Lista de Exercícios - Álgebra Linear

Universidade Federal do ABC Lista 6 ALGEBRA LINEAR TurMAS NA2SA NB2SA 1Q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro A matriz de uma transformacio linear Assumimos que todo espaco vetorial real V é imbufdo de um produto escalar fixo No caso em que V R 3 a2n9 91 59ns 59 di tj 0 produto escalar candnico de modo que a base can6nica de R é ortonormal ver eg o Exercicio 1 abaixo Se S 1 é base de V entéo x1Xns Di vie a representagdo de x V em termos de suas componentes em S se por exemplo V R e S é a base canOnica entaéo x1 Xns 41Xn Dado um subespaco vetorial W de um espaco vetorial V o complemento ortogonal de W é 0 subespaco vetorial W EV Zy O paratodoyeW CV Adotamos as seguntes abreviacées cl combinacio linear 1d linearmente dependentes 1i linearmente independentes t transformagio linear Exercicios ou itens estrelados sao mais trabalhosos S 1 Mostre que a matriz datl TV W dada por TZ 0 em quaisquer bases S CV8 CW éa 5 Calcule nos casos abaixo a matriz 4 dat T matriz nula V SW nasbasesS CVS CW a Vy Vy RS 8 1 1 10 2 Mostre que a matriz datl TV V dada T x1 xg a1 9 21 29 por Tx Ax em qualquer base S c V é igual aa b R2 RS8 1 8 245 vezes a matriz identidade 1 1 1 2 2 0 3 0 0 Tx1 x9 x1 2x9 L 0 3 SejameV RWReScCVS CW as eM Mw RS S bases canénicas Se A é a matriz em S 8 da trans 1 0 1 0 1 1 C1 1 0 7 x1 2 xg formacao linear T V W dada pela acio Bias de x1 g 2 2X1 LX X3 uma matriz B Mn yx IR sobre o vetorcoluna 5 de V na base S mostre que A B 6 Calcule nos casos abaixo i as matrizes 4 e B das respectivas transformac6es lineares 7 V W 4 Seja S é3é4 C V uma base deV ToW X nas bases S CV Sg CW S3 c Xe eT V V atl dada por Té 9 Téy 3 ii a matriz C datl ToT Tg 0 T V X nas Tes 4 Té4 Calcule a matriz A de T nabase bases 3 Conclua dai que C BA a V DaRW X PoR 1 1 00 0 4 0 4 At 1 ft th So S3 git T a1 19 3 41 229 423 X9 X11 723 1 got t gat 07 NAM tf Togt g2t 1 d V R 88 sao as bases do item b e b V Pe R W PegR X PesR Tx 52 Si i LAW t Se fai 1 got tg3t 07 Ss hi 1 hgt that t hat t Ti a0 ajt 2aq 8ayt Tegt 8tgt 7 Considere atl T V R V cuja matriz A na base fh 1 3 fal 4 é dada por A 18 2 5 a Calcule Thi 12comocl de hy hs b Calcule a matriz C de mudanga da base can6 nica S 1 0 g 0 1 deV para S e sua inversa C7 Dica lembrar que C7 é a matriz de mudanea da base S para a base S c Calcule a matriz B de T na base canénica Dica lembrar que B CAC d Calcule Té j 12 como cl de 1 é9 e Use a f6rmula obtida no item d para calcular T1 1 8 Calcule nos casos abaixo i a matriz 4 da tl T V SV nabaseS CV e ii a matriz C de mu danga da base on S para a base on S bem como sua inversa C Use os dois resultados para iii calcular a matriz CAC de T na base S Dica lembrar que se S sio on entio C7 CT a V RY S 100D 8 2 1 1 2 2 T x1 x9 21 2x9 22 R2 4 LL L 4 b v R25 44 sbf SL 3 L S 45 2 V10 Fe Tai 29 x 7x9 821 429 c V R8S 100 0 10 00 D 2 Respostas parciais dos exercicios 0001 git 2got Togst g32t 1 1440440 441 9 9 0 Pid 10 1007 git4got 4g3t logo B 0 2 4 e portanto 0010 00 4 11 5 a Notando que 10 10e01I1 Ba 2 4 Gi MTMAt Qt DAQ 1 1 0 temos que T1 1 0 2 21 121 0 04 T10 11 1 1 logo 4 21 241 fil 20 NANO 2 AQt 1 2 0 14404 40 ft 4fat 40 logo C BA b Notando que 1 00 3 0 0 0 10 12 20 43 0 0 e 001 111 b NA 2 210 NAO 352 2 0 temos que T18 710 2 0 220 2800 T24 620 MF MRED Tome AS Ff 6 gn 0 0 C C cC C 2 2 2 0 3 0 0 logo A 5 1 31g t 3t dgat Tog9t el 3t 9 4 3g3t Tog3t 8tggt 81 3gyt logo 3 00 0 0 O c Notando que 1 0 0 1 0 1 30 1 1 3 0 0 6 Oo 1110 010 00 201 4 7 o 3 0 Pomme Bt 19 9 31 1 0 0 0 1 30 150 1 3 1 0 0 0 38 0 0 temos que T1 01 110 10 101 TeTifi 6t Ggat T2Ti fot 9g3t logo T011 8101 011 010 CBA T1 10 10 1 0 1 1 C 1 0 logo 3 1 3 2 7 a T 3 1 8 21 4 3 5 T1 4 d 1 2 2 31 8 51 4 2 29 o 2 b 10 18 314 e 01 C 8 1 6a TA i 0 e NAW 714 Lt t2 g3t logo d 11 0 e Me 37 14 947 8 47C1 4 2701 8 r8xty Pp 14 0 1 T1 4 gi2i 1 git Togat go2t 1 W1 e TU 1 27182714 8 3