Algebra-Linear-Lista-1-Sistemas-Lineares-Resolucao-de-Exercicios

Álgebra Linear 20191 Lista 1 Sistemas lineares 1 Descreva todas as possíveis matrizes 2 2 que estão na forma escada reduzida por linha Solução De acordo com a definição de uma matriz na forma escada reduzida por linhas as possibilidades são 2 Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas a A Solução Portanto a matriz A tem posto 3 e nulidade 1 b B Solução Portanto a matriz B tem posto 2 e nulidade 2 c C Solução 1 2 L2L2 1 1 3 0 1 1 0 7 7 0 5 5 L1L2L1 L37L2L3 L45L2L4 1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Portanto a matriz C tem posto 2 e nulidade 1 3 Prove que toda matriz antisimetrica 3 3 naonula tem posto igual a dois Solucao Uma matriz A e antissimetrica se AT A Assim A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 e AT a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A De AT A temos a11 a11 a11 0 a21 a12 a31 a13 a12 a21 a22 a22 a22 0 a32 a23 a13 a31 a23 a32 e a33 a33 a33 0 Em vista disso A 0 a12 a13 a12 0 a23 a13 a23 0 Vamos encontrar a forma escalonada da matriz A Assumimos inicialmente que a12 0 entao 0 a12 a13 a12 0 a23 a13 a23 0 L1L2 a12 0 a23 0 a12 a13 a13 a23 0 1 a12 L1L1 1 0 a23 a12 0 a12 a13 a13 a23 0 L3a13L1L3 1 0 a23 a12 0 a12 a13 0 a23 a13a23 a12 1 a12 L2L2 1 0 a23 a12 0 1 a13 a12 0 a23 a13a23 a12 L3a23L2L3 1 0 a23 a12 0 1 a13 a12 0 0 0 Portanto para o caso em que a12 0 o posto da matriz A e 2 e nulidade e 1 Agora consideremos o caso em que a12 0 e a13 0 Assim 0 0 a13 0 0 a23 a13 a23 0 L1L3 a13 a23 0 0 0 a23 0 0 a13 1 a13 L1L1 1 a23 a13 0 0 0 a23 0 0 a13 L2L3 1 a23 a13 0 0 0 a13 0 0 a23 1 a13 L2L2 1 a23 a13 0 0 0 1 0 0 a23 L3a23L2L3 1 a23 a13 0 0 0 1 0 0 0 Portanto para o caso em que a12 0 e a13 0 a matriz A tem posto 2 e nulidade 1 Consideremos agora o caso em que a12 0 a13 0 e a23 0 Logo 0 0 0 0 0 a23 0 a23 0 L1L3 0 a23 0 0 0 a23 0 0 0 1 a23 L1L1 1 a23 L2L2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Portanto para o caso em que a12 0 e a13 0 a matriz A tem posto 2 e nulidade e 1 Por conseguinte devido ao casos analisados a matriz antissimetrica 3 3 nao nula tem posto 2 e nulidade 1 4 Resolver os sistemas por escalonamento Para sistemas com solucao indeterminada obter a resposta em forma pa rametrica 2 a x 5y 13 4x 3y 1 Solução Vamos transformar a matriz ampliada do sistema em uma matriz na forma escalonada Portanto a solução do sistema é x 2 e y 3 Posto da Matriz dos Coeficientes Posto da Matriz Ampliada 2 Número de incógnitas Portanto temos solução única b x 2y 3z 0 5x 3y z 10 2x y z 1 Solução Vamos transformar a matriz ampliada do sistema em uma matriz na forma escalonada Logo da linha 1 de 1713 z 1713 z 1 Da linha 2 de y 1613 1 1013 y 2 Da linha 1 x 2y 3z 0 x 22 31 0 x 1 Portanto x 1 y 2 e z 1 Posto da Matriz dos Coeficientes Posto da Matriz Ampliada 3 Número de incógnitas Portanto temos solução única c x y 2z 6 2x y z 3 x 3y z 3 Solução Vamos transformar a matriz ampliada do sistema em uma matriz na forma escalonada Assim 1 1 2 6 2 1 1 3 1 3 1 3 L22L1L2 L3L1L3 1 1 2 6 0 3 3 9 0 2 3 3 1 3 L2L2 1 1 2 6 0 1 1 3 0 2 3 3 L32L2L3 1 1 2 6 0 1 1 3 0 0 5 9 I Da linha 3 de I temos que 5z 9 z 9 5 Da linha 2 de I y z 3 y 3 z y 3 9 5 6 5 Da linha 1 de I x y 2z 6 x y 2z 6 x 6 5 2 9 5 6 6 5 Portanto x 6 5 y 6 5 e z 9 5 Posto da Matriz dos Coeficientes Posto da Matriz Ampliada 3 Numero de incognitas Portanto temos solucao unica d x y 2z t 0 3x y 3z t 0 x y z 5t 0 Solucao Transformando a matriz ampliada do sistema em uma matriz na forma escalonada 1 1 2 1 0 3 1 3 1 0 1 1 1 5 0 L23L1L2 L3L1L3 1 1 2 1 0 0 4 3 4 0 0 0 3 4 0 Posto da Matriz dos Coeficientes Posto da Matriz Ampliada 3 4 Numero de incognitas Portanto temos um sistema compatıvel Indeterminado O sistema equivalente e x y 2z t 0 4y 3z 4t 0 3z 4t 0 A Nulidade Numero de incognitas Posto da Matriz dos coeficientes 4 3 1 Temos entao uma variavel livre que escolhemos t R Da ultima equacao z 4 3t substituindo na segunda equacao obtemos y 2t Da primeira equacao x y 2z t 0 x 2t 2 4 3t t 0 x 5 3t 0 x 5 3t Portanto x 5 3t y 2t e z 4 3t t R Resposta x y z t t 5 3 2 4 3 1 Dimensao 1 e x y z 4 2x 5y 2z 3 x 7y 7z 5 Solucao Vamos transformar a matriz ampliada do sistema na forma escalonada 1 1 1 4 2 5 2 3 1 7 7 5 L22L1L2 L3L1L3 1 1 1 4 0 3 4 5 0 6 8 1 L32L2L3 1 1 1 4 0 3 4 5 0 0 0 11 4 Portanto pela última linha concluímos que o sistema é impossível Posto da Matriz dos Coeficientes 2 3 Posto da Matriz Ampliada f 3x 2y 4z 1 x y z 3 x y 3z 3 3x 3y 5z 0 x y z 1 Solução Vamos transformar a matriz ampliada do sistema na forma escalonada Portanto pela linha 4 da matriz ampliada escalonada concluímos que o sistema é impossível Posto da Matriz dos Coeficientes 3 4 Posto da Matriz Ampliada g x 2y 3z 0 2x 5y 6z 0 Solução A matriz ampliada do sistema é Vamos encontrar a sua forma escalonada Da última linha obtemos que y 0 Da primeira temos que x 2y 3z 0 x 2z 0 x 3z Portanto y 0 e x 3z z R Posto da Matriz dos Coeficientes Posto da Matriz Ampliada 2 3 Número de Incógnitas Portanto o sistema é compatível e indeterminado Nulidade 3 2 1 Temos uma varável livre que escolhemos z R Resposta xyz z301 Dimensão 1 Determine m de modo que o sistema linear seja indeterminado mx 3y 12 2x 12 y 2 A matriz ampliada do sistema e 1 2 3 3 a 2 5 3 12 b 7 1 8 5 c Calculemos a sua forma escalonada 1 2 3 3 a 2 5 3 12 b 7 1 8 5 c L22L1L2 L37L1L2 1 2 3 3 a 0 9 9 18 b 2a 0 13 13 26 c 7a 1 9 L2L2 1 2 3 3 a 0 1 1 2 2ab 9 0 13 13 26 c 7a L313L2L3 1 2 3 3 a 0 1 1 2 2ab 9 0 0 0 0 9c37a13b 9 Portanto concluıse pela ultima linha que o sistema admite solucao se e somente se 9c37a13b 9 0 37a13b 9c Agora vamos calcular a solucao geral do sistema quando a 2 e b 4 Logo para a 2 e b 4 a matriz ampliada do sistema e 1 2 3 3 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 Calculemos a sua forma escada reduzida por linhas 1 2 3 3 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 L12L2L1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 Portanto da segunda linha obtemos que y z 2t e da primeira linha obtemos que x 2 z t com z t R Posto da Matriz dos Coeficientes Posto da Matriz Ampliada 2 4 Numero de Incognitas Sistema Compatıvel Indeterminado Nulidade 4 2 2 Temos duas variaveis livres que escolhemos z t R Resposta x y z t z1 1 1 0 t1 2 0 1 2 0 0 0 v0 2 0 0 0 e chamada solucao particular 8 Determinar a e b para que o sistema seja possıvel e determinado 3x 7y a x y b 5x 3y 5a 2b x 2y a b 1 Solucao 3 7 a 1 1 b 5 3 5a 2b 1 2 a b 1 7 Vamos calcular a forma escalonada da matriz ampliada 3 7 a 1 1 b 5 3 5a 2b 1 2 a b 1 L1L21 1 b 3 7 a 5 3 5a 2b 1 2 a b 1 L2 3L1L2 L3 5L1L3 L4 L1L41 1 b 0 10 a 3b 0 2 5a 3b 0 1 a 1 L4L21 1 b 0 1 a 1 0 2 5a 3b 0 10 a 3b L3 2L2L3 L4 10L2L41 1 b 0 1 a 1 0 0 7a 3b 2 0 0 11a 3b 10 Para o sistema ser determinado é necessário que 7a 3b 2 11a 3b 10 7a 3b 2 11a 3b 10 4a 8 a 2 Substituindo a 2 em 7a 3b 2 obtemos b 4 Portanto para o sistema ser determinado é necessário que b 4 e a 2 9 Determinar o valor de k para que o sistema x 2y kz 1 2x ky 8z 3 tenha a solução única b nenhuma solução c mais de uma solução Solução A matriz ampliada do sistema é 1 2 k 1 2 k 8 3 Calculemos a forma escalonada da matriz ampliada 1 2 k 1 2 k 8 3 L2 2L1L21 2 k 1 0 k 4 8 2k 1 a O posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes mas não é igual ao número de incógnitas Em vista disso o sistema não admite solução única b O sistema não admite nenhuma solução se k 4 0 e 8 2k 0 o que ocorre em k 4 c O sistema admite mais de uma solução para todo k 4 10 Resolva o sistema 2u 3v 8 1u 1v 1 Solução Fazendo as mudanças de variáveis x 1u e y 1v temos 2x 3y 8 x y 1 2x 3y 8 2x 2y 2 Daí segue que 5y 10 y 2 Substituindo y 2 em x y 1 obtemos que x 1 Portanto 1u x 1 u 1 e 1v y 2 v 12 11 Discuta os seguintes sistemas a x z 4 y z 5 ax z 4 Solução A matriz ampliada do sistema é 1 0 1 4 0 1 1 5 a 0 1 4 Calculemos a forma escalonada da matriz ampliada do sistema 1 0 1 4 0 1 1 5 a 0 1 4 L3 aL1L31 0 1 4 0 1 1 5 0 0 1 a 4 4a Pela última linha temos que se a 1 o sistema é indeterminado Por outro lado se a 1 o sistema é determinado b x z w 0 x ky k²w 1 x k 1z w 1 x z kw 2 Solução A matriz ampliada do sistema é 1 0 1 1 0 1 k 0 k² 1 1 0 k 1 1 1 1 0 1 k 2 Calculemos a sua forma escalonada 1 0 1 1 0 1 k 0 k² 1 1 0 k 1 1 1 1 0 1 k 2 L2 L1 L2 L3 L1 L3 L4 L1 L4 1 0 1 1 0 0 k 1 k² 1 1 0 0 k 0 1 0 0 0 k 1 2 Pela quarta linha temos que se k 1 o sistema é impossível Também pela terceira linha temos que se k 0 o sistema é impossível Nestes casos o Posto da Matriz dos Coeficientes 3 4 Posto da Matriz Ampliada Por outro lado se k 1 e k 0 o sistema é possível e determinado e tem como solução x 3k 1k² k y 2k² k 1k² z 1k e w 2k 1 12 Determine k para que o sistema admita solucao 4x 3y 2 5x 4y 0 2x y k Solucao A matriz ampliada do sistema e 4 3 2 5 4 0 2 1 k Calculemos a forma escalonada da matriz ampliada 4 3 2 5 4 0 2 1 k 1 4 L1L1 1 3 4 1 2 5 4 0 2 1 k L25L1L2 L32L1L3 1 3 4 1 2 0 1 4 5 2 0 1 2 k 1 L32L2L3 1 3 4 1 2 0 1 4 5 2 0 0 k 6 Portanto pela ultima linha temos que se k 6 o sistema e possıvel e determinado Neste caso temos Posto da Matriz dos Coeficientes 2 Posto da Matriz Ampliada Por outro lado se k 6 o sistema e impossıvel Neste caso temos Posto da Matriz dos Coeficientes 2 3 Posto da Matriz Ampliada 13 Classifique de acordo com o valor de k os sistemas abaixo em possıvel e determinado possıvel e indeterminado ou impossıvel a x y kz 0 kx y z 2 k x ky z k b kx 2y 6 3x y 2 x y 0 Solucao 14 a SI se k 2 ou k 1 e SPD caso contrario b SPD se k 10 e SI caso contrario 10