Geometria Analítica e Vetorial

Geometria Analítica e Vetorial Versão 13 Daniel Miranda Rafael Grisi Sinuê Lodovici UFABC julho de 2020 I have not yet any clear view as to the extent to which we are at liberty arbitrarily to create imaginaries and endow them with supernatural properties John Graves Copyright 2019 Licenciado sob a Creative Commons Attribution 40 Você não pode usar esse arquivo exceto em conformidade com a Licença Você pode obter uma cópia da Licença em httpcreativecommonsorglicensesbync40 A menos que exigido por lei aplicável ou acordado por escrito o livro distribuído sob a Licença é distribuído como está sem garantias ou condições de qalqer tipo expressa ou implícita Consulte a Licença para permissões específicas e limitações sob a Licença 4 de dezembro de 2020 Sumário Sumário i Símbolos e notações gerais 1 Agradecimentos 2 1 Estrutura Vetorial do Plano e do Espaço 3 11 Definições Elementares 3 12 Soma de Ponto com Vetor 21 2 Combinações Lineares 28 21 Dependência e Independência Linear de Vetores 28 22 Bases 46 23 Exercícios Complementares 52 3 Vetores em Coordenadas 55 31 Sistemas de Coordenadas 56 32 Bases Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 68 33 Produto Escalar Ângulo entre dois Vetores 71 34 Produto Vetorial Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados 80 35 Escolha do Sistema de Coordenadas 87 36 O Problema do Lugar Geométrico 89 37 Coordenadas Polares 94 4 Retas e Planos 98 41 Equações da Reta 98 42 Equações do Plano 109 5 Posições Relativas 112 51 Posição Relativas entre Retas 112 i SUMÁRIO ii 52 Posição relativas entre retas e planos 118 53 Posição relativas entre planos 121 6 Ângulos e Distância 125 61 Ângulos 125 62 Distâncias 133 63 Retas em Coordenadas Polares 140 7 Círculos e Esferas 145 71 Equações Canônicas de Círculos e Esferas 145 72 Retas Tangentes e Planos Tangentes 151 73 Circunferência em coordenadas polares 156 8 Cônicas 159 81 Introdução 159 82 Elipse 161 83 Hipérbole 168 84 Parábola 175 85 Excentricidade 182 86 Construções de Dandelin 186 87 Cônicas em Coordenadas Polares 188 88 Cônicas e a Trajetória dos Planetas 189 9 Curvas 192 91 Parametrização de Curvas 192 92 Curvas em Coordenadas Polares 198 93 Coordenadas Esféricas e Cilindrícas 200 94 Comprimento de uma Curva 204 95 Regiões planas limitadas por curvas 207 10 Mudança de Coordenadas Ortogonais no Plano 213 101 Translação 213 102 Eliminação dos termos lineares de uma equação quadrática 214 103 Rotação 217 104 Equações Geral do Segundo Grau no Plano 221 105 Um pouco de Álgebra Linear 225 11 Mudança de Coordenadas no Espaço 228 111 Mudança de Base 228 112 Mudança de Coordenadas 231 SUMÁRIO iii A Notação de Somatório 235 B Funções Trigonométricas 237 B1 Identidades Trigonométricas 238 B2 Gráficos das Funções Trigonométricas 239 B3 Funções trigonométricas inversas 242 C Matrizes e Sistemas Lineares 246 C1 Matrizes 246 C2 Determinantes 247 C3 Teorema de Cramer 251 C4 Método de Eliminação de Gauss 253 D Wolfram Alpha e Mathematica 260 D1 Plotagem 260 D2 Cálculo e Álgebra Linear 266 Respostas de Alguns Exercícios 270 Referências Bibliográficas 271 Referências Bibliográficas 271 Índice Remissivo 272 Símbolos e notações gerais existe qualquer que seja ou para todos implica se e somente se portanto definição o termo à esquerda de é definido pelo termo ou expressão à direita ie id est em português isto é indica o final de uma demonstração AB reta passando pelos pontos A e B AB segmento de reta ligando os pontos A e B AB segmento orientado de reta ligando os pontos A e B AB vetor determinado pelos pontos A e B v vetor v AB comprimento do segmento AB v comprimento do vetor v AB comprimento do vetor AB A determinante da matriz A Agradecimentos Gostaríamos de agradecer à profª Mariana Rodrigues da Silveira e ao prof Alexei Magalhães Ve neziani pelas inúmeras sugestões e correções Também gostaríamos de agradecer aos alunos André Peric Tavares e Rafael Romano pelas correções 1 Estrutura Vetorial do Plano e do Espaço Meça o que for mensurável e torne mensurável o que não o for Galileu Galilei 11 Definições Elementares Como veremos ao longo desse texto a utilização da linguagem vetorial permite uma descrição ele gante e unificada dos principais resultados da geometria Euclideana bem como possibilita uma tran sição natural da formulação axiomática para a descrição analítica em coordenadas dessa mesma geometria Nesse capítulo daremos o primeiro passo nessa caminhada e apresentaremos o básico da lin guagem vetorial Antes porém começaremos entendendo um pouco do papel fundamental que os vetores desempenham nas ciências naturais b A b B b E b F Fig 11 Todos os três caminhos ligando dois pontos correspondem ao mesmo deslocamento Para entendermos o papel que os vetores desempenham nas ciências começamos observando que por um lado di versas grandezas físicas ficam completamente determinadas por um único valor um número real num sistema de uni dades Assim por exemplo o volume de um corpo fica espe cificado quando dizemos quantos metros cúbicos esse corpo ocupa bem como a massa a temperatura a carga elétrica a energia etc Grandezas que ficam determinadas por um único valor real são denominadas grandezas escalares 3 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 4 Por outro lado diversas grandezas físicas exigem para sua completa determinação além de uma valor numérico o conhecimento de sua direção orientada Tais grandezas são denominadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores O exemplo mais simples e ilustrativo é o deslocamento de um corpo Se um corpo se move do ponto A para o ponto B dizemos que ela sofreu um deslocamento de A para B Para saber mos precisamente o deslocamento de um corpo precisamos conhecer o quanto o ele se deslocou a intensidade do deslocamento mas também em que direção ele se deslocou Pelas mesmas razões apresentadas serão grandezas vetoriais a velocidade a aceleração a quantidade de movimento a força e o torque É importante que observemos que para as grandezas escalares uma parte significativa da utili dade de medilas ie associar um número provém da riqueza de estruturas dos números os números podem ser somados subtraídos comparados etc Para que as grandezas descritas vetorialmente sejam úteis tanto para a ciência como para a própria geometria temos que construir no conjunto dos vetores estruturas análogas Assim neste e no próximo capítulo descreveremos e construiremos diversas operações vetoriais e suas interpre tações Como boa parte da construção dos vetores e de suas operações que faremos neste texto será de natureza primordialmente geométrica assumiremos que o leitor conhece os principais conceitos e resultados da geometria Euclideana plana e espacial Em particular suporemos conhecidos os conceitos de ângulos retas planos comprimento de segmentos distância de dois pontos etc Notação 11 De modo a fixar notação ao longo deste texto denotaremos por E3 o espaço euclideano tridimen sional e por E2 o plano euclideano usaremos letras latinas maiúsculas A B etc para representar pontos letras latinas minúsculas r s etc para indicar retas as letras gregas minúsculas π θ etc para denotar planos Eventualmente usaremos letras latinas ou gregas minúsculas também para denotar denotar números reais escalares ou parâmetros de equações Nesse caso o contexto deve deixar claro a que a letra se refere Para tornarmos clara a definição de vetor começaremos com um termo relacionado os vetores aplicados Definição 12 Um vetor aplicado ou segmento orientado é um segmento de reta no qual se escolheu um dos extremos A como ponto inicial Nesse caso o outro extremo B do segmento será denominado ponto final e o vetor aplicado com ponto inicial A e final B será denotado por AB Para nossas considerações um ponto A é considerado um segmento que denominaremos segmento nulo Esse segmento será denotado por AA ou por 0 O comprimento do um segmento AB será denotado por AB e será denominado também tamanho intensidade magnitude ou norma do vetor CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 6 de direção sentido e comprimento Isso significa que consideramos equivalentes segmentos orienta dos que são paralelos apontam no mesmo sentido e tem o mesmo comprimento mas consideramos iguais vetores paralelos de mesmo sentido e com mesmo comprimento O vetor cujos representantes são segmentos orientado nulos ou seja com pontos iniciais e finais coincidentes será denominado vetor nulo O vetor nulo será denotado por AA ou por 0 AB v b A b B Denotaremos os vetores utilizando fontes minúsculas em negrito a atra vés de uma flecha superior a ou ainda no caso em que tivermos dois pontos A e B denotaremos por AB o vetor que tem como representante o vetor apli cado AB Graficamente vetores são representados como flechas no qual a ponta da flecha aponta no sentido do vetor Dado um vetor e um segmento que o representa teremos que a direção do vetor é a direção desse segmento o sentido vem de termos escolhido uma orientação no segmento ou seja de termos escolhido um ponto inicial e final e o comprimento de um vetor é o comprimento do segmento que o representa Como consequência dos axiomas de congruência da geometria Euclideana temos que dado um segmento ou um representante de um vetor e um ponto podemos construir um segmento paralelo e de mesmo comprimento iniciando em A Se denotarmos por B o ponto final desse segmento então teremos provado o seguinte resultado Proposição 14 Dados um vetor v e um ponto A existe um único ponto B tal que o vetor aplicado AB é represen tante de v ou seja tal que v AB O comprimento de um vetor v AB será também denominado norma do vetor e será denotado por v ou ainda por AB Notação 15 O conjunto de todos os vetores de E3 será denotado por V3 De modo análogo denotaremos por V2 o conjunto de vetores associados a E2 ie classe de equivalência de segmentos de retas no plano De modo geral conceitos envolvendo vetores são definidos utilizando seus representantes Nesse espírito temos as seguintes definições Diremos que dois vetores são paralelos quando seus representantes tiverem a mesma direção ou quando um desses vetores for o vetor nulo 0 O termo vetores paralelos inclui o caso especial onde os vetores estão sobre a mesma reta ou mesmo o caso em que coincidem Como consequência da definição anterior temos que o vetor nulo é paralelo a todo vetor e também que todo vetor é paralelo a si mesmo Diremos que um conjunto de vetores são coplanares se esses vetores possuem representantes contidos no mesmo plano CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 7 u v Fig 12 Vetores paralelos π u v w v w b A b B bJ bI b D b C b K b L bE bF b H b G Fig 13 u v e w são coplanares Definimos o ângulo entre dois vetores u e v como o ângulo θ com θ satisfazendo 0 θ π entre representantes AB e AC de u e v respectivamente com mesma origem bA b B b C u v θ Fig 14 Ângulo entre vetores Finalmente dois vetores u e v são ditos ortogonais se um dos vetores for o vetor nulo ou se ao escolhermos dois representantes para esses vetores que iniciam no mesmo ponto AB e AC esses segmentos forem ortogonais ou seja se o ângulo determinado por esses segmentos for um ângulo reto Observação 16 Note que segundo nossa definição o vetor nulo 0 é o único vetor paralelo e ortogonal a qualquer outro vetor e coplanar a qualquer par de vetores Multiplicação por Escalar Dado um vetor v e um escalar λ podemos realizar a multiplicação de λ e v obtendo o vetor λv definido do seguinte modo Se o vetor v é nulo ou o escalar λ é zero então λv 0 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 9 Um vetor de comprimento 1 é denominado vetor unitário Dado um vetor v 0 temos que o vetor 1 v v v v é unitário e possui a mesma direção e sentido que v e é denominado versor associado à v Para maiores detalhes veja exercício 111 Um termo que usaremos ocasionalmente é o de vetor direcional ou vetor diretor Muito fre quentemente estaremos interessados apenas na direção de um vetor e não no seu tamanho Por exemplo como veremos posteriormente uma reta é completamente determinada por um ponto P e um vetor v Nesse caso o tamanho de v não é importante e podemos multiplicalo livremente por um escalar Através da multiplicação de vetores por escalares podemos dar uma caracterização algébrica para o paralelismo de vetores Teorema 19 Se dois vetores u v são paralelos e v 0 então u λv para algum λ R Demonstração Iremos considerar primeiramente o caso em que u e v têm mesmo sentido Neste caso visto que v 0 podemos escolher λ u v Com essa escolha provaremos que u λv Como u e v são paralelos u e λv possuem a mesma direção E como estamos assumindo que u e v possuem o mesmo sentido e como λ é maior que zero então pela definição de multiplicação por escalares u e λv possuem o mesmo sentido Finalmente λv λv u vv u O que prova que eles tem o mesmo comprimento Logo como os vetores u e λv possuem mesma direção sentido e comprimento eles são iguais A demonstração do caso em que u e λv possuem direção contrária é análoga porém nesse caso escolhendo λ u v Proposição 110 Dois vetores u v são paralelos se e somente se u λv para algum λ R ou v θu para algum θ R Demonstração Suponha que u v são paralelos CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 10 Caso v 0 pelo teorema acima temos que u λv para algum λ R Caso contrário ie se v 0 então v θu para θ 0 A implicação contrária segue da definição de multiplicação de um vetor por um escalar Se u λv ou v θu então u e v têm mesma direção ou seja são paralelos E como consequência do corolário anterior temos Teorema 111 Três pontos A B C pertencem a mesma reta se e somente se AB λ BC ou BC θ AB b A b B b C AB BC Demonstração Claramente se A B C pertencem a mesma reta então os vetores AB e BC são paralelos e consequentemente pelo corolário acima temos AB λ BC ou BC θ AB Se AB λ BC ou BC θ AB então pelo corolário anterior os segmentos AB e BC são paralelos Consequentemente são paralelas as retas AB e BC Mas como o ponto B pertence a ambas as retas essas são coincidentes ie os pontos A B C pertencem a mesma reta Soma de Vetores Definição 112 Soma de vetores Dois ou mais vetores podem ser somados do seguinte modo a soma v u de dois vetores v e u é determinada da seguinte forma A partir de um segmento orientado AB representante arbitrário de v tome um segmento orientado BC que representa u ie tome um representante de u com origem na extremidade final do representante de v desta forma o vetor v u é definido como o vetor representado pelo segmento orientado AC ou seja pelo segmento que vai da origem do representante de v até a extremidade final do representante de u A soma de vetores também pode ser feita através da regra do paralelogramo Para somar dois vetores v e u através dessa regra tomamos representantes desses vetores que começam num ponto CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 11 u v u v Fig 17 Soma de Vetores comum O como na figura 18 Então a partir do ponto final de cada vetor traçamos uma reta paralela ao outro vetor Essas retas se interceptam no ponto P E logo um paralelogramo é formado O vetor diagonal OP é a soma dos vetores v e u O vetor v u obtido por esse método é o mesmo que o obtido pelo método anterior pois o segmento OP divide o paralelogramo em triângulos congruentes que representam a soma dos vetores v e u v u u v v u u v Fig 18 Regra do paralelogramo Existe ainda um terceiro modo de se realizar a soma de dois vetores a chamada soma em coor denadas que ilustraremos no exemplo a seguir e que discutiremos em maior detalhes no Capítulo 3 Exemplo 113 Suponha que sobre um corpo material agem duas forças u e v de módulos 2N e 4N respectivamente nas direções indicadas na Figura 19 Qual o móculo da força resultante ou seja qual o comprimento de u v α 30 β 60 u v Fig 19 Exemplo 113 Soma pela lei do paralelogramo Como acabamos de ver uma forma de encontrar u v é usar a regra do paralelogramo Considere então o paralelogramo ABCD conforme a Figura 110 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 13 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 14 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 15 O vetor u é denominado como o vetor oposto de u e é o vetor com o mesmo comprimento e direção de u mas com sentido oposto u u Fig 113 Vetor oposto A partir do vetor oposto podemos definir subtração de vetores definimos a subtração v u como a soma do vetor v com o vetor u v u v v u u Fig 114 Subtração de Vetores De modo equivalente podemos definir o vetor v u como o o vetor que adicionado a u dá o vetor v Consequentemente se representarmos os vetores v e u começando no mesmo ponto o vetor v u será o vetor que liga a extremidade final de u a extremidade final de v vide figura 114 v u v u Uma observação importante é que sempre que os vetores formam um polígono fechado como a figura abaixo sua soma é nula Como um caso especial dessa regra é a soma de um vetor com seu oposto ie v v 0 v u r s Fig 115 A soma de vetores que formam um polígono fechado é nula v u r s 0 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 16 As seguintes propriedades da soma e multiplicação de vetores devem ser evidentes Proposição 116 Sejam u v w vetores e λ λ1 λ2 escalares As operações com vetores possuem as seguintes pro priedades Propriedades da soma S1 Propriedade Comutativa v u u v S2 Propriedades associativa u v w u v w S3 Elemento Neutro 0 u u S4 Elemento oposto Para cada vetor u existe um único vetor u tal que u u 0 u u Propriedades da multiplicação de vetor por escalar M1 Propriedade distributiva de escalares em relação aos vetores λu v λu λv M2 Multiplicação por zero 0u 0 M3 Associatividade da multiplicação por escalares λ1λ2u λ1λ2u M4 Distributiva dos vetores em relação aos escalares λ1 λ2u λ1u λ2u M5 Elemento neutro multiplicativo 1u u Demonstração Esboçaremos a demonstração de algumas dessas propriedades A propriedade comutativa segue da regra do paralelogramo para a adição dos vetores u e v veja a figura 116 A diagonal é simultaneamente os vetores u v e u v u v v u uv Fig 116 Propriedade Comutativa da Soma A propriedade associativa segue de imediato do fato que quando três vetores são adicionados o mesmo vetor fecha o polígono como na figura 117 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 17 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO Novamente pela definição de soma vetorial segue que lambda1 u1 lambda2 u2 lambda1 u lambda2 u Todas as propriedades algébricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades acima Essas propriedades são análogas às propriedades dos números reais e grande parte da álgebra desenvolvida para números reais se estende para as operações vetoriais De modo mais geral podemos definir um espaço vetorial como um conjunto com uma operação e uma operação de multiplicação por escalares satisfazendo os nove axiomas acima Os espaços vetoriais são uma das estruturas matemáticas de maior importância Exemplo 117 v v 2v Demonstração Pela propriedade M5 temos que v v 1v 1v e pela propriedade M4 temos que 1v 1v 1 1v 2v e logo v v 2v CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 19 e consequentemente por 15 e 16 temos u u v v w v A implicação contrária é semelhante O leitor pode tentar assim completar os detalhes O seguinte exemplo ilustra como podemos atacar um problema geométrico utilizando a lingua gem vetorial Exemplo 120 Os segmentos que unem os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado bA b B b C b M2 b M1 Solução Seja o triângulo ABC e seja M1 o ponto médio do lado AB e M2 o ponto médio do lado AC Como M1 é ponto médio do lado AB temos que vetor AM1 é igual a metade do vetor AB Analogamente temos que AM2 é metade do vetor AC ie AM1 1 2 AB 17 AM2 1 2 AC 18 e consequentemente AB 2 AM1 19 CA 2 M2A 110 Então como CB CA AB 111 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO substituindo 19 e 110 em 111 temos overrightarrowCB 2M2overrightarrowA1 2AoverrightarrowM1 e consequentemente M2M1 frac12overrightarrowCB E assim o segmento M2M1 é paralelo ao segmento CB e seu comprimento é metade do último Exemplo 121 Dado um triângulo de vértices A B C Dado P o ponto de encontro da bissetriz do ângulo C com o lado AB Então o vetor CP é paralelo ao vetor left fracoverrightarrowCA overrightarrowCA fracoverrightarrowCB overrightarrowCB right ou seja overrightarrowCP lambdaleft fracoverrightarrowCA overrightarrowCA fracoverrightarrowCB overrightarrowCB right CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO Fig 118 Se ABCD é losango então riangle ABC cong riangle ADC Finalmente se P é um ponto qualquer da bissetriz de C o vetor overrightarrowCP é paralelo ao vetor overrightarrowCF ie overrightarrowCP lambda left fracoverrightarrowCA overrightarrowCA fracoverrightarrowCB overrightarrowCB right CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 22 Se escolhermos um ponto fixo no espaço O que chamaremos de origem cada ponto P do espaço ou plano pode ser escrito como P O OP Nesse caso o vetor OP é dito vetor posição de P Proposição 123 A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades 1 P O P 2 P u P v se e somente se u v 3 P u v P u v 4 P u u P 5 P PQ Q Demonstração Faremos a demonstração dos três primeiras propriedades e deixaremos as outras como exercício ao leitor 1 É imediata pois PP 0 2 Se P u P v seja Q P u então u PQ v e assim u v A recíproca é imediata 3 Seja Q1 P u Q2 Q1 v e Q3 P u v Para demonstrar que P u v P u v basta mostrarmos que Q2 Q3 Por definição Q1 P u implica que u PQ1 De modo análogo Q2 Q v implica que v Q1Q2 e Q3 P u v implica que u v PQ3 Logo PQ3 u v PQ1 Q1Q2 115 PQ3 PQ2 116 Q3 Q2 117 Exemplo 124 Dado ABC um triângulo e P um ponto sobre BC Se Q P AP PB PC demonstre que ABQC é um paralelogramo e assim Q não depende da escolha de P CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 23 b A b B bC b Q b P Solução Como Q P AP PB PC então PQ AP PB PC e logo AQ AP AP AB AP AC AP e logo AQ AB AC E assim CQ AQ AC AB De modo análogo podemos provar que BQ AC e assim ABQC é um paralelogramo Exercícios Ex 11 Sendo ABCDEFGH o paralelogramo abaixo expresse os seguintes vetores em função de AB AC e AF a BF b AG c AE d BG e AG f AB FG g AD HG h 2 AD FG BH GH a AB BF AF BF AF AB b AG AC CG AC BF AC AF AB CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 24 cComo AE EF AF e EF AB AE AF AB d BG BF FG eDica AG AC BF f AC gDica AD BC e HG AB Ex 12 Sendo ABCDEF um hexágono regular como na figura abaixo Expresse os seguintes vetores em função dos vetores DC DE b A b B b C b D bE bF b O a DF b DA c DB d DO e EC f EB g OB a DF DC CO OF DC 2 DE c DB DC CO OB DC DE DC 2 DC DE e EC ED DC DE DC f2 DC g DC Ex 13 Sendo ABCDEF um hexágono regular como no exercício anterior Expresse os seguin tes vetores em função dos vetores OD OE a OA OB OC OD OE OF b AB BC CD DE EF FA c AB BC CD DE EF d OA OB OD OE e OC AF EF a0 b0 CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 25 c FA DC d OF DE Ex 14 Se o vetor a tem tamanho 3 e o vetor b tem tamanho 2 qual é o maior e o menos valor para o comprimento de a b Ex 15 Dados os vetores f1 f5 os vetores que ligam um vértice de um hexágono regular aos outros vértices como mostra a figura abaixo Determine a soma desses vetores em função dos vetores f1 e f3 f5 f4 f3 f2 f1 3f3 Ex 16 Dado um triângulo ABC sejam M N P os pontos médios dos segmentos AB BC e CA respectivamente Exprima os vetores BP AN e CM em função dos vetores AB e AC AN 1 2 AB 1 2 BC BP AB 1 2 AC CM AC 1 2 AB Ex 17 Prove que para cada vetor u existe um único vetor u tal que u u 0 Ex 18 Dado um triângulo ABC seja M um ponto do segmento AB Suponha que o vetor AM é igual a λ vezes o vetor MB Exprima o vetor CM em função dos vetores AC e BC Note que AM λ λ 1 AB e como CM MA AC 0 temos que CM λ λ 1 AB AC CM λ λ 1 AC BC AC CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO vecCM leftfrac1lambda 1vecAC fraclambdalambda 1vecBCright Ex 19 Dado um quadrilátero ABCD tal que vecAD 5u vecBC 3u e tal que vecAB v a determine o lado vecCD e as diagonais vecBD e vecCA em função de u e v b prove que ABCD é um trapézio a vecCD 2u v b Os lados AD e BC são paralelos Ex 110 Mostre que a soma de vetores cujos representantes formam um polígono fechado é nula Ex 111 Dado v um vetor não nulo Prove que fracvecvvecv é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que v CAPÍTULO 1 ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 27 c α v αv aObserve que α v αv 0 Porque Conclua que α v é o oposto de αv Ex 115 Prove que αv 0 então ou α 0 ou v 0 Ex 116 Prove que se αv βv e v 0 então α β Ex 117 Dado um pentágono regular e O o seu centro Mostre que a soma dos vetores ligando o centro do pentágono a seus vértices é o vetor nulo Ex 118 Prove que dados dois vetores u e v não paralelos então se λ1u λ2v 0 então λ1 λ2 0 Dica suponha λ1 0 então u λ2 λ1 v e logo u e v são paralelos absurdo Logo λ1 0 Ex 119 Se EFG é um triângulo qualquer e P Q e R são os pontos médios dos lados EF FG e GE respectivamente demostrar que EPQR é um paralelogramo b E b F b G b P b Q Q b 2 Dependência e Independência Linear de Vetores 21 Dependência e Independência Linear de Vetores Como vimos no capítulo anterior a adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar nos permitem obter novos e diferentes vetores a partir de alguns vetores dados Os vetores assim obtidos são ditos combinação linear dos vetores iniciais Fig 21 O vetor w pode ser escrito como somas de múltiplos dos vetores u e v Definição 21 Diremos que um vetor w é combinação linear dos vetores v1 ldots vn se existem escalares lambda1 ldots lambdan tal que w sumi1n lambdaivi Nesse caso diremos também que o vetor w é dependente dos vetores vi com i 1 ldots n ou ainda que o CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 29 vetor w pode ser representado em função dos vetores vi com i 1 n Exemplo 22 O vetor w ilustrado na figura 22 é combinação de u v Pois w 2u 3v Exemplo 23 Na figura 23 temos que vetor f1 é combinação linear de f2 f3 f4 f5 Como os vetores f1 f2 f3 f4 f5 formam um polígono fechado sua soma é 0 f1 f2 f3 f4 f5 0 e assim f1 f2 f3 f4 f5 f1 f2 f3 f4 f5 Fig 23 O vetor f1 é combinação linear dos vetores f2 f3 f4 f5 Exemplo 24 Escreva o vetor AD como combinação linear de AB e AC 30º 45º 2 3 4 bA b B b C b D Solução Queremos encontrar λ1 e λ2 tais que AD λ1 AB λ2 AC 21 CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES Primeiramente vamos escolher convenientemente dois vetores i j ortogonais e de norma 1 e vamos escrever todos os demais vetores em função desses Figura 31 Escolheremos i fracvecABvecAB e j como a rotação de i de um ângulo de 90 no sentido antihorário Facilmente observamos que vecAB 3i Observando a Figura 25 concluímos que vecAD vecAK vecKD E por trigonometria do triângulo retângulo temos vecAK 4cos 30i e vecKD 4sen 30j Dessa forma temos que vecAD 2sqrt3i 2j De modo análogo observando o triângulo da Figura 26 concluímos que vecAC vecAP vecPC Mas novamente por trigonometria temos que vecAP 2cos 45i e vecPC 2sen 45j Logo vecAC sqrt2i sqrt2j Voltando à equação 21 obtemos então 2sqrt3i 2j lambda13i lambda2sqrt2i sqrt2j Isolando i e j obtemos finalmente 2sqrt3 3lambda1 sqrt2lambda2i 2 sqrt2lambda2j 0 Como os vetores i j são linearmente independentes segue que begincases 2sqrt3 3lambda1 sqrt2lambda2 0 2 sqrt2lambda2 0 endcases E assim podemos concluir que lambda1 frac2sqrt3 13 e lambda2 sqrt2 Finalmente vecAB frac2sqrt3 13vecAB sqrt2vecAC Definição 25 Um vetor v é dito linearmente dependente LD se v 0 Os vetores v1 vn n 2 são ditos linearmente dependentes LD se existe um i 1 2 n tal que o vetor vi seja combinação linear dos demais vetores ou seja vi ji λjvj onde λ1 λ2 λn R Definição 26 Dizemos que os vetores v1 vn são linearmente independentes LI se eles não são linearmente dependentes Temos a seguinte caracterização simples para a dependência linear de dois vetores Essa caracterização será generalizada para um número maior de vetores na seção 21 Proposição 27 Quaisquer dois vetores não nulos e não paralelos e1 e e2 são linearmente independentes Demonstração Por redução ao absurdo suponha que os vetores e1 e e2 sejam linearmente dependentes Então pela definição de dependência linear temos que e1 λ2e2 ou e2 θe1 Onde pelo Corolário 110 temos que e1 e e2 são paralelos o que contraria nossas hipóteses Logo e1 e e2 são linearmente independentes CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 34 Expandindo e agrupando temos a b cu a b cv cw 0 Como u v w são linearmente independentes temos que a b c 0 a b c 0 c 0 Resolvendo o sistema anterior temos que a b c 0 Consequentemente temos que au v bu v cu v w 0 a b c 0 e logo os vetores u v u v e u v w são linearmente independentes Exercícios Ex 21 Dados os vetores a OA b OB c OC então se AD 1 4c e BE 5 6a Escreva o vetor DE em função de a b c Ex 22 Dados os vetores a b e c como na figura abaixo Escreva o vetor c como combinação de a e b b c a 3 2 6 30 30 Ex 23 Dados os vetores a b e c como na figura abaixo Escreva o vetor c como combinação de a e b CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 35 4 3 3 a b c 135 120 Ex 24 Em um triângulo ABC o ponto M é tal que 3 BM 7MC Escreva o vetor AM em função de AB e AC Ex 25 Se AB BC 0 prove que os vetores OA OB e OC são linearmente dependentes para qualquer ponto O Ex 26 Suponha que os vetores u v w são linearmente independentes Mostre que os vetores u v u v w e u v w também são linearmente independentes Ex 27 Suponha que os vetores u v w são linearmente independentes e seja t au bv cw Mostre que os vetores ut uv e wt são linearmente independentes se e somente se abc 1 Ex 28 Mostre que a Se os vetores u v são linearmente dependentes então os vetores u v w são linearmente dependentes b Se os vetores u v w são linearmente independentes então os vetores u v são linearmente independentes Ex 29 Dados a b vetores linearmente independentes sejam OA a 2b OB 3a 2b e OC 5a xb Determine x de modo que os vetores AC e BC sejam linearmente dependentes CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 36 Ex 210 Dado o tetraedro OABC se denotarmos a OA b OB e c OC M o ponto médio de AB N o ponto médio de BC e Q o ponto médio de AC e P o ponto tal que OP 2 3 Oc Calcule em função de a b vetorc a OM ON OQ b PM PN PQ Caracterização Geométrica de Dependência e Independência Linear Nas seções anteriores apresentamos uma série de caracterizações algébricas da dependência e inde pendência linear de vetores de V2 e V3 esses conceitos podem também ser caracterizados geome tricamente como nos mostra o enunciado do teorema a seguir Teorema 212 Caracterização Geométrica da Dependência e Independência Linear Para vetores em V2 e V3 temos 1 Um vetor v é linearmente dependente se e somente se v 0 2 Dois vetores u v são linearmente dependentes se e somente se u e v são paralelos 3 Três vetores u v w são linearmente dependentes se e somente se u v e w são coplanares 4 Quatro ou mais vetores são sempre linearmente dependentes A demonstração dessa teorema será feito na próxima seção após introduzirmos o conceito de base Antes disso porém ilustraremos como utilizar essa caracterização para resolver problemas geométricos Exemplo 213 Mostre que as diagonais de um paralelogramo se intersectam nos seus pontos médios Solução b A b B b C b D b M Considere um paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD Seja M o ponto de intersecção de AC e BD ponto que a priori não é necessariamente ponto médio das dia gonais Queremos mostrar que AM 1 2 AC BM 1 2 BD CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES Como A M e C são colineares temos AM λ AC Da mesma forma como B M e D são colineares BM θ BD Como ABM é um triângulo temos AM AB BM Usando então as equações 24 e 25 na equação acima segue que λ AC AB θ BD Escrevendo todos os vetores da equação acima em função de AB e AD dois vetores não paralelos obtemos λ AB AD AB θ AB AD Ou reescrevendo convenientemente λ AB λ AD 1 θ AB θ AD Usando então que AB e AD são linearmente independentes segue da Proposição 210 que λ 1 θ λ θ onde temos λ θ 1 2 como queríamos CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES Solução Para mostrar que as medianas AM 1 e BM 2 se intersectam num ponto G que divide AM 1 e BM 2 na razão 2 para 1 devemos provar que AG 2 3 AM 1 BG 2 3 BM 2 De modo a tornar a notação da resolução mais limpa chamemos os vetores AB e AC de a e b respectivamente Observe que como os vetores a b não são paralelos pelo 212 eles são linearmente independentes E expressaremos todos os demais vetores da figura em função desses vetores Fixada a notação passemos a cada uma das etapas AM 1 AC 1 2 CB 1 2 a 1 2 b BM 2 BA 1 2 AC a 1 2 b Como os pontos A G e M 1 são colineares temos AG λ AM 1 λ 2 a b Analogamente BG α BM 2 α a 1 2 b Observamos que nesse estágio não sabemos ainda que G divide os segmentos AM 1 e BM 2 na mesma proporção Assim sendo usamos letras diferentes λ e α para os escalares das equações acima É fácil ver que uma equação envolvendo os vetores AG e BG é BG BA AG CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES Onde temos α a 1 2 b a λ 2 a b Isolando os vetores a b temos então a α 1 λ 2 b α 2 λ 2 0 Como a b são linearmente independentes segue então que α 1 λ 2 0 α 2 λ 2 0 Desse sistema obtemos então α λ 2 3 Ou seja G divide tanto o segmento AM 1 quanto o segmento BM 2 na razão 2 para 1 Exemplo 216 Usando a mesma nomenclatura do exemplo anterior prove que as três medianas do triângulo Δ ABC têm um único ponto comum G que divide as três medianas AM 1 BM 2 e CM 3 na razão 2 para 1 G é conhecido como baricentro do triângulo CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES Temos assim a seguinte equação left frac13 a frac23 b right beta left frac12 a b right Isolando a b temos a left frac13 fracbeta2 right b left frac23 beta right 0 Como a b são linearmente independentes left beginarrayc frac13 fracbeta2 0 frac23 beta 0 endarray right Tal sistema admite uma solução beta frac23 Dessa forma temos que os pontos C G e M3 são colineares e que G divide CM3 na razão 2 para 1 Exemplo 217 Dado um triângulo Delta ABC e O um ponto qualquer Então o baricentro G do triângulo Delta ABC é dado por G O fracoverlineOA overlineOB overlineOC3 Solução Seja P O fracoverlineOA overlineOB overlineOC3 Como overlineOB overlineOA overlineAB e overlineOC overlineOA overlineAC temos que P O fracoverlineOA overlineOA overlineAB overlineOA overlineAC3 CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 41 que simplificando fica P O OA AB AC 3 E como A O OA a expressão anterior é equivalente a P A AB AC 3 No exercício 216 já provamos que AG AB AC 3 ou na forma de soma de ponto com vetor que G A AB AC 3 E assim temos que G P ou seja demonstramos que G O OA OB OC 3 Exemplo 218 Dado as retas r e s e um ponto O não pertencente as retas Dadas duas retas t1 e r2 que interceptam r e s nos pontos A B C D conforme a figura abaixo Mostre os segmentos AB e CD são paralelos se e somente se OA AC OB BD u v s r t1 t2 b O b C b D b A b B Solução Como os pontos O A B não são colineares os vetores u OA e v OB não são paralelos e assim são linearmente independentes Como os segmentos AB CD são paralelos temos que AB λ CD CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES Mas overlineB1 overlineAC1 overlineAB1 lambda3 lambda1 a lambda1 b e B1 overlineD1 A1 D overlineAB1 lambda1 a lambda2 b Substituindo as expressões acima em 26 obtemos lambda3 lambda1 a lambda3 b klambda1 a klambda2 b Isolando a b a lambda3 lambda1 klambda1 b lambda3 klambda2 0 E logo lambda3 lambda1 klambda1 0 quad Rightarrow quad lambda3 klambda2 Da segunda equação obtemos k fraclambda3lambda2 Substituindo k na primeira equação e dividindo a mesma por lambda1lambda3 segue frac1lambda3 frac1lambda1 frac1lambda2 Ex 220 Dado um triângulo Delta ABC e I um ponto interior ao triângulo Passando por I traçamos os segmentos PQ RS TU paralelos respectivamente a AB BC e CA respectivamente Com os pontos P S em AC T Q em BC e U R em AB Demonstre que fracPQAB fracRSBC fracTUCA 2 CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 43 CD OD OC k OA OB Consequentemente os vetores AB e CD são paralelos Exercícios Ex 211 Sejam B um ponto no lado ON do paralelogramo AMNO e e C um ponto na diagonal OM tais que OB 1 n ON e OC 1 1 n OM Prove que os pontos A B e C estão na mesma reta Ex 212 Dado um paralelogramo MNPQ seja A o ponto de intersecção das diagonais e sejam B e C os pontos médios dos lados opostos MN e PQ Prove que se os pontos A B e C estão sobre a mesma reta então MNPQ é um trapézio um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos b Q b P b M b N b A bC b B Ex 213 Os pontos P e Q dividem os lados CA e CB de um triângulo ABC nas razões x 1 x y 1 y respectivamente Prove que se PQ λ AB então x y λ Ex 214 As diagonais AC e BD de um quadrilátero ABCD se interceptam no ponto P que divide o segmento AC na razão m n e o segmento BD na razão m n Dado Q o ponto de intersecção das retas contendo os segmentos AC e BD Encontre a razão AQ DQ e BQ CQ CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 44 m n m n b Q b A b B b D b C b P AQ DQ n mm n mn BQ CQ n mm n mn Ex 215 Chamase diagonal de um paralelepípedo a um segmento ligando dois vértices não per tencentes a uma mesma face Demostre que as diagonais de um paralelepípedo dividemse mutua mente ao meio Ex 216 Dado um triângulo OAB sejam C e D pontos sobre o lado AB dividindo esse seg mento em três partes congruentes Por B traçamos a reta paralela a OA e sejam X e Y a intersecção dessa reta com as retas ligando OC e OD respectivamente a Expresse os vetores OX e OY em função de OA e OB b Determine as razões nas quais X divide BY C divide a OX e D divide a OY b O b B b A b C bD b X b Y Ex 217 Num quadrilátero ABCD o Q o ponto de intersecção das diagonais AC e BD se in terceptam dividem as diagonais nas razões 4 3 e 2 3 respectivamente Em qual razão divide o ponto P determinado pelas intersecção os lados AB e CD a estes segmentos Ex 218 Dado o ponto médio da mediana AE do triângulo ABC se a reta BD corta o lado AC no ponto F determine a razão que F divide AC CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 45 b A bB b C b E bD bF Seja b AB e c AC então temos AD AE 2 e AE AB AC 2 e logo AD AB AC 4 Também temos que AF AC 1 λ Como F D e B são colineares então AF α AD 1 α AD e assim AF 1 3 4α AB 1 4α AC E consequentemente 1 3 4α 0 e 1 4α 1 1 λ e assim λ 2 Logo F divide o segmento AC na razão 1 2 Ex 219 Dado um paralelogramo ABCD Seja l uma linha reta que intercepta AB AC e AD nos pontos B1 C1 e D1 respectivamente Prove que se AB1 λ1 AB AD1 λ2 AD e AC1 λ3 AC então 1 λ3 1 λ1 1 λ2 b A b D bB b C b B1 l bC1 bD1 Assuma que AB a AD b e AC ab Então AB1 λ1a AD1 λ2b e AC1 λ3ab Como os três pontos A1 B1 e C1 estão na mesma reta então B1C1 k B1D1 26 CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 47 b O e2 e1 b P f b K ne2 me1 Fig 27 Dois vetores não paralelos geram o plano Demonstração Considere um ponto arbitrárioO do espaço Primeiramenteobserve que f é paralelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores u v Considere o representante de f que começa no ponto O e termina em P ie seja f OP Considere a reta paralela a u que passa pelo ponto P e a reta paralela a v que passa por O Essas retas se encontram num ponto K Por quê É fácil ver então que f OK KP Como KP é paralelo a u tal vetor é um escalar vezes u ou seja KP λ1u De maneira análoga OK λ2v Desta forma temos f λ1u λ2v Proposição 220 Dados f um vetor qualquer de V3 e e1 e2 e3 três vetores não nulos não paralelos entre si e não paralelos ao mesmo plano temos que existem l m n R tais que f le1 me2 ne3 ne3 b O bP f e1 e3 e2 b K le1 me2 OK Fig 28 Três vetores não coplanares geram espaço Demonstração A demonstração é análoga a da Proposição 219 Começamos escolhendo representantes dos vetores f u v w que começam no ponto O veja a figura 28 Seja então a reta paralela a w passando por P Essa reta intercepta o plano determinado por u v no ponto K CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 48 O vetor OK estando no mesmo plano que u v pode ser escrito como combinação linear desses vetores OK lu mv O vetor KP é paralelo a w ie KP nw Finalmente como OP OK KP temos que f lu mv nw Proposição 221 Quaisquer três vetores e1 e2 e3 não coplanares são linearmente independentes Demonstração Suponha que e1 e2 e3 são linearmente dependentes Temos então que um dos ve tores é combinação linear dos demais Suponha sem perda de generalidade que e1 λe2 θe3 Segue que o vetor e1 é paralelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores e2 e e3 Por quê Donde temos que os vetores e1 e2 e3 seriam coplanares Definição 222 Uma base para o espaço um dado plano é um conjunto ordenado de vetores vi linearmente independentes e que geram o espaço o plano Teorema 223 Teorema da Base para o Plano Qualquer vetor f V2 pode ser escrito de maneira única como combinação linear de dois vetores não nulos e não paralelos e1 e e2 de V2 isto é f me1 ne2 com m e n R únicos Ou seja dois vetores não nulos e não paralelos de V2 formam uma base para V2 Demonstração Consequência imediata das Proposições 219 210 e 27 Corolário 224 Toda base para o plano tem exatamente dois vetores Ou seja o plano tem dimensão 2 Teorema 225 Teorema da Base para o Espaço No espaço tridimensional sejam três vetores não nulos e1 e2 e3 não paralelos entre si e não paralelos ao mesmo plano Então qualquer vetor f no espaço pode ser escrito como combinação linear única de e1 e2 e3 isto é f le1 me2 ne3 com l m n R CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 49 Ou seja três vetores não nulos não paralelos entre si e não paralelos ao mesmo plano formam uma base para V3 Demonstração A demonstração do Teorema segue diretamente das Proposições 220 210 e 221 Corolário 226 Toda base para o espaço tem exatamente três vetores Ou seja o espaço V3 tem dimensão 3 Intimamente relacionado ao conceito de base está o conceito de dimensão de um planoespaço A dimensão é definida como o número de vetores numa base ou seja o número de vetores inde pendentes a partir do qual podemos obter todos os outros Como provamos o plano tem dimensão 2 e o espaço tem dimensão 3 Agora demonstraremoso teoremade caracterizaçãogeométricada dependênciae independência linear que enunciamos na seção anterior Teorema 227 Caracterização Geométrica da Dependência e Independência Linear Para vetores em V2 e V3 temos 1 Um vetor v é linearmente dependente se e somente se v 0 2 Dois vetores u v são linearmente dependentes se e somente se u e v são paralelos 3 Três vetores u v w são linearmente dependentes se e somente se u v e w são coplanares 4 Quatro ou mais vetores são sempre linearmente dependentes Demonstração 1 A demonstração segue de imediato a partir Definição 25 2 Se u é paralelo a v Pelo Corolário 110 ou u λv ou v θu λ θ R Logo como um dos vetores é necessariamente combinação linear do outro segue que u v são linearmente dependentes A recíproca é a contrapositiva da Proposição 27 3 Se três vetores u v w são coplanares temos dois casos a considerar ou u v são paralelos ou u v não são paralelos Se u v são paralelos pela argumentação acima um dos vetores é combinação linear do outro Suponha sem perda de generalidade que u λv Temos então que u λv 0w Logo u é combinação linear dos demais vetores e portanto u v w são linearmente depen dentes Se u v w são coplanares e u v não são paralelos pelo Teorema temos que w λ1u λ2v para λ1 λ2 R Assim os vetores u v w são linearmente dependentes A recíproca segue da Proposição 221 4 Considere n vetores v1 v2 vn com n 4 Duas coisas podem ocorrer ou os v1 v2 v3 são coplanares ou não são Se v1 v2 v3 são coplanares um dos vetores é combinação linear dos demais Suponha v1 λv2 θv3 Segue que v1 λv2 θv3 n i4 0vi Logo v1 v2 vn são linearmente dependentes Caso v1 v2 v3 não sejam coplanares pelo Teorema temos que v4 λ1v1 λ2v2 λ3v3 para λ1 λ2 λ3 R Daí temos v4 λ1v1 λ2v2 λ3v3 n i5 0vi Logo v1 v2 vn são linearmente dependentes Ex 21 Prove que a P u u P b P u Q v então u PQ v c P PQ Q Ex 22 Mostre que os vetores u v w são coplanares se e somente se um deles é combinação linear dos outros dois Ex 23 Prove que se o conjunto de vetores u v é uma base para o plano então o conjunto u v u v também é uma base para o plano Ex 24 Prove que se os pontos A B C formam um triângulo equilátero então os pontos A v B v C v formam um triângulo equilátero para qualquer v Ex 25 Dado um tetrátero ABCD explique por que os vetores AB AC AD formam uma base para o espaço Ex 26 Descreva uma base para os planos xy yz e zx Ex 27 Descreva uma base diferente da anterior para os planos xy yz e zx Ex 28 Prove que as diagonais de um paralelogramo se dividem mutuamente ao meio Ex 29 Sendo A e B dois pontos mostrar que AB BA 0 Ex 210 Dados A B dois pontos distintos e λ um número real Determine vetorialmente o ponto M no segmento AB tal que AM λMB M A λ λ 1 AB CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 53 b Mostre que se os segmentos AB e CD possuem sentido opostos e CD e EF possuem sen tidos opostos então AB e EF possuem o mesmo sentido Ex 22 Prove que se PQ P Q então PP QQ Ex 23 Dado um triângulo ABC e sejam D E e F os pontos médios dos lados BC CA e AB respectivamente Mostre que AD DE CF 0 Ex 24 Mostre que AB CB 2 BA e 1 3 AC são colineares Dica Observe que AB CB 2 BA AB BA CB BA CA AC Ex 25 Dado um paralelogramo ABCD e sejam K L os pontos médios dos lados BC e CD Escreva o vetor BC como combinação de a AK e b AL b A b B b C b D b L b K BC 4 3b 2 3a Ex 26 Mostre que as alturas de um triângulo ABC de ângulos α β γ se interceptam num único ponto denominado ortocentro cujo vetor posição é tg αa tg βb tg γc tg α tg β tg γ Ex 27 Mostre que a bissetriz de um triângulo ABC se interceptam num único ponto deno minado circuncentro cujo vetor posição é CAPÍTULO 2 COMBINAÇÕES LINEARES 54 sen 2αa sen 2βb sen 2γc sen 2α sen 2β sen 2γ Ex 28 Num plano são dados dois triângulos ABC e CDE Sejam G H I os pontos médios dos segmentos AC BD e CE respectivamente Mostre que os baricentros dos triângulos ABC DEF e GHI são colineares b A b B b C b D b E b F bG b H b I b J b K b L Ex 29 Mostre que para vetores não colineares a e b a igualdade m1a n1b m2a n2b equivale ao sistema de igualdades m1 m2 n1 n2 A igualdade equivale a m1 m2a n1 n2b 0 Como os vetores são LI temos que m1 m2 0 e n1 n2 0 Ex 210 Dado um paralelogramo ABCD e sejam E e F pontos nos lados BC e CD de modo que BF FC µ DE EC λ sendo µ λ números reais positivos Os segmentos FD e AE se intersectam no ponto O Determine FO OD 1 λ µ λ1 µ 3 Vetores em Coordenadas No primeiro capítulo estudamos vetores de um ponto de vista totalmente geométrico Porém o ferramental geométrico se mostra ineficiente e quiçá insuficiente quando nos deparamos com pro blemas de maior complexidade Neste capítulo introduziremos a representação algébrica dos vetores e do espaço Euclidiano É essa representação que nos permite converter problemas geométricos em problemas algébricos e efetivamente realizar cálculos com vetores Os primeiros passos no sentido de encontrar tais representações já foram dados no capítulo anterior ao estudarmos o conceito de base Neste capítulo daremos continuidade a estas ideias e veremos como utilizar as propriedades geométricas estudadas até agora para encontrar represen tações algébricas não apenas para vetores mas também para os pontos do espaço Euclidiano Tais representações serão chamadas de sistemas de coordenadas e serão o foco principal deste capítulo Mais precisamente um sistema de coordenadas é uma identificação contínua do plano espaço euclideano com uma região de R2 R3 que nos permita localizar pontos através de pares triplas de números reais Vejamos por exemplo como podemos relacionar vetores e pontos no espaço de modo a obter um sistema de coordenadas λ3e3 b O bP v e1 e3 e2 b K λ1e1 λ2e2 OK Se considerarmos B e1 e2 e3 uma base de V3 pelo teo rema da base para o espaço temos que qualquer vetor v pode ser representado como v λ1e1 λ2e2 λ3e3 onde os coeficientes λ1 λ2 λ3 são únicos Tal igualdade nos permite construir a seguinte bijeção entre V3 e R3 55 ι₁ V³ R³ v λ₁ λ₂ λ₃ CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 57 Definição 31 Um sistema vetorial de coordenadas no espaço Σ é o conjunto formado por uma base de vetores B e1 e2 e3 e um ponto O chamado de origem do sistema de coordenadas Denotaremos o sistema de coordenadas por Σ O B A bijeção entre E3 e R3 dada por ι devido à Σ nos permite definir a seguinte notação P λ1 λ2 λ3Σ onde λ1 λ2 λ3 são as coordenadas do vetor posição OP na base B Chamamos nesse caso λ1 λ2 λ3 de coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas Σ Observação 32 Fixado um sistema de coordenadas Σ é usual representar as coordenadas de um vetor v na base B associada a Σ também por λ1 λ2 λ2Σ Muitas vezes quando o sistema de coordenadas Σ e a base B estão claros pelo contexto é co mum também denotar tanto o ponto P quanto seu vetor posição OP indistintamente por suas coordenadas λ1 λ2 λ3 sem indicar os subíndices Σ ou B Nesse caso cabe ao leitor entender pelo contexto a quem se referem as coordenadas descritas a um ponto ou a um vetor Finalmente observamos que podemos de forma totalmente análoga à descrita acima identificar pontos do plano euclideano E2 com vetores de V2 e com elementos de R2 Para isso tudo que precisamos é de um sistema de coordenadas Σ O B onde B é uma base de V2 ou seja um conjunto formado por dois vetores linearmente independentes No que se segue apresentaremos os resultados apenas para V3 deixando implícita sua validade em V2 Se i j e k forem três vetores ortonormais ou seja ortogonais dois a dois e de norma 1 então o sistema de coordenadas Σ O B onde B i j k é chamado de sistema cartesiano de coordenadas Daqui em diante as letras i j e k sempre denotarão vetores ortonormais Um sistema de coordenadas cujos vetores não são ortogonais é dito sistema de coordenadas oblíquo Exemplo 33 Dado um retângulo ABCD conforme a figura abaixo vamos encontrar as coordenadas dos pontos A B C D e dos vetores BD e AC nos seguintes sistemas de coordenadas 1 Σ1 A B1 onde B1 e1 e2 2 Σ2 B B2 onde B2 e3 1 2e1 Solução 1 Vamos primeiro escrever as coordenadas de A B C D no sistema Σ₁ Para isso devemos escrever os vetores AA AB AC e AD como combinação linear de e₁ e e₂ Por definição AB e₁ e AD e₂ Observe que BA e₁ 2 1 2 e₁ 2f₂ BB 0f₁ 0f₂ vetor nulo BC e₂ e₃ e₁ 1f₁ 2f₂ BD e₃ 2e₁ f₁ 4f₂ CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 60 Determine as coordenadas dos pontos O A B C D E e F nos seguintes sistemas de coordenadas a O OC OD b O OC OE c B BC BO d B BC BE Ex 32 Encontre as coordenadas dos seguintes vetores nos sistemas de coordenadas do exercício anterior a CD b BD c AC d BE Ex 33 Dado o paralelogramo retângulo ABCDEFGH abaixo Sejam e1 AB e2 AC e3 AF e4 AE Determine as coordenadas dos pontos A B C D E F G e H nos seguintes sistemas de coorde nadas a A e1 e2 e3 b A e2 e1 e3 c A e4 e1 e3 d H e1 e2 e3 e G e3 1 2e1 3e3 f A 1 2e1 1 2e2 1 2e3 Ex 34 Determine as coordenadas dos vetores AB AC AF AG EF FG EH nos seguintes sistemas de coordenadas a A e1 e2 e3 b A e2 e1 e3 c H e1 e2 e3 d H e2 e1 e3 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 61 e G e3 1 2e1 3e3 Operações Vetoriais em Coordenadas Agora que sabemos como representar vetores e pontos em coordenadas precisamos saber como operar com estas representações A proposição abaixo nos diz como as operações com pontos e vetores vistas no capítulo anterior podem ser traduzidas para a representação que acabamos de apresentar Proposição 34 Se u a1 a2 a3Σ v b1 b2 b3Σ e P p1 p2 p3Σ então 1 u v a1 b1 a2 b2 a3 b3Σ 2 λu λa1 λa2 λa3Σ 3 P u a1 p1 a2 p2 a3 p3Σ Demonstração 1 Dado um sistema de coordenadas Σ B O onde B e1 e2 e3 como u a1 a2 a3Σ e v b1 b2 b3Σ por definição temos que u a1e1 a2e2 a3e3 v b1e1 b2e2 b3e3 E logo u v a1e1 a2e2 a3e3 b1e1 b2e2 b3e3 a1 b1e1 a2 b2e2 a3 b3e3 E desta forma as coordenadas de u v no sistema de coordenadas Σ são u v a1 b1 a2 b2 a3 b3 2 Como u a1 a2 a3Σ por definição temos que u a1e1 a2e2 a3e3 Desta forma temos que λu λ a1e1 a2e2 a3e3 31 λa1e1 λa2e2 λa3e3 32 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 62 E consequentemente λu λa1 λa2 λa3 3 Deixaremos como exercício para o leitor Considere fixado um sistema de coordenadas Σ B O Observadas as operações com pontos e vetores em coordenadas uma pergunta que resta ser respondida é dados os pontos A a1 a2 a3 e B b1 b2 b3 como podemos encontrar as coordenadas do vetor AB Observe que pela definição de subtração de vetores vale que AB OB OA Então como OA a1e1 a2e2 a3e3 e OB b1e1 b2e2 b3e3 temos AB b1 a1e1 b2 a2e2 b3 a3e3 AB b1 a1 b2 a2 b3 a3 Tal igualdade dá origem a notação de Grassmann que diz AB B A Observe que a igualdade acima é no entanto apenas uma notação já que em nenhum momento foi definida soma ou subtração de pontos Exemplo 35 Dados os pontos A 1 3 2 B 1 1 1 e C 1 1 0 determine as coordenadas 1 dos vetores AB BC 2 do vetor AB 1 3 BC 3 do ponto C 1 2 AB Solução 1 AB 1 1 1 3 1 2 0 2 1 BC 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 AB 1 3 BC 0 2 1 1 30 0 1 0 2 1 1 3 0 2 4 3 3 C 1 2 AB 1 1 0 1 20 2 1 1 0 1 2 Exemplo 36 Determine o ponto médio M m₁ m₂ m₃ de um segmento com ponto inicial A a₁ a₂ a₃ e B b₁ b₂ b₃ num sistema de coordenadas Σ BO onde B e₁ e₂ e₃ Solução Primeiro observamos que AB 2AM pois os vetores possuem o mesmo sentido e o comprimento AB é duas vezes o comprimento AM Assim b₁ a₁e₁ b₂ a₂e₂ b₃ a₃e₃ 2m₁ a₁e₁ 2m₂ a₂e₂ 2m₃ a₃e₃ o que implica em bi ai 2mi ai para todo i 1 2 3 Logo mi bi ai 2 para i 1 2 3 Logo M b₁ a₁ 2 b₂ a₂ 2 b₃ a₃ 2 Teorema 37 Os vetores u a₁ a₂ a₃ v b₁ b₂ b₃ e w c₁ c₂ c₃ são linearmente independentes se e somente se a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ 0 c₁ c₂ c₃ Demonstração Os vetores u v w são linearmente independentes se o sistema xu yv zw 0 possui somente a solução trivial x y z 0 Observação 39 Mais detalhes sobre mudança de base podem ser encontrados no Capítulo 11 Exemplo 310 Determine m de modo que os vetores u v e w sejam linearmente dependentes onde v 1 m 1 m 2 w 1 0 m k 0 2 3 Solução Para que os vetores sejam linearmente dependentes pelo teorema 37 o seguinte determinante deve se anular 1 1 m 2 m 1 0 m 0 2 3 0 Calculando o determinante temos que CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS Exercícios Ex 318 Dado um tetraedro ABCD Determine a coordenações dos pontos médios dos lados AB CD BD BC no sistema de coordenadas determinado pelo ponto A e pela base AB AC AD compare com o exemplo 25 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS Utilizando o Teorema de Pitágoras temos também que a distância entre os pontos P a1 a2 e Q b1 b2 é dada por dPQ b1 a1² b2 a2² E no caso tridimensional distância entre os pontos P a1 a2 a3 e Q b1 b2 b3 é dada por dPQ b1 a1² b2 a2² b3 a3² Observação 311 É importante observar que para realizarmos os cálculos acima foi absolutamente necessário supor que o sistema de coordenadas considerado fosse cartesiano Podemos calcular as mesmas quantidades utilizando outros sistemas de coordenadas mas nesse caso as expressões obtidas serão diferentes e geralmente mais complicadas Exemplo 312 Suponha fixado um sistema de coordenadas cartesianas Calcule a distância dos pontos A 1 0 2 e B 3 2 1 Solução Temos que dAB AB Como AB B A 2 2 1 segue que dAB 2² 2² 1² 3 Exercícios Nos próximos exercícios as coordenadas são expressas num sistema cartesiano CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 70 Ex 31 Dados os vetores a b c conforme a figura abaixo Determine as componentes dos vetores a b c e de a b c 120 6 45 4 30 3 Vetores a b c respectivamente Ex 32 Dados os vetores a b c conforme a figura abaixo Determine as componentes dos vetores a b c e de a b c 4 3 3 a b c 135 120 Ex 33 Dados A 3 2 B 3 5 e C 0 3 desenhe o triângulo ABC e ache a A distância entre os pontos A e B b A distância entre os pontos B e C c O vetor BA e o vetor AC d O vetor BA AC e O ponto médio do segmento AC f O ponto na reta AB que dista três vezes mais de A do que de B Duas respostas Ex 34 Dados A 4 8 11 B 3 1 4 e C 2 3 3 desenhe o triângulo ABC e ache a O comprimento dos três lados do triângulo b Os pontos médios dos três lados do triângulo CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 71 c Os vetores AB BC e CA d A soma AB BC CA Porque essa soma deve ser zero e Os ângulos entre AB e BC Dica use a lei dos cossenos f A área do triângulo g O ponto D tal que ABCD é um paralelogramo Três respostas Ex 35 Qual o ponto do eixo x é equidistante dos pontos A 1 3 e B 3 1 Ex 36 O triângulo ABC com A a 0 B a 0 C 0 y é equilátero Quais são os possíveis valores de y Ex 37 Três vértices de um retângulo são 2 1 7 1 e 7 3 Determinar o quarto vértice e a área 33 Produto Escalar Ângulo entre dois Vetores É de fundamental importância em toda geometria a determinação de medidas angulares Veremos mais adiante que além de diversas outras aplicações ângulos entre vetores ou entre vetores e retas podem ser usados na definição de uma nova forma de representar pontos do espaço Euclidiano coordenadas polares Surge então a pergunta como podemos utilizar os sistemas de coordenadas para determinar o ângulo entre dois vetores u e v C b A b B u b D bC b D v θ Fig 34 Ângulo entre u e v Conforme já vimos no início do Capítulo 1 entendemos por ângulo entre dois vetores u e v o ângulo θ com 0 θ π formado por representantes de u e v com mesma origem Para determinarmos uma expressão para ângulo entre dois vetores u e v o primeiro passo é escolher um sistema de coordenadas cartesiano Σ B O com B i j k e escrever os vetores neste sistema u a1i a2j a3k v b1i b2j b3k Utilizando a lei dos cossenos temos que v u2 u2 v2 2uv cosθ CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS e consequentemente a1 b1² a2 b2² a3 b3² a1² a2² a3² b1² b2² b3² 2u v cosθ Assim cosθ a1b1 a2b2 a3b3 u v Ao termo a1b1 a2b2 a3b3 daremos o nome de produto escalar de u por v e denotaremos por u v Resumindo Definição 313 Se Σ B O com B i j k é um sistema de coordenadas cartesianas u a1 a2 a3 Σ e v b1 b2 b3 Σ então definimos o produto escalar ou produto interno de u e v como u v a1b1 a2b2 a3b3 Além disso os argumentos apresentados anteriormente provam que Proposição 314 Dados dois vetores u e v temos que u v u v cos θ e assim o ângulo θ entre esses vetores satisfaz θ arccosu v u v Como consequência imediata da definição de produto escalar temos Proposição 315 Dois vetores u e v são perpendiculares se e somente se u v 0 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS Observação 316 Dado um vetor v x y num sistema cartesian no plano é interessante notar que o vetor n y x é ortogonal a v e tem mesma norma de v Note v n xy xy 0 n x² y² v De fato veremos no Capítulo 10 Seção 103 que n1 y x é obtido rotacionado de 90º o vetor v no sentido antihorário e n2 y x é obtido rotacionado de 90º o vetor v no sentido horário Exemplo 317 Determine o ângulo entre u i 2j k e v i j 2k Solução cos θ u v u v 3 6 6 12 θ arccos12 π3 60º Exemplo 318 Mostre que os vetores u 3i 4j k e v 2i 3j 6k são ortogonais Solução u v 341 236 3 2 4 3 1 6 6 12 6 0 Logo u e v são ortogonais Proposição 319 O produto escalar possui as seguintes propriedades 1 u v v u 2 u v w u v u w 3 u u u² 0 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 74 4 u u 0 se e somente se u 0 5 u λv λu v Demonstração Se u a1 a2 a3 e v b1 b2 b3 e w c1 c2 c3 1 u v a1b1 a2b2 a3b3 b1a1 b2a2 b3a3 v u 2 u v w a1 a2 a3 b1 c1 b2 c2 b3 c3 a1b1 c1 a2b2 c2 a3b3 c3 a1b1 a2b2 a3b3 a1c1 a2c2 a3c3 u v u w 3 u u a2 1 a2 2 a2 3 u2 0 4 Se u u 0 então u 0 e consequentemente u 0 Reciprocamente se u 0 temos u 0 0 0 e então u u 02 02 02 0 5 A demonstração desse item é deixada como exercício ao leitor Exemplo 320 Num quadrado ABCD tem se A 3 4 e B 5 6 Quais são as coordenadas dos vetores C e D b A b B b C1 b D1 b D2 b C2 Fig 35 Quadrados de lado AB Solução 1 Denotando as coordenadas de C e D por C c1 c2 e D d1 d2 temos que AB 2 10 BC c1 5 c2 6 CD d1 c1 d2 c2 e DA d1 3 d2 4 O vetor BC é perpendicular ao vetor AB logo o pro duto escalar entre eles é nulo ou seja BC AB 0 Isto implica que 2c1 5 10c2 6 0 que simplifi cando resulta em 2c1 10c2 70 35 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 75 Temos ainda que AB BC 104 logo c1 52 c2 62 104 36 Substituindo 35 em 36 teremos que c2 62 4 e logo c2 8 ou c2 4 Quando c2 8 por 35 c1 5 e quando c2 4 então c1 15 ou seja C 5 8 ou C 15 4 O cálculo de D é análogo Solução 2 Uma segunda solução para o exemplo acima faz uso da Observação 316 Temos que AB 2 10 e daí rotacionando AB de 90 no sentido antihorário temos BC AD 10 2 Logo C B BC 5 8 D A AD 7 2 Finalmente se rotacionamos AB de 90 no sentido horário temos BC AD 10 2 Assim C B BC 15 4 D A AD 13 6 Exemplo 321 Mostre que as três alturas de um triângulo são concorrentes em único ponto b A b B bC bB b A b C b O c b a Solução Dado um triângulo ABC então as alturas BB e CC se interceptam num ponto O Sejam então os vetores a OA b OB e c OC Como as retas OB e CA são perpendiculares OB CA 0 b a c 0 b a b c CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS De modo análogo como as retas OC e AB são perpendiculares O C AB 0 c b a 0 c b c a E logo b a c a ou seja a c b 0 O A BC 0 Desta forma a reta OA é perpendicular ao lado BC sendo assim a altura relativa ao vértice A Essa reta intercepta as outras alturas no ponto O e assim as três retas se interceptam num único ponto que é denominado ortocentro do triângulo ΔABC Projeção Ortogonal Passsemos agora a um novo problema Dados dois vetores v e u com u não nulo queremos decompor o vetor v em dois vetores p q tais que p é paralelo a u e q é perpendicular a u ou seja queremos encontrar p q tais que v p q p λu para algum λ R e q u 0 Reescrevendo as condições acima temos que v p u 0 e logo v λu u 0 v u λu² 0 Desta forma λ u v u² e p u v u² u Do mesmo modo podemos ver que o vetor p assim determinado é único Tal vetor é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por Proju v CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS Proposição 322 Dado um vetor não nulo e v um vetor qualquer então a projeção ortogonal Proju v de v em u existe e é única Proju v u v u² u Observação 323 Veja que um modo fácil de lembrar da projeção é observar a Figura 36 e ver que esta é um vetor p tal que seu comprimento obedece p v cos θ u v cos θ u u v u e tem mesma direção e sentido que u onde temos Proju v u v u u u Note também que o vetor p Proju v não depende do comprimento de u Tal fator encontrase expresso no lado direito da Equação 37 se observamos que o vetor u aparece duas vezes no seu numerador e ao quadrado no denominador Exemplo 324 Determine a área do triângulo ΔABC cujos vértices num sistema de coordenadas cartesianas são A 1 2 B 3 1 e C 2 5 Solução Temos que AB 2 1 e AC 1 3 Além disso n 1 2 é um vetor ortogonal a AB A área do triângulo ΔABC é dada por S 12 AB h onde h Proju AC AC n n é a altura do triângulo ΔABC relativa ao lado AB Como n AB temos que S 12 AC n Logo S 12 1 6 72 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS Exercícios Ex 31 Pela fórmula do cos ache os três ângulos do triângulo cujos vértices são a 2 1 7 1 e 7 3 use uma calculadora b 4 7 11 3 1 4 e 2 3 3 Ex 32 Se u 2 1 1 e v 1 1 2 encontre um vetor não nulo w tal que u w v w 0 Ex 33 Se u 2 1 2 e v 1 2 2 encontre escalares a b tais que w au bv e u w 0 Ex 34 Prove que os vetores u 7i 3j 6k v 3i 3j 2k e w 6i 16j 15k são dois a dois perpendiculares Ex 35 Determine os três ângulos de um triângulo cujos vértices são 3 1 5 2 e 6 3 Encontre também a área do triângulo Ex 36 Dados vetores a b e c tais que a b c 0 com a 3 b 5 e c 7 Calcule o ângulo entre a e b Dado que a b c 0 calculando o produto de ambos os lados da equação sucessivamente com a b e c temos a a a b a c 0 a b a c 9 b a b b b c 0 b a b c 25 c a c b c c 0 c a c b 49 Resolvendo o sistema anterior temos a b 152 e assim cos θ 12 e logo θ π3 Ex 37 Prove que v w 14 v w² v w² Ex 38 Mostre que se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares então ele é um losango CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 79 Ex 39 Decomponha o vetor u i 3j 2k como a soma de dois vetores v1 e v2 com v1 paralelo ao vetor j 3k e v2 ortogonal a este último Ex 310 Suponha que AB seja o diâmetro de um circulo e seja C outro ponto qualquer desse circulo Mostre que os vetores CA e CB são ortogonais Denotando u OA u OB e u OC temos u u v r E assim AC BC v uv u v v u u 0 b A b B b O c bC u u v Ex 311 Prove que a Proju λv λ Proju v b Projuv w Proju v Proju w c Proju Proju v Proju v d v Proju w Proju v w Ex 312 Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo Ex 313 Prove que u v u v e que u v u v se e somente se um vetor é múltiplo do outro Desigualdade de Schwarz Ex 314 Prove que u v u v Desigualdade Triangular Ex 315 Mostre que u v u v se e somente se u v 0 Ex 316 Prove que se u v 0 para todo vetor v então u 0 Ex 317 Num triângulo retângulo a altura relativa a hipotenusa é a média geométrica das projeções ortogonais dos catetos sobre essa hipotenusa Prove esse fato escolhendo um sistema de coordenadas no qual a hipotenusa está sobre o eixo OX e o vértice do ângulo reto sobre o eixo OY Ex 318 Mostre que o ângulo entre as projeções Projw u e Projw v é igual ao ângulo entre os vetores u e v Produto Vetorial Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados Voltamos nossa atenção agora para um novo problema dado dois vetores não paralelos u e v como podemos encontrar um novo vetor w perpendicular aos dois vetores dados Note que ao contrário do que ocorre com a projeção este problema não possui uma única solução De fato ao encontrarmos um vetor w satisfazendo as condições acima qualquer vetor λw também satisfará Área de um Paralelepípedo e de um Triângulo Primeiro considera o paralelepípedo determinado por dois vetores não paralelos u e v como na figura abaixo A altura do paralelepípedo é dada por v senθ e portanto da propriedade 5 do produto vetorial concluímos facilmente que sua área é dada por u v senθ u v Em resumo mostramos que a área do paralelepípedo de lados u e v é igual ao comprimento do produto vetorial destes vetores A u v CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 87 Ex 316 Dado um triângulo ABC e O um ponto qualquer mostre que a área A do triângulo ABC é A 1 2a b b c c a sendo a OA b OB e c OC 35 Escolha do Sistema de Coordenadas Um sistema de coordenadas cartesianas do plano pode ser escolhido tomando qualquer ponto O como origem e qualquer duas retas perpendiculares como os eixos Em geral resultados geométri cos não dependem de como escolhemos nosso sistema de coordenadas mas ao fazermos a escolha correta podemos simplificar significativamente o resolução de um problema É possível por exem plo fazer com que as coordenadas dos vértices de certas figuras geométricas fiquem mais simples aumentando a quantidade zeros em suas coordenadas simplificando assim a manipulação algébrica Considere por exemplo um triângulo ABC Vamos descrever esse triângulo através de coor denadas A x1 y1 B x2 y2 e C x3 y3 em um sistema de coordenadas Σ Consideraremos o seguinte sistema de coordenadas escolha como eixo x a reta AB e como eixo y a reta perpendicular a AB passando por C Determine o sistema de coordenadas colocando a origem no ponto O dado pela intersecção dos dois eixos e escolhendo uma base ortonormal i j formada por vetores unitários paralelos a estes eixos Neste sistema o vértice A tem então coorde nadas do tipo a 0 e o ponto B coordenadas do tipo b 0 já que ambos estão sobre o eixo x Já o ponto C que está posicionado sobre o eixo y tem coordenadas do tipo 0 c Veja que com a escolha adequada do sistema de coordenadas conseguimos reduzir o número de variáveis de 6 para apenas 3 A seguir apresentamos exemplos onde a escolha de um sistema de coordenadas adequado facilita a demonstração de propriedades geométricas Você consegue demonstrar estas propriedades usando um sistema de coordenadas arbitrário Exemplo 329 Se um triângulo é isósceles as medianas dos dois lados de mesmo comprimento possuem o mesmo tamanho O lugar geométrico de uma equação CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 89 Exercícios Ex 31 Mostrar que 5 0 0 2 e 0 2 são os vértices de um triângulo isósceles e achar sua área Ex 32 Sejam A a 0 e B 0 a com a 0 Determine x de modo que o ponto C x x seja o terceiro vértice do triângulo equilátero ABC Ex 33 Dado um paralelogramo ABCD escolha um sistema de coordenadas adequado e mostre que AB 2 BC 2 CD 2 DA 2 AC 2 BD 2 ou seja a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das suas diagonais Ex 34 Num triângulo retângulo a altura relativa a hipotenusa é a média geométrica das pro jeções ortogonais dos catetos sobre essa hipotenusa Prove esse fato escolhendo um sistema de coordenadas no qual a hipotenusa esta sobre o eixo OX e o vértice do ângulo reto sobre o eixo OY Ex 35 Se no triângulo ABC as medianas que partem dos vértices A e B são iguais prove que os lados AC e BC são iguais logo o triângulo é isósceles Ex 36 Enunciar e demonstrar a recíproca do teorema de Pitágoras Ex 37 Se as diagonais de um paralelogramo são iguais então ele é um retângulo Ex 38 Determine a soma dos quadrados dos comprimentos das medianas do triângulo ABC sabendo que os lados do δABC medem a b e c 36 O Problema do Lugar Geométrico Até este ponto estudamos como representar algebricamente o espaço euclidiano e como podemos usar tais representações na resolução de alguns problemas geométricos Nesta seção vamos dar uma passo além e iniciar os estudos sobre um dos problemas fundamentais da geometria analítica o problema do lugar geométrico Em poucas palavras dada uma figura ou condição geométrica Analisemos a equação x 22 y 32 25 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS Exemplo 332 Generalizando o exemplo anterior um círculo de centro C e raio r é definido como o conjunto dos pontos cuja distância ao centro é igual a r Esta é a condição geométrica que descreve o círculo Buscamos agora uma representação algébrica Se escolhermos um sistema de coordenadas cartesianas no qual C a b então todo ponto P x y no círculo deve satisfazer CP r ou seja xa² yb² r ou ainda a equação algébrica equivalente xa² yb² r² É importante observar que um ponto pertence ao círculo ou seja este ponto dista r do centro se e somente se satisfazer a equação xa² yb² r² Em geral sempre que tivermos este tipo de relação entre uma curva e uma equação diremos que esta é a equação da curva Definição 333 Diremos que uma equação f x y 0 é a equação de um dado lugar geométrico se todo ponto que satisfaz a equação pertence ao lugar geométrico e todo ponto que pertence ao lugar geométrico satisfaz a equação Exemplo 334 Dado um sistema de coordenadas cartesianas lugar geométrico conhecido descrito pelo eixo x é formado por todos os pontos cuja segunda coordenada y é zero ou seja a equação do eixo x é y 0 Exemplo 335 Como vimos xa² yb² r² é a equação do círculo de raio r e centro em P a b Exemplo 336 Determinar a equação do lugar geométrico formado por todos os pontos cuja distância a um ponto fixo F é igual a uma reta fixa d CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS Solução Dados uma reta fixa d chamada diretriz e um ponto fixo F chamado foco a parábola é o conjunto dos pontos P equidistantes do foco e da diretriz ou seja o ponto P tal que PD PF onde D é o ponto de mais próximo de P A reta passando por F perpendicular a d é chamada eixo da parábola O ponto de interseção entre o eixo da parábola e a parábola é chamado vértice da parábola Observe que o vértice está localizado na metade da distância do foco à diretrizEscolhemos como sistema de coordenadas os eixos formados pelo eixo da parábola e a reta passando pelo vértice da parábola perpendicular ao eixo Essa última reta é paralela à diretriz da parábola Seja 2m a distância entre o foco e a diretriz d No sistema de coordenadas que adotamos F tem coordenadas m 0 e a equação da diretriz é x m Como P satisfaz PD PF temos que xm² y² xm² Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade concluímos que xm² y² xm² m²2mx x² y² m² 2mx x² y² 4mx é a equação satisfeita pelos pontos da parábola neste sistema de coordenadas CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS Interseção Dadas duas equações f x y 0 e g x y 0 os pontos que pertencem ao lugar geométrico de ambas as equações é chamado de pontos de interseção Analiticamente as coordenadas da ponto satisfazem ambas as equações A interseção de duas equações pode ser vazia neste caso diremos que os seus lugares geométricos não se interceptam Exemplo 337 Determinar analítica e graficamente os pontos de interseção de x 12 0 e y²3x 0 Solução Primeiro observemos que x 12 0 é a equação de uma reta paralela ao eixo y enquanto y²3x 0 é a equação de uma parábola com vértice na origem e diretriz paralela ao eixo y Assim o conjunto dos pontos de interseção dos dois lugares geométricos é formado de no máximo dois pontos Analiticamente concluímos da primeira equação que todo ponto de interseção x y deve ter x 12 Substituindo na equação da parábola encontramos que y² 36 e portanto y 6 De modo que os pontos de interseção são 12 6 e 126 CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 94 Ex 35 Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de modo que a distância ao ponto 1 0 0 é sempre igual a distância ao plano Y Z 37 Coordenadas Polares Nesta seção estudaremos uma nova forma de descrever a localização de pontos no plano euclideano E2 as coordenadas polares A principal motivação para a utilização desse sistema de coordenadas é que neste sistema curvas com algum tipo de simetria em relação a origem O do plano como por exemplo o círculo e a elipse podem ser descritas de maneira mais simples que nos sistemas de coordenadas vetoriais Num sistema de coordenadas polares um ponto P é localizado no plano em relação a uma semi reta OA A origem O dessa semi reta é denominada origem do sistema de coordenadas polares ou polo e a semireta OA é dito eixo polar b O b A b P θ As coordenadas de um ponto P num sistema de coordenadas polares é um par r θ onde r é a distância do ponto ao polo isto é r dO P e θ é o ângulo orientado que a semireta OP faz com a semireta OA Claramente a posição do ponto fica bem determinada se conhecemos r e θ O par r θ é denominado coordenadas polares do ponto P e neste caso escreveremos simplesmente P r θ Fig 37 Coordenadas polares Como θ é o ângulo orientado entre o eixo OA e a reta OP seus valores podem ser positivo ou negativo conforme a orientação no sentido antihorário ou horário do ângulo Por outro lado o raio r sendo a distância de P a origem é naturalmente um número real po sitivo porém podemos estender seu significado de modo a termos raios negativos Para isso con vencionamos que o ponto r θ com r 0 deve ser construído do seguinte modo construímos uma semireta faz uma ângulo θ com o eixo polar e estendemos essa semireta marcarmos o ponto r θ como sendo o ponto sobre a extensão da semi reta que dista r do polo O Uma diferença fundamental entre os sistemas de coordenadas cartesianas e o sistema de coor denadas polares é que em coordenadas polares um ponto P pode ser descrito por uma infinidade CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 95 b O b P r θ r θ b P r θ r de coordenadas Por exemplo a origem O é descrita por todas as coordenadas da forma 0 θ enquanto que um ponto P r θ distinto da origem é descrito por todas as coordenadas da forma r θ 2πn e r θ π 2n 1 Todo ponto distinto da origem possui pelo menos uma coordenada na qual o raio é positivo e o angulo θ esteja entre 0 θ 2π Denominamos esse par como o conjunto principal de coordenadas polares do ponto em questão Relação entre Coordenadas Cartesianas e Polares A cada sistema de coordenadas polares podemos associar um sistema cartesiano escolhendo como a origem o polo o eixo x como o eixo polar e o eixo y como a reta perpendicular ao eixo polar passando pela origem Esse sistema de coordenadas é chamado sistema cartesiano associado Quando ao tratarmos de coordenadas polares nos referirmos as coordenadas x y eixos x ou y etc de um sistema cartesiano este sempre será o sistema cartesiano associado Observe a Figura 38 x y x0 y0 b O b P r b K θ Fig 38 Coordenadas polares É fácil ver que CAPÍTULO 3 VETORES EM COORDENADAS 96 x0 r cosθ y0 r senθ r x20 y20 tg θ y0 x0 Assim temos que as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas do sistemas associado se relacionam segundo a seguinte tabela Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares r cos θ r sen θ r θ x y x2 y2 arctgyx Exemplo 338 Determinar as coordenadas retangulares do ponto P cujas coordenadas polares são 3 120 Solução Neste caso r 3 e θ 120 logo as coordenadas são x r cosθ 3 12 32 y r senθ 3 32 332 Ou seja P 32 332 Exemplo 339 Determinar as coordenadas polares do ponto cujas coordenadas retangulares são 1 1 Solução Temos que r 11 2 e que θ arctg1 Para 0 θ 2π temos que θ 74π Logo o conjunto principal de coordenadas do ponto é 1 74π Outras coordenadas possíveis para o ponto são 1 74π 2nπ e 1 74π π2n 1 4 Retas e Planos Dando continuidade ao nosso estudo sobre lugares geométricos e suas equações vamos nos con centrar agora no estudo de dois elementos geométricos fundamentais da geometria as retas e os planos Ressaltamos que em todo este capítulo utilizaremos um sistema de coordenadas cartesiano i j k O 41 Equações da Reta Um dos postulados da geometria Euclidiana nos diz que dados dois pontos no espaço existe uma única reta contendo estes pontos Isso nos leva ao seguinte problema dados dois pontos A e B determinar a equação da reta r que passa por estes dois pontos Para isto observe que dado um ponto X em r o vetor AX é paralelo ao vetor AB e portanto existe um escalar t R tal que AX t AB Assim temos que X A AX A t AB e considerando A a b c e v AB v1i v2j v3k vemos que um ponto X x y z pertence a reta r se e somente se AX vt ou ainda r X A vt 41 Expandindo obtemos x y z a b c v1 v2 v3 t 42 98 CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS Solução Para que um ponto P pertença simultaneamente as retas r e s devem existir números reais t1 e t2 tais que P 1 1 1 1 0 1t1 e P 0 4 3 1 1 0t2 De onde encontramos que 1 1 1 1 0 1t1 0 4 3 1 1 0t2 Resolvendo o sistema acima encontramos t1 2 t2 3 Como o sistema possui solução concluímos que as retas r e s se interceptam Para determinar o ponto de interseção substituímos t t1 na equação P 1 1 1 e obtemos P 3 1 3 É importante observar que para determinarmos se as retas interceptam usamos parâmetros distintos para cada reta Isso é fundamental pois o ponto P apesar de pertencer a ambas as retas é descrito em cada conjunto de equações por um valor distinto de t CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 99 ou de forma mais simplificada r x a v1t y b v2t z c v3t 43 A equação 41 é conhecida como equação vetorial da reta r e nestas condições o ponto A é chamado ponto inicial e o vetor v é dito vetor diretor da reta reta r As equações em 43 são chamadas as equações paramétricas da reta r Heuristicamente pensando no parâmetro t como tempo podemos entender esta equação como a trajetória de um ponto que se move no espaço tendo o ponto A como o ponto inicial e o vetor v como a velocidade e assim para cada valor de t obtemos um ponto no espaço Outra forma de representar a reta r pode ser obtida ao isolarmos o parâmetro t nas equações paramétricas Assim se em 43 tivermos v1 0 v2 0 e v3 0 podemos eliminar o parâmetro t e obter x a v1 y b v2 z c v3 chamadas de equações da reta r na forma simétrica É importante observar que a equação de uma reta em qualquer uma de suas formas não é única De fato as equações dependem fundamentalmente da escolha do ponto inicial e do vetor diretor gerando assim uma infinidade de equações para representar um mesma reta Para entender esta afirmativa consideremos uma reta r X A vt Escolhendo um ponto B em r podemos trocar o ponto inicial por B e assim representar r por r X B vt Do mesmo modo trocando o vetor diretor v por outro vetor v paralelo obtemos que X A vt é também uma equação vetorial para r veja exercício Exemplo 41 Encontre as equações da reta que passa pelos pontos A 0 1 1 e B 1 3 0 Solução Escolhendo v AB 1 2 1 como vetor diretor e A como ponto inicial obtemos a equação vetorial r X A vt x y z 0 1 1 1 2 1 t As equações paramétricas ficam então x t y 1 2t z 1 t As equaçõessimétricaspara essa reta são obtidasisolando o parâmetrot nas equaçõesanteriores ou seja x y 1 2 z 1 1 CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 100 Exemplo 42 Dada a reta r de equação paramétricas r X 1 3 2 1 1 2t 1 Encontre três pontos pertencentes a essa reta 2 Encontre um conjunto de equaçõesvetoriais para essa reta na qual o ponto inicial seja distinto 3 Encontre um conjunto de equações vetoriais para essa reta na qual o vetor diretor seja distinto Solução 1 Claramente o ponto 1 3 2 pertence a essa reta Para obter outros pontos desta reta bastam que escolhamos valores distintos para o parâmetro t Assim se t 1 temos que 1 3 2 1 1 2 2 4 4 pertence a reta Tomando t 2 temos que 1 3 2 21 1 2 1 1 2 pertence a reta 2 Substituindo o ponto inicial por outro ponto pertencente a reta obtemos equações com as propriedades exigidas Escolhendo por exemplo o ponto 1 1 2 obtemos a equação vetorial r X 1 1 2 1 1 2t 3 Substituindo o vetor diretor por um de seus múltiplos não nulos obtemos equações com as propriedades exigidas Se por exemplo multiplicarmos o vetor diretor por 1 2 encontramos a equação vetorial r X 1 1 2 1 2 1 2 1t Exemplo 43 Verifique se os pontos A 4 1 5 e B 0 0 0 pertencem a reta r 1 1 2 1 0 1t Solução Para que o ponto A pertença a reta r é necessário que exista t R tal que 4 1 5 1 1 2 1 0 1t CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 101 Ou seja deve existir t tal que o sistema de equações 4 1 t 1 1 0t 5 2 t tenha solução O sistema acima possui solução t 3 e logo o ponto A pertence à reta r De modo análogo para que o ponto B pertença a reta r é necessário que exista t R tal que 0 0 0 1 1 2 1 0 1t ou seja deve existir t tal que o sistema de equações 0 1 t 0 1 0t 0 2 t tenha solução Como sistema acima não possui solução o ponto B não pertence à reta r Exemplo 44 Identifique o lugar geométrico dado pelas equações 2 3x 7 2y 2 3 5z 1 2 Solução Dividindo os numeradores e os denominadores de cada fração pelo coeficiente das variá veis obtemos x 2 3 7 3 y 1 3 2 z 1 5 2 5 Esta são as equações na forma simétrica de uma reta E portanto o lugar geométrico é uma reta passando pelo ponto 2 3 1 1 5 com vetor diretor 7 3 3 2 2 5 Exemplo 45 Verifique se as retas r X 1 1 1 1 0 1t e s X 0 4 3 1 1 0t se interceptam CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 103 x Com essa definição é fácil ver que para as retas não paralelas ao eixo y podemos escolher o vetor diretor como i mj e assim obter equação afim ou reduzida da reta bidimensional y mx n onde n b ma v1i v2j θ As retas paralelas aos eixos coordenados v1 0 ou v2 0 são especiais Para as retas paralelas ao eixo y ou seja retas com vetor diretor j o coeficiente angular não está definido já que m v2 v1 Para obter uma equação para este tipo de reta basta observar que todos os pontos possuem a primeira coordenada coordenada x iguais Ou seja se a reta passa pelo ponto A a b então todo ponto x y em r é do tipo a y e portanto sua equação será dada por x a Do mesmo modo se a reta é paralela ao eixo x e passa por um ponto A a b então sua equação é dada por y b xconstante b yconstante bA Fig 41 Retas paralelas aos eixos coordenados Observação 46 É fácil ver que a equação de toda reta no plano pode ser escrita na forma ax by c 0 com a b c constantes reais Tal forma é conhecida como forma canônica ou equação cartesiana da reta no plano A equação na forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa isto é axby c 0 e ax by c 0 representam uma mesma reta se e somente se existe λ R tal que a λa b λb e c λc Por quê Exemplo 47 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto 1 1 e que faz ângulo de 60 com o eixo x CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 106 Ex 49 Dado A 1 2 Determine o ponto B tal que o triângulo OAB seja equilátero Ex 410 Determine a equação das três medianas de um triângulo com vértices a 0 b 0 0 c Ex 411 Os pontos A 2 5 e B 14 1 são simétricos em relação a uma reta Determine a equação padrão e paramétrica dessa reta Ex 412 Chama se baricentro de um triângulo o ponto de encontro das três medianas Determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC nos seguintes casos a A 1 5 B 3 2 C 2 4 b A x1 y1 B x2 y2 e C x3 y3 Ex 413 Determine as coordenadas do ponto de trissecção de uma mediana o ponto que está a 2 3 do caminho do vértice ao ponto médio do lado oposto e prove que não somente ele satisfaz a equação das outras duas medianas mas que também ele é o ponto de trissecção das outras duas medianas Conclua que as três medianas são concorrentes ie elas passam pelo mesmo ponto Dica Para triângulo genérico as coordenadas podem ser escolhidas de modo que os vértices sejam 0 0 0 a e b c Ex 414 O ponto em que duas retas não paralelas se encontram deve satisfazer ambas equações Determine o ponto de intersecção de 3x 4y 1 e 4x 6y 14 Ex 415 Determine a inclinação o ponto de intersecção com o eixo y e desenhe Quando a incli nação ou o ponto de intersecção não existir diga a 3x 4y 6 b 2x 3y 6 c 7y 9 0 d x a y b 1 e y mx b f bx ay 0 g 4x2 9 h xy2x 3y 4 0 i x cosα y senα h indique h e α em sua figura CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 107 j x 3 2t y 1 3t Nos próximos exercícios ache a equação da reta e desenhe uma figura de cada Ex 416 A linha que passa por 5 7 perpendicular a 4x 5y 10 Ex 417 Duas retas por 2 3 uma paralela e outra perpendicular a 3x 2y 5 0 Ex 418 A reta que passa por a 0 perpendicular a x a y b 1 Ex 419 No triângulos de vértice a 0 b 0 0 c a ache as equações das três alturas b ache as equações das três medianas c prove que as três alturas se encontram num ponto H chamado ortocentro do triângulo d prove que as três medianas se encontram num ponto O chamado circuncentro do triângulo Ex 420 Encontre duas linhas retas de inclinação 2 3 que fazem com os eixos coordenados um triângulo de área 4 3 Ex 421 Mostre que para quaisquer valores de s e t as retas 2s 3t x 3s 2t y 5s 4t passam pelo mesmo ponto Determine esse ponto e mostre também que toda reta que passa por esse ponto é representada por uma equação da forma acima para uma escolha conveniente de s e t Ex 422 Determine a e b de modo que as equações x at 1 e y bt 5 sejam uma represen tação paramétrica da reta y 2x 3 Ex 423 Identifique a linha cujas equações são 2x 1 4y 8 3z 5 Determine o vetor diretor e três pontos que pertençam a essa reta Ex 424 Faça o mesmo para a reta 2x 3 e 4y 5 Ex 425 Determine a equação padrão da reta 3x 2y 5z 6 2x y 3z 0 Escreva a equação da reta na forma paramétrica CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 108 Ex 426 Encontre a equação da reta perpendicular ao plano que passa pelos pontos 3 4 2 1 5 3 2 1 4 e que passe pela origem Ex 427 Sejam P 1 0 1 e Q 0 1 1 Em cada um dos casos a seguir ache um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1 2 a A 1 2 1 B 1 2 3 b A 1 3 2 B 2 2 2 c A 3 0 2 B 2 1 2 d A 3 2 1 B 0 0 1 Ex 428 A reta que intercepta o eixo x no ponto a 0 e o eixo y no ponto 0 b sendo ambos os pontos distintos da origem Mostre que a equação dessa reta pode ser escrita como x a y b 1 Ex 429 a Considere uma reta r contida no plano de equação ax by c 0 Mostre que o vetor n a b é normal a todo vetor diretor de r b Mostre que toda reta r contida no plano normal ao vetor n a b tem uma equação na forma ax by c 0 para algum c R Ex 430 Determine a equação da reta que passa a uma distância h da origem e cujo segmento de tamanho h forma um ângulo α como o eixo x veja h α Dica Determine os pontos onde a reta intercepta o eixo x e o eixo y em termos de h α e use o resultado do item a CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 109 42 Equações do Plano Equações Paramétricas e Vetoriais do Plano b P0 b P1 b P2 u v b P Passemos agora a um novo problema determinar uma equação ou conjunto de equações que representem um dado plano no espaço euclidiano Primeiro lembremos que dados três pontos P0 P1 e P2 não colineares existe um único plano π passando por esses pontos Seguindo então as mesmas ideias utilizadas no caso da reta para determinar as equações de π utilizaremos um ponto inicial por exemplo P0 em conjunto com vetores u P0P1 determinados pelos pontos escolhidos Tome agora um ponto P qualquer deste plano e observe que o vetor P0P é paralelo ao plano π e portanto coplanar aos vetores u e v Como os pontos P0 P1 e P2 são não colineares concluímos que os vetores u e v são linearmente independentes e assim pelo Teorema da Base podemos escrever o vetor P0P como combinação linear de u e v isto é existem escalares s t R tais que P0P us vt e portanto P P0 us vt 46 Assim como no caso das retas a equação 46 é chamada de equação vetorial do plano Escrevendo P x y z P0 x0 y0 z0 u u1 u2 u3 e v v1 v2 v3 obtemos x x0 u1s v1t y y0 u2s v2t z z0 u3s v3t encontrando assim equações paramétricas do plano Vale comentar que assim como no caso das retas as equações apresentadas acima não são únicas pois dependem do ponto e dos vetores considerados Exemplo 410 Encontre as equações vetorial e paramétricas do plano π determinado pelos pontos P0 1 0 1 P1 1 2 3 e P2 3 1 0 Solução Definindo u P0P1 2 2 2 e u P0P2 2 1 1 a equação vetorial de π fica π P 1 0 1 2 2 2s 2 1 1t CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 110 A forma paramétrica é encontrada ao olharmos coordenada por coordenada ou seja x 1 2s 2t y 2s t z 1 2s t Equação Geral de um Plano b P1 b P n Na seção anterior vimos como encontrar a equação de um plano a partir das coordenadas de três pontos não coli neares neste plano Mas a geometria Euclidiana nos dá uma outra forma de encontrarmos a equação de um plano Para isso vamos primeiro lembrar que dada uma reta e um ponto P1 podemos encontrar um único plano π que conte nha o ponto P1 e que seja ortogonal a reta dada Observe que neste resultado a reta serve apenas para determinar uma direção Isso nos permite portanto substituir esta reta por um vetor paralelo a ela Neste sen tido dado um plano π dizemos que um vetor n não nulo é normal a π se n é ortogonal a todos os vetores paralelos a π É fundamental notar que todo plano possui uma infinidade de vetores normais veja o exercício Sejam dois pontos P1 x1 y1 z1 e P x y z no plano π Como o vetor P1P prime e perpendicular a n a b c calculando o produto interno obtemos que ax x1 b y y1 cz z1 0 e assim ax by cz ax1 by1 cz1 e assim definindo d ax1 by1 cz1 encontramos que ax by cz d para qualquer ponto P x y z pertencente ao plano Em resumo determinamos que se um ponto P x y z pertence ao plano π então suas coordenadas satisfazem ax by cz d Reciprocamente se as coordenadas do ponto P x y z satisfazem a relação axbycz d tomando P1 x1 y1 z1 teremos pela definição de d que d ax1 by1 cz1 e subtraindo obtemos que ax x1 b y y1 cz z1 0 Ou seja o vetor P1P prime e ortogonal ao vetor n e consequentemente paralelo a π CAPÍTULO 4 RETAS E PLANOS 111 Observe que para que o plano fique bem determinado o vetor n a b c deve ser não nulo ou seja é necessário que a2 b2 c2 0 A equação ax by cz d é chamada de equação geral do plano e dada esta equação é fácil recuperarmos um vetor normal ao plano Mais precisamente teremos n a b c 5 Posições Relativas Nosso objetivo nesta seção é entender a posição relativa entre duas retas dois planos e ou uma reta e um plano isto é se estes se interseccionam se são paralelos etc 51 Posição Relativas entre Retas Posição Relativas entre Retas no Plano Começaremos com o estudo da posição relativa de duas retas no plano Lembremos primeiro que duas retas em um mesmo plano podem ser coincidentes ie são a mesma reta paralelas concorrentes ou seja se interceptam em um único ponto Tomemos então duas retas dadas em forma vetorial como r A vt e s B ut Como a direção de uma reta é dada pelo seu vetor direcional temos que as retas r e s são paralelas se seus vetores diretores v e u são paralelos ou seja se um é múltiplo do outro Duas retas coincidentes r e s são coincidentes se possuem o mesmo lugar geométrico isto é o mesmos pontos Assim um primeiro requisito para coincidência é claramente paralelismo Uma vez estabelecido o paralelismo basta agora que localizemos um ponto comum as duas retas Pode mos por exemplo verificar se o ponto inicial de r ponto A pertence à reta s Caso as retas não possuam pontos em comum então elas serão paralelas não coincidentes 112 CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS 113 Como as retas estão em um mesmo plano uma vez que não sejam paralelas e ou coincidentes elas claramente só podem possuir um ponto em comum Resumindo Proposição 51 Duas retas em um mesmo plano são Paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos um do outro Neste caso elas podem ser Coincidentes se o lugar geométrico de r e de s são o mesmo Neste casos as retas são paralelas e passam pelo mesmo ponto Para verificar se suas retas paralelas são coincidentes é suficiente verificar se elas possuem um ponto em comum Por exemplo se o ponto B pertence a reta r Paralelas não coincidentes se não possuem pontos em comum Concorrentes ou seja se interceptam em um único ponto Neste caso os vetores diretores não são paralelos u v u v Exemplo 52 Determine a posição relativa entre as retas 1 r 1 2 3 1t e s 4 1 3 2 1 2t 2 r 1 2 3 1t e s 2 2 1 1 3t 3 r 1 2 3 1t e s 2 2 0 1t Solução 1 Coincidentes Os vetores diretores são paralelos ie múltiplos um do outro e o ponto 4 1 pertence a r CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS 114 2 Paralelas não coincidentes Os vetores diretores são paralelos ie múltiplos um do outro e o ponto 2 2 pertence a r 3 Concorrente pois os vetores diretores não são paralelos As condições acima valem apenas para equações vetoriais e consequentemente para equações paramétricas Mas no caso bidimensional as equações ficam mais simples e podemos representar uma reta através de uma única equação linear Seria interessante então que tivéssemos uma maneira de comparar equações nesta forma Tome então duas retas r ax by c 0 e s ax by c 0 Vamos supor por um instante que b 0 e b 0 r e s não são paralelas ao eixo y Não é difícil se convencer que r e s são paralelas se e só se seus coeficientes angulares forem os mesmos Ou seja precisamos que a b a b Mas isto é equivalente a dizer que a λa e b λb para algum λ R Observe que se ambas forem paralelas ao eixo y então b b 0 e a mesma condição vale Se r e s forem coincidentes então pela condição dada acima temos que 0 ax by c λax by c λax by c λc c λc c e portanto c λc Resumindo obtemos o seguinte resultado Teorema 53 Dadas duas retas no plano descritas pelas equações r ax by c 0 e s ax by c 0 então 1 Se o vetor a b c é múltiplo de a b c as retas são coincidentes 2 Se o vetor a b é múltiplo de a b ou equivalentemente os coeficientes angulares são iguais então as retas são paralelas 3 Se o vetor a b não é múltiplo de a b ou equivalentemente os coeficientes angulares são distintos então as retas são paralelas Posição Relativas entre Retas no Espaço Passemos agora para a análise do caso espacial Quando consideramos duas retas no espaço elas podem estar ou não num mesmo plano Caso elas estejam num um mesmo plano serão ditas retas CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS a r 1 2 0 t2 2 2 e s 1 3 3 t2 2 3 b r 1 0 0 t2 2 2 e s 2 3 0 t1 1 2 c r 1 0 0 t1 1 1 e s 2 3 0 t1 1 1 d r 1 0 0 t1 1 1 e s 2 1 1 t1 1 1 Solução a Para determinar se r e s são coplanares precisamos estudar a dependência linear dos vetores res 2 2 2 2 2 3 e 0 1 3 e 1 3 3 1 2 0 Como o determinante formado pelas coordenadas destes vetores vale 2 2 2 2 2 3 0 1 3 2 0 concluímos que as retas não são coplanares sendo portanto reversas b Como o determinante formado pelas coordenadas dos vetores 2 2 2 1 1 2 e 1 3 0 2 2 2 1 1 2 0 1 3 0 as retas são coplanares Como os vetores diretos não são múltiplos as retas são concorrentes c As retas acima possuem o mesmo vetor diretor de onde concluímos que são coplanares e paralelas Como o ponto 1 0 0 não pertence a s as retas são paralelas e não coincidentes d Assim como no item anterior as retas são coplanares e paralelas Como o ponto 1 0 0 pertence a reta s basta fazer t 1 na equação de s obtemos que r e s são de fato coincidentes CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS Exercícios Ex 51 Sejam r a reta representada parametricamente por x αt β e y ct d e s a reta cuja equação é αx βy c a Quando r intercepta s b Se r interceptar s determine o ponto P de interseção entre as duas retas Ex 52 Verifique se as retas r e s são concorrentes e se forem obtenha o ponto de interseção a r X 1 1 0 λ1 2 3 s X 2 3 3 μ3 2 1 x 1 2λ b r y λ s s X x 1 4λ z 1 3λ x 2 4λ c r x 2y 2z s s y 1 2λ z 11 d r x 2y 2 z z 2 s z y z 1 4 5 z 3 2 e r x 1 3 y 5 5 z 2 4 s x y z 1 4 f r x 3 2y 4 4 z 1 3 e s X 0 2 2 λ1 1 1 CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS Ex 53 A altura e a mediana relativa ao vértice B do triângulo ABC estão contidas respectivamente em r X 6 0 3 λ3 2 0 e s X 0 0 3 λ3 2 1 sendo C 1 3 determine A e B Ex 54 Mostre que duas retas r x mz ay nz b e s x mz ay nz b se interceptam se e somente se a an n b bm m Ex 55 Estude a posição relativa das retas r e s a r 1 4 4 1 2 3t e s 2 5 1 2 4 6t b r 1 4 4 1 2 3t e s 2 5 1 1 4 1t c r x 1 2 y z 1 2 e s X 0 0 0 λ1 2 0 d r X 8 1 9 λ2 1 3 e s X 3 4 4 λ1 2 2 CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS 119 Colocando em coordenadas obtemos que o plano π de equação geral ax by cz d e a reta r de equação paramétrica x y z x0 y0 z0 v1 v2 v3t são transversais se e somente se a b c v1 v2 v3 0 ou seja num sistema de coordenadas ortogonais av1 bv2 cv3 0 Reescrevendo esta condição utilizando o vetor normal ao plano n a b c e o vetor diretor v v1 v2 v3 obtemos o seguinte critério Proposição 56 A reta r X P vt é transversal ao plano π de vetor normal n se e somente se v n 0 Caso a reta r não seja transversal ao plano π nos restam duas opções ou r é paralela disjuntas ou está contida em π Para decidirmos qual é o caso basta tomarmos um ponto qualquer da reta e verificarmos se este pertence ao plano Se isso ocorrer a reta está contida no plano caso contrário a reta é paralela Exemplo 57 Determine a posição relativa entre o plano π X 1 2 1 1 1 1t1 0 1 2t2 e a reta r X 1 3 4 1 1 1s Solução O vetor normal ao plano é dado por 1 1 1 0 1 2 3 2 1 E como 3 2 1 1 1 1 4 0 a reta é transversal ao plano O ponto de intersecção ocorre quando 1 2 1 1 1 1t1 0 1 2t2 1 3 4 1 1 1s cuja solução é s 1 4 t1 1 4 t2 3 2 Substituindo s 1 4 na equação da reta obtemos o ponto 5 4 13 4 17 4 que é portanto o ponto de intersecção de r com π CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS Exemplo 57 Mostre que a equação do plano que passa pelos pontos x0 y0 z0 e x1 y1 z1 e é paralelo a reta Exemplo 510 A reta r é dada como interseção de dois planos CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS CAPÍTULO 5 POSIÇÕES RELATIVAS 124 a um ponto b uma reta c três retas distintas e paralelas Ângulos e Distância CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 126 Lembramos que a função arccosx retorna um ângulo x tal que 0 x π Como cosx cosx o ângulo que obtemos acima é não orientado ou seja obtemos apenas o valor absoluto do ângulo Em outras palavras nesta definição o ângulo entre a reta r e a reta s é o mesmo que o ângulo entre a reta s e a reta r Observamos também que entre duas retas não paralelas sempre existem dois ângulos possíveis e o ângulo que encontramos não é necessariamente o menor deles ou seja o ângulo agudo Em algumas situações é desejável conhecermos o ângulo agudo entre as retas r e a reta s Para isto observe que se u v 0 então u v u v 0 Portanto arccos u v u v π 2 e o objetivo foi alcançado Caso contrário se u v 0 temos que π 2 arccos u v u v π e estamos interessados portanto no ângulo suplementar π θ Mas note que cosπθ cosθ e portanto substituindo em 61 obtemos que se uv 0 então cosπ θ u v u v u v u v 62 Desta forma se denotarmos por α o ângulo agudo entre as retas r e s temos que cos α u v u v com 0 α π Exemplo 61 Encontre o ângulo entre as reta r X 1 2 1 1 1 0t e s x 2 12 y 3 12 z 7 1 2 Solução A reta r tem vetor diretor 1 1 0 e a reta s tem vetor direto 12 12 1 2 E assim cos θ 1 1 012 12 1 2 1 1 012 12 1 2 1 2 2 2 e logo θ π 4 É importante observar que para medir o ângulo entre duas retas não é necessário que estas se interceptem já que a nossa definição de ângulos entre retas é na verdade o ângulo entre os vetores CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA Neste caso como 0 m2 m11 m211 m22 1 temos que 0 φ π2 Outro modo de determinar o ângulo entre duas retas no plano é lembrando que o coeficiente angular é tangente do ângulo orientado no sentido antihorário entre a reta e x parte positiva do eixo x Assim dadas duas retas de coeficientes angulares m1 tgφ1 e m2 tgφ2 Pela figura 63 temos que θ φ2 φ1 e logo tg θ tg φ2 tg φ1 1 tg φ1 tg φ2 m2 m1 1 m1m2 Uma vantagem da expressão θ arctg m2 m1 1 m1m2 é que o ângulo determinado por esta é o ângulo orientado entre as retas r1 e r2 Dados duas retas de coeficientes angulares m1m2 então o ângulo entre elas é dado por cos θ 1 m1m21 m211 m22 sen θ 1 m211 m22 m2 m1 1 m1m2 tg θ m2 m1 1 m1m2 Exemplo 63 Ache o ângulo entre as retas 2x y 3 e x 3y 4 Solução Neste caso temos que tg θ 13 2 1 132 7 CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 129 E assim θ arctg7 818699 1 2 3 1 β Exemplo 64 Ache duas retas que passe pelo ponto 2 2 e que faça um angulo de 45com a reta 2x 3y 4 Solução Inicialmente vamos encontrar o coeficiente angular dessas retas Para isso observamos que tg 45 1 2 3 m 1 2 3m E dessa forma 1 2 3m 2 3 m e logo 5 3m 1 3 e assim m 1 5 Logo a equação da reta é y 2 1 5x 2 No caso tg 45 1 m 2 3 1 2 3m E dessa forma m 5 Logo a equação da reta é y 2 5x 2 Exercícios Ex 61 Ache o ângulo agudo entre as retas 3x 4y 2 0 e 2x 3y 7 Ex 62 Qual o ângulo entre o eixo x e 5x 12 3 CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA Ex 63 Ache duas retas passando por 1 1 que faz um ângulo de 45º com 3x 4y 7 Ex 64 Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são 2 1 1 2 3 2 Veja se eles somam 180º Ex 65 Seja α um dos ângulos formados pelas retas ax by c e y px q Dê uma expressão para cos α Ex 66 Escreva a equação da reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45 com a reta y3 2 1 Ex 67 Mostrar que os quatro pontos 2 2 5 6 9 9 e 6 5 são os vértices de um losango e que suas diagonais se cortam mutuamente ao meio e uma é perpendicular a outra Ex 68 O segmento retilíneo que une os pontos médios de dois lados opostos de qualquer quadrilátero e o segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais do quadrilátero cortamse mutuamente ao meio Ex 69 Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 1 2 1 e é perpendicular às retas r 13 0 1 2 1t e s 2 1 0 111t Ex 610 Determine as equações paramétricas da reta perpendicular às retas x 3t 7 y 2t 4 z 3t 4 e x t 1 y 2t 9 z t 12 Ângulo entre uma Reta e um Plano O ângulo θ entre uma reta r e um plano π é definido como o ângulo complementar ao ângulo agudo entre o vetor diretor a essa reta e o vetor normal ao plano ver figura 64 Se v é um vetor diretor da reta r e n é um vetor normal ao plano π então senθ sen π 2 α cosα CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 131 e logo senθ v n v n n α θ Fig 64 Ângulo θ entre uma reta e um plano Dizemos que um plano π com vetor normal n e uma reta r com vetor diretor v são ortogonais se o ângulo entre eles é π 2 ou equivalentemente se os vetores v e n são paralelos Exemplo 65 Determine o ângulo entre a reta X 6 7 0 1 1 0t e o plano de equação vetorial X 8 4 2 1 0 2t 1 2 0s Solução Vamos encontrar inicialmente um vetor normal a esse plano n 1 0 2 1 2 0 4 2 2 Logo o angulo entre a reta é o plano é dado por senθ 1 1 0 4 2 2 2 24 3 2 e assim θ π 3 Exemplo 66 Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto 1 2 1 e que é perpendicular a reta X 1 0 0 1 3 1t Solução O vetor normal ao plano pode ser escolhido como 1 3 1 e assim a equação geral desse plano é x 3y z d Como o ponto 1 2 1 pertence ao plano ele satisfaz a equação do plano ie 1 3 2 1 d Logo d 6 e a equação geral do plano é x 3y z 6 Desta forma a equação vetorial da reta é r C A 0 BAt Escolhendo A C A 0 e B A v temos que AP p C A q e temos dP r AP v v onde o vetor AP v pode ser calculado através do seguinte determinante formal i j k B A 0 p C A q 0 e assim AP v Bq Ar Ck Segue então que AP v Ar Bs C e assim dP r Ap Bq CA2 B2 Observe que fazendo A 0 na expressão acima recuperamos a expressão encontrada para retas paralelas ao eixo x e portanto esta fórmula pode ser usada em qualquer caso Exemplo 69 Calcule a distância do ponto 1 3 a reta 4x 2y 3 0 Solução d 4 1 2 3 316 4 520 Exemplo 610 Existem duas pontos cujas coordenadas x são iguais a 3 e que distam 6 da reta r 5x12y3 0 Ache as coordenadas y desse ponto Solução Ambos os pontos podem ser representados como 3 s Para esses pontos temos d 5312s313 6 e logo 18 12s 78 e logo s 5 ou s 8 E os pontos são 3 5 e 38 CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 132 Ângulo entre dois Planos O ângulo entre dois planos π1 e π2 é definido como o ângulo agudo entre os vetores normais n1 e n2 cosθ n1 n2 n1 n2 n1 n2 θ Fig 65 Dois planos π1 e π2 com vetores normais n1 e n2 respectivamente são ditos ortogonais se o ângulo entre eles é π 2 o que implica que seus vetores diretores são perpendiculares ie n1 n2 0 Exemplo 67 Determine a equação do plano que contém o ponto 1 0 1 e que é perpendicular aos planos 2x y z 2 e x z 7 Solução O vetor n normal ao plano será ortogonal aos vetores 2 1 1 e 1 0 1 E assim n 2 1 1 1 0 1 1 3 1 Logo a equação geral do plano é da forma x3y z d Como o ponto 1 0 1 pertence ao plano d 1 3 0 1 2 E a equação geral é x 3y z 2 CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 133 Exercícios Ex 611 Ache os ângulos entre os planos a 3x y z 2 e x y 6 b x 2y 3z 8 e 2x 4y 6z 31 0 c x 0 e y 0 d x 1 e x y 1 Ex 612 Escreva a equação vetorial do plano que passa pelo ponto P e é perpendicular as planos rn1 D1 0 rn1 D1 0 Escreva também a equação geral desse plano dado que P x0 y0 z0 n1 a1 b1 c1 n1 a2 b2 c2 Ex 613 Ache a equação do plano perpendicular ao plano xz que contem o ponto 1 2 3 e que faz um ângulo de π 4 com 3x 2y z 1 62 Distâncias Passemos agora a um novo problema definir e determinar a distância entre dois objetos ponto reta ou plano no espaço Sabemos facilmente como determinar a distância entre dois pontos no espaço Bastando para isso medir o tamanho do vetor determinado por estes pontos Mas como medir a distância entres outros dois objetos Este será nosso objetivo nesta seção Distância de um ponto a uma reta A distância entre um ponto P e uma reta r é definida como a distância entre P e ponto A r mais próximo de P Para determinar a distância de P a r sejam A e B dois pontos de r e considere o triângulo ABP A área do triangulo ABP pode ser calculada usando o produto vetorial e assim temos A 1 2 AP AB CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 134 h r b A b B b P Por outro lado usando que a área do triângulo é metade da base vezes a altura temos A ABh 2 e assim AP AB ABh e logo h dP r AP AB AB Exemplo 68 Calcule a distância do ponto P 1 0 2 a reta r 1 0 1 2 0 1t Solução Escolhemos A 1 0 1 e B 3 0 2 E assim AP 0 0 1 e AB 2 0 1 dP r 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 5 Distância de um ponto a uma reta no plano o caso bidimensional Assim como nas seções anteriores o caso bidimensional pode ser estudado separadamente Que remos então utilizar as expressões determinadas anteriormente para encontrar uma maneira de expressar a distância do ponto P p q a reta Ax By C 0 Começaremos tratando o caso onde a reta é paralela ao eixo x A 0 Neste caso a reta terá equação y C B e a distância será dada pela diferença entre a coordenada y do ponto e da reta ou seja dP r q C B Se a reta r não é paralela ao eixo y então ela intercepta o eixo x no ponto C A 0 e seu vetor diretor pode ser escolhido como v Bi Aj por quê CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 137 dP π b A n b P Se na expressão anterior tomarmos P x0 y0 z0 A a1 a2 a3 e supormos que o plano π tem equação geral ax by cz d teremos que o vetor normal a este plano é n a b c e portanto dP π ax0 x1 by0 y1 cy0 y1 a2 b2 c2 63 ax0 by0 cy0 ax1 by1 cy1 a2 b2 c2 64 Como o ponto A pertence ao plano temos que ax0 by0 cy0 d e assim dP π ax0 by0 cy0 d a2 b2 c2 65 Observe que como seria de se esperar a distância não depende do ponto A escolhido Exercícios Ex 68 Determine a distância entre os planos dados e a origem a x 5 b x y 1 c 2x y z 0 d 2x y z 2 Ex 69 Se a distância da origem a um plano é d e esse plano intercepta os eixos em a 0 0 0 b 0 e 0 0 c prove que 1 d2 1 a2 1 b2 1 c2 CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 138 Distância entre Duas Retas Seguindo as ideias utilizadas nos casos anteriores a distância entre duas retas r e s será definida como a menor distância entre um ponto r e um ponto de s Sejam então r s duas retas no espaço tais que r A ut e s B vt Se as retas forem coincidentes ou concorrentes claramente a distância entre elas é nula Se as retas forem paralelas e não coincidentes a distância entre elas é igual a distância de um ponto P qualquer de r a s e assim essa distância pode ser calculada usando os conhecimentos obtidos na seção anterior b b b b P dr s Se as retas r e s forem reversas começamos escolhendo um ponto P sobre r e um ponto Q sobre s Projetamos então o vetor PQ sobre o vetor n u v que é ortogonal as retas r e s A norma dessa projeção é a distância entre as retas n b P b Q PQ b A b B v u Fig 66 Distância entre retas reversas Como Projn PQ PQ n n n e assim CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 143 Exercícios Ex 61 Ache a distância da reta 6 r cos θ 3 sen θ a origem Ex 62 Ache o tamanho e a direção do segmento que liga a perpendicularmente origem a reta abaixo 2 r 4 cos θ 3 sen θ Ex 63 Identifique e desenhe as seguintes retas colocando as na forma padrão Confira suas respostas usando coordenadas cartesianas a r cos θ 3 b r sen θ 3 c r5 cos θ sen θ 3 2 d 55 cos θ 12 sen θ 39 Ex 64 Mostre que se uma reta é paralela ao eixo x e dista h da origem então sua equação é dada por r sen θ h Ex 65 Mostre que se uma reta é paralela ao eixo y e dista h da origem então sua equação é dada por r cos θ h ou por r cos θ h dependendo se a reta se encontra a esquerda ou a direita do eixo y Ex 66 Mostre que a equação da reta ligando os pontos de coordenadas polares r1 θ1 r2 θ2 é dada por senθ2 θ1 r senθ θ1 r2 senθ2 θ r1 Ex 67 Dada a equação C r fθ com fθ a cosθ α b cosθ β a Mostre que esta equação representa uma linha reta CAPÍTULO 6 ÂNGULOS E DISTÂNCIA 144 b Conclua que C2 r fθ π2 também representa uma linha reta E que essa reta é perpen dicular a reta de equação C r fθ c Mostre finalmente que todas as retas perpendiculares a C r fθ são da forma C2 r fθ π2 para algum C2 CAPÍTULO 7 CÍRCULOS E ESFERAS 148 Solução Completando os quadrados temos x2 2x 1 y2 4y 4 z2 8z 16 1 4 16 12 0 Daí segue que x 12 y 22 z 42 9 E logo o centro dessa esfera é 1 2 4 e o raio é 3 Círculo por três pontos É conhecido que três pontos não colineares determinam um único círculo Assim sendo fixados P1 P2 e P3 não colineares podemos facilmente encontrar a equação do círculo que passa por tais pontos Tal equação pode ser encontrada observando que a equação geral de um círculo é da forma x2 y2 Ax By C 0 e que um ponto pertence ao círculo se e somente se suas coordenadas satisfazem tal equação A substituição de cada ponto resulta assim numa equação linear nas variáveis A B C e assim o fato dos três pontos pertencerem ao círculo nos fornecem um sistema linear em três equações e três variáveis A B C Resolvendo tal sistema encontramos então a equação do círculo Exemplo 76 Determine a equação do círculo que passa pelos pontos 1 2 0 1 e 3 2 Solução Substituindo os pontos na equação temos o sistema 5 A 2B C 0 1 B C 0 13 3A 2B C cujas solução é A 4 B 0 C 1 E logo a equação é x2 y2 4x 1 0 Completando quadrado obtemos então x2 4x 4 y2 4 1 0 Donde segue x 22 y2 5 CAPÍTULO 7 CÍRCULOS E ESFERAS 149 Desse modo vemos que o círculo que passa por tais pontos tem centro 2 0 e raio 5 É possível encontrar a equação de um círculo por três pontos não colineares de uma outra ma neira Para esse fim consideramos o triângulo determinado pelos pontos P1 P2 P3 e esse circuns crito na circunferência Assim o seu centro é o circuncentro desse triângulo isto é o encontro das mediatrizes b P1 b P3 b P2 b b b Centro Exemplo 77 Determine a equação do círculo que passa pelos pontos 1 2 0 1 e 3 2 Solução A equação da reta passando pelos pontos 1 2 0 1 é y 1 x e como o ponto médio desses pontos é 1 2 3 2 temos que a mediatriz relativa a esse lado é y 3 2 x 1 2 lembrando que como a mediatriz é perpendicular ao lado seu coeficiente angular é igual a menos o inverso do coeficiente da reta De modo análogo a equação da reta passando pelos pontos 0 1 e 3 2 é y x 3 1 e a equação da mediatriz é 3x 6 y temos o sistema 3x 6 y y 3 2 x 1 2 cujas solução é x 2 y 0 ou seja o centro da circunferência é 2 0 O raio pode ser calculado observando que este será a distância do centro 2 0 a um dos vértices do triângulo por exemplo 0 1 Assim r2 5 e logo a equação é x 22 y2 5 Exemplo 78 Obtenha a equação da esfera que passa pelos pontos 0 0 1 2 0 0 1 1 1 0 1 0 CAPÍTULO 7 CÍRCULOS E ESFERAS 151 Ex 72 Identifique dando o centro e o raio a x2 y2 4x 6y 12 b x2 y2 2x 4y 5 c x2 y2 2ax d 4x2 4x 5y 4y2 e x2 y2 z2 2az Ex 73 Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos 4 0 0 3 e a origem Ex 74 Encontre a equação dos seguintes círculos a Tangente aos eixos coordenados coordenados no segundo quadrante e com raio r 4 b Tangente ao eixo x ao eixo y e a linha que intercepta o eixo x e o eixo y em 3 e 2 respecti vamente Ex 75 Verifique que as equações abaixo descrevem esferas em caso afirmativo identifique o centro e o raio a x2 y2 z2 2x 4y 10 0 b x2 6x y2 4y z2 14z 58 c x2 y2 6y z2 4z 16 d x2 2x y2 4y z2 6z 29 Ex 76 Dados P1 x1 y1 z1 e P2 x2 y2 z2 então a equação da esfera que tem P1P2 como diâmetro é x x1 x x2 y y1 y y2 z z1 z z2 0 72 Retas Tangentes e Planos Tangentes Uma reta é dita tangente a um círculo se a intersecção entre essa reta e o círculo for somente um ponto Para uma reta tangente o seu vetor diretor é perpendicular ao vetor ligando o raio ao ponto de intersecção Além disso a distância do centro do círculo a reta tangente é igual ao raio do círculo De modo análogo dizemos que um plano é tangente a uma esfera se esse plano interceptar a esfera num único ponto Nesse caso o vetor normal ao plano é paralelo ao vetor radial ligando o CAPÍTULO 7 CÍRCULOS E ESFERAS 152 b A b B r Fig 73 Reta tangente a um círculo centro da esfera ao ponto onde o plano intercepta a esfera E a distância do plano tangente ao centro da esfera é igual ao raio da mesma b b n Fig 74 Plano tangente a uma esfera Exemplo 79 Encontre a reta tangente ao círculo de equação x2 y2 2y 4x 0 no ponto 3 3 Solução Completando quadrados podemos colocar a equação x2 y2 2y 4x 0 na forma reduzida x 22 y 12 0 Logo o centro do círculo tem coordenadas 2 1 Logo o vetor ligando o centro do círculo ao ponto 3 3 é i 2k e assim o coeficiente angular da reta passando por estes pontos é igual a 2 Logo o coeficiente da reta tangente é 1 2 Por quê Tente escrever a equação da reta tangente na forma CAPÍTULO 7 CÍRCULOS E ESFERAS 153 padrão obtendo antes equações paramétricas para a mesma E assim a equação da reta tangente é y 3 1 2x 3 ou x 2y 9 b3 3 b2 1 a Podemos generalizar o exemplo anterior Dado um círculo de equação x a2 y b2 r2 Vamos calcular a equação da reta tangente no ponto x1 y1 Para tanto consideraremos o vetor ligando o centro do círculo ao ponto de tangencia x1 ai y1 bj Consequentemente a inclinação da reta passando por esses pontos é y1 b x1 a Logo o coeficiente angular da reta tangente é x1 a y1 b E assim a equação da reta tangente é da forma y y1 x1 a y1 b x x1 e logo y y1y1 b x1 ax x1 e assim expandindo x1 ax y1 by k para alguma constante k Somando x1 aa y1 bb em ambos os lados da equação obtemos x1 ax a y1 by b k2 para alguma constante k2 que determinaremosagora Se substituirmos x x1 e y y1 teremos que k2 x1 a2 y1 b2 r2 CAPÍTULO 7 CÍRCULOS E ESFERAS 154 e assim a equação da reta tangente no ponto x1 y1 é x1 ax a y1 by b r2 Exemplo 710 Obtenha as equações dos planos tangentes a esfera 3 2x x2 4y y2 2z z2 0 que são paralelos ao plano x 2y 2z 3 Solução Completando quadrados temos que a equação da esfera pode ser escrita como x 12 y 22 z 12 9 Logo o centro dessa esfera é 1 2 1 e o raio é 3 A equação geral de um plano paralelo a x2y 2z 3 tem equação da forma x2y 2z d Como esse plano é tangente a esfera a distância do centro dessas esferas ao plano é igual ao raio dessa esfera E assim dC π 1 22 21 d 9 3 e logo d 6 ou d 12 e assim as equações dos planos são x2y 2z 6 e x2y 2z 12 Exercícios Ex 71 Encontre a equação a reta tangente no ponto indicado a x2 y2 25 3 4 b x2 y2 2x 4y origem c Encontre as retas tangentes ao circulo x2 y2 4x que passam pelo ponto 3 2 d Uma corda da circunferência x2 y2 25 se encontra sobre a reta cuja equação é x 7y 25 0 Qual o comprimento dessa corda Ex 72 Para um triângulo qualquer encontrar a a equação da circunferência circunscrita ao triângulo b a equação da circunferência inscrita ao triângulo c a equação da circunferência que passa pelos pontos médios dos lados do triângulo CAPÍTULO 7 CÍRCULOS E ESFERAS 156 Ex 713 Calcule a distância do ponto 2 3 4 à esfera x2 4x y2 2y z2 4 Ex 714 Determine a equação da esfera cujo centro é 3 2 2 é que é tangente ao plano x y z 1 0 1 3 1 0 t 2 0 1 s Ex 715 Determine a equação da esfera cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos pontos 3 4 2 e 6 2 1 Ex 716 A equação de uma esfera é x2 y2 z2 6y 4z 9 0 Determinar a equação da esfera concêntrica que é tangente ao plano x y z 1 0 1 1 2 1 1 s 1 0 1 t Ex 717 Encontre os planos tangentes a esfera x2 y2 z 12 1 que são paralelos ao plano 4x y 3z 2 Ex 718 Encontre a equação dos planos que contem a reta r e são tangentes a esfera S r x 6 2 y 3 z 1 e S x2 y2 z2 4x 2y 4z 4 0 73 Circunferência em coordenadas polares Centrada na Origem O caso mais simples ocorre quando a circunferência está centrada na origem nesse caso a circunferência é o conjunto de pontos que distam uma constante a da origem ou seja a equação em coordenadas polares é r a É fácil de ver que essa equação coincide com a em equação em coordenadas cartesianas Observe que em coordenadas cartesianas P x y pertence a tal círculo se e somente se x a cos θ e CAPÍTULO 7 CÍRCULOS E ESFERAS 158 Ex 74 Mostre que para todos os valores de a a reta r cosθ α a r1 cos α é tangente ao círculo r2 2rr1 cos θ r2 1 a2 0 8 Cônicas 81 Introdução As curvas cônicas ou seções cônicas são as curvas obtidas pela intersecção de um cone com planos que não contenham o vértice desse cone Existem essencialmente três tipos de cônicas que podem ser obtidas a partir de um cone cuja reta geratriz faz ângulo α com o eixo desse cone parábola obtida pela intersecção do cone com um plano que forma ângulo α com o eixo do cone elipse obtida pela intersecção do cone com um plano que forma um ângulo θ α com o eixo do cone hipérbole obtida pela intersecção do cone com um plano que forma um ângulo θ α com o eixo do cone Podese mostrar que o lugar geométrico de tais curvas num plano pode ser caracterizado por relações envolvendo a distância de seus pontos a seus focos e retas diretrizes como descrito a seguir ver Seção 86 Assim sendo definimos Definição 81 Uma elipse E de focos F1 e F2 de eixo maior medindo 2a F1F2 é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2é igual a 2a Ou seja 159 CAPÍTULO 8 CÔNICAS 161 Definição 83 Uma parábola P de foco F e reta diretriz d é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias ao ponto F e a reta d são iguais Ou seja dados F e d dizemos que P é um ponto da parábola P se somente se FP dP d 83 82 Elipse r s b F2 b F1 E bB1 bB2 b O b A2 b A1 Fig 81 Elipse Conforme descrito na Definição 81 uma elipse E é o lugar geométrico formado por pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante Nesta seção estudaremos a equação chamada forma canônica da elipse que representa uma elipse alinhada com plano cartesiano e centrada em sua origem Antes porém fixemos a terminologia bá sica envolvida no estudo de elipses Terminologia Os pontos F1 e F2 descritos na Definição 81 são denominados focos da elipse O segmento F1F2 de comprimento 2c é o segmento focal da elipse e 2c é a distância focal da elipse A reta r contendo F1 e F2 é denominada reta focal da elipse A intersecção de E com r consiste de dois pon tos A1 e A2 que são os vértices da elipse so bre a reta focal O segmento A1A2 de com primento 2a é o chamado eixo focal da elipse ou eixo maior da elipse O ponto médio O r do segmento F1F2 é o centro da elipse A reta s perpendicular a r por O é a reta não focal da elipse A intersecção de E com s consiste de dois pon tos B1 e B2 que são os vértices da elipse sobre CAPÍTULO 8 CÔNICAS 167 y x b F2 b F1 E b O b B2 b B1 0 b b A2 b A1 a 0 b P0 b P1 Fig 84 Esboço da Elipse Exemplos Exemplo 811 Determine a equação da elipse de focos 3 0 e 3 0 e vértices 0 4 e 0 4 Solução Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos no eixo Ox pois a segunda coor denada dos focos é 0 Então usando a mesma notação da Proposição 86 temos c 3 e b 4 e como a2 b2 c2 segue que a 5 Desse modo a equação procurada é x2 25 y2 16 1 que é uma elipse com vértices A1 5 0 A2 5 0 B1 0 4 B2 0 4 e focos F1 3 0 e F2 3 0 Exemplo 812 Determine a equação da elipse de focos 0 4 e 0 4 e eixo maior medindo 12 Solução Nesse exemplo temos uma elipse de focos no eixo Oy pois a primeira coordenada dos focos é 0 Assim usando a notação da Observação 815 temos c 4 e 2a 12 e como a2 b2 c2 segue que b 2 5 Desse modo a equação procurada é x2 20 y2 36 1 CAPÍTULO 8 CÔNICAS 169 Terminologia Os pontos F1 e F2 descritos na Definição 82 são denominados focos da hipérbole O segmento F1F2 de comprimento 2c é o segmento focal da hipérbole e 2c é a distância focal da hipérbole A reta r contendo F1 e F2 é denominada reta focal da hipérbole A intersecção de H com r consiste de dois pontos A1 e A2 que são os vértices da hipér bole sobre a reta focal O segmento A1A2 de comprimento 2a é o chamado eixo transverso da hipérbole O ponto médio O r do segmento F1F2 é o centro da hipérbole O segmento B1B2 de comprimento 2b onde c2 a2 b2 cujos extremos B1 e B2 es tão simetricamente localizados em relação ao centro O da hipérbole sobre a reta s perpendi cular a r por O é denominado eixo conjugado da hipérbole Os números a b e c são conhecidos como pa râmetros geométricos da hipérbole As retas r e r pelo centro O de inclinação ba e ba respectivamente são as assíntotas da hipérbole ver Subseção 83 Qualquer segmento cujos extremos estão so bre H é denominado corda da hipérbole Chamamos de amplitude focal da hipérbole o comprimento de uma corda que contenha um dos focos da hipérbole e que seja perpendicu lar à reta focal desta O retângulo fundamental da hipérbole é a região retangular R x y E2 x a a y b b CAPÍTULO 8 CÔNICAS 170 Uma hipérbole é dita equilátera quando os pa râmetros geométricos a e b dessa hipérbole são iguais Equação da Hipérbole Escrevendo a equação 82 apresentada na Definição 82 e manipulandoa algébricamente de modo análogo ao que fizemos para a elipse chegamos ao seguinte resultado Proposição 814 Uma hipérbole H de focos F1 c 0 e F2 c 0 e eixo transverso medindo 2a tem equação x2 a2 y2 b2 1 87 onde b é tal que c2 a2 b2 Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da hipérbole ou equação reduzida da hipérbole Observação 815 Se na dedução da equação da hipérbole tivéssemos partido de focos localizados sobre o eixo Oy ou seja F1 0 c e F2 0 c teríamos chegado à equação y2 a2 x2 b2 1 Assíntotas Definição 816 Uma reta r de equação y mxn é dita ser uma assíntota de uma dada função f a R em a R se a distância entre o gráfico de f a reta r tende a zero quando x vai para infinito isto é se lim x dP r 0 88 onde P x fx Analogamente podemos definir assíntota de f em A proposíção abaixo mostra que hipérboles admitem duas assíntotas Proposição 817 As retas r e r de equações r y b ax e r y b ax são assíntotas da hipérbole H de equação x2 a2 y2 b2 1 CAPÍTULO 8 CÔNICAS 174 Donde a2 16 ou seja a 4 Usando novamente que b 3 2a obtemos então b 6 Logo chegamos à equação H x2 16 y2 36 1 Focos no eixo Oy Seja agora y2 a2 x2 b2 1 a equação da hipérbole procurada Como a reta 3x 2y 0 que é a também a reta de equação x 2 3y é uma das assíntotas obtemos b a 2 3 ou seja b 2 3a Usando que P H obtemos 62 a2 4 22 b2 1 Usando que b 3 2a e simplificando a equação chegamos a 36 a2 1 Como a2 0 observamos que não existe a tal que a igualdade acima seja satisfeita ou seja não existe hipérbole com focos no eixo Oy contendo P e com assíntota 3x 2y 0 Conclusão A única hipérbole cuja equação resolve o problema é H x2 16 y2 36 1 Exemplo 822 Encontre o centro os focos e vértices da hipérbole de equação 9x2 4y2 18x 8y 31 0 Solução Tentaremos aqui manipular a equação dada de forma a obter uma equação da forma x x02 a2 y y02 b2 1 CAPÍTULO 8 CÔNICAS 175 que representa uma hipérbole de centro C x0 y0 focos F1 x0 c y0 e F2 x0 c y0 onde c2 a2 b2 e vértices V1 x0 a y0 e V1 x0 a y0 Comecemos completando quadrados escrevendo 9x2 18x 9 4y2 8y 4 9 4 31 0 Donde temos 9x 12 4y 12 36 E finalmente x 12 4 y 12 9 1 Tal equação representa uma hipérbole de centro C 1 1 de parâmetros a 2 b 4 e c 2 5 Logo temos focos F1 1 2 5 1 e F2 1 2 5 1 e vértices V1 3 1 e V1 1 1 84 Parábola b F d b O V P y x b A b B Fig 86 Parábola Conforme descrito na Definição 83 uma parábola P de foco F e reta diretriz d é o lugar geométrico formado pelos pontos do plano cujas distâncias a F e d são iguais Nesta seção estudaremos funções quadráticas de uma variável cujos gráficos representam pará bolas com retas diretrizes paralelas aos eixos coor denados Em particular veremos a chamada forma canônica da parábola que é a equação que repre senta uma parábola com vértice na origem foco so bre um dos eixos coordenados e reta diretriz paralela ao outro eixo coordenado Terminologia O ponto F descrito na Definição 83 é denominado foco da parábola A reta d também descrita na Definição 83 é denominada diretriz da parábola A distância 2p entre o foco F e a reta diretriz d da parábola é chamada parâmetro da parábola O ponto V de intersecção da perpendicular à d por F com a parábola é o vértice da parábola CAPÍTULO 8 CÔNICAS 186 86 Construções de Dandelin Elipse Fig 88 Elipse Dado um cone com ângulo de abertura 2α e um plano π que intersepta o cone e faz um ângulo su perior à α com o eixo do cone temos na intersecção uma elipse É possível encontrar duas esferas S1 e S2 que tangenciam o plano π e o cone internamente ver Figura 88 Tais esferas são conhecidas como esferas de Dandelin da elipse Mostremos usando as esferas de Dandelin que a soma das distâncias de um ponto X da elipse aos focos F1 e F2 é constante isto é F1X F2X k onde k é um número real fixado obviamente maior que a distância focal da elipse Suponha que S1 e S2 tangenciam o cone nos cír culos C1 e C2 respectivamente Seja X um ponto qualque da elipse A reta OX que passa por X e pelo vértice O do cone intersepta C1 e C2 em pontos H1 e H2 respectivamente Observe que a soma XH1 XH2 inde pende do ponto X da elipse medindo sempre H1H2 Parábola X π γ b O bD b b B b C α β θ φ Mostraremos no que se segue que a curva parábola for mada pela intersecção de um cone de ângulo de abertura 2α e vértice O com plano π que faz um ângulo α com o eixo do cone obedece de fato a equação FX ηdX r com η 1 onde F é o foco da parábola r a sua diretriz e X um ponto qualquer da cônica Considere a esfera simultaneamente tangente interna ao cone e tangente ao plano π Seja γ o plano que contém CAPÍTULO 8 CÔNICAS 189 Isolando r segue que r ηp 1 η cos θ x y b O bX b A θ Fig 811 Cônica coordenadas polares Suponha agora que que a cônica está localizada em re lação a l no lado oposto a F como na Figura 811 A equa ção FX ηdX l tornase então r ηr cos θ p Donde segue r ηp η cos θ 1 Observe no entanto que como r é positivo para que a equação acima represente um lugar geométrico não vazio devemos ter η 1 ou seja a cônica deve ser uma hipérbole Temos então Teorema 842 Considere uma cônica com excentricidade η foco F na origem e com uma diretriz l distando p de F e perpendicular ao eixo polar Ox Se 0 η 1 a cônica é uma elipse η 0 1 ou uma parábola η 1 e todo ponto da curva está localizado no mesmo semiplano em relação a l que F Nesse caso a cônica tem equação r ηp η cos θ 1 813 Se η 1 a curva é uma hipérbole com ramos em ambos os lados de l O ramo à esquerda de l satisfaz a Equação 813 e o ramo à direita de l satisfaz r ηp η cos θ 1 814 88 Cônicas e a Trajetória dos Planetas Nesta seção mostraremos a partir das leis de Newton que a trajetória de planetas sujeitos apenas a força gravitacional exercida por um sol é uma cônica Tal trajetória será uma elipse parábola ou hipérbole dependendo da velocidade inicial do planeta A prova que fazemos aqui foi fortemente inspirada na demonstração das leis de Kepler apresentada no livro Calculus Volume I de Tom Apostol 1 Assim sendo suponha um sol e um planeta de massas M e m respectivamente CAPÍTULO 8 CÔNICAS 191 Observe agora que d dtv c dv dt c v dc dt a c 819 Por outro lado d dtGMur GM dur dt GM dur dθ dθ dt GM dθ dt uθ 820 Das equações 818 819 e 820 segue então que d dtv c d dtGMur Donde por integração obtemos v c GMur b onde b é um vetor constante Tomando e tal que GMe b segue que v c GMur e Multiplicando escalarmente ambos os lados da equação acima por r temos r v c GMr r e GMr1 η cos φ onde η e e φ é o ângulo entre r e e Como c r v temos por outro lado que r v c r v c c c c2 onde c c Assim temos finalmente GMr1 η cos φ c2 Fazendo p c2 GMη e isolando r segue a equação r ηp η cos φ 1 que é a equação de uma cônica com foco no sol e excentricidade η como queríamos demonstrar Observação 843 Observe que como e é uma constante de integração e η e temos que a excentricidade depende fundamentalmente das condições iniciais do movimento isto é da posição e velocidade iniciais do planeta Verifique 9 Curvas 91 Parametrização de Curvas No Capítulo 4 estudamos as equações de uma reta no espaço e vimos que tal entidade geométrica pode ser representada pelas equações paramétricas r x a v1t y b v2t z c v3t 91 onde S0 a b c é um ponto da reta r e v v1 v2 v3 é um vetor paralelo a r A y x z Xt xtytzt Fig 91 Curva Parametrizada Nesse ponto observamos que a reta representada pelas equações 91 pode ser interpretada como a trajetória no espaço E3 descrita por um corpo em movimento retilíneo uniforme com posição 192 CAPÍTULO 9 CURVAS 193 inicial S0 e velocidade v Assim as equações 91 são meramente a representação em coordenadas da clássica equação da física St S0 vt na qual St xt yt zt descreve a posição do corpo em questão no instante de tempo t Um dos objetivos desse capítulo será o de representar outras curvas no espaço de modo seme lhante isto é imaginando um corpo que se move livremente pelo espaço e descrevendo a posição Xt xt yt zt desse corpo no instante t onde agora x y e z são funções não necessari amente lineares de R em R ver Figura 91 Nesse intuito podemos então definir Definição 91 Uma curva parametrizada no espaço com parâmetro t é função contínua no qual I a b é um intervalo da reta real De modo análogo podemos definir uma curva no plano como uma função contínua X I R2 Usualmente pedimos uma certa regularidade para as funções xt yt e zt pedimos tenham derivadas de toda ordem para que seja possível definir um vetor velocidade um vetor aceleração etc Observamos que no caso de uma curva qualquer o vetor velocidade que era constante nas equa ções da reta agora é um vetor tangente a curva que varia com o parâmetro t Definição 92 Dado uma curva X I R3 Xt xt yt zt com xt yt e zt diferenciáveis então o vetor tangente é dado pela derivada Xt xt yt zt da função X em relação a t O processo de descrever uma curva geométrica como uma função X I R3 é conhecido como parametrização Exemplo 93 A equação mais simples para uma parábola y x2 CAPÍTULO 9 CURVAS 194 pode ser trivialmente transformada em uma parametrização utilizando um parâmetro livre t e estabelecendo x t y t2 para t Exemplo 94 Parametrize o círculo de raio 2 em R2 e descreva seu vetor tangente 2 cos t 2 sen t 2 Xt Xt x y b O b t Solução Para parametrizar o círculo utilizaremos como parâmetro o angulo t Com essa escolha temos as coordenadas de um ponto P x y pode ser descritas utilizando que x 2 cos t e que y 2 sen t Para descrevermos todos os pontos o ângulo t deve variar em 0 2π Assim a curva plana X 0 2π R2 dada por Xt 2 cos t 2 sen t descreve um círculo de raio 2 em R2 Finalmente o vetor tangente de X no instante t pode ser calculado derivando a parametrização Xt 2 cos t 2 sen t e é dado por Xt 2 sen t 2 cos t Observação 95 Uma curva X a b R2 como por exemplo a curva descrita no Exemplo 94 para a qual o ponto inicial é igual ao ponto final Xa Xb é denominada curva fechada Exemplo 96 Descreva a curva espacial cuja parametrização é Xt cos t sen t t10 CAPÍTULO 9 CURVAS 201 Fig 912 Latitude e Logitude Como podemos observar na Figura 912 podemos localizar um ponto na Terra pela sua latitude que mede o ângulo entre 90o e 90o com vértice no centro da Terra formado entre o ponto e a linha do Equador e pela sua longitude que mede o ângulo entre 180o e 180o entre o ponto e o meridiano de Greenwich tido desde 1884 como o meridiano de referência para navegação Fig 913 Coordenadas Esféricas O sistema de coordenadas esférico de grande utilidade em problemas com simetrias em relação a origem do espaço é semelhante ao sistema de latitudes e longitudes usado em navegação A única diferença é que para localizar um ponto qualquer do espaço é necessária além dos dois ângulos a distância do ponto a origem do espaço Observe que para localizar uma estrela qualquer no universo poderíamos dar a distância da mesma à Terra e a latitude e longitude do ponto onde aquela estrela estará exatamente em cima de nós Para definir um sistema de coordenadas esférico precisamos escolher um ponto de origem O e duas direções ortogonais conhecidas como zênite e referência do azimute No caso do exemplo descrito acima o zênite é dado pela direção do eixo de rotação da Terra e a referência de azimute é dada pela reta que liga o centro da Terra ao meridiano de Greenwich CAPÍTULO 9 CURVAS 203 Exemplo 917 Curva Loxodrómica Problemas com simetria esférica em geral tem uma representação mais simples em coordenadas esféricas Observe a curva desenhada por MC Escher em sua obra Sphere Spirals Tal curva é conhecida como curva loxodrómica e é a curva que cruza os meridianos sempre com o mesmo ângulo Tal curva é representada por uma linha reta na projeção de Mercator ver Wikipedia isto é se m é a inclinação da reta e t0 é o instante onde a curva cruza o Equador na projeção de Mercator teríamos xt t yt mt t0 Olhando para a curva numa esfera de raio 1 teríamos em coordenadas esféricas rt 1 θt t φt arcsintanhmt t0 π 2 Em coordenadas cartesianas no entanto tal curva seria representada pelas equações xt cos t coshmt t0 yt sen t coshmt t0 zt tanhmt t0 Observe que nos sistema cartesiano é difícil a primeira vista até mesmo saber que a curva se encontra numa esfera fato que no sistema esférico é imediato O sistema de coordenadas cilíndrico é simplificadamente o sistema de coordenadas polar do plano euclideano complementado com uma terceira coordenada para descrever a altura z do ponto em relação ao plano Oxy Para definir as coordenadas cilíndricas de um ponto é necessária a escolha de um ponto de origem O eixo Oz para marcar a altura e uma referência de azimute no plano perpendicular a Oz pela origem plano de referência As coordenadas r θ z do ponto P são definidas por distância radial dada pela distância euclideana de P ao eixo Oz azimute θ ângulo entre a referênciade azimute e a projeção de OP sobre o plano de referência altura z que é a distância de P ao plano de referência 10 Mudança de Coordenadas Ortogonais no Plano Como sabemos um sistema de coordenadas Σ no plano é um conjunto de dois vetores linearmente independentes f1 f2 ou seja uma base E para V2 e um ponto O chamado de origem do sistema de coordenadas Sabemos de modo geral que um ponto fixo P ao ser representado em diferentes sistemas de coordenadas possuirá coordenadas distintas Esse fato foi usado inúmeras vezes ao escolhermos um sistema de coordenadas para representarmos um problema o mote era que através de uma esco lha adequada para o sistema de coordenadas podemos simplificar diversos problemas de geometria analítica Neste capitulo iremos um pouco além e entenderemos a relação entre a representação em dife rentes sistemas de coordenadas através das mudanças de coordenadas isto é de algumas transfor mações que nos permitem identificar os objetos geométricos nos diferentes sistemas Mas antes de irmos ao caso geral concentraremos nossos esforços num tipo especial de mudanças de coordena das as transformações ortogonais e em especial a translação e rotação Estas apresentamse como transformações de fundamental importância para nós uma vez que levam sistemas de coordenadas cartesianos em sistemas cartesianos 101 Translação Uma translação é uma mudança de coordenadas entre dois sistemas Σ O B e1 e2 e Σ O B f1 f2 na qual as bases B e B são iguais isto é apenas O e O diferem 213 CAPÍTULO 10 MUDANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 217 2 3x2 2y2 42x 4y 133 0 3 xy x 2y 10 0 Ex 103 Dada uma equação quadrática em duas variáveis Ax2 Cxy By2 Dx Ey F 0 prove que se 4AB C2 0 então será possível eliminar os termos lineares através de uma translação Verifique que a recíproca não é verdadeira ie é possível eliminar os termos lineares de uma equação quadrática em duas variáveis através de uma translação mesmo tendo 4AB C2 0 Faça isso mostrando que por exemplo a equação quadrática 4x2 y2 4xy 2x y 0 satisfaz 4AB C2 0 porém existem infinitas translações que eliminam o termo misto Ex 104 Prove que na equação de segundo grau fx y Ax2BxyCy2DxEyF 0 quando a origem é transladada para o ponto h k o termo constante é transformado em fh k 103 Rotação Considere no plano um sistema de coordenadas Σ O e1 e2 A rotação de Σ por um ângulo α corresponde a um sistema de coordenadas Σ O f1 f2 onde os vetores f1 f2 são iguais aos vetores e1 e2 girados de α no sentido antihorário b O x y y x α Fig 102 Rotação Em coordenadas polares temos o seguinte Considere um ponto P de coordenadas r θ Subs tituindo θ por θ α rotacionamos o ponto P pelo angulo α Por quê Ou seja definindo um novo sistema de coordenadas polares por r r e θ θα obtemos um sistema de coordenadas polares rotacionado de α A partir da identificação do sistema polar com o sistema cartesianas associado temos que as CAPÍTULO 10 MUDANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 222 By2 Cxy DxEy F 0 No entanto nem toda equação nessa forma representa uma dessas cônicas Por exemplo a equação x2 y2 0 ou de modo mais conveniente x yx y 0 representa duas retas concorrentes x y 0 e x y 0 É um bom exercício observar que podemos dividir equações quadráticas do tipo Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0 em três grupos de acordo com as curvas que elas representam Equações do tipo elíptico onde C2 4AB 0 vazio ponto circunferência ou elipse Equações do tipo parabólico onde C2 4AB 0 vazio reta união de duas retas paralelas ou parábola Equações do tipo hiperbólico onde C2 4AB 0 união de duas retas concorrentes ou hipérbole Exemplo 104 Exemplos de equações quadráticas em x y 1 Equações do tipo elíptico x2 y2 1 0 Vazio x2 y2 0 Ponto x2 y2 1 0 Circunferência x2 2y2 1 0 Elipse 2 Equações do tipo parabólico x y2 x2 2xy y2 0 Uma reta x yx y 1 x2 2xy y2 x y 0 União de duas retas paralelas x y2 0 Parábola 3 Equações do tipo hiperbólico x yx y x2 y2 0 União de duas retas concorrentes x yx y 1 x2 y2 1 0 Hipérbole Para uma identificação exata da curva representada pela equação devemos através de translações e rotações obter uma equação simplificada isto é sem termos lineares e misto Para isso sugerimos o seguinte método 11 Mudança de Coordenadas no Espaço 111 Mudança de Base Dadas duas bases do espaço E e1 e2 e3 e F f1 f 2 f 3 Os vetores ei podem ser escritos como combinação linear de fi e1 a11f1 a21f2 a31f3 111 e2 a12f1 a22f2 a32f3 112 e3 a13f1 a23f2 a33f3 113 Dado um vetor qualquer ele pode ser escrito como como combinação linear de ei e de fi v xe1 ye2 ze3 v uf1 vf2 wf3 Ou de modo equivalente as coordenadas de v na base E são x y z e as coordenadas desse mesmo vetor na base F são u v w O problema que queremos resolver é o seguinte Imagine que são dadas as coordenadas do vetor v na base E Como fazemos para descobrir as coordenadas desse vetor na base F Esse problema é fácil de resolver para isso substituiremos as expressões de e1 e2 e3 na base F dadas em 111112 e 113 em v xe1 ye2 ze3 v x a11f1 a21f2 a31f3 y a12f1 a22f2 a32f3 z a13f1 a23f2 a33f3 v xa11 ya12 za13 f1 xa21 ya22 za23 f2 xa31 ya32 za33 f3 228 CAPÍTULO 11 MUDANÇA DE COORDENADAS NO ESPAÇO 231 Então a mudança da base F para a base E vale MFE MEF1 2 1 0 3 1 1 4 1 0 1 1 2 0 1 2 2 0 1 1 2 1 1 2 112 Mudança de Coordenadas Sejam dois sistemas de coordenadas Σ1 O e1 e2 e3 e Σ2 O f1 f 2 f 3 Neste caso um ponto P no espaço pode ser escrito como OP x1e1x2e2x3e3 ou como OP y1f1y2f2y3f3 Escrevendo os vetores ei na base fi teremos e1 a11f1 a21f2 a31f3 115 e2 a12f1 a22f2 a32f3 116 e3 a13f1 a23f2 a33f3 117 Então de modo analógo a seção anterior teremos que o vetor OP escrevese na base F como OP xf1 yf2 zf3 sendo x y z dados por x y z a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x1 x2 x3 e como OO OP OP Escrevendo os vetores acima no sistema de coordenadas Σ2 supondo que OO o1 o2 o3Σ2 teremos OOΣ2 OP Σ2 OP Σ2 y1 y2 y3 o1 o2 o3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x1 x2 x3 CAPÍTULO 11 MUDANÇA DE COORDENADAS NO ESPAÇO 234 Ex 114 São dados três pontos A 1 2 1 B 3 4 0 e C 2 3 4 Ache uma mudança de coordenadas de modo que esses três pontos fiquem no plano z 0 Ex 115 Faça uma translação de modo que o plano ax ay az a2 0 passe pela origem B Funções Trigonométricas Começaremos com uma definição provisória porém muito útil Para um ângulo agudo as funções trigonométricas são definidas como cateto adjacente cateto oposto hipotenusa θ sen θ cateto oposto hipotenusa cossec hipotenusa cateto oposto cos θ cateto adjacente hipotenusa sec θ hipotenusa cateto adjacente tg θ cateto oposto cateto adjacente cotg θ cateto adjacente hipotenusa As definições acima não se aplicam para ângulos obtusos e negativos porém podemos genera lizar as funções trigonométricas para um ângulo θ qualquer através do circulo trigonométrico O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coorde nadas cartesianas x y b O bP θ Para cada ângulo θ existe um único ponto P pertencente ao círculo tal que o segmento OP faz um ângulo θ com o eixo x O seno é definido como a projeção do segmento OP sobre o eixo y O cosseno é definido como a projeção do segmento OP 237 APÊNDICE B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 238 com o eixo y Isto é sen θ y cos θ x As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir tg θ sen θ cos θ sec θ 1 cos θ csc θ 1 sen θ cot θ cos θ sen θ B1 Identidades Trigonométricas Lembrando que a equação da circunferência unitária é x2 y2 1 e observando que para todo número real x o ponto de coordenadas cos x sen x está na circunferência unitária reobtemos a relação fundamental sen2 x cos2 x 1 B1 Dividindo a equação B1 por cos2 x temos tg2 x 1 sec2 x B2 De modo análogo dividindo a equação B1 por sen2 x temos 1 cotg2 x cossec2 x B3 Também temos as fórmulas para adição senx y sen x cos y cos x cos y B4 cosx y cos x cos y sen x sen y B5 Substituindo y por y nas equações anteriores senx y sen x cos y cos x cos y cosx y cos x cos y sen x sen y B6 Dividindo as expressões para senx y pelas expressões para cosx y temos tgx y tg x tg y 1 tg x tg y B7 APÊNDICE B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 239 Colocando y x nas equações B4 e B5 temos cos 2x 2 cos2 x 1 B8 cos 2x 1 2 sen2 x B9 Isolando cos2 x e sen2 x nas equações anteriores obtemos cos2 x 1 cos 2x 2 B10 sen2 x 1 cos 2x 2 B11 B2 Gráficos das Funções Trigonométricas Gráfico das Funções Seno e Cosseno Começamos observando que ambas as funções seno e cosseno são limitadas 1 sen x 1 1 cos x 1 B12 E que que a função seno é ímpar pois senx senx para todo x R enquanto que a função cosseno é par pois cosx cosx para todo x R As funções seno e cosseno são periódicas pois senx 2kπ sen x para todo x R e para todok Z B13 cosx 2kπ sen x para todo x R e para todo k Z B14 Das equações B4 temos que cos x senx π 2 e sen x cosx π 2 E consequentemente o gráfico da função cosseno pode ser obtido a partir do gráfico da função seno através de uma translação horizontal para a esquerda por uma distância π2 Os gráficos das funções seno e cosseno são apresentados abaixo APÊNDICE B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 240 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 1 1 2 fx sen x π π 2 3π 2 2π 5π 2 π 2 π 3π 2 b b b b b b b b b 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 1 1 2 fx cos x π π 2 3π 2 2π 5π 2 π 2 π 3π 2 b b b b b b b b b b Gráfico das funções tangente e secante As funções tangente e secante estão definidas no domínio Rπ 2 k π k Z A função secante tem a mesma periodicidade da função cosseno mas a tangente tem período π uma vez que tgx π senx π cosx π sen x cos x sen x cos x tg x A função secante assim como a função cosseno é par Já a função tangente sendo quociente de uma função ímpar e uma par é uma função ímpar Os gráficos das funções tangente e secante estão representados abaixo 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 π 2 3π 2 5π 2 π 2 3π 2 fx tg x APÊNDICE B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 241 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 6 π 2 3π 2 5π 2 π 2 3π 2 fx sec x Gráfico das funções funções cotangente e cossecante As funções cotangente e cossecante estão definidas no domínio Rkπ k Z A função cosse cante tem a mesma periodicidade da função seno mas a cotangente tem período π 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 1 2 3 4 π 2π π 2π fx cotg x 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 4 π 2π π 2π fx cossec x APÊNDICE B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 242 B3 Funções trigonométricas inversas As funções trigonométricas definidas acima não são bijetoras em seus domínios Entretanto é pos sível falar em suas inversas desde que tomemos domínios restritos Apresentamos abaixo sem maiores detalhes as funções trigonométricas restritas a domínios nos quais são bijetoras e as res pectivas funções inversas Acompanham os respectivos gráficos Função arco seno A função sen π 2 π 2 1 1 tem por inversa a função arcsen 1 1 π 2 π 2 definida como arcsen y x sen x y 1 1 1 1 2 fx arcsen x π 2 π 2 Função arco cosseno A função cos 0 π 1 1 tem por inversa a função arccos 1 1 0 π definida como arccos y x cos x y APÊNDICE B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 243 1 1 1 2 3 fx arccos x Função arco tangente A função tg π 2 π 2 R tem por inversa a função arctg R π 2 π 2 definida como arctg y x tg x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 2 π 2 π 2 fx arctg x Função arco cotangente A função cotg 0 π R tem por inversa a função arccotg R 0 π definida como arccotg y x cotg x y APÊNDICE B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 244 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 fx arccotg x Função arco secante A função sec 0 π 2 π 2 π 1 1 tem por inversa a função arcsec 1 1 0 π 2 π 2 π definida como arcsec y x sec x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 fx arcsec x y π y π 2 Função arco cossecante A função cossec π 2 0 0 π 2 1 1 tem por inversa a função arccossec 1 1 π 2 0 0 π 2 definida como arccossec y x cossec x y APÊNDICE B FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 245 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 y π 2 y π 2 fx arccossec x C Matrizes e Sistemas Lineares C1 Matrizes Uma matriz real mn é um conjunto ordenado de números reais dispostos em m linhas e n colunas Os elementos de uma matriz serão indicados por dois índices dos quais o primeiro indica a posição na linha e o segundo na coluna Desta forma o elemento aij referese ao elemento que está na iésima linha e na jésima coluna A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Uma matriz é dita quadrada se o número de entradas é igual ao número de colunas Uma matriz 1 n é dito matriz linha e uma matriz m 1 é dita matriz coluna A matriz nula n m é a matriz cujas todas as coordenadas são 0 A matriz identidade n n é a matriz cujos termos da diagonal isto é os termos aij com i j são iguais a 1 e os termos fora da diagonal são zeros Operações com Matrizes Podemos definir a soma é a multiplicação de matrizes por escalares coordenada a coordenada Definição C1 Dadas duas matrizes n m A aij e B bij e c um escalar definimos as matrizes A B e cA como A B aij bij cA caij 246 APÊNDICE C MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 254 Ao aplicarmos as operaçõesacima a um sistema linear obtemos um novo sistema tendo as mesma soluções que o anterior Dois sistemas que possuem as mesmas soluções serão ditos equivalentes Ao utilizar as aplicações anteriores de modo sistemático podemos chegar a um sistema equivalente mais simples e cuja solução é evidente Ilustraremos a utilização dessa técnica em alguns exemplos Exemplo C15 Um sistema com solução única Considere o sistema 2x 8y 6z 30 2x y 3 4x y z 12 Vamos determinar as soluções desse sistema se existirem Solução Começaremos representando esse sistema através de sua matriz aumentada 2 8 6 30 2 1 0 3 4 1 1 12 Essa matriz é obtida adicionando a matriz de coeficientesuma coluna com a matrizde constantes No método de Gauss o primeiro objetivo é colocar um 1 na entrada superior a esquerda da matriz Para isso começamos dividido a primeira linha por 2 Fazendo isso obtemos 1 4 3 15 2 1 0 3 4 1 1 12 O próximo passo é fazer com que os outros coeficientes da primeira coluna sejam 0 Para isso multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos a segunda e multiplicamos a primeira linha por 4 e adicionamos na terceira Feito isso obtemos 1 4 3 15 0 9 6 27 0 15 11 48 Agora repetiremos o procedimento na segunda coluna ignorando a primeira linha Para isso multiplicaremos a segunda linha por 19 APÊNDICE C MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 255 1 4 3 15 0 1 2 3 3 0 15 11 48 Multiplicando a segunda linha por 15 e adicionando a terceira temos 1 4 3 15 0 1 2 3 3 0 0 1 3 E desta forma o sistema de equações correspondente é x 4y 3z 15 y 2 3z 3 z 3 E logo z 3 Substituindo na segunda equação temos y 1 e substituindo esses valores na primeira equação temos x 4 9 15 e assim x 2 Exemplo C16 Um sistema com múltiplas soluções Considere o sistema 2x 6y 2z 4w 34 3x 2y 2 2x 2y z 2w 15 Vamos determinar as soluções desse sistema se existirem Solução Neste caso a matriz aumentada é 2 6 2 4 34 3 2 0 0 2 2 2 1 2 15 APÊNDICE C MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 256 Dividindo a primeira linha por 2 temos 1 3 1 2 17 3 2 0 0 2 2 2 1 2 15 Multiplicando a primeira linha por 3 e somando na segunda e multiplicando a primeira linha por 2 e somando na terceira temos 1 3 1 2 17 0 11 3 6 53 0 4 1 2 19 Trocando a segunda linha com a terceira e dividindo posteriormente a segunda por 4 temos 1 3 1 2 17 0 1 1 4 1 2 19 4 0 11 3 6 53 Multiplicando a segunda linha por 11 e adicionando a terceira temos 1 3 1 2 17 0 1 1 4 1 2 19 4 0 0 1 4 1 2 3 4 Finalmente multiplicando a terceira linha por 4 temos 1 3 1 2 17 0 1 1 4 1 2 19 4 0 0 1 2 3 A última linha nos permite expressar z em função de w z 3 2w Substituindo o valor de z na segunda linha temos que y 4 e finalmente substituindo esses valores na primeira linha temos que x 2 1 0 0 0 2 0 1 0 0 4 0 0 1 2 3 D Wolfram Alpha e Mathematica Uma ferramenta interessante para o estudo matemática geometria cálculo álgebra linear dis ponível gratuitamente na internet é o WolframAlpha httpwwwwolframalphacom que aceita alguns dos comandos do software Wolfram Mathematica Para mais exemplos do que é possível fazer com o Wolfram Alpha veja httpwwwwolframalphacomexamples D1 Plotagem Existem alguns comandos do Mathematica que permitem a plotagem de gráficos e curvas no espaço e no plano úteis por exemplo no estudo do conteúdo do Capítulo 9 Descreverei aqui alguns comandos que podem ser útil ao estudante que quer ganhar uma intui ção com os diversos sistemas de coordenadas e com a parametrização de curvas No Plano Plotfx x xmin xmax O comando acima plota o gráfico da função fx para x entre xmin e xmax Exemplo D1 Plotar o gráfico de x3 2x2 3 entre 2 e 5 Solução 260 APÊNDICE D WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 268 Solução Inverse120311201 Resultado M1 1 2 2 1 1 1 2 4 5 APÊNDICE D WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 270 Respostas de Alguns Exercícios Referências Bibliográficas 1 APOSTOLT Calculus Vol I Wiley 1967 2 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analitica Um tratamento Vetorial Prentice Hall 2006 3 CAROLIA CALLIOLI C FEITOSA M Matrizes vetores geometria analítica Nobel 1984 4 CHATTERJEE D Analytic Solid Geometry PHI Learning 2004 5 CROWE M A history of vector analysis the evolution of the idea of a vectorial system Dover 1994 6 HILBERT D The Foundations Of Geometry Gradiva 2003 7 LEHMANN C Geometria Analítica Editora Globo 1985 8 MELLO D A WATANABER G Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica Editora Livra ria da Física 9 LEITE O Geometria analítica espacial Edicoes Loyola 1996 10 SANTOS R Matrizes Vetores e Geometria Analítica Imprensa Universitária da UFMG 2004 11 WEXLER C Analytic Geometry A vector approach AddisonWesley Publ 1961 271 Índice Remissivo 240 amplitude focal elipse 159 hipérbole 166 assíntota 167 assíntotas hipérbole 166 167 azimute 198 base 47 bases ortonormais 66 bijeção 55 braquistócrona 194 cardióide 196 centro elipse 158 hipérbole 166 ciclóide 193 circuncentro 53 coeficiente angular 101 colatitude 198 colinear 9 combinação linear 27 conjunto principal de coordenadas polares 93 convexo 177 coordenadas 55 esféricas 198 polares 92 corda elipse 159 hipérbole 166 parábola 172 coroa fundamental elipse 159 curva 190 fechada 191 loxodrómica 199 regular 193 simples 193 curva parametrizada 190 cônicas 156 determinante 238 dimensão 48 diretriz 90 parábola 172 distância focal elipse 158 hipérbole 165 eixo da parábola 90 eixo conjugado hipérbole 166 eixo de simetria parábola 172 eixo focal elipse 158 272 ÍNDICE REMISSIVO 273 eixo maior elipse 158 eixo menor elipse 159 eixo não focal elipse 159 eixo polar 92 eixo transverso hipérbole 165 elementos de uma matriz 236 eliminação gaussiana 243 elipse 156 equação afim 102 cartesiana 102 forma canônica 102 reduzida 102 equação geral do plano 110 equação quadrática 161 equação reduzida elipse 162 hipérbole 167 parábola 173 equação vetorial da reta 98 equação vetorial do plano 108 equações paramétricas da reta 98 equações paramétricas da reta 98 equações paramétricas do plano 108 equações simétricas da reta 98 escalar 7 excentricidade 181 foco parábola 172 focos elipse 158 hipérbole 165 forma canônica elipse 158 162 hipérbole 165 167 parábola 172 173 froma canônica função quadrática 175 função bijetora 55 injetora 55 sobrejetora 55 função quadrática uma variável 173 Fórmula de Bhaskara 177 gera 45 hipérbole 157 equilátera 166 injeção 55 lactus rectum 159 LD 30 Lei dos Cossenos 13 dos Senos 13 LI 30 linearmente dependentes 30 independentes 30 longitude 198 lugar geométrico 88 matriz 236 coluna 236 identidade 236 invertível 240 linha 236 ÍNDICE REMISSIVO 274 nula 236 produto 237 quadrada 236 soma 236 menor de uma matriz 237 multiplicação por escalar 7 norma 5 notação de Grassmann 61 operações com vetores 15 ortocentro 52 74 parábola 157 parâmetro parábola 172 parâmetros geométricos elipse 162 hipérbole 166 pl 110 plano equação vetorial 108 equações paramétricas 108 polo 92 ponto inicial 98 ponto médio 62 pontos colineares 9 produto de matrizes 237 escalar 71 interno 71 ramos da hipérbole 186 regra do paralelogramo 10 reta equações simétricas 98 diretriz 181 equação vetorial 98 equações paramétricas 98 reta focal elipse 158 hipérbole 165 reta não focal elipse 158 retas coincidentes 111 concorrentes 111 ortogonais 126 paralelas 111 perpendiculares 126 retas coplanares 113 retas reversas 114 retângulo fundamental elipse 159 hipérbole 166 reversas 114 segmento nulo 4 orientado 3 segmento focal elipse 158 hipérbole 165 semelhança 182 sistema cartesiano de coordenadas 56 sistema de coordenadas 54 associado 93 oblíquo 56 sistema de coordenadas vetorial 56 sistema linear 241 sobrejeção 55 soma de ponto com vetor 20 de matrizes 236 ÍNDICE REMISSIVO 275 soma de vetores 10 soma em coordenadas 10 somatório 225 subtração de vetores 14 tautócrona 194 Teorema de Cramer 241 teorema da base espaço 47 plano 47 transversal 117 triângulo ortocentro 74 triângulo fundamental parábola 172 versor 8 vetor multiplicação por escalar 7 aplicado 3 coordenadas 55 direcional 8 diretor 8 98 nulo 5 oposto 14 posição 55 unitário 8 vetores 4 coplanares 6 ortogonais 7 paralelos 6 9 soma 10 subtração 14 vértice parábola 172 vértices elipse 158 hipérbole 165 zênite 198 ângulo entre dois vetores 6 polar 198