Exercícios de Geometria Analítica: Retas no Plano

Lista 6 Geometria Analítica Retas Retas no Plano 1 a Sejam A 1 2 e n 3 4 ponto e ve tor no plano encontre a equação na forma reduzida da reta r perpendicular a n que contenha A use que X r se e somente se AX n 0 b Mostre que no plano a equação da reta r na forma reduzida contendo A x0 y0 perpendicular a n a b é ax by d onde d ax0 by0 c A reta que intercepta o eixo x no ponto a 0 e o eixo y no ponto 0 b sendo am bos os pontos distintos da origem Mostre que a equação dessa reta pode ser escrita como x a y b 1 d Ache a equação da reta que passa a uma distância h da origem e cujo segmento de tamanho h forma um ângulo α como o eixo x Dica Ache os pontos onde a reta inter cepta o eixo x e o eixo y em termos de h α e use o resultado do item a 2 Dado A 1 2 Ache o ponto B tal que o triângulo OAB seja equilátero 3 Os lados de um triângulo estão sobre as retas y 2x 1 y 3x 2 e y 1 x Ache os vértices desse triângulo 4 Os pontos A 2 5 e B 14 1 são simétricos em relação a uma reta Determine a equação canônica e paramétrica dessa reta 5 Chama se baricentro de um triângulo o ponto G de encontro das três medianas Deter mine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC nos seguintes casos a A 1 5 B 3 2 C 2 4 b A x1 y1 B x2 y2 e C x3 y3 6 O ponto em que duas retas não parale las se encontram deve satisfazer ambas equações Ache o ponto de intersecção de 3x 4y 1 e 4x 6y 14 Nos próximos exercícios ache a equação da reta e desenhe uma figura de cada 7 A linha que passa por 5 7 perpendi cular a 4x 5y 10 8 Duas retas por 2 3 uma paralela e outra perpendicular a 3x 2y 5 0 9 A reta que passa por a 0 perpendicular a x a y b 1 10 No triângulo de vértices a 0 b 0 e 0 c a ache as equações das três alturas b ache as equações das três medianas c prove que as trés alturas se encontram b A reta que passa pelos pontos A num ponto H chamado ortocentro do tri 102 e B 3 11 angulo determinando suas coordenadas c As retas que determinam os eixos x y Z d prove que as trés medianas se encontram d A reta paralela ao eixo z que passa pelo 0 Paricento G determinando suas coor ponto 1 21 enadas e A reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto 1 21 12x y 2z1 11 Ache duas linhas retas de inclinago 4 f A reta paralela a reta S 7 que que fazem com os eixos coordenados um trian passa pelo ponto 2 1 0 gulo de area g A reta paralela a reta x 13t 12 Determine ae b de modo que as equa y 4 coes xX at 1 ey bt5 sejam uma repre a sentagao paramétrica da reta y 2x 3 que passa pelo ponto 2 1 0 13 Considere as retas r e s de equacoes car 16 testanas 4 by a Determine equagoes paramétricas da reta r i ye r que passa pelos pontos A 302 e sdxey f B 111 Mostre que o angulo a entre r e s obedece a La b Encontre equagoes na forma simétrica da eduagao reta s paralela a r passando por C cos O lad be 01 1 V a b d e 17 Ache a equagao da reta perpendicular Consid q ao plano que passa pelos pontos A 34 2 14 onsidere as retas r e s de equagoes car p 153 e C 214 e que passe pela teslanas origem riaxbyc saxbyd Mostre que a distancia drs entre r e s obedece 18 Escreva as equagoes do movimento do a equacao ponto P xyz que comega em 315 e Icdl que se move retilineamente e uniformemente na dr s 2 diregao e sentido do vetor 2 63 com veloci var be dade v 14 Retas no Espaco 19 Dados v e v vetores nao nulos parale los ou seja v Av Mostre que X Avte 15 Determine as equagoes na forma para X Avt sao equagoes vetoriais para a mesma métrica e na forma simétricas quando existirem reta Tr das seguintes retas a A reta que passa pelos pontos A 20 Duas particulas P e Pz se movem reti 142 e B 01 1 lineamente e uniformemente A primeira parti 2 cula inicia seu movimento em A 112 e se por Ae B Determine também os pontos onde move com velocidade v 14 na diregao do vetor essa reta corta os planos coordenados XY XZ e 3 6 2 asegunda particula comecga no ponto YZ B 0 14 e se move com velocidade v 13 na diregao oposta ao vetor 4 3 12 ee 7 t 23 Identifique a linha cujas equagdes sao a Escreva as edragoes ae Movinenvo Para 2x 14y8 3z5 Ache o vetor diretor e cada particula tre rés pontos que pertengam a essa reta b Mostre que suas trajetérias se intercep tam e ache o ponto P de intersecgao c Determine o tempo que a primeira parti 24 Ache as equacoes vetorial e na forma pa cula gasta para ir de A até P ramétrica da reta d Determine o tempo que a segunda parti f 3x2y5z6 cula gasta para ir de B até P BEd Oy 4 y3z0 21 Escreva as equagoes do movimento do ponto P xyz que se move retilineamente e 25 Dadas as retas uniformemente e percorreu a distancia distancia entre os pontos A 7 125 e B 9 4 3 x95 no intervalo de tempo t 1 e ty 4 TIXyz3 e s4 yt z22t 22 Dados A 123 e B 456 de escreva equacgdes paramétricas da reta t concor termine a equacéo paramétrica da reta que passa rente ar ese paralela ao vetor v 20 3 3 3 01 37 e 34 17 Dica X 000 tAB x AC A Dica P 83 e v 13 sdo um ponto e 18 MRU S So vt um vetor diretor da reta procurada 5 bG Sets urtuetus P 31 5 t4 12 6 6 P 27 19 Dica Mostre que as retas sao paralelas e 10 aDica Altura relativa a a0 tem v cb passam pelo mesmo ponto sendo assim coinci dentes como vetor diretor bMediana relativa a a 0 20 a x be y28 DTZ SPI 7 P X 112 t6 12 4 11 Dica A reta passa pelos pontos a0 e Pa 014 4 3 12 0 4 ferida é 4a 3a AC PEONE LE 3G bIntersectam pois 61244123 e AB 12 a1b2 sio LD P 45 1h 1 ct z 13 Dica Use o produto escalar para estudar dt o Angulo entre os vetores ny ab e ng d e 21 Dica v LAB So Av 14 Dica Considere AB Ere C s calcule a altura do paralelogramo de lados AB e AC 22 Dica XYz0 XZ y 0 YZx 0 15 c 24 rX 0186 t1 19 7 xt Ox 4 y0 25 Dica Tome A rt B Ss e use que z0 AB X203 para obter um sistema com 3 d equagoes a 3 incdginitas que dara os pontos de intersecgdéo de t com Tr s x Resolugao alternativa usando planos Encon ri9 y2 tre os planos 71 contendo r paralelo a v e 7 con z1t tendo s paralelo a v Observe que t 71 71 4