Lista de Exercícios - Modelagem e Controle

1 sO Universidade Federal do ABC UFABC ESTA02017 MODELAGEM E CONTROLE Primeira lista de exercicios Professor Dr Alfredo Del Sole Lordelo Universidade Federal do ABC 1 Uma cultura de bactérias tem inicialmente xp bactérias Em t 1h 0 nimero de bactérias é 1 529 Se a taxa de crescimento for proporcional ao ntimero de bactérias presentes no instante t determine o tempo necessario para triplicar o numero de bactérias nesta cultura 2 A meiavida de um elemento radioativo é 0 tempo necessério para que a metade de uma certa quantidade inicial deste elemento se transforme em outro elemento Em 15 anos verificase que 0 043 de uma certa quantidade inicial de plut6nio239 se transformou em outro elemento Determine a meia vida do plutonio239 sabendo que a taxa de transformacao é proporcional 4 quantidade remanescente 3 Na década de 1950 o quimico Willard Libby inventou um método para usar 0 carbono14 radioativo como um meio para determinar a idade aproximada dos fdsseis A teoria de datagao por carbono14 se baseia no fato de que esse isétopo é produzido na atmosfera pela acao da radiacéo césmica sobre o nitrogénio A razao da quantidade de carbono14 em relagaéo ao carbono12 que é estavel é constante na atmosfera Assim a quantidade proporcional de carbono14 presente em todos os organismos vivos é a mesma que a da atmosfera Quando um organismo morre cessa a absorcao de carbono14 pela respiracao ou alimentacao Comparando a quantidade proporcional de carbono14 presente em um féssil com a razao constante encontrada na atmosfera é possivel obter uma estimativa razodvel da idade de um fossil O método se baseia no fato de que a meiavida do carbono14 é de aproximadamente 5600 anos Determine a idade de um fossil que contem um milésimo da quantidade de carbono14 original 4 Considere os sistemas mecanicos apresentados nas figuras 1 e 2 Descreva cada um deles em termos das varidveis de estado 1 t wit r9t wt yt wt at e saida t OFT oat aintt Y wt walt xt wt na forma vetorialmatricial zt Azxt But yt Cxt ult wt walt ee ee ANA nt a Fs ys Ap TELE YY PAE PEED EL LY Do deca OTT Figura 1 Sistema mecanico Do livro Engenharia de Controle Moderno Katsuhiko Ogata 4 edigéo Pearson Prentice Hall 2005 2 ht ut Y wt d u t Y wot Figura 2 Sistema mecanico Do livro Engenharia de Controle Moderno Katsuhiko Ogata 4 edigéo Pearson Prentice Hall 2005 5 Considere o circuito RLC apresentado na figura 3 linear e invariante no tempo no qual L 200mH é indutancia do indutor R é resisténcia do resistor e C é a capacitancia do capacitor A entrada ut é a diferenga de potencial elétrico aplicado no circuito conforme a figura 3 A saida vt do sistema é a diferenca de potencial elétrico nos terminais do capacitor EL R o TH ejt Ca olt at Figura 3 Circuito RLC Do livro Engenharia de Controle Moderno Katsuhiko Ogata 4 edigéo Pearson Prentice Hall 2005 a Sabendo que dqt en it e volt 2 iqnyat deduza a equacao diferencial linear de segunda ordem naohomogénea que modela este sistema em termos de vt b Considerando que o sistema pode ser representado pela equagao diferencial linear de segunda ordem naohomogénea na forma padrao dada por it 2wt w2rt weut na qual w 6 a frequéncia natural e é o coeficiente de amortecimento determine os parametros R e C de maneira que para uma entrada degrau ut rt definida como FE se t0 ny ait 0 se t0 o maximo sobressinal seja M 30 e o tempo de acomodagao seja t 055 na qual s InM 4 M e Vin int My e t InMp 7 Wn 3 c Descreva o sistema na forma de variaveis de estado considerando x1t vct e x2t vct e a saıda yt eot vct Faca o diagrama de blocos para este sistema d Projete um controlador proporcionalderivativo definido como ut kpet kd et no qual et rt yt e o erro de maneira que Mp 20 e ts 0 1s para os mesmos valores de R e C obtidos anteriormente Deduza as expressoes dos controladores e Faca o diagrama de blocos para o sistema controlado