Análise do Domínio do Tempo em Sistemas de Segunda Ordem

Modelagem e sistemas lineares 5 Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Professor Marcus Fernandes marcusfernandesifrnedubr Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comparado à simplicidade de um sistema de primeira ordem um sistema de segunda ordem exibe uma ampla variedade de respostas que devem ser analisadas e descritas Enquanto a variação de um parâmetro de um sistema de primeira ordem simplesmente altera a velocidade da resposta as variações nos parâmetros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta Polo de ordem 𝐻 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 𝑘 𝑏 𝑠2𝑎𝑠𝑏 𝑘 𝜔𝑛 2 𝑠22𝜉 𝜔𝑛 𝑠𝜔𝑛 2 𝑋 𝑠 𝐻 𝑠 𝑌 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Considere uma entrada como um degrau unitário então Polos reais distintos 𝑌 𝑠 𝑘𝜔𝑛 2 𝑠22𝜉 𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛 2 1 𝑠 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝑋 𝑠 𝜉 𝜉 21 1𝑒 𝜔𝑛 𝜉 𝜉2 1 𝑡 𝑦 𝑡 𝑘 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Tipos de polos 𝑋 𝑠 𝐻 𝑠 𝑘𝜔𝑛 2 𝑠 22 𝜉 𝜔𝑛 𝑠𝜔𝑛 2 𝑌 𝑠 Polos Comportamen to Fator de amortecimento Oscilações Constante de tempo Reais Sobreamortec ido Sem oscilações Complexos Subamortecid o Oscilação amortecida Imaginários Não amortecido Oscilação natural Semiplano direito Não limitado Oscilações não limitadas 𝑠 𝜉 𝜔𝑛 𝜔𝑛𝜉2 1 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comparado à simplicidade de um sistema de primeira ordem um sistema de segunda ordem exibe uma ampla variedade de respostas que devem ser analisadas e descritas Enquanto a variação de um parâmetro de um sistema de primeira ordem simplesmente altera a velocidade da resposta as variações nos parâmetros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta Polo de ordem 𝐻 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 𝑘 𝑏 𝑠2𝑎𝑠𝑏 𝑘 𝜔𝑛 2 𝑠22𝜉 𝜔𝑛 𝑠𝜔𝑛 2 forma canônica frequência natural 𝑋 𝑠 𝐻 𝑠 𝑌 𝑠 fator de amortecimento Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Polos reais 𝑎1 𝑗 𝜔 𝜎 𝑎2 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠𝑎1 𝑠𝑎2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Considere uma entrada como um degrau unitário então Polos reais iguais Polos complexos Polos imaginários 𝑦 𝑡 𝑘 1 sin 𝜔𝑛𝑡 𝑦 𝑡 𝑘 1 1 1 𝜉 2 𝑒 𝜉 𝜔𝑛 𝑡 sin𝜔𝑛1 𝜉 2 𝑡 tan 11 𝜉 2 𝜉 𝑦 𝑡 𝑘 1 𝑒𝜔𝑛 𝑡 𝜔𝑛𝑡 𝑒 𝜔𝑛 𝑡 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Polos complexos 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠𝜎 𝑗𝜔 𝑠𝜎 𝑗𝜔 𝜎 𝑗 𝜔 𝜎 𝜔 𝜔 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Polos reais e iguais 𝑎 𝑗 𝜔 𝜎 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠𝑎2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Polos complexos 𝑦 𝑡 𝑘1 1 1𝜉 2 𝑒 𝜉 𝜔𝑛𝑡sin𝜔𝑛1𝜉 2𝑡 tan 1 𝜌 onde 𝜉𝜎 𝜔𝑛 frequê ncia de decaimento exponencial frequê ncia natural 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Polos imaginários 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠 𝑗 𝜔 𝑠 𝑗 𝜔 𝑗 𝜔 𝜎 𝜔 𝜔 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Polos reais com ao menos 1 polo no semiplano direito 𝑎1 𝑗 𝜔 𝜎 𝑎2 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠𝑎1 𝑠 𝑎2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Polos complexos no semiplano direito 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠𝜎 𝑗𝜔 𝑠𝜎 𝑗𝜔 𝜎 𝑗 𝜔 𝜎 𝜔 𝜔 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos reais Tempo de regime é o tempo necessário para que o sistema alcance 2 do valor final Pode ser calculado de forma aproximada utilizandose a raiz mais lenta do polo polo dominante e aproximando o seu desempenho a uma planta de ordem 1 Quanto maior a distância de um polo a outro melhor se dá essa aproximação 𝑦 𝑡 𝑘 1 𝑒 𝜔𝑛 𝜉 𝜉 2 1 𝑡 𝑘 1 𝑒 1 𝜏1 𝑡 𝑦 𝑡 𝑘 1 1 2 𝜉 𝜉 2 1 1 𝑒𝜔 𝑛 𝜉 𝜉 21 𝑡 𝜉 𝜉 21 1 𝑒 𝜔𝑛 𝜉 𝜉 2 1 𝑡 𝑇 𝑠2 4𝜏1 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos reais Tempo de subida é o tempo necessário para o sistema vá de 10 até 90 do valor final Pode ser calculado de forma aproximada utilizandose a raiz mais lenta do polo e aproximando o seu desempenho a uma planta de ordem 1 Quanto maior a distância de um polo a outro melhor se dá essa aproximação Desta forma 𝑇 𝑟22𝜏1 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Instante de pico É o tempo necessário para alcançar o primeiro pico ou pico máximo É determinado derivandose e obtendose o primeiro cruzamento de zero após Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Instante de pico 𝑌 𝑠 𝑘𝜔𝑛 2 𝑠22𝜉 𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛 2 1 𝑠 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝑋 𝑠 𝑠𝑌 𝑠 𝑘 𝜔𝑛 2 𝑠22𝜉 𝜔𝑛 𝑠𝜔𝑛 2 𝑠𝑌 𝑠 𝑘 𝜔𝑛 1 𝜉 2 𝜔𝑛1 𝜉2 𝑠𝜉 𝜔𝑛 2𝜔𝑛 2 1 𝜉 2 ℒ 1 𝑠𝑌 𝑠 𝑦 𝑡 0 𝑦 𝑡 𝑘 𝜔𝑛 1𝜉 2 𝑒 𝜉 𝜔𝑛𝑡sin 𝜔𝑛1𝜉2𝑡0 𝑇 𝑝 𝜋 𝜔𝑛1 𝜉 2 𝜔𝑛𝑇 𝑝 𝜉 𝑇 𝑝 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Ultrapassagem percentual É o valor pelo qual a forma de onda ultrapassa o valor em regime permanente ou valor final no instante de pico expresso como uma percentagem do valor em regime permanente Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Ultrapassagem percentual 𝜉 𝑙𝑛 𝑈𝑃100 𝜋 2𝑙𝑛2𝑈𝑃 100 A ultrapassagem percentual é uma função apenas do fator de amortecimento Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Ultrapassagem percentual 𝑈𝑃 𝑦 𝑚𝑎𝑥 𝑦 𝑦 100 𝑦 𝑚𝑎𝑥𝑦 𝑇 𝑝 𝑘𝑘𝑒 𝜉 𝜋 1 𝜉 2 𝑦 𝑘 𝑈𝑃𝑒 𝜉 𝜋 1 𝜉 2 100 𝜉 𝑈𝑃 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Tempo de regime Para determinar o tempo de acomodação precisamos determinar o instante para o qual alcança e permanece dentro da faixa de em torno do valor em regime permanente Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Tempo de regime Aproximandose 𝑦 𝑡 𝑘1 1 1𝜉 2 𝑒 𝜉 𝜔𝑛𝑡 𝑦 𝑡 𝑘 1 002 0 02 1 1𝜉 2 𝑒 𝜉 𝜔𝑛𝑡 𝑇 𝑠2 𝑙𝑛0021𝜉 2 𝜉 𝜔𝑛 𝑇 𝑠2 4 𝜉 𝜔𝑛 𝑦 𝑡 𝑘 1 1 1 𝜉 2 𝑒 𝜉 𝜔𝑛 𝑡 sin𝜔𝑛1 𝜉 2 𝑡 tan 11 𝜉 2 𝜉 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Tempo de subida Uma relação analítica precisa entre o tempo de subida e o fator de amortecimento não pode ser obtida Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Tempo de subida Contudo para um valor fixo de obtémse a seguinte relação de em função de Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau com polos complexos Localização dos polos 𝜔𝜔𝑛1 𝜉2 𝜎 𝑗 𝜔 𝜎 𝜔 𝜔 𝜔𝑛 𝜃 𝜎𝜉 𝜔𝑛 𝜉cos 𝜃 𝜔𝑛𝜔2𝜎 2 𝑇 𝑠2 4 𝜎 𝑇 𝑝 𝜋 𝜔 𝑈𝑃𝑒 𝜋 tan 1 𝜃 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros 𝐻 𝑠 4 𝑠24𝜉 𝑠4 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Código do Scilab para obtenção da comparação de um sistema com diferentes coeficientes de amortecimento clear clc clf ss k1 wn2 t000110 qsi0 num1kwn2 den1s22qsiwnswn2 H1syslinc num1 den1 y1csimsteptH1 qsi01 num2kwn2 den2s22qsiwnswn2 H2syslinc num2 den2 y2csimsteptH2 qsi04 num3kwn2 den3s22qsiwnswn2 H3syslinc num3 den3 y3csimsteptH3 qsi07 num4kwn2 den4s22qsiwnswn2 H4syslinc num4 den4 y4csimsteptH4 qsi1 num5kwn2 den5s22qsiwnswn2 H5syslinc num5 den5 y5csimsteptH5 qsi15 num6kwn2 den6s22qsiwnswn2 H6syslinc num6 den6 y6csimsteptH6 gcffigurename Planta de ordem 2 com variação do ξ subplot121 plzrH1 plzrH2 plzrH3 plzrH4 plzrH5 plzrH6 subplot122 plotty1y2y3y4y5y6 hllegendξ0ξ01ξ04ξ07ξ1ξ 15 hllegendlocationoutlowerright xgrid titleytfontsize3 xlabelt segundos fontsize 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros 𝐻 𝑠 𝜔𝑛 2 𝑠214 𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Código do Scilab para obtenção da comparação de um sistema com diferentes frequências naturais clear clc clf ss k1 qsi07 t000110 wn05 num1kwn2 den1s22qsiwnswn2 H1syslinc num1 den1 y1csimsteptH1 wn08 num2kwn2 den2s22qsiwnswn2 H2syslinc num2 den2 y2csimsteptH2 wn1 num3kwn2 den3s22qsiwnswn2 H3syslinc num3 den3 y3csimsteptH3 wn2 num4kwn2 den4s22qsiwnswn2 H4syslinc num4 den4 y4csimsteptH4 wn4 num5kwn2 den5s22qsiwnswn2 H5syslinc num5 den5 y5csimsteptH5 wn8 num6kwn2 den6s22qsiwnswn2 H6syslinc num6 den6 y6csimsteptH6 gcffigurename Planta de ordem 2 com variação do ωn subplot121 plzrH1 plzrH2 plzrH3 plzrH4 plzrH5 plzrH6 subplot122 plotty1y2y3y4y5y6 hllegendωn05ωn08ωn1ωn2 ωn4ωn8 hllegendlocationinlowerright xgrid titleytfontsize3 xlabelt segundos fontsize 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros 𝐻 𝑠 𝑘 4 𝑠228 𝑠4 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Código do Scilab para obtenção da comparação de um sistema com diferentes ganhos clear clc clf ss qsi07 wn2 t000110 k03 num1kwn2 den1s22qsiwnswn2 H1syslinc num1 den1 y1csimsteptH1 k06 num2kwn2 den2s22qsiwnswn2 H2syslinc num2 den2 y2csimsteptH2 k09 num3kwn2 den3s22qsiwnswn2 H3syslinc num3 den3 y3csimsteptH3 k1 num4kwn2 den4s22qsiwnswn2 H4syslinc num4 den4 y4csimsteptH4 k2 num5kwn2 den5s22qsiwnswn2 H5syslinc num5 den5 y5csimsteptH5 k4 num6kwn2 den6s22qsiwnswn2 H6syslinc num6 den6 y6csimsteptH6 gcffigurename Planta de ordem 2 com variação do k subplot121 plzrH1 plzrH2 plzrH3 plzrH4 plzrH5 plzrH6 subplot122 plotty1y2y3y4y5y6 hllegendk03k06k09k1k2k 4 hllegendlocationoutlowerright xgrid titleytfontsize3 xlabelt segundos fontsize 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros 𝐻 𝑠 12𝜔2 𝑠1 𝑗 𝜔 𝑠1 𝑗𝜔 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Código do Scilab para obtenção da comparação de um sistema com variação da parte imaginária clear clc clf ss t000110 sigma1 omega05 num1sigma2omega2 den1ssigma iomegassigmaiomega H1syslinc num1 den1 y1csimsteptH1 sigma1 omega1 num2sigma2omega2 den2ssigma iomegassigmaiomega H2syslinc num2 den2 y2csimsteptH2 sigma1 omega2 num3sigma2omega2 den3ssigma iomegassigmaiomega H3syslinc num3 den3 y3csimsteptH3 sigma1 omega3 num4sigma2omega2 den4ssigma iomegassigmaiomega H4syslinc num4 den4 y4csimsteptH4 sigma1 omega4 num5sigma2omega2 den5ssigma iomegassigmaiomega H5syslinc num5 den5 y5csimsteptH5 sigma1 omega5 num6sigma2omega2 den6ssigma iomegassigmaiomega H6syslinc num6 den6 y6csimsteptH6 gcffigurename Planta de ordem 2 com variação do ω subplot121 plzrH1 plzrH2 plzrH3 plzrH4 plzrH5 plzrH6 subplot122 plotty1y2y3y4y5y6 hllegendω05ω1ω2ω3ω4ω 5 hllegendlocationinlowerright xgrid titleytfontsize3 xlabelt segundos fontsize 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros 𝐻 𝑠 𝜎222 𝑠𝜎 𝑗2 𝑠𝜎 𝑗2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Diagrama de polos e zeros Código do Scilab para obtenção da comparação de um sistema com variação da parte real clear clc clf ss t000110 sigma05 omega05 num1sigma2omega2 den1ssigma iomegassigmaiomega H1syslinc num1 den1 y1csimsteptH1 sigma1 omega05 num2sigma2omega2 den2ssigma iomegassigmaiomega H2syslinc num2 den2 y2csimsteptH2 sigma2 omega05 num3sigma2omega2 den3ssigma iomegassigmaiomega H3syslinc num3 den3 y3csimsteptH3 sigma3 omega05 num4sigma2omega2 den4ssigma iomegassigmaiomega H4syslinc num4 den4 y4csimsteptH4 sigma4 omega05 num5sigma2omega2 den5ssigma iomegassigmaiomega H5syslinc num5 den5 y5csimsteptH5 sigma5 omega05 num6sigma2omega2 den6ssigma iomegassigmaiomega H6syslinc num6 den6 y6csimsteptH6 gcffigurename Planta de ordem 2 com variação do σ subplot121 plzrH1 plzrH2 plzrH3 plzrH4 plzrH5 plzrH6 subplot122 plotty1y2y3y4y5y6 hllegendσ05σ1σ2σ3σ4σ5 hllegendlocationinlowerright xgrid titleytfontsize3 xlabelt segundos fontsize 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Especificações de desempenho da resposta transitória para entrada degrau Podemos utilizar a curva de resposta experimental e medir a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação a partir dos quais podemos determinar os polos e assim o denominador O numerador pode ser obtido como para o sistema de primeira ordem a partir do conhecimento dos valores em regime permanente medido e esperado Polos reais Polos complexos 𝑘 𝑦 𝜉 𝜔𝑛 4 𝑇 𝑠2 𝜔𝑛 𝜋 𝑇 𝑝1 𝜉 2 𝜉 𝑙𝑛 𝑈𝑃100 𝜋 2𝑙𝑛2𝑈𝑃 100 𝑘 𝑦 𝜏1 𝑇 𝑠2 4 𝜏1 1 𝜔𝑛 𝜉 𝜉 21 𝜏2 1 𝜔𝑛𝜉𝜉 21 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Exemplos de sistemas de ordem 2 e grau relativo 2 𝑉 𝑓 𝑠 𝑉 𝑒𝑠 1 𝐿𝐶 𝑠 2𝑅𝐶 𝑠1 Θ 𝑠 𝑇 𝑠 1 𝑠 𝐽 𝑠𝐵 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Exemplos de sistemas de ordem 2 e grau relativo 2 Θ 𝑠 𝑇 𝑠 1 𝑚𝐿 2𝑠 2 𝐵 𝑠𝑚𝑔 𝐿 𝑋 𝑠 𝐹 𝑠 1 𝑠 𝑚 𝑠𝐵 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Código do Scilab para obtenção do diagrama de polos e zeros e resposta do sistema clear clc ss k1 qsi07 wn2 b0 a0 t0000110 if b0 a0 then yinfkwn2wn2 numkwn2 end if b0 a0 then yinfkwn2bwn2 numkwn2sb end if b0 a0 then yinfkwn2bawn2 numkwn2sb end if b0 a0 then yinfkwn2awn2 numkwn2 end if a0 then dens22qsiwnswn2 else dens22qsiwnswn2sa end Hsyslinc num den ycsimsteptH for i 1sizey if signb0 then if yi098yinf yi102yinf then Ts2ti end if yiy101yinf then Tr1ti end if yi09yinf then TrtiTr1 end if yimaxy then Tpti end else if yi098yinf yi102yinf then Ts2ti end if yiy101yinf then Tr1ti end if yi09yinf then TrtiTr1 end if yimaxy then Tpti end end end if signb0 then UPmaxyyinfyinf100 else UPmaxy yinfabsyinf100 end clf gcffigurename Planta de ordem 2 subplot121 plzrH subplot122 plot2dty xgrid titleytfontsize3 xlabelt segundos fontsize 2 mprintfDesempenho para entrada degrau medidos do vetor Ts2 f segundos Tr f segundos Tp f segundos UP f nyinf fTs2TrTpUPysizey Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Exemplos de sistemas de ordem 2 e grau relativo 2 𝐻 2 𝑠 𝑄𝑖1 𝑠 1 𝑅1𝐶1 𝐶2𝑠2𝐶1 𝑅1𝑅2 𝑅2 𝐶2𝑠 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2 h1 Reservatório 1 q1 qo1 h2 Reservatório 2 q2 qo2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Código do Scilab para obtenção do diagrama de polos e zeros e resposta do sistema 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 4 𝑠24𝑠4 𝑇 𝑠2 2𝑠 𝑇 𝑟168 𝑠 𝑇 𝑠2 292𝑠 𝑦 𝑡 0 25 1𝑒 2 𝑡 2𝑡 𝑒2𝑡 𝑇 𝑟11 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Código do Scilab para obtenção do diagrama de polos e zeros e resposta do sistema 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 4 𝑠256𝑠4 𝑇 𝑠2 4 76 𝑠 𝑇 𝑟27𝑠 𝑇 𝑠2 4 9𝑠 𝑦 𝑡 102𝑒 47 𝑡 12𝑒0 8𝑡 𝑇 𝑟275𝑠 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Código do Scilab para obtenção do diagrama de polos e zeros e resposta do sistema 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 4 𝑠228𝑠4 𝑈𝑃4 6 𝑇 𝑠2 286𝑠 𝑇 𝑟106𝑠 𝑇 𝑠2 299𝑠 𝑇 𝑝22𝑠 𝑇 𝑝22𝑠 𝑈𝑃4 6 𝑦 𝑡 114 𝑒1 4 𝑡sin 1 4𝑡08 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polos e zeros adicionais As expressões que descrevem a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico foram deduzidas apenas para um sistema com dois polos complexos e nenhum zero Caso um sistema possua mais de dois polos ou possua zeros não podemos utilizar as expressões para calcular as especificações de desempenho apresentadas Entretanto em certas condições um sistema com mais de dois polos ou com zeros pode ser aproximado por um sistema de segunda ordem que possui apenas dois polos dominantes complexos Resposta do sistema com polo adicional para uma entrada degrau 𝑌 𝑠 𝑘1𝜔𝑛 2 𝑠22𝜉 𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛 2 𝑘2 𝑠𝑎 𝑋 𝑠 𝑌 𝑠 𝑘1𝜔𝑛 2 𝑠22𝜉 𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛 2 𝑘2 𝑠𝑎 1 𝑠 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polos e zeros adicionais Resposta do sistema com polo adicional para uma entrada degrau 𝑌 𝑠 𝑘1𝜔𝑛 2 𝑠22𝜉 𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛 2 𝑘2 𝑠𝑎 1 𝑠 𝑌 𝑠 𝐴 𝑠 𝐵 𝑠𝜉 𝜔𝑛 𝐶 𝜔 𝑠𝜉 𝜔𝑛 2𝜔 𝐷 𝑠𝑎 𝑦 𝑡 𝐴 𝑢 𝑡 𝑒 𝜉 𝜔𝑛𝑡 𝐵 cos 𝜔𝑡 𝐶 sin 𝜔𝑡𝐷𝑒𝑎 𝑡 𝐴 𝑘1𝑘2 𝑎 𝐵 𝑘1𝑘2 𝑎 2𝜉 𝜔𝑛𝑎 𝑎2 𝑎 2𝜉 𝜔𝑛𝑎𝜔𝑛 2 𝐶 𝑘1𝑘2 2𝜔𝑛 1 𝜉2𝑎𝜉 𝑎 𝑎2𝜉 𝜔𝑛𝜔𝑛 2 1 𝜉 2 𝐷 𝑘1 𝑘2 𝜔𝑛 2 𝑎2 𝑎 2𝜉 𝜔𝑛𝑎𝜔𝑛 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polos e zeros adicionais Resposta do sistema com polo adicional para uma entrada degrau Quando o polo não dominante tende ao infinito Ou seja a influência do polo não dominante tende a zero 𝑦 𝑡 𝑘1 𝑢 𝑡 𝑒 𝜉 𝜔𝑛 𝑡 𝑘1cos 𝜔𝑡 2𝑘1𝜉 𝜔𝑛sin 𝜔𝑡 𝐴𝑘1 𝐵𝑘1 𝐶2𝑘1𝜉 𝜔𝑛 𝐷0 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polos e zeros adicionais Resposta do sistema com polo adicional para uma entrada degrau x x x x Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polos e zeros adicionais Resposta do sistema com zero adicional para uma entrada degrau Os zeros de uma resposta afetam o resíduo ou a amplitude de uma componente da resposta mas não afetam sua natureza exponencial senoide amortecida e assim por diante Assim como para o sistema de ordem 1 quanto mais próximo o zero está dos polos dominantes maior é seu efeito na resposta transitória À medida que o zero se afasta dos polos dominantes a resposta se aproxima daquela do sistema com dois polos 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠𝑏 𝑋 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠𝑏 1 𝑠 𝐻 𝑠 𝑏 𝑠 𝐻 𝑠 𝐻 𝑠 𝑘1 𝜔𝑛 2 𝑠𝑏 𝑠22𝜉 𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polos e zeros adicionais Resposta do sistema com zero adicional para uma entrada degrau o o o o Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Exemplos de sistemas de ordem 2 com polos e zeros adicionais 𝑌 𝑠 𝑈 𝑠 𝐵 𝑠 𝐾 𝑚𝑠2𝐵 𝑠 𝐾 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Exemplos de sistemas de ordem 2 com polos e zeros adicionais 𝐻1 𝑠 𝑄𝑖1 𝑠 𝑅1 𝐶2 𝑠 𝑅1𝑅2 𝑅2 𝑅1 𝐶1 𝐶2𝑠2𝐶1 𝑅1𝑅2 𝑅2 𝐶2 𝑠 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2 h1 Reservatório 1 q1 qo1 h2 Reservatório 2 q2 qo2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polo na origem 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠2 𝑗 𝜔 𝜎 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polo na origem 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠 𝑠𝑎 𝑗 𝜔 𝜎 𝑎 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polo na origem Malha aberta Malha fechada 𝑅 𝑠 𝐻 𝑠 𝑌 𝑠 𝐸 𝑠 𝐺 𝑠 𝑌 𝑠 𝑅 𝑠 𝑗 𝜔 𝜎 𝑅 𝑠 𝐺 𝑠 𝑌 𝑠 𝑗 𝜔 𝜎 𝑎 𝑗 𝜔 𝜎 𝑗 𝜔 𝜎 𝑎1 𝑎2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Código do Scilab para obtenção do diagrama de polos e zeros e resposta do sistema ss t000110 k1 num1k den1s2k H1syslinc num1 den1 y1csimsteptH1 k2 num2k den2s2k H2syslinc num2 den2 y2csimsteptH2 k3 num3k den3s2k H3syslinc num3 den3 y3csimsteptH3 k4 num4k den4s2k H4syslinc num4 den4 y4csimsteptH4 k5 num5k den5s2k H5syslinc num5 den5 y5csimsteptH5 k6 num6k den6s2k H6syslinc num6 den6 y6csimsteptH6 gcffigurename Planta de ordem 1 com variação do k subplot121 plzrH1 plzrH2 plzrH3 plzrH4 plzrH5 plzrH6 subplot122 plotty1y2y3y4y5y6 hllegendk1k2k3k4k5k6 hllegendlocationinlowerright xgrid titleytfontsize3 xlabelt segundos fontsize 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polo na origem 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠2𝑘 𝑦 𝑡 1se n𝑘𝑡 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Código do Scilab para obtenção do diagrama de polos e zeros e resposta do sistema ss t000110 k1 num1k den1s2k H1syslinc num1 den1 y1csimsteptH1 k2 num2k den2s2k H2syslinc num2 den2 y2csimsteptH2 k3 num3k den3s2k H3syslinc num3 den3 y3csimsteptH3 k4 num4k den4s2k H4syslinc num4 den4 y4csimsteptH4 k5 num5k den5s2k H5syslinc num5 den5 y5csimsteptH5 k6 num6k den6s2k H6syslinc num6 den6 y6csimsteptH6 gcffigurename Planta de ordem 1 com variação do k subplot121 plzrH1 plzrH2 plzrH3 plzrH4 plzrH5 plzrH6 subplot122 plotty1y2y3y4y5y6 hllegendk1k2k3k4k5k6 hllegendlocationinlowerright xgrid titleytfontsize3 xlabelt segundos fontsize 2 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Comportamento de sistemas com polo na origem 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠2𝑎𝑠𝑘 Modelagem e sistemas lineares Análise do domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo Sistemas de ordem 2 Código do Scilab para obtenção do diagrama de polos e zeros e resposta do sistema com atraso e entrada degrau completa clear clc ss Parâmetros de dados de simulação txt tempo de simulaçãopasso de integraçãoganho do degrauatraso do degrau ent xmdialogEntrada de dados de simulaçãotxt100011010 tmax evstrent1 h evstrent2 kr evstrent3 atraso evstrent3 t0htmax for i 1sizet if tiatraso then degrau1i0 else degrau1ikr end end Parâmetros de dados do sistema txt ganho kcoeficiente de amortecimento qsifrequência natural wnpolo adicional sazero adicional sbatraso etetas ent xmdialogEntrada de dados de simulaçãotxt40720005 k evstrent1 qsi evstrent2 wn evstrent3 a evstrent4 b evstrent5 teta evstrent6 if teta0 then ref xchooseAproximação de Padé ordem 2Atraso na aplicação da entrada real Escolha a forma de aplicação do atraso da planta end Aproximação de Pade ordem 2 if ref1 then numat105tetasteta2s212 denat105tetasteta2s212 if b0 a0 then yinfkwn2wn2 numknumatwn2 end if b0 a0 then yinfkwn2bwn2 numknumatwn2sb end if b0 a0 then yinfkwn2bawn2 numknumatwn2sb end if b0 a0 then yinfkwn2awn2 numknumatwn2 end if a0 then dens22qsiwnswn2denat else dens22qsiwnswn2sadenat end Hsyslinc num den for i 1sizet if tiatraso then entrada1i0 else entrada1ikr 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fTs2TrTpUPysizey REFERÊNCIAS LATHI B P e GREEN R Sinais e sistemas lineares 3ª edição Oxford University Press 2018 DORF R C e BISHOP R H Sistemas de controle modernos 13ª edição LTC 2017 OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª edição Pearson 2014 NISE N S Engenharia de sistemas de controle 7ª edição Wiley 2018 DE SOUZA A C Z e PINHEIRO C A M Introdução à modelagem análise e simulação de sistemas dinâmicos 1ª edição Interciência 2008 CASTRUCCI P B de L BITTAR A e SALES R M Controle Automático 2ª edição LTC 2018