Equações Canônicas de Círculos e Esferas

CIRCULOS E ESFERAS 61 EQUACGOES CANONICAS DE CIRCULOS E ESFERAS Um circulo é 0 conjunto de pontos no plano que estao a uma certa distancia r de um ponto dado ab Desta forma um ponto xy pertence ao circulo de centro ab e raio r se e somente se satisfaz a equacao Vxayb r ou equivalentemente Figura 61 Circulo de 2 9 centro A e raio r xa yb r No caso de uma esfera de centro abc e raio r a equagao reduzida da esfera é xa yb zc P EB F Tle val S D B C Figura 62 Esfera de Centro C e raio r Exemplo 61 Achar a equacdo do circulo de centro 31 que é tangente a reta 3x 4y 20 143 Solucao Temos o centro e precisamos achar o raio O raio é a distancia entre a reta e 0 ponto ja que a tangente a um circulo é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangéncia Logo 33 412 3 32 42 e assim a equacao do circulo é x 3 y1 9 ou x 9 6x 2y10 O Exemplo 62 Achar a equacdo da esfera cujo didmetro é 0 segmento que liga 312 a 534 Solucao Nao temos nem o centro nem o raio aparentemente Mas temos que 0 centro é 0 ponto médio do segmento e que o raio é metade do didmetro Logo 1 r5 53 81 42 v6 O ponto médio é 413 e logo a equacao da esfera é x4 y1 z3 6 O Exemplo 63 Identificar a curva cuja equacdo é y 6x 4y 120 Solucdo Identificaremos a curva completando quadrados O termo x 6x pode ser con vertido num quadrado se somarmos 9 e y 4y pode ser convertido num quadrado so mando 4 Desta forma somaremos 4 9 em cada lado da equacdo x y 6x 4y 12 0 Logo temos y 6x 4y 120 61 x7 6x 9 y 4y 4 124449 62 x3 y2 57 63 144 Logo a curva é um circulo de raio 5 e centro 32 O Podemos generalizar o exemplo anterior Exemplo 64 Identificar a curva cuja equacdo é ryAxByC0 Solugao Como no exemplo anterior identificaremos a curva completando quadrados O termo x Ax pode ser convertido num quadrado se somarmos a e y By pode ser convertido num quadrado somando BE Desta forma somaremos a B em cada lado da equacao yAxByC0 64 A B A B 2 2 Ax By 5 4 F toon 5 rta7e 65 A B A B 3 y3 7tqae 66 Observamos que para a equacao anterior ser a equacdo de um circulo r a B Ce assim temos que ter a C0 No caso em que a Br C 0 0 lugar geométrico descrito pela equacao 66 é vazio pois a equacao nao pode ser satisfeita pois a soma de quadrados é necessariamente nega tiva No caso em que a B C 0 o lugar geométrico descrito pela equacao 66 é o ponto 4 8 pois se a soma de quadrados perfeitos é 0 cada termo da soma é zero O De modo analogo podemos demonstrar que a equacao Pty 274AxByCzD0 descreve uma esfera se Ayo p 0 um ponto se Ayo p O0eo A2 B2 C2 conjunto vazio se 74D0 Exemplo 65 A superficie cuja equacdo é 12 2x 27 4yy8z20 é uma esfera Encontre seu centro e rato 145 Versão Preliminar Solução Completando os quadrados temos x2 2x 1 y2 4y 4 z2 8z 16 1 4 16 12 0 Daí segue que x 12 y 22 z 42 9 E logo o centro dessa esfera é 1 2 4 e o raio é 3 611 Círculo por três pontos Três pontos não colineares determinam um único círculo Assim sendo fixados P1 P2 e P3 não colineares podemos facilmente encontrar a equação do círculo que passa por tais pontos Tal equação pode ser encontrada observando que a equação geral de um círculo é da forma x2 y2 Ax By C 0 e que um ponto pertence ao círculo se e somente se suas coordenadas satisfazem tal equação A substituição de cada ponto resulta assim numa equação linear nas variáveis A B C e assim o fato dos três pontos pertencerem ao círculo nos fornecem um sistema lin ear em três equações e três variáveis A B C Resolvendo tal sistema encontramos então a equação do círculo Exemplo 66 Determine a equação do círculo que passa pelos pontos 1 2 0 1 e 3 2 Solução Substituindo os pontos na equação temos o sistema 5 A 2B C 0 1 B C 0 13 3A 2B C cujas solução é A 4 B 0 C 1 E logo a equação é x2 y2 4x 1 0 146 Completando quadrado obtemos entao 2 2 xo 4x4y410 Donde segue x2y 5 Desse modo vemos que 0 circulo que passa por tais pontos tem centro 20 e raio V50 E possivel encontrar a equacdo de um circulo por trés pontos nado colineades de uma outra maneira Nessa consideramos o triangulo determinado pelos pontos Pj P P3 e esse circunscrito na circunferéncia Assim o seu centro é o circuncentro desse triangulo isto é o encontro das mediatrizes Py A LS XS P3 Exemplo 67 Determine a equacdo do circulo que passa pelos pontos 12 01 e 32 Solucao A equacao da reta passando pelos pontos 12 01 6 y1 x ecomoo ponto médio desses pontos é 3 3 temos que a mediatriz relativa a esse lado é y 3 x 3 lembrando que como a mediatriz é perpendicular ao lado seu coeficiente angular é igual a menos o inverso do coeficiente da reta De modo andlogo a equacao da reta passando pelos pontos 01 e 32 y F 1 e a equacao da mediatriz é 3x 6 y temos 0 sistema 3x 6yY YZaX43 cujas solucao é x 2y 0 ou seja o centro da circunferéncia é 20 O raio pode ser calculado observando que este sera a distancia do centro 20 a um dos vértices do tridngulo por exemplo 01 Assim r 5 e logo a equacdo é x2y 5 147 O Exemplo 68 Obtenha a equacdo da esfera que passa pelos pontos 001 200 1 11 010 Solucao Impondo que os pontos pertencam a esfera temos o seguinte sistema linear 1CD0 42AD0 3ABCD0 1BD0 cuja solucao é A 2 B 4 C 4 D 4 e assim a equacao da esfera é 5x Yy Zz 2 242 2 UVs229 xy Z 377333 Completando quadrado obtemos 5x 5 y 1 2 vA v 205 F2 Js 5 J 224 2V8V AY GY 49 3 6 6 6 6 360 Donde segue 5 1 1 51 29 2 2 7 5 6 8 me O Exercicios Ex 11 Ache a equacao dos seguintes circulos a Centro 25 e raior 3 b Centro 13 e raio r 2 c Centro a origem e raior a d Centro 52 e passando pelo ponto 23 e Tangente ao eixo y na origem e raio a f Didmetro 52 a 210 148 Versão Preliminar g Centro 3 2 tangente a 2x y 0 h Tangente a 2x 5y 1 0 no ponto 2 1 e raio 3 duas respostas Ex 12 Identifique dando o centro e o raio a x2 y2 4x 6y 12 b x2 y2 2x 4y 5 c x2 y2 2ax d 4x2 4x 5y 4y2 e x2 y2 z2 2az Ex 13 Ache a equação do círculo que passa pelos pontos 4 0 0 3 e a origem Ex 14 Ache a equação dos seguintes círculos a Tangente aos eixos coordenados coordenados no segundo quadrante e com raio r 4 b Tangente ao eixo x ao eixo y e a linha que intercepta o eixo x e o eixo y em 3 e 2 respectivamente Ex 15 Verifique que as equações abaixo descrevem esferas em caso afirmativo identi fique o centro e o raio a x2 y2 z2 2x 4y 10 0 b x2 6x y2 4y z2 14z 58 c x2 y2 6y z2 4z 16 d x2 2x y2 4y z2 6z 29 Ex 16 Dados P1 x1 y1 z1 e P2 x2 y2 z2 então a equação da esfera que tem P1P2 como diâmetro é x x1 x x2 y y1 y y2 z z1 z z2 0 149 Versão Preliminar 62 retas tangentes e planos tangentes Uma reta é dita tangente a um círculo se a intersecção entre essa reta e o círculo for somente um ponto Para uma reta tangente o seu vetor diretor é perpendicular ao vetor ligando o raio ao ponto de intersecção Além disso a distância do centro do círculo a reta tangente é igual ao raio do círculo b A b B r Figura 63 Reta tangente a um círculo De modo análogo dizemos que um plano é tangente a uma esfera se esse plano inter ceptar a esfera num único ponto Nesse caso o vetor normal ao plano é paralelo ao vetor radial ligando o centro da esfera ao ponto onde o plano intercepta a esfera E a distância do plano tangente ao centro da esfera é igual ao raio da mesma b b n Figura 64 Plano tangente a uma esfera 150 Versão Preliminar Exemplo 69 Ache a reta tangente ao círculo de equação x2 y2 2y 4x 0 no ponto 3 3 Solução Completando quadrados podemos colocar a equação x2 y2 2y 4x 0 na forma reduzida x 22 y 12 0 Logo o centro do círculo tem coordenadas 2 1 Logo o vetor ligando o centro do círculo ao ponto 3 3 é i 2k e assim o coeficiente angular da reta passando por estes pontos é igual a 2 Logo o coeficiente da reta tangente é 1 2 Por quê Tente escrever a equação da reta tangente na forma padrão obtendo antes equações paramétricas para a mesma E assim a equação da reta tangente é y 3 1 2x 3 ou x 2y 9 b3 3 b2 1 a Podemos generalizar o exemplo anterior Dado um círculo de equação x a2 y b2 r2 Vamos calcular a equação da reta tangente no ponto x1 y1 Para tanto consideraremos o vetor ligando o centro do círculo ao ponto de tangencia x1 ai y1 bj Consequentemente a inclinação da reta passando por esses pontos é y1b x1a Logo o coeficiente angular da reta tangente é x1a y1b E assim a equação da reta tangente é da forma y y1 x1 a y1 bx x1 151 Versão Preliminar e logo y y1y1 b x1 ax x1 e assim expandindo x1 ax y1 by k para alguma constante k Somando x1 aa y1 bb em ambos os lados da equação obtemos x1 ax a y1 by b k2 para alguma constante k2 que determinaremos agora Se substituirmos x x1 e y y1 teremos que k2 x1 a2 y1 b2 r2 e assim a equação da reta tangente no ponto x1 y1 é x1 ax a y1 by b r2 Exemplo 610 Obtenha as equações dos planos tangentes a esfera 3 2x x2 4y y2 2z z2 0 que são paralelos ao plano x 2y 2z 3 Solução Completando quadrados temos que a equação da esfera pode ser escrita como x 12 y 22 z 12 9 Logo o centro dessa esfera é 1 2 1 e o raio é 3 A equação geral de um plano paralelo a x 2y 2z 3 tem equação da forma x 2y 2z d Como esse plano é tangente a esfera a distância do centro dessas esferas ao plano é igual ao raio dessa esfera E assim dC π 1 22 21 d 9 3 e logo d 6 ou d 12 e assim as equações dos planos são x 2y 2z 6 e x 2y 2z 12 Exercícios 152 Versão Preliminar Ex 21 Ache a equação a reta tangente no ponto indicado a x2 y2 25 3 4 b x2 y2 2x 4y origem c Ache as retas tangentes ao circulo x2 y2 4x que passam pelo ponto 3 2 d Uma corda da circunferência x2 y2 25 se encontra sobre a reta cuja equação é x 7y 25 0 Qual o comprimento dessa corda Ex 22 Para um triângulo qualquer encontrar a a equação da circunferência circunscrita ao triângulo b a equação da circunferência inscrita ao triângulo c a equação da circunferência que passa pelos pontos médios dos lados do triângulo Dica As coordenadas podem ser escolhidas de modo que os vértices do triangulo sejam 0 0 0 a b c Ex 23 As equações dos lados de um triângulo são 9x 2y 13 0 3x 8y 47 0 e x y 1 0 Encontrar a equação da circunferência circunscrita Ex 24 Mostrar que as tangentes de inclinação m à circunferência x2 y2 r2 são y mx r 1 m2 Ex 25 Qual a equação da circûnferencia que passa pelos pontos 1 2 3 4 e que tem centro sobre o eixo y Ex 26 Fixado a quais devem ser os dois valores de b para que a reta y ax b seja tangente ao círculo de centro na origem e raio r Ex 27 Uma circunferência de raio 5 é tangente a reta 3x 4y 1 0 no ponto 3 2 Determinar sua equação duas soluções Ex 28 Mostrar analiticamente que qualquer reta que passa pelo ponto 1 5 não pode ser tangente a circunferência x2 y2 4x 6y 6 0 Interprete o resultado geo metricamente 153 Ex 29 Ache a equacao dos circulos que passam pelos seguintes conjuntos de pontos Diga qual o centro 0 raio e desenhe a 341224 b 422316 c a0b00c Ex 210 Mostrar que o plano tangente a esfera x y z 1 no ponto abc tem equacao ax by cz 17 Ex 211 Ache a equacao da esfera que passa pelos pontos 001100010 e cujo centro esta no plano x yz0 Ex 212 Ache a esfera que tem centro na reta x2z3 r yz1 e passa pelos pontos 6 13 e 075 Ex 213 Calcule a distancia do ponto 234 a esfera x 4x y 2y2744 Ex 214 Determine a equacdo da esfera cujo centro é 322 é que é tangente ao plano x 1 3 2 y 0 f 1 t 0 s Z 1 0 1 Ex 215 Determine a equacao da esfera cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos pontos 3 42 e 621 154 Versão Preliminar Ex 216 A equação de uma esfera é x2 y2 z2 6y 4z 9 0 Determinar a equação da esfera concêntrica que é tangente ao plano x y z 1 0 1 1 2 1 1 s 1 0 1 t Ex 217 Ache os planos tangentes a esfera x2 y2 z 12 1 que são paralelos ao plano 4x y 3z 2 Ex 218 Encontre a equação dos planos que contem a reta r e são tangentes a esfera S r x 6 2 y 3 z 1 e S x2 y2 z2 4x 2y 4z 4 0 63 circunferência em coordenadas polares centrada na origem O caso mais simples ocorre quando a circunferência está cen trada na origem nesse caso a circunferência é o conjunto de pontos que distam uma con stante a da origem ou seja a equação em coordenadas polares é r a É fácil de ver que essa equação coincide com a em equação em coordenadas cartesianas Observe que em coordenadas cartesianas P x y pertence a tal círculo se e somente se x a cos θ e y a sen θ Daí segue que x2 y2 a2cos2 θ sen2 θ a2 passando pela origem Dada uma circunferência de raio a e passando pela origem As coordenadas polares do centro dessa circunferência são a α Considere o triângulo OKP Como OK é diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo vemos que OKP é retângulo em P Da definição de cosseno segue então r 2a cos θ α 155 FORMA GERAL Dado uma circunferéncia de centro ca e raio a usando a lei dos cossenos temos que a 1 c 2rccos 6 que é a equacao da circunferéncia na forma geral Pr OM Exercicios Ex 31 Mostre que 0 centro do circulo de equacao r Acos Bsené é Vv A B B arctg 2 SA Ex 32 Mostre que a retarsené 4 é tangente ao circulo r 8cos Ex 33 Mostre que a equacao da tangente ao circulo r 2acos6é no ponto 116 é rcos 20 2acos 6 156 Versão Preliminar Ex 34 Mostre que para todos os valores de a a reta r cosθ α a r1 cos α é tangente ao círculo r2 2rr1 cos θ r2 1 a2 0 157