineares podemos redefinir as formulas para o angulo entre duas retas e colocalas em funcao da inclinacao das retas estudadas Tome entao duas retasr y mxdes y m2x d e lembrese que podemos expressar seus vetores diretores respectivamente por v i mj e u i moj Assim obtemos que uv 1 mm cos 6 TM Tame wt A expressao acima assim como no caso tridimensional nos permite calcular o angulo nao orientado entre as retas Esse angulo esta entre 0 e 72 se 1 m mz positivo e entre 72 e pi se 1 mympz negativo Se 1 mymz 0 o angulo é igual a 72 e assim as retas sao perpendiculares De modo analogo podemos encontrar mz my sen 8 1 mi1 m5 ou equivalentemente liz mi arcsen 14 mi1 m3 Neste caso como 0 W2l 1 temos que 0 72 Veen im ae SS 125 Outro modo de determinar o angulo entre duas retas no plano é lembrando que 0 coe ficiente angular é a tangente do Angulo orientado no sentido antihorario entre a reta é a parte positiva do eixo x Assim dadas duas retas de coeficiente angulares m tg e mz tg Po Pela figura 52 temos que 6 2 e logo tego2tepr mam tg0 tgp2 py eR BL 1 tg qi tg 2 1mmp r Ss Ze Nt N Figura 52 Uma vantagem da expressao m2 My 6 arctg 5 1 mm é que o angulo determinado por esta é 0 angulo orientado entre as retas r 12 Dadas duas retas de coeficientes angulares m1 m2 entao o angulo entre elas é dado por 1mym cos 6 J14m14m sen aml of 14m 1m mm tg Timm Exemplo 53 Ache o dngulo entre as retas 2x y 3ex3y4 Solucao Neste caso temos que 1 z2 ig3 5 7 1 3 2 E assim arctg7 818699 126 Versão Preliminar 1 1 2 3 β Exemplo 54 Ache duas retas que passe pelo ponto 2 2 e que faça um angulo de 45com a reta 2x 3y 4 Solução Inicialmente vamos encontrar o coeficiente angular dessas retas Para isso obser vamos que tg 45 1 2 3 m 1 2 3m E dessa forma 1 2 3m 2 3 m e logo 5 3m 1 3 e assim m 1 5 Logo a equação da reta é y 2 1 5x 2 No caso tg 45 1 m 2 3 1 2 3m E dessa forma m 5 Logo a equação da reta é y 2 5x 2 Exercícios Ex 11 Ache o ângulo agudo entre as retas 3x 4y 2 0 e 2x 3y 7 Ex 12 Qual o ângulo entre o eixo x e 5x 12 3 Ex 13 Ache duas retas passando por 1 1 que faz um ângulo de 45o com 3x 4y 7 Ex 14 Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são 2 1 1 2 3 2 Veja se eles somam 180o 127 Ex 15 Seja a um dos angulos formados pelas retas ax by ce y px q Dé uma expressao para cos Ex 16 Escreva a equacao da reta que passa pela origem e faz um angulo de 45 coma yv3 reta5 5 1 Ex 17 Mostrar que os quatro pontos 22 56 99 e 65 sao os vértices de um losango e que suas diagonais se cortam mutuamente ao meio e uma é perpendicular a outra Ex 18 O segmento retilfneo que une os pontos médios de dois lados opostos de qual quer quadrilatero e o segmento retilineo que une os pontos médios das diagonais do quadrilatero cortam se mutualmente ao meio Ex 19 Determine as equac6es paramétricas da reta que passa pelo ponto 121 e é perpendicular as retas r 130 121tes 210 111t Ex 110 Determine as equac6es paramétricas da reta perpendicular as retas x3t7 y 2t4 z3t4 e xt1 y2t9 zt12 512 Angulo entre uma Reta e um Plano O angulo 6 entre uma reta r e um plano 7 é definido como o angulo complementar ao angulo agudo entre o vetor diretor a essa reta e 0 vetor normal ao plano ver figura 53 Se v é um vetor diretor da reta r e n é um vetor normal ao plano 71 entao 7 sen sen S x cos e logo ven sen lven Iv 128 Versão Preliminar n α θ Figura 53 Ângulo θ entre uma reta e um plano Dizemos que um plano π com vetor normal n e uma reta r com vetor diretor v são or togonais se o ângulo entre eles é π 2 ou equivalentemente se os vetores v e n são paralelos Exemplo 55 Determine o ângulo entre a reta X 6 7 0 1 1 0t e o plano de equação vetorial X 8 4 2 1 0 2t 1 2 0s Solução Vamos encontrar inicialmente um vetor normal a esse plano n 1 0 2 1 2 0 4 2 2 Logo o angulo entre a reta é o plano é dado por senθ 1 1 0 4 2 2 2 24 3 2 e assim θ π 3 Exemplo 56 Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto 1 2 1 e que é perpendicular a reta X 1 0 0 1 3 1t Solução O vetor normal ao plano pode ser escolhido como 1 3 1 e assim a equação geral desse plano é x 3y z d Como o ponto 1 2 1 pertence ao plano ele satis faz a equação do plano ie 1 3 2 1 d Logo d 6 e a equação geral do plano é x 3y z 6 129 Versão Preliminar 513 Ângulo entre dois Planos O ângulo entre dois planos π1 e π2 é definido como o ângulo agudo entre os vetores normais n1 e n2 cosθ n1 n2 n1 n2 n1 n2 θ Figura 54 Dois planos π1 e π2 com vetores normais n1 e n2 respectivamente são ditos ortogonais se o ângulo entre eles é π 2 o que implica que seus vetores diretores são perpendiculares ie n1 n2 0 Exemplo 57 Determine a equação do plano que contém o ponto 1 0 1 e que é perpendicu lar aos planos 2x y z 2 e x z 7 Solução O vetor n normal ao plano será ortogonal aos vetores 2 1 1 e 1 0 1 E assim n 2 1 1 1 0 1 1 3 1 Logo a equação geral do plano é da forma x 3y z d Como o ponto 1 0 1 pertence ao plano d 1 3 0 1 2 130 Versão Preliminar E a equação geral é x 3y z 2 Exercícios Ex 111 Ache os ângulos entre os planos a 3x y z 2 e x y 6 b x 2y 3z 8 e 2x 4y 6z 31 0 c x 0 e y 0 d x 1 e x y 1 Ex 112 Escreva a equação vetorial do plano que passa pelo ponto P e é perpendicular as planos rn1 D1 0 rn1 D1 0 Escreva também a equação geral desse plano dado que P x0 y0 z0 n1 a1 b1 c1 n1 a2 b2 c2 Ex 113 Ache a equação do plano perpendicular ao plano xz que contem o ponto 1 2 3 e que faz um ângulo de π 4 com 3x 2y z 1 52 distâncias Passemos agora a um novo problema definir e determinar a distância entre dois objetos ponto reta ou plano no espaço Sabemos facilmente como determinar a distância entre dois pontos no espaço Bastando para isso medir o tamanho do vetor determinado por estes pontos Mas como medir a distância entres outros dois objetos Este será nosso objetivo nesta seção 131 Versão Preliminar 521 Distância de um ponto a uma reta A distância entre um ponto P e uma reta r é definida como a distância entre P e ponto A r mais próximo de P Para determinar a distância de P a r sejam A e B dois pontos de r e considere o triângulo ABP h r b A b B bP A área do triangulo ABP pode ser calculada usando o produto vetorial e assim temos A 1 2 AP AB Por outro lado usando que a área do triângulo é metade da base vezes a altura temos A ABh 2 e assim AP AB ABh e logo h dP r AP AB AB Exemplo 58 Calcule a distância do ponto P 1 0 2 a reta r 1 0 1 2 0 1t Solução Escolhemos A 1 0 1 e B 3 0 2 E assim AP 0 0 1 e AB 2 0 1 dP r 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 5 Distância de um ponto a uma reta no plano o caso bidimensional Assim como nas seções anteriores o caso bidimensional pode ser estudado separadamente Queremos então utilizar as expressões determinadas anteriormente para encontrar uma maneira de expressar a distância do ponto P p q a reta Ax By C 0 132 Comegaremos tratando o caso onde a reta é paralela ao eixo x A 0 Neste caso a reta tera equacao y e a distancia sera dada pela diferenca entre a coordenada y do ponto e da reta ou seja dPr q Se a reta r nao paralela ao eixo y entao ela intercepta 0 eixo x no ponto S 0 eseu vetor diretor pode ser escolhido como v Bi Aj por qué Desta forma a equacdo vetorial da reta ér 0 B At Escolhendo A 0 e B Av temos que AB p q e temos AP upr WAP xl IIv onde o vetor AP x v pode ser calculado através do seguinte determinante formal i jk B A 0 S 0 PA 4 e assim AP x v Bg ArCk Segue entao que AP x v Ar BsC e assim Ap BqC apr AP Bat Cl Observe que fazendo A 0 na expressao acima recuperamos a expressao encontrada para retas paralelas ao eixo x e portanto esta férmula pode ser usada em qualquer caso Exemplo 59 Calcule a distancia do ponto 13 a reta 4x 2y 3 0 Solucao d 41233 5 V164 V20 O Exemplo 510 Existem duas pontos cuja coordenadas x sdo iguais a 3 e que distam 6 da reta r 5x 12y 3 0 Ache as coordenadas y desse ponto 133 Versão Preliminar Solução Ambos os pontos podem ser representados como 3 s Para esses pontos temos que d 53 12s 3 13 6 e logo 18 12s 78 e logo s 5 ou s 8 E os pontos são 3 5 e 3 8 Exercícios Ex 21 Ache as distâncias entre os pontos e as retas dadas a 3 4 a 5x 2y 3 b 2 5 a 7x 3 0 c 3 4 a 4y 5 0 d Origem a 3x 2y 6 0 Ex 22 Determine a distância δ entre o ponto A 3 1 e a reta x 2y 3Pelo seguinte método primeiro ache o ponto B sobre essa reta tal que d A B δ Escreva a equação da reta de forma paramétrica r r0vt e calcule o produto interno dos vetores AB e v Conclua Ex 23 Ache o comprimento das alturas de um triângulo com vértices a 0 b 0 0 c Ex 24 Ache a distância entre as duas retas paralelas 3x 2y 6 e 6x 4y 9 Porque essas retas são paralelas Ex 25 Prove que a distância entre duas retas paralelas cujas equações são Ax By C 0 e Ax By C 0 é C C A2 B2 Ex 26 Ache os pontos da reta y 2x 1que estão situados a distância 2 da origem Ex 27 Quais são as retas paralelas a reta 3x 4y 1 que estão a distância 5 desta 134 522 Distancia de um ponto a um plano A distancia entre um ponto e um plano é definida de maneira analoga ao caso pontoreta Considere entao um plano 7 com vetor normal n e P um ponto qualquer Para calcularmos a distancia de P a 71 tome A um ponto qualquer de 7 e considere o vetor AP A distancia de P a 7 sera dada entao pela norma da projecao de AP sobre n ou seja AP n dP 7 Proj AP Tal P dP mc A n Se na expressdo anterior tomarmos P x0YoZ0 A a142a3 supormos que o plano 7 tem equacao geral ax by cz d teremos que o vetor normal a este plano é n abc e portanto bly dP7 axo x1 byo yi cyo y1I 53 Var b c2 axo byo cyo ax1 by cy1 SO 54 Var b c2 Como o ponto A pertence ao plano temos que axg byo cyo d e assim b d dpn xo byocyo a 55 Vat b c Observe que como seria de se esperar a distancia nao depende do ponto A escolhido Exercicios Ex 28 Determine a distancia entre os planos dados e a origem a x5 135 Versão Preliminar b x y 1 c 2x y z 0 d 2x y z 2 Ex 29 Se a distância da origem a um plano é d e esse plano intercepta os eixos em a 0 0 0 b 0 e 0 0 c prove que 1 d2 1 a2 1 b2 1 c2 523 Distância entre Duas Retas Seguindo as ideias utilizadas nos casos anteriores a distância entre duas retas r e s será definida como a menor distância entre um ponto r e um ponto de s Sejam então r s duas retas no espaço tais que r A ut e s B vt Se as retas forem coincidentes ou concorrentes claramente a distância entre elas é nula Se as retas forem paralelas e não coincidentes a distância entre elas é igual a distância de um ponto P qualquer de r a s e assim essa distância pode ser calculada usando os conhecimentos obtidos na seção anterior b b b b P dr s Se as retas r e s forem reversas começamos escolhendo um ponto P sobre r e um ponto Q sobre s Projetamos então o vetor PQ sobre o vetor n u v que é ortogonal as retas r e s A norma dessa projeção é a distância entre as retas Como Projn PQ PQ n n n e assim 136 Figura 55 Distancia entre retas reversas Pon drs 1 56 In Po8 drs 57 lu x v Exercicios Ex 210 Determinar as equacao da reta que passa pelo ponto 31 e tal que a distancia desta reta ao ponto 11 éiguala 22 Duas solucoes Ex 211 Determinar a equacao do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que sua distancia a reta 4x 3y 12 0 é sempre igual a duas vezes a distancia ao eixo x Ex 212 O angulo de inclinagao de cada uma de duas retas paralelas é a Se uma reta passa pelo ponto ab e a outra pelo ponto cd mostrar que a distancia entre elas é c a sena d b cosa Ex 213 Ache as equacoes dos planos paralelos ao plano 3x 2y 6z 8 0e que distam 2 desse plano Ex 214 Ache a distancia entre os planos paralelos 137 Versão Preliminar a 4x 8y z 9 e 4x 8y z 18 0 b 3x 2y 6z 8 0 e 6x 4y 12z 12 0 Ex 215 Ache a equação da reta que passa pelo ponto 2 1 5 e que intercepta a reta x 1 3 y 2 4 z 3 2 perpendicularmente 2 1 é sempre igual a três vezes a distância a reta y 4 0 Ex 216 Determinar a distância do ponto a reta a ponto 7 7 4 à reta 6x 2y z 4 0 e 6x y 2z 10 0 b ponto 1 2 3 à reta x7 6 y3 2 z 3 Ex 217 Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x 2y 2z 0 Ex 218 Determinar a distância d do plano 3x 12y 4z 3 0 ao ponto A 3 1 2 pelo seguinte processo Encontrar o ponto B pé da perpendicular desde A até o plano Então determinar d como o comprimento do segmento AB Ex 219 Determine a distância do ponto 2 2 2 a reta x 2t 1 y 3t 2 z 5t 1 Ex 220 Determine a distância entre as retas r que tem equação paramétricas x 2t 1 y 3t 2 z 5t 1 e a reta s que tem equação paramétrica x 4s 1 y 2s 2 z 1s 5 138 538 RETAS EM COORDENADAS POLARES Se sobrepormos um sistemas de coordenadas polares a um sistema de coordenadas cartesianas de modo que P xy e1xo y o polo e a origem coincida e a direcao principal OA Qo sobreponhase a parte positiva do eixo x veja figura 56 podemos ver que a relacao entre as coordenadas para o y mesmo ponto é dada por 9 x rcosé 58 x Ol eixo x y rsend sendo Figura 56 y Yo y ry O arctg arcsen arccos ae Substituindo as relagoes dada por 58 na equacao geral de uma retas Ax By C temos que esta pode ser expressa em coordenadas polares como rAcos Bsen C 59 ou equivalentemente C A cos Bsen 510 Exemplo 511 A equacdo da reta 3x 2y 7 em coordenadas polares é r3cos2sen 7 Sem perda de generalidade podemos assumir que C é positivo Mudando os sinais de ambos os lados se V A B necessario B Se construirmos no quadrante apropriado um triangulo w retangulo de lados A e B a hipotenusa desse triangulo sera y o Vv A2 B2 logo P sena A cosa VA B JA B Se dividirmos ambos os lados da equagéo 59 por VA B ficamos com r A cos 2 sen C VA B2 VA B2 VA B2 139 Versão Preliminar r θ b O b r θ α e consequentemente r cos α cos θ sen α cos θ h sendo h C A2 B2 e desse modo a equação da reta em coordenadas po lares pode ser escrita como r cos θ α h A equação anterior é conhecida como equação padrão da reta em coordenadas polares O significado geométrico de h é a distância da reta a origem enquanto α é o ângulo entre o eixo polar e a reta passando pela origem e pelo ponto que realiza a distância minima entre a origem e a reta s Podemos ver esse fato revertendo o problema isto é seja s uma reta tal que a distância dessa reta à origem O é h Se tomarmos um ponto de coordenadas r θ sobre essa reta de vetor posição r Então o triângulo delimitado por h r e a reta s forma um triangulo retângulo com hipotenusa r Em relação ao ângulo θ α o lado adjacente é h e assim cosθ α h r e logo r cosθ α h Exemplo 512 Ache o tamanho e a direção do segmento que liga a perpendicularmente origem a reta abaixo 1 r 8 cos θ 6 sen θ Solução Começaremos colocando a equação 1 r 8 cos θ 6 sen θ na forma padrão r cosθ α h 140 que expandindo fica 1 1 1 cosacos senasené r oh h Igualando os temos temos 1 7 cos 8 511 1 7 Sone 6 512 Elevando as equagoes 511 e 512 ao quadrado e somando temos 1 e consequentemente h it Dividindo a equacao 512 pela equacao 511 temos toa 6 3 Bn 3B 4 Consequentemente temos que a distancia é a e a inclinacao da reta é arctg 3 O Exercicios Ex 31 Ache a distancia da reta 6 cos V3sené a origem Ex 32 Ache o tamanho ea direcao do segmento que liga a perpendicularmente origem a reta abaixo 2 4cos3sen6 Ex 33 Identifique e desenhe as seguintes retas colocando as na forma padrao Confira suas respostas usando coordenadas cartesianas a rcos3 b rsené 3 141 Versão Preliminar c r5 cos θ sen θ 3 2 d 55 cos θ 12 sen θ 39 Ex 34 Mostre que se uma reta é paralela ao eixo x e dista h da origem então sua equação é dada por r sen θ h Ex 35 Mostre que se uma reta é paralela ao eixo y e dista h da origem então sua equação é dada por r cos θ h ou por r cos θ h dependendo se a reta se encontra a esquerda ou a direita do eixo y Ex 36 Mostre que a equação da reta ligando os pontos de coordenadas polares r1 θ1 r2 θ2 é dada por senθ2 θ1 r senθ θ1 r2 senθ2 θ r1 Ex 37 Dada a equação C r fθ com fθ a cosθ α b cosθ β a Mostre que esta equação representa uma linha reta b Conclua que C2 r fθ π2 também representa uma linha reta E que essa reta é perpendicular a reta de equação C r fθ c Mostre finalmente que todas as retas perpendiculares a C r fθ são da forma C2 r fθ π2 para algum C2 142