Álgebra Linear - Lista 2 - Espaços e Subespaços Vetoriais - Solução

Álgebra Linear 20191 Lista 2 Espaços e subespaços Vetoriais 1 Para os conjuntos seguintes determine se são espaços vetoriais reais se a adição e multiplicação são as usuais Solução Os exercícios podem ser resolvidos analisando se os conjuntos são fechados para a adição e multiplicação já que são subconjuntos de um espaço vetorial maior Não necessário provar os 8 axiomas de espaço vetorial pois eles são satifeitos no conjunto maior No caso dos polinômios de grau menor ou igual a n os axiomas são provados de maneira ilustrativa a O conjunto dos polinômios de grau menor o igual a n considerando o polinômio nulo que não tem grau pertencente a este conjunto Solução Seja PnmathbbR o conjunto dos polinômios sobre mathbbR em uma variavel t ou seja o conjunto das expressões da forma pt a0 a1 t a2 t an tn sumj0n aj tj a0 a1 an in mathbbR Sejam pt a0 a1 t a2 t an tn sumj0n aj tj e qt b0 b1 t b2 t bn tn sumj0n bj tj dois polinômios quaisquer em Pn mathbbR A soma é definida por pt qt a0 b0 a1 b1 t a2 b2 t2 an bn tn sumj0n aj bj tj A multiplicação por um escalar alpha é definida por alpha pt alpha a0 alpha a1 t alpha a2 t2 alpha an tn sumj0n alpha aj tj Vamos mostrar que o conjunto Pn mathbbR é um espaço vetorial sobre mathbbR Sejam pt sumj0n aj tj qt sumj0n bj tj rt sumj0n cj tj e alpha beta in mathbbR i pt qt sumj0n aj tj sumj0n bj tj sumj0n aj bj tj sumj0n bj aj tj qt pt ii pt qt rt sumj0n aj tj left sumj0n bj tj sumj0n cj tj right sumj0n aj bj cj tj sumj0n aj bj cj tj left sumj0n aj tj sumj0n bj tj right sumj0n cj tj pt qt rt iii Seja overline0t o polinômio nulo de Pn mathbbR então pt overline0t sumj0n aj tj sumj0n 0 tj sumj0n aj 0 tj sumj0n aj tj pt iv Defina o polinômio pt sumj0n aj tj então pt pt sumj0n aj tj sumj0n aj tj sumj0n aj aj tj sumj0n 0 tj overline0t v alpha beta pt alpha left sumj0n beta aj tj right sumj0n alpha beta aj tj sumj0n alpha beta aj tj alpha beta pt vi alpha pt qt alpha sumj0n aj bj tj sumj0n alpha aj bj tj sumj0n alpha aj alpha bj tj sumj0n alpha aj tj sumj0n alpha bj tj alpha pt alpha qt vii alpha beta pt alpha beta sumj0n aj tj sumj0n alpha beta aj tj sumj0n alpha aj beta aj tj sumj0n alpha aj tj sumj0n beta aj tj alpha pt beta pt viii 1 pt sumj0n 1 aj tj sumj0n aj tj pt b O conjunto de todas as funções reais tais que f0 f1 Solução O conjunto V das funções reais tais que f0 f1 é fechado em relação a adição e a multiplicação por escalar De fato sejam f g in V e alpha in mathbbR então i f g0 f0 g0 f1 g1 f g1 ii alpha f0 alpha f0 alpha f1 alpha f1 Os 8 axiomas de espaço vetorial são satisfeitos pois V é um subconjunto das funções reais c O conjunto das funções tais que f0 1 f1 Solução O conjunto V das funções reais tais que f0 1 f1 não é fechado nem relação a adição nem em relação a multiplicação por escalar De fato sejam f g in V e alpha eq 1 em mathbbR então i f g0 f0 g0 1 f1 1 g1 2 f g1 eq 1 f g1 ii alpha f0 alpha f0 alpha 1 f1 alpha alpha f1 eq 1 alpha f1 1 alpha f1 d O conjunto das funções reais crescentes Solução O conjunto V das funções reais crescentes não é fechado em relação a multiplicação por escalar De fato considere em V a função f mathbbR rightarrow mathbbR dada por ft t Agora tome o escalar 1 e assim 1 ft t que é decrescente e O conjunto das funções reais pares Solução O conjunto V das funções reais pares tais que ft ft é fechado em relação a adição e a multiplicação por escalar De fato sejam f g in V e alpha in mathbbR então i f gt ft gt ft gt f gt Longrightarrow f g in V ii alpha ft alpha ft alpha ft alpha ft Longrightarrow alpha f in V Os 8 axiomas de espaço vetorial são satisfeitos pois V é um subconjunto das funções reais f O conjunto das funções contínuas em 01 tais que int01 fx dx 0 Solução O conjunto V das funções contínuas em 01 tais que int01 fx dx 0 é fechado em relação a adição e a multiplicação por escalar De fato sejam f g in V e alpha in mathbbR então i int01 f gx dx int01 fx gx dx int01 fx dx int01 gx dx 0 0 0 Longrightarrow f g in V ii int01 alpha fx dx int01 alpha fx dx alpha int01 fx dx alpha 0 0 Longrightarrow alpha f in V Os 8 axiomas de espaço vetorial são satisfeitos pois V é um subconjunto das funções reais integráveis g O conjunto das funções contínuas em 01 tais que int01 fx dx geq 0 Solução O conjunto V das funções contínuas em 01 tais que int01 fx dx geq 0 não é fechado em relação a multiplicação por escalar De fato sejam f in V int01 fx dx 0 e alpha 1 in mathbbR então int01 alpha fx dx int01 1 fx dx 1 leftint01 fx dx right 0 Longrightarrow alpha f otin V h O conjunto dos vetores xyz que satisfaz a equação linear ax by cz 0 Solução O conjunto V dos vetores xyz que satisfaz a equação linear ax by cz 0 é fechado em relação a adição e a multiplicação por escalar De fato sejam u x1 y1 z1 v x2 y2 z2 em V e alpha in mathbbR então i u v x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 e a x1 x2 b y1 y2 c z1 z2 ax1 ax2 by1 by2 cz1 cz2 ax1 by1 cz1 ax2 by2 cz2 0 0 0 ii alpha u alpha x1 alpha y1 alpha z1 e aalpha x1 balpha y1 calpha z1 alpha ax1 by1 cz1 alpha 0 0 Os 8 axiomas de espaço vetorial são satisfeitos pois V é um subconjunto de mathbbR3 i O conjunto das matrizes 3 imes 3 triangulares estritamente superiores ie o conjunto das matrizes da forma left beginarrayccc 0 a b 0 0 c 0 0 0 endarray right Solução O conjunto V das matrizes 3 imes 3 triangulares estritamente superiores é fechado em relação a adição e a multiplicação por escalar De fato sejam A left beginarrayccc 0 a b 0 0 c 0 0 0 endarray right B left beginarrayccc 0 d e 0 0 f 0 0 0 endarray right em V e alpha in mathbbR então i A B left beginarrayccc 0 a b 0 0 c 0 0 0 endarray right left beginarrayccc 0 d e 0 0 f 0 0 0 endarray right left beginarrayccc 0 a d b e 0 0 c f 0 0 0 endarray right in V ii alpha A alpha left beginarrayccc 0 a b 0 0 c 0 0 0 endarray right left beginarrayccc 0 alpha a alpha b 0 0 alpha c 0 0 0 endarray right in V Os 8 axiomas de espaço vetorial são satisfeitos pois V é um subconjunto das matrizes reais 3 imes 3 2 Mostre que os seguintes conjuntos não são espaços vetoriais a O intervalo 01 da reta real Solução O intervalo 01 da reta real não é fechado em relação a adição e a multiplicação por escalar De fato sejam u v 1 em 01 e alpha 3 in mathbbR então i u v 1 1 2 otin 01 ii alpha u 3 imes 1 3 otin 01 b O conjunto left xy in mathbbR2 x leq 1 y leq 1 right Que objeto geométrico é esse Solução O conjunto V left xy in mathbbR2 x leq 1 y leq 1 right não fechado em relação a adição e a multiplicação por escalar De fato sejam u v 11 em V e alpha 3 in mathbbR então Figura 1 Objeto geométrico que descreve o conjunto V i u v 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 e 2 2 1 u v V ii αu 31 1 3 1 3 1 3 3 e 3 3 1 αu V c O conjunto dos vetores x y z que satisfaz a equação linear ax by cz d d 0 Que objeto geométrico é esse Qual é a diferença com a questão 1 h Solução O conjunto dos vetores x y z que satisfaz a equação linear ax by cz d 0 não é um espaço vetorial pois o elemento neutro 0 0 0 não satisfaz a equação ax by cz d 0 ou seja a 0 b 0 c 0 0 d A equação ax by cz d 0 descreve os planos que não passam pela origem Um exemplo deste objeto geométrico está representado na figura abaixo Note que no exercício 1 item h a equação descreve os planos que passam pela origem d O conjunto do plano x y R² x y t t² t R Solução O conjunto V x y R² x y t t² t R não é fechado em relação a adição e a multiplicação por escalar De fato sejam u x₁ y₁ e v x₂ y₂ em V tais que x₁ y₁ t₁ t₁² x₂ y₂ t₂ t₂² t₁ t₂ R e α 1 em R então i u v x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ t₁ t₂ t₁² t₂² t₁ t₂ t₁ t₂² em geral Como exemplo tome u v 1 1 t₁ t₂ 1 então u v 1 1 1 1 1 1 1² 1² 2 2 2 2² 2 4 ii αu αx₁ y₁ αt₁ t₁² αt₁ αt₁² αt₁ α²t₁² αt₁ αt₁² pois α 1 3 Seja V o conjunto de todos os pares ordenados x₁ x₂ de números reais Determine se V é um espaço vetorial se a soma e o produto escalar são definidos das formas abaixo Desconsidera e soma e multiplicação por escalar usuais a x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ y₂ ax₁ x₂ ax₁ ax₂ Solução V não é um espaço vetorial pois a comutatividade falha De fato sejam u x₁ x₂ e v y₁ y₂ em V então u v x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ y₂ Por outro lado v u y₁ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ x₂ Em geral u v v u por exemplo tome u 1 2 v 2 1 e assim u v 1 2 2 1 1 2 1 1 3 Por outro lado v u 2 1 1 2 2 1 2 2 3 Logo u v v u b x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ ax₁ x₂ ax₁ 0 Solução V não é espaço vetorial pois falha a multiplicação pelo elemento identidade 1 de R De fato seja u x₁ x₂ em V x₂ 0 e α 1 R então 1u 1x₁ x₂ 1x₁ 0 x₁ 0 x₁ x₂ u c x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ 1 x₂ y₂ ax₁ x₂ ax₁ ax₂ Solução V não é espaço vetorial pois a distributividade falha De fato sejam u x₁ x₂ e v y₁ y₂ em V e α 1 em R então αu v αx₁ x₂ y₁ y₂ αx₁ y₁ 1 x₂ y₂ αx₁ αy₁ α αx₂ αy₂ Por outro lado αu αv αx₁ x₂ αy₁ y₂ αx₁ αx₂ αy₁ αy₂ αx₁ αy₁ 1 αx₂ αy₂ d x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ ax₁ x₂ ax₁ ax₂ Solução V não é um espaço vetorial pois a associatividade falha De fato sejam u x₁ x₂ v y₁ y₂ e w z₁ z₂ em V então u v w x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ x₁ y₁ x₂ y₂ z₁ z₂ x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ Por outro lado u v w x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ x₁ x₂ y₁ z₁ y₂ z₂ x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ Em geral u v w u v w Por exemplo sejam u 1 0 v 1 0 e w 0 1 então u v w 1 1 0 0 0 1 0 1 Por outro lado u v w 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 1 Portanto u v w u v w e x₁ x₂ y₁ y₂ x₁y₁ x₂y₂ ax₁ x₂ ax₁ ax₂ Solução V não é espaço vetorial pois a distributividade falha De fato sejam u x₁ x₂ e v y₁ y₂ em V e α 1 em R então αu v αx₁ x₂ y₁ y₂ αx₁y₁ x₂y₂ αx₁y₁ αx₂y₂ Por outro lado αu αv αx₁ x₂ αy₁ y₂ αx₁ αx₂ αy₁ αy₂ α²x₁y₁ α²y₁y₂ Portanto αu v αu αv 4 Dados os espaços vetorias V₁ V₂ considere o conjunto V V₁ V₂ produto cartesiano de V₁ por V₂ cujos elementos são os pares ordenadosv v₁ v₂ com v₁ V₁ e v₂ V₂ Defina operações que tornem V um espaço vetorial Verifique a validade de cada um dos axiomas Solução Sejam u u₁ u₂ e v v₁ v₂ em V A soma é definida por u v u₁ v₁ u₂ v₂ A multiplicação por um escalar α é definida por αu αu₁ u₂ αu₁ αu₂ Vamos mostrar que o conjunto V é um espaço vetorial com as operações acima definidas Sejam u u₁ u₂ v v₁ v₂ w w₁ w₂ em V e α β R então i u v u₁ u₂ v₁ v₂ u₁ v₁ u₂ v₂ v₁ u₁ v₂ u₂ v₁ v₂ u₁ u₂ v u comutativa em V₁ e V₂ ii u v w u₁ v₂ v₁ v₂ w₁ w₂ u₁ v₁ u₂ v₂ w₁ w₂ u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₁ v₁ w₁ u₂ v₂ w₂ u₁ u₂ v₁ w₁ v₂ w₂ u v w associativa em V₁ e V₂ iii 0 0₁ 0₂ é o elemento nulo de V em que 0ᵢ são elementos nulos de Vᵢ i 1 2 De fato u 0 u₁ u₂ 0₁ 0₂ u₁ 0₁ u₂ 0₂ u₁ u₂ u iv u u₁ u₂ é o inverso de V De fato u u u₁ u₂ u₁ u₂ 0₁ 0₂ 0 inverso em V₁ e V₂ v αβu αβu₁ u₂ αβu₁ βu₂ αβu₁ αβu₂ αβu vi αu v αu₁ u₂ v₁ v₂ αu₁ v₁ u₂ v₂ αu₁ αv₁ αu₂ αv₂ αu₁ αu₂ αv₁ αv₂ αu αv vii α βu α βu₁ u₂ α βu₁ α βu₂ αu₁ βu₁ αu₂ βu₂ αu₁ αu₂ βu₁ βu₂ αu₁ u₂ βu₁ u₂ αu βu viii 1u 1u₁ u₂ 1u₁ 1u₂ u₁ u₂ u Portanto V é um espaço vetorial 5 Sejam V um espaço vetorial v V um elemento qualquer de V e α R um número real Use os axiomas de espaço vetorial para provar que a v v v 3v b 0v 0 c α0 0 d se αv 0 então α 0 ou v 0 Solução d Comece com a hipótese αv 0 e separe em dois casos α 0 e α 0 6 Defina a média uv entre dois vetores u v no espaço vetorial V pondo uv 12u 12v Prove que uvw uvw se e somente se u w Solução Provar usando a definição de média dada Este operação não satisfaz o axioma associativo Não se esqueça que é preciso provar a ida e a volta por causa do se e somente se 7 Seja V um espaço vetorial real Verifique que V e 0 são subespaços de V Solução V é um subespaço vetorial de V De fato sejam u v em V e α R então i 0 V pois V é espaço vetorial ii u v V pois V é espaço vetorial iii αu V pois V é espaço vetorial Portanto V é subespaço vetorial de V 0 também é subespaço de V De fato i 0 0 ii 0 0 0 0 iii α0 0 0 Portanto 0 é subespaço vetorial de V 8 Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais a O conjunto X R³ formado pelos vetores v x y z tais que z 3x e x 2y Solução Os elementos do conjunto X são os vetores v 2y y 6y y R X é um subespaço vetorial de R³ De fato sejam u 2y₁ y₁ 6y₁ v 2y₂ y₂ 6y₂ em X e α R então i 0 0 0 X basta tomar y 0 ii u v 2y1 y1 6y1 2y2 y2 6y2 2y1 2y2 y1 y2 6y1 6y2 2y1 y2 y1 y2 6y1 y2 X iii αu α2y1 y1 6y1 α2y1 αy1 α6y1 2αy1 αy1 6αy1 X Portanto X e um subespaco vetorial de R3 b O conjunto Y R3 formado pelos vetores v x y z tais que xy 0 Solucao Y nao e um espaco vetorial pois nao e fechado em relacao a soma De fato sejam u x1 y1 z1 v x2 y2 z2 em Y tais que x1y1 0 e x2y2 0 entao u v x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 e x1 x2y1 y2 x1y1 x1y2 x2y1 x2y2 x1y2 x2y1 0 em geral Como exemplo tome x2 y1 1 x1 y2 0 e assim sejam u 0 1 0 v 1 0 0 em Y entao u v 0 1 0 1 0 0 1 1 0 e 1 1 1 0 u v Y Portanto Y nao e subespaco vetorial de R3 O conjunto Y e uniao de duas retas x y z tais que x 0 y 0 A uniao nao necessariamente e subespaco c O conjunto F FR R formado pelas funcoes f tais que fx 1 fx para todo x R Solucao F e um subespaco de FR R De fato sejam f g F e α R entao i A funcao nula 0x de FR R esta em F pois 0x 1 0x ii f gx 1 fx 1 gx 1 fx gx f gx f g F iii αfx 1 αfx 1 αfx αfx αf F Portanto F e subespaco de FR R e o subespaco das funcoes periodicas de perıodo 1 d O conjunto dos vetores v R5 que tem duas ou mais coordenadas nulas Solucao O conjunto X dos vetores v R5 que tem duas ou mais coordenadas nulas nao e um subespaco vetoial De fato sejam u a1 a2 0 0 0 v 0 0 a3 a4 a5 em X ai 0 i 1 5 entao u v a1 a2 0 0 0 0 0 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 X Portanto X nao e subespaco vetorial de R5 Este conjunto tambem pode ser pensado como uniao de subespacos e por tanto nao necessariamente subespaco e O conjunto dos vetores v R3 que tem pelo menos uma coordenada 0 Solucao O conjunto V dos vetores v R3 que tem pelo menos uma coordenada 0 nao e subespaco vetoial de R3 De fato sejam v 1 1 1 em V e α 1 R entao αv 11 1 1 1 1 1 V Portanto V nao e subespaco vetorial de R3 f O conjunto dos vetores v x y R2 tais que x3 3x y2 3y Solucao O conjunto V dos vetores v x y R2 tais que x3 3x y2 3y nao e subespaco vetorial de R2De fato sejam u v 1 1 em V entao u v 1 1 1 1 2 2 e 23 32 22 32 u v V Portanto V nao e subespaco vetorial de R2 9 Quais dos seguintes subconjuntos de R3 sao subespacos vetoriais de R3 a x y z R3 x 0 Solucao O subconjunto V x y z R3 x 0 e subespaco vetorial de R3 De fato sejam u 0 y1 z1 v 0 y2 z2 em V e α R entao i 0 0 0 V 7 ii u v 0 y1 z1 0 y2 z2 0 y1 y2 z1 z2 V iii αu α0 y1 z1 0 αy1 αz1 V Portanto V e um subespaco vetorial de R3 b x y z R3 x y z Solucao O subconjunto V x y z R3 x y z e subespaco vetorial de R3 De fato sejam u x1 y1 z1 v x2 y2 z2 em V com x1 y1 z1 x2 y2 z2 e α R entao i 0 0 0 V ii u v x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 V E temos que x1 x2 y1 y2 z1 z2 somando as igualdades acima iii αu αx1 αy1 αz1 E temos que αx1 αy1 αz1 Portanto V e um subespaco vetorial de R3 c x y z R3 x y 0 Solucao O subconjunto V x y z R3 x y 0 e subespaco vetorial de R3 De fato sejam u x1 y1 z1 v x2 y2 z2 em V tais que x1 y1 0 x2 y2 0 e α R entao i 0 0 0 V ii u v x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 e x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2 0 0 0 u v V iii αu αx1 y1 z1 αx1 αy1 αz1 e αx1 αy1 αx1 y1 α0 0 αu V Portanto V e um subespaco vetorial de R3 d x y z R3 y 0 Solucao O subconjunto V x y z R3 y 0 nao e um subespaco vetorial de R3 De fato sejam u 0 1 0 em V e α 1 R entao αu 10 1 0 0 1 0 V Portanto V nao e um subespaco vetorial de R3 10 Seja V um espaco vetoriais real Sejam W1 e W2 dois subespacos vetoriais de V Mostre que W1 W2 e ainda um subespaco vetorial de V Prova Sejam u v W1 W2 e α R entao i 0 W1 W2 ii u v W1 e u v W1 pois W1 e subespaco vetorial de V Tambem u v W2 e u v W2 pois W2 e subespaco vetorial de V Logo u v W1 W2 iii u W1 e αu W1 pois W1 e subespaco vetorial de V Tambem u W2 e αu W2 pois W2 e subespaco vetorial de V Logo αu W1 W2 Portanto W1 W2 e subespaco vetorial de V 11 Seja S o conjunto das funcoes y satisfazendo a equacao 2dy dx 3y 0 a Mostre que o conjunto S e nao vazio Solucao O conjunto S e nao vazio pois a funcao nula y 0 pertence a S 8 b Mostre que S e um subespaco do espaco vetorial FR R Solucao sejam y1 y2 em S e α R entao i y 0 S ii 2dy1 y2 dx 3y1y2 2dy1 dx 2dy1 dx 3y13y2 2dy1 dx 3y12dy2 dx 3y2 00 0 y1y2 S iii 2dαy1 dx 3y1 α2dy1 dx 3y1 α0 0 αy1 S Portanto S e um subespaco vetorial de FR R 9