Exercícios de Geometria Analítica: Produto Interno e Vetorial

Lista 5 Geometria Analítica Produto Interno e Vetorial Nos próximos exercícios as coordena das são expressas num sistema cartesi ano 1 Se u 2 1 2 e v 1 2 2 en contre escalares a b tais que w au bv e w v 0 Esse exercício não admite resposta única 2 Considere um triângulo cujos vértices são 3 1 5 2 e 6 3 a Ache os três ângulos internos do triân gulo b Ache também a área do triângulo en contrando sua altura c Ache também a área do triângulo via produto vetorial Dica Para usar o produto vetorial considere as coordenadas z dos vérti ces iguais a 0 3 Dados vetores a b e c tais que ab c 0 com a 3 b 5 e c 7 Calcule o ângulo entre a e b 4 Mostre que se as diagonais de um pa ralelogramo são perpendiculares então ele é um losango 5 Decomponha o vetor u i 3j 2k como a soma de dois vetores v1 e v2 com v1 paralelo ao vetor j 3k e v2 ortogonal a este último 6 Suponha que AB seja o diâmetro de um circulo e seja C outro ponto qualquer desse circulo Mostre que os vetores CA e CB são ortogonais 7 Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo 8 Mostre que u v u v se e somente se u v 0 Note que esse exercício prova que um paralelogramo é um retângulo se e somente se o comprimento das diagonais é o mesmo 9 Calcule o produto vetorial entre a 7i 3j 6k e 5i 15j 13k b 6i 16j 15k e 3i 3j 2k c 3i 3j e 5i 4j 10 Se u 3 41 v 2 3 2 e w 4 2 3 encontre a 2u3v 7w b u w c v w d u v e u v f v u g w v u 11 Considere A 1 1 2 B 0 1 3 e C 1 2 8 Encontre a área do paralelogramo de lados AB e AC 18 Sejam os pontos P 112 Q 120 e R 312 pontos médios dos la dos de um triangulo AABC Calcule a area 12 Considere AB 101 AC do triangulo AABC 123 e AD 015 a Calcule a area do triangulo ABC 19 Prove que b Calcule a distancia de B a reta AC isto a uXvvxu é encontre a altura do triangulo ABC b uvvu relativa ao vértice B c Calcule o volume do paralelepfpedo com arestas AB AC e AD 20 Prove que u u x v v ux v d Calcule a distancia do ponto D ao 0 de dois modos primeiro calculando direta plano que contém os pontos A Be C mente e segundo utilizando as propriedades de u X Vv 13 Sejam AB 10 1 AC 123 21 Mostre que dois vetores u e v sao pa e AD 0 a1a Encontre a de modo que yalelos se e somente se u x v O o volume do paralelepipedo com arestas AB AC eAD seja 10 22 Prove que em geral uv x w pode ser escrito como o determinante da matriz que 14 Suponha que u x vw 2 Calcule om como componentes a uvw x vwv a a2 a3 b 2uv x v 3w v b by bs Ci C2 C3 15 Dados os vetores u 121 e v 210 Expresse o vetor a 223 a como combinacio de u v u x v 23 Dado um triangulo AABC como na figura a seguirUsando o produto vetorial de monstre a lei dos senos 16 Dado b 121 determine a tal que a é ortogonal ao eixo z e sena sen seny Iwi iv ful a x b111 A 17 Determine v xyz tal que v u x y Z x 12 1 11 3 a CN xy Z 31 1 3 Cc w B 2 24 Mostrar que 5 0 0 2 e 0 2 são os vértices de um triângulo isósceles e achar sua área 25 Sejam A a 0 e B 0 a com a 0 Ache x de modo que o ponto C x x seja o terceiro vértice do triângulo equilátero ABC 3 Respostas dos Exercicios 1 Basta que b 49a 8 Use que pra qualquer vetor v vale vv Note que uv formam uma base para um v plano 7t paralelo a ambos A nao unicidade decorre do fato que a hipodtese wv 0 ape 9 a129 12190 nas exige a ortogonalidade entre w e v As sim qualquer vetor paralelo a 7 ortogonal a 15 v é um possivel vetor w 9 12 11 2 aOs angulos sao 12 74 e 14 bArea a 74 r 7 a 14 xv 132 16 a 1 10 3 Dado queabc QJ calculando o pro duto de ambos os lados da equacao sucessiva Wve 5 11 mente com a b e c temos M42 204 aatabacOSabac9 22 Escreva o determinante em termos dos menores da primeira linha e compare batbbbcOSbabc25 com u vxw Isto também prova que catebecOScaeb49 uv x w vw x u Porque Resolvend ist terior t b 15 ssonvensce SS que omen vamos a 23 A area do triangulo é dada por e assim cos 0 5 e logo 0 3 6 Denotando u OAu OB eu oc temos u ul v r A5lux vl 5 ll x wll 5Ilv x wll E assim e assim temos que ACBC vuvu vvuu0 ux v lu x wl v x w C Mas lu x v luliv sen o lu x wl ull iwl sen B e v x wl lvlllwl sexy E logo BO ua sen sen B seny Iwi iv ful 4