Lista de Exercicios Resolucao Interacoes Atomicas e Moleculares

Interações Atômicas e Moleculares Terceiro quadrimestre letivo de 2022 Professor Michel Mendoza Lista de Exercícios 1 Explique com palavras i o que significa normalizar uma função de onda ii também o significado do valor esperado de x e iii por que é necessário utilizar um operador diferencial no cálculo do valor esperado de p iv Explique o significado da função de onda que aparece na equação de Schrödinger 2 a Explique o quê é uma equação de autovalores b Qual é a importancia dessa equação na mecânica quantica c Escreva a equação de autovalores mais importante da Física Quântica d Que podemos obter a partir de uma equação de autovalores 3 a Um espectro teoricoexperimental apresenta linhas picos de intensidade I associados com os valores de energia E do sistema Se as energias observadas no espectro IE para a partícula de massa m são Δ 2Δ 3Δ 4Δ para cada uma dessas energias existe um pico Calcule o potencial que confina o sistema em função dos dados anteriores b Para um poço de potencial infinito faça o gráfico da Px para n 10 depois trace a curva de probabilidade clássica de encontrar a partícula Explique a relação entre as curvas c Um poço de potencial infinito esta definido entre x a e x b com a b Qual é o valor esperado x x observ para o estado fundamental Encontre esse valor fazendo uma análise qualitativa d Para o caso anterior qual é o p para o estado fundamental Explique por quê e Escreva 3 equações de autovalores da mecânica quantica e explique o que elas significam 4 Normalize a função de onda Ψx Aexpax2 A e a são constantes sobre o dominio x 5 Se as funções de onda Ψ1x t Ψ2xt e Ψ3xt são três soluções da equação de Schroedinger para uma energia potencial particular Uxt mostre que a combinação linear arbitrária Ψxt c1Ψ1xt c2Ψ2xt c3Ψ3xt também é uma solução desta equação Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes 6 Em um certo instante uma função de onda depende da posição conforme está mostrado na figura a Se fosse feita uma medida que possa localizar a partícula associada em um elemento dx do eixo x nesse instante onde seria maior a probabilidade de encontrála b Onde seria menor esta probabilidade c As chances de que ela seja encontrada em qualquer valor positivo do eixo x seriam melhores do que as chances de que seja encontrada em qualquer valor negativo Problema 6 7 a Verifique que a função de onda Ψxt A sen 2πxa e iEtħ a2 x a2 0 x a2 ou x a2 é uma solução para a equação de Schroedinger na região a2 x a2 para uma partícula que se move livremente nessa região mas que está confinada a ela b Normalize a função de onda ajustando o valor da constante multiplicativa A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula associada em algum ponto da região de comprimento a seja um c Calcule o valor esperado de x e o valor esperado de x2 para a partícula associada à função de onda d Calcule o valor esperado de p e o valor esperado de p2 para a partícula associada à função de onda e Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado Use Δx x2 x2 e Δp p2 p2 como as incertezas Δx e Δp O princípio de incerteza é cumprido 8 No cálculo do valor esperado do produto da posição pelo momento surge uma ambiguidade porque não é evidente qual das duas expressões xp integral from to Ψ x iħ x Ψ dx px integral from to Ψ iħ x x Ψ dx deve ser usada Na primeira expressão x opera sobre Ψ na segunda opera sobre xΨ a Mostre que nenhuma das duas é aceitável porque ambas violam a exigência óbvia de que devem ser reais já que é mensurável b Mostre então que a expressão xp integral from to Ψ x iħ x iħ x x 2 Ψ dx é aceitável porque satisfaz a essa exigência Sugestão i Uma grandeza é real se ela é igual a seu complexo conjugado ii Tente integrar por partes iii Em qualquer caso realístico a função de onda sempre se anula para x Este resultado é muito importante nos cálculos algébricos feitos na mecânica quântica é sempre deve ser tomado em conta 9 a Calcule as autoenergias e autofunções funções de onda para uma partícula de massa m e elétron confinada num potencial quadrado infinito de largura a centrada na origem Esboce os estados b Para o estado fundamental calcule os valores esperados de x px x2 e p2 x c Calcule as incertezas de x e px d Porque não existe o estado para n0 10 Seja uma partícula de massa m elétron confinada num potencial quadrado unidimensional Vx poço quântico 1D o potencial quadrado tem uma largura a a Determine o valor da energia E para o estado fundamental Considere que a função de onda para o estado fundamental tem uma auto função dada por ψx Acosπxa para x entre a2 e a2 Fora desse intervalo a autofunção é zero Faça um grafico da autofunção b Escreva a função de onda para o estado fundamental c Calcule o valor esperado para o momento linear p associado com o estado fundamental 11 Duas autofunções possíveis de uma partícula se movendo livremente em uma região de comprimento a mas estritamente limitada a esta região estão mostradas na figura Quando a partícula estiver no estado correspondente à autofunção ψI sua energia total é 4 eV a Qual é a energia total no estado correspondendo a ψII b Qual é a menor energia total possível que a partícula neste sistema pode ter Problema 1 3 16 As transicoes eletrˆonicas entre nıveis quˆanticos e um problema que depende do tempo da distri buicao de carga e da emissao ou absorcao de um foton Este problema trata sobre esse assunto Considere um eletron confinado na direcao x atomo 1D e que pode ocupar o nivel de energia n 1 E1 ψ1x ou o nivel de energia n 2 E2 ψ2x a Calcule a distribuicao de carga para o atomo nao excitado Explique porquˆe o eletron nao emite um foton b Calcule a distribuicao de carga para o atomo excitado Analizando o resultado explique porquˆe o eletron emite radiacao emite um foton Calcule a frequˆencia do foton emitido 17 Mostre que a funcao de onda ψx t Acoskx wt iAsenkx wt satisfaz a equacao de Schro edinger dependente do tempo 18 Mostre que a funcao de onda ψx t Aexpkx wt nao satisfaz a equacao de Schroedinger depen dente do tempo 19 A funcao de onda de uma partıcula de massa m movendose em um potencial V x e ψx t Aexpikt kmx2ℏ onde A e k sao constan tes Encontre a forma explıcita do potencial V x 20 A funcao de onda do estado fundamental de uma partıcula de massa m e dada por ψx expa2x44 com autovalor de energia ℏα2m Qual e o potencial em que a partıcula se move 21 Usando a equacao de Schroedinger independente do tempo encontrar o potencial V x e a ener gia E para a qual a funcao de onda ψx xxonexpxxo com n e xo constantes e uma autofuncao Assumir que V x vai para zero quando x vai para infinito 22 Considere o movimento livre de uma partıcula quˆantica de massa M restrita a um cırculo de raio r Encontre as autofuncoes e os autovalores de ener gia 23 Uma partıcula de massa m se move em um anel de raio a no qual o potencial e constante i Encontre as energias e funcoes proprias permitidas ii Se o anel tem duas voltas cada uma com um raio a quais sao as energias e funcoes proprias 24 O autovalor e a autofuncao correspondente para um potencial unidimensional V x sao E 0 e Ψx A x2a2 Encontre o potencial V x 25 O operador Hamiltoniano de um sistema e H d2dx2 x Mostrar que Nxexpx22 e uma autofuncao de H e determine o autovalor Tambem calcule o valor de N 26 a Prove que a funcao Ψx y z senk1xsenk2ysenk3z e uma autofuncao do operador Laplaciano e determine o autovalor b Mostre que a funcao expikr e uma auto funcao simultˆanea dos operadores iℏ e ℏ22 calcule tambem os respetivos autovalores 27 Um oscilador harmˆonico se move num potencial V x 12kx2 cx onde c e uma constante Encontrar os autovalores de energia 28 Um eletron esta confinado num potencial V x 12kx2 onde k e uma constante e esta sujeito para um campo eletrico ϵ ao longo do eixo x En contrar os autovalores de energia 29 Um eletron e confinado no estado fundamental de um oscilador harmˆonico simples de forma que x xo m Asumindo que T V com T e V sendo as energias cinetica e potencial encon trar usando os dados anteriores a a frequˆencia do oscilador b a energia reque rida para poder excitar o eletron para o primeiro estado excitado 30 Uma particula quˆantica esta confinada num poco de potencial infinito e unidimensional entre 0 x a Para t 0 a funcao de onda do sistema e ψx 0 C1sen πx a C2sen 2πx a onde C1 e C2 sao constates de normalizacao a Encontre a funcao de onda para o tempo t b Encontre o valor medio da energia do sistema para o tempo t 31 Considere uma partıcula de massa m confinada dentro de um poco quantico unidimensional e in finito O poco quˆantico se encontra definido entre 0 x a A funcao de onda da partıcula para o tempo t 0 e ψx 0 A2sen πx a sen 3πx a a Normalize ψx 0 b Encontre ψx t 32 Considere um sistema de dupla barrerira unidimen sional ao longo do eixo x cada barreira tem uma largura Lo e altura Vo Entre as barreiras e formada um poco quˆantico com dois estados abaixo da ener gia Vo Estos estados sao E1 e E2 e as respetivas larguras de linha dos estados sao E1 e E2 i Es creva as respetivas funcoes de onda em cada regiao do sistema ii Faca um grafico da transmissao em funcao da energia TE indicando nesse grafico os dados anteriores iii Calcule os tempos de vida dos estados E1 e E2 33 Uma partıcula de massa m se movimenta dentro de uma caixa tridimensional de lados a b y c Se o potencial e zero dentro da caixa e infinito afora encontre as autofuncoes e os autovalores 4 34 Se a caixa do problema anterior e cubica de lado a a Encontre as autofuncoes e os autovalores b Qual e a energia do estado fundamental do sistema c Qual e a degenerescˆencia do primeiro e segundo estado excitado 35 As transicoes eletrˆonicas entre nıveis quˆanticos e um problema que depende do tempo da distri buicao de carga e da emissao ou absorcao de um foton Este problema trata sobre esse assunto Considere o eletron do atomo de Hidrogˆenio e que pode ocupar o nivel de energia n 1 E1 ψ100 ou o nivel de energia n 2 E2 ψ200 Use estes dados para a Calcular a distribuicao de carga para o atomo nao excitado Explique porquˆe o eletron nao emite um foton b Calcular a distribuicao de carga para o atomo excitado Analizando o resultado explique porquˆe o eletron emite radiacao emite um foton Calcule a frequˆencia do foton emitido c Calcular o tempo de vida do atomo excitado 36 Um eletron no estado n 2 do Hidrogˆenio perma nece ali aproximadamente ao redor de 108 s antes de transitar para o estado n 1 a Estime a in certeza na energia para o estado n 2 b Que fracao da energia de transicao e esta c Qual e o comprimento de onda e a largura de linha para esta transicao no espectro do atomo de Hidrogˆenio 37 Considere o eletron do atomo de Hidrogˆenio Usando xp ℏ mostre que o radio do orbi tal eletrˆonico para o estado fundamental e igual ao radio de Bohr 38 Explique porquˆe nao existe uma orientacao privile giada para o atomo 39 Calcule o valor esperado da energia potencial V para o eletron no estado 1s do atomo de Hidrogˆenio Usando este resultado calcule o valor esperado da energia cinetica T 40 Para um tempo t 0 a funcao de onda para o atomo de Hidrogˆenio e Ψr t 0 1 102Ψ100 Ψ210 2Ψ211 3Ψ211 onde os subındices sao os valores dos numeros quˆanticos n l m i Qual e o valor esperado para a energia do sistema ii Qual e a probabilidade de encontrar o sistema com l 1 m 1 41 Hidrogˆenio deuterio e helio monoionizado sao exemplos de atomos de um eletron O nucleo do deuterio tem a mesma carga do nucleo de hi drogˆenio e massa quase exatamente duas vezes maior O nucleo de helio tem carga duas vezes maior do que o nucleo de hidrogˆenio e massa quase exatamente quatro vezes maior Faca uma previsao exata da razao entre as energias dos estados funda mentais desses atomos Sugestao Lembre a va riacao na massa reduzida 42 Verifique por substituicao que a autofuncao ψ211 e a energia E2 satisfazem a equacao de Schroedinger independente do tempo para o atomo de um eletron com Z 1 43 Explique o que e o spin origem e como poderia ser colocado dentro da representacao ondulatoria de Schroedinger 44 Usando resultados da mecˆanica quˆantica calcule os momentos magneticos orbitales que sao possıveis para um nivel n 3 45 Mostre as possıveis orientacoes do vetor momento angular orbital L para l 0 1 2 3 4 46 Determine o maximo de separacao de um feixe de atomos de Hidrogˆenio os quais se movem uma distˆancia de xo m e com uma velocidade de vo ms perpendicularmente com um campo magnetico de intensidade dada por Bz T Despreciar o mo mento magnetico do proton Faca um esquema do sistema antes de fazer os calculos algebricos usando eixos coordenados e explique qual e o pa pel das forcas magneticas que existem nos diferen tes eixos Tambem mostre no grafico a dinˆamica que seguem os atomos explique por quˆe Expli que que acontece se no lugar de Hidrogˆenio usamos atomos de Helio 47 Determine o maximo de separacao de um feixe de atomos de Hidrogˆenio os quais se movem uma distˆancia de 20 cm e com uma velocidade de 2x105 ms perpendicularmente com um campo magnetico que tem um gradiente de 2x102 Tm Despreciar o momento magnetico do proton 48 Determine a diferenca de energia entre os eletrons que estao alinhados e antialinhados com um campo magnetico uniforme de 08 T quando o feixe de eletrons livres se move perpendicularmente ao campo 49 Exprese SL em termos de j l e s 50 Calcule os possıveis valores de SL para l 1 e s 12 51 Mostrar que na presenca de acoplamento SL spin orbita o numero quˆantico de momento angular tem valores dados por j l s l s 1 l s 2 l s 52 O operador da energia de interacao spinorbita pode ser escrito como ESL 1 2m2c2 1 r dV r dr SL Esta interacao causa desdobramentos nos nıveis de energia Calcule o valor esperado desta energia de interacao 5 53 Em quais dos atomos a seguir o estado fundamental e desdobrado pela interacao spinorbita Li B Na Al K 54 Um atomo de Hidrogˆenio no estado fundamental e submetido a um campo magnetico Bz 0 55 T a Calcule o desdobramento dos estados de spin b Qual dos estados tem maior energia c Qual a frequˆencia da radiacao necessaria para excitar o atomo do estado de spin de menor energia para o de maior energia Em que regiao do espectro ele tromagnetico esta esta radiacao d Seria possıvel observar experimentalmente esse desdobramento com um unico atomo Explique Como poderia observar experimentalmente esse desdobramento 55 a Explique de forma qualitativa e quantitativa o prıncipio de exclusao de Pauli e suas consequˆencias b Nos atomos polieletrˆonicos os eletrons sao partıculas idˆenticas de spin 12 Explique quais sao as consequˆencias deste fato nas propriedades atˆomicas 56 Considere um sistema de 2 eletrons nao interagen tes em seus estados fundamentais em um poco uni dimensional de potencial infinito a Faca um grafico esquematico das partıculas ocupando os nıveis energeticos com seus respetivos numeros quˆanticos b Encontre a autofuncao para o sis tema no estado fundamental Essa autofuncao cumpre o prıncipio da indistinguibilidade c Qual e a energia do sistema para esse estado Qual e a energia de cada partıcula individual c Quˆe su cede quando um campo magnetico B e aplicado Grafique agora os nıveis energeticos e encontre a nova autofuncao d Para este ultimo caso cal cule a energia do sistema Qual e a energia de cada partıcula individual 57 Considere um sistema de 3 eletrons nao interagen tes em seus estados fundamentais em um poco uni dimensional de potencial infinito a Faca um grafico esquematico das partıculas ocupando os nıveis energeticos b Encontre a funcao de onda para o sistema no estado fundamental c Que su cede quando um campo magnetico e aplicado Gra fique os nıveis energeticos e encontre a nova funcao de onda 58 Escreva as equacoes de autovalores da mecˆanica quˆantica para i o momento angular orbital ii o momento angular de spin e iii o oscilador harmˆonico simples Explique o que elas signifi cam e dei um exemplo de como posso aplicar essas equacoes 59 a Escreva a configuracao eletrˆonica do atomo de H b Escreva a funcao de onda completa para o estado fundamental do H c Se o H e excitado para n2 escreva agora a funcao de onda com pleta para esse estado d Se fazemos uma medida experimental quais seriam as possibilidades para o estado excitado do atomo de H e Repeta todos os itens anteriores agora para un gas de atomos de H f Considere um unico atomo de H no estado fundamental qual e a energia do eletron na pre senca de um campo magnetico B Nesta situacao poderiamos observar experimentalmente o desdo bramento Zeeman Explique g Que acontece para um gas de H nas condicoes explicitadas em f 60 a Escreva a configuracao eletrˆonica do atomo de He b Escreva a funcao de onda completa para o estado fundamental do He c Considere um unico atomo de He no estado fundamental qual e a energia dos eletrons na presenca de um campo magnetico B Nesta situacao poderiamos observar experimentalmente o desdobramento Zeeman Ex plique d Que acontece para um gas de He nas condicoes explicitadas em c 61 a Escreva as equacoes de autovalor para L2 S2 J2 Lz Sz e Jz b Qual e o valor esperado de L2 e de Lz c Para o atomo de Hidrogˆenio desenhar os orbi tais 1s 2s 2pz 2px e 2py Quˆe significam esses orbitais Como seriam os orbitais para spins opos tos Explique d O Berılio Be tem 4 eletrons faca a confi guracao eletrˆonica Posso realizar experimentos de SternGerlach usando esses atomos Explique e Por outro lado um campo magnetico pode ge rar efeito Zeeman nesses atomos de Be Explique f O Boro B tem 5 eletrons faca a configuracao eletrˆonica Calcule os possıveis mj Os eletrons de valˆencia para um gas de atomos de B podem ocupar todos esses mj Explique 62 i O que e a repulsao de Pauli Origem e con sequˆencias ii Explique como se pode dissociar uma molecula iˆonica iii Obtenha uma expressao para a energia de dissociacao 63 Obter uma expressao para a energia de dissociacao D de uma ligacao iˆonica para uma molecula diatˆomica de sal em termos do espacamento inte ratˆomico da energia de ionizacao do metal alcalino e da energia de afinidade eletrˆonica do halogˆenio Use a expressao e compare os resultados com a ta bela de dados experimetais 64 Uma expressao aproximada para a energia poten cial de 2 ıons como uma funcao da distˆancia de separacao entre os ıons e Ep ke2r br9 O primeiro termo e a usual interacao de Coulomb em quanto que o segundo termo e introduzido para 6 Problema 45 ter em conta os efeitos repulsivos dos ıons para pe quenas distˆancias Encontrar b como uma funcao do espacamento de equilıbrio ro 65 Explique de que trata a teoria dos orbitais molecu lares Faca exemplos 66 Uma expressao para a energia potencial de dois atomos neutros como uma funcao da separacao r e dado pelo potencial de Morse Ep Eo1 expar ro2 Mostre que ro e o espacamento atˆomico e Eo e a energia de dissociacao 67 Considere uma molecula diatˆomica formando um haltere com massas m1 e m2 nos extremos de uma haste sem massa e de comprimento ro Mostre que o momento de inercia em relacao ao centro de massa para um eixo perpendicular ao haltere e I m1m2m1 m2r2 o µr2 o 68 Mostre que o espectro de frequˆencias rotacionais de uma molecula diatˆomica deve consistir de linhas igualmente separadas de valor ν h4π2I onde I e o momento de inercia da molecula 69 Supondo que a molecula de H2 se comporta como um oscilador harmˆonico com uma constante de forca de 573 Nm Calcule o numero quˆantico vi bracional para a qual a molecula se dissociaria a 45 eV 70 A Radiacao infravermelha de comprimento de onda de 3465 µm e fortemente absorvida pelo gas de HCl a Justifique que tipo de transicao eletrˆonica vibracional ou rotacional sera ativada b Qual e a constante da forca para uma molecula de HCl c Determine a energia total de vibracao de uma mol de HCl para a temperatura de zero absoluto 71 A constante de forca para a molecula de HCl e 480 Nm1 e com uma massa reduzida de 163x1027 Kg Para T 300 K qual e a probabilidade de que a molecula se encontre no primeiro estado excitado vibracional 72 Moleculas de N2 sao excitadas para v 1 primeiro nıvel vibracional excitado e posteriormente desex citados atraves da emissao de fotons Quais sao as energias dos fotons emitidos considere unica mente os primeiros 5 nıveis rotacionais para cada nıvel vibracional Para N2 ℏ2I 25x104 eV ℏwv hν 029 eV As transicoes obedecem as regras de trasicao v 1 e l 1 Faca o grafico das respectivas transicoes