Lista de Exercícios sobre Poço Quântico e Mecanica Quântica

Fisica Quantica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 6 Tema Poco infinto e finito Questoes a Discuta qualitativamente como e por que aparece a quantizacao de energia para o caso de um poco quadrado infinito unidimensional b Ao analisarmos a solucao para o poco quadrado finito observamos que existe uma probabilidade nao nula de encontrarmos um elétron com energia menor do que V fora do poco Esse fato nao tem andalogo classico pois implicaria dizermos que aparentemente o elétron tem energia cinética negativa Como isso pode ser explicado no caso da Mecanica Quantica Problemas 1 Uma particula esta confinada numa regiao unidimensional por duas barreiras de potencial localizadas em 0 e x L Em comparacao com a energia da particula as barreiras de potencial sao tao grandes que podem ser tomadas como infinitas Considere também que a particula encontrase num estado cuja funcgao de onda normalizada é 2 or 27x sin ara 0aL wo x Vi L p ws 0 paraz0 e 2L a Escreva a funcao distribuigao de probabilidade P x para a particula b Esboce o grafico de P x e indique as posicgdes ao redor das quais seria menos provavel encontrar a particula c Qual é a probabilidade de se encontrar a particula no intervalo 0 x 2 Sua resposta pode ser justificada com base no grafico pedido no item anterior ou por meio de um calculo direto d Seja esta uma particula carregada sob influéncia de radiacao eletromagnética de amplo espectro de frequéncia discuta i o elemento de matriz para a transigéo ao proximo estado de energia superior n1 e ao subsequente superior n2 ou seja dentro da aproximacao de dipolo elétrico qual é a transigéo permitida dica Vocé nao precisa calcular o valor das integrais Basta vocé fazer uma alteracao de varidvel da integral trazendo a caixa para o centro do eixo x0 e usar argumentos de integracao simétrica de fungoes com paridade para encontrar as integrais nulas e naonulas ii qual seriam as frequéncias da radiacao absorvidaas pelo sistema para as transigéodes permitidaas 2 O problema da particula de massa m no pontencial infinito também pode ser resolvido considerando a particula confinada entre L2e x L2 a Para este caso encontre as solucdes possiveis note vocé pode partir das solugdes possiveis da EDO senknx e coskna e encontrar as solucdes que satisfazem as condig6des de contorno do problema Também nao é necessario normalizar as funcoes b Mostre que as solucoes e energias séo andlogas para o caso da particula confinada entre OeL 3 Considere um elétron aprisionado em um poco de potencial unidimensional infinito com largura de L 300 pm Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na regiao entre x 05Lex2075L 4 Um féton com comprimento de onda A 880 um é absorvido por um elétron confinado em um poco infinito Como resultado o elétron passa do estado n 1 para n 4 i Encontre a largura do pogo ii Qual o comprimento de onda do féton emitido na transicao daquele elétron do estado n 4 para n 2 5 Um elétron esta confinado em um poco de potencial finito com largura de 10 x 109m e altura do potencial de 20 eV Existe um estado ligado correspondente a n 3 para este caso Justifique a sua respostaDica considere que a energia de um estado n para uma caiza infinita sempre menor que a energia do estado de mesmo n para uma caixa finita de mesma largura tornaria mais adequada 6 Considerando que x e x representam o valor médio de x e 0 valor médio de x num dado estado calcule o x x op p p Oxo para o estado fundamental do pogo quadrado infinito O resultado do produto oz0 consistente com o principio de incerteza Justifique sua resposta Page 2 Fisica Quantica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 6 Tema Poco infinto e finito Questoes a Discuta qualitativamente como e por que aparece a quantizacao de energia para o caso de um poco quadrado infinito unidimensional Resp Ao calcular os estados possiveis do elétron no poco devemos impor as condicées de contorno Nesse caso a fungaéo de onda deve ser nula nas paredes do pogo e em toda regiao fora do poco pois o elétron sempre esta confinado no pogo Ao impor esta condigéo de confinamento verificamos que as energias associadas para cada estado sao dadas por Ey nie onde m é a massa da particula e L é a largura do pogo que sao valores discretos de energia Nota Ao resolver as equacdes chegamos em relacdes de senos e cossenos iguais a constantes Para tais relagdes serem verdadeira somente alguns Angulos e seus miultiplos sao validos Como esses Angulos dependem da energia chegamos a equacao anterior para energia b Ao analisarmos a solucao para o poco quadrado finito observamos que existe uma probabilidade nao nula de encontrarmos um elétron com energia menor do que V fora do poco Esse fato nao tem andalogo classico pois implicaria dizermos que aparentemente o elétron tem energia cinética negativa Como isso pode ser explicado no caso da Mecanica Quantica Resp Devido ao principio da incerteza de Heisemberg para termos certeza de que a particula esta fora da caixa Ax deve ser suficientemente pequeno Assim crescem os valores de Ap e consequentemente de AE de forma que nao temos certeza para afirmar que AEcin 0 Problemas 1 Uma particula esta confinada numa regiao unidimensional por duas barreiras de potencial localizadas em 0 e x L Em comparacao com a energia da particula as barreiras de potencial sao tao grandes que podem ser tomadas como infinitas Considere também que a particula encontrase num estado cuja funcgao de onda normalizada é 2 or Tx sin ara 0 aL bial Vi8m para 0a 0 paraz0 e 2L a Escreva a funcao distribuigao de probabilidade P x para a particula b Esboce o grafico de P x e indique as posicgdes ao redor das quais seria menos provavel encontrar a particula c Qual é a probabilidade de se encontrar a particula no intervalo 0 x 2 Sua resposta pode ser justificada com base no grafico pedido no item anterior ou por meio de um calculo direto Resp a A funcao de distribuigao de probabilidade é dada pelo médulo ao quadrado da funcao de onda para cada regiao ou seja 2 20x Px ba P sin para 0 a L L L P a Wx 0 para0aL b Abaixo temos o grafico da Px considerando L 1 para a regiao de x 0 até x 1 10 os 06 oa 02 S J 02 04 06 08 10 Figure 1 Grdfico da densidade de probabilidade P x x 2sin27 para0 a L considerando L 1 Observando o grafico acima vemos que o menor valor de probabilidade no grafico é Px 0 Assim os posigéo nas quais terfamos a menor probabilidade de encontrar a particula seriam em torno dos pontos x 07 L2ex L c Observando o grafico da fungao acima e a sua simetria em torno do ponto L2 vemos imediatamente que P0L2 12 pois a area de 0 até L2 vale 12 O mesmo resultado é obtido por meio de integracao direta sin aie dx 1cos as dx 9 a 9 L L 1 Le Ana L2 x sin L Ar L L 2 Page 2 2 O problema da particula no pontencial infinito também pode ser resolvido considerando a particula confinada entre x L2ex L2 a Para este caso encontre as solugdes possiveis note vocé pode partir das solugdes possiveis da EDO senkx e cosk2 e encontrar as solucdes que satisfazem as condig6des de contorno do problema Também nao é necessario normalizar as funcoes b Mostre que as solucoes e energias séo andlogas para o caso da particula confinada entre OeL Resp a As solugdes em L2 x L2 podem ser obtidas impondose AsenkL2 e Bn coskyL2 iguais a zero Notase entao que 2 Bycos 272 com n 135 x Ansen 27 com n 246 b A relacao da energia com as fungdes de onda permanece sendo hk hn x En pgp Com r 12345 1 E as funcgoes de onda tem densidade de probabilidade idéntica porém deslocadas de L2 como ilustrado na Figura 2 teat 2 A x e 1 1 dh yo sent jy sen f xX a Sen the coo f L b UY Lx 4 0 Li Figure 2 Grafico da densidade de probabilidade da particula confinada entre 0 e L esquerda e entre L2 e L2 direita 3 Considere um elétron aprisionado em um poco de potencial unidimensional infinito com largura de L 300 pm Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na regiao entre x 05Lex2075L Resp Para determinar a probabilidade devemos calcular 075 2 2 P05L075L sin de os L Podemos usar a relagdo trigonométrica cos0 5 c0s20 que nos leva a 075L 271 1 4nx 1 P05L075L s E a f zh 2 I 4 Page 3 4 Um féton com comprimento de onda A 880 um é absorvido por um elétron confinado em um poco infinito Como resultado o elétron passa do estado n 1 para n 4 i Encontre a largura do pogo ii Qual o comprimento de onda do féton emitido na transicao daquele elétron do estado n 4 para n 2 Resp i Sabemos que a energia para um estado ligado do poco infinito é dado por Ey jen Assim AB 4 Ey By 2 ne f oom ws 8mL2 V 8mhe ii Sabendo a largura do poco resultado do item i temos que E 0941meV e AF42 12E 113meV logo Bio 110pum 5 Um elétron esta confinado em um poco de potencial finito com largura de 10 x 107m e altura do potencial de 20 eV Existe um estado ligado correspondente a n 3 para este caso Justifique a sua respostaDica considere que a energia de um estado n para uma caiza infinita sempre menor que a energia do estado de mesmo n para uma caixa finita de mesma largura tornaria mais adequada Resp Podemos usar o fato de que as energias para os estados de um poco finito sao maiores do que para um poco finito Le mesma largura Assim basta verificarmos se é verdadeira a condicao E3 35 20 eV Usando os valores dados no problema vemos que 3 339 eV e portanto nao existe um estado ligado correspondente a n 3 neste pogo pois a energia associada a este estado é maior do que a energia de pontencial altura do pogo 6 Considerando que x e x representam o valor médio de x e 0 valor médio de 2 num dado estado calcule o x x op p p Oxo para o estado fundamental do pogo quadrado infinito O resultado do produto oz0 consistente com o principio de incerteza Justifique sua resposta Resp Devemos determinar os valores de x x2 pe p assim L2 9 pL2 rr x ww xawadx i axcos ax 0 L2 L2 L L2 d 2in phi TL 7 TX p x in jd cos sin de 0 Dp 8 elven F fo sin As duas integrais acima sao nulas pois sao produtos de uma fungao impar x e sinraL por uma funcao par cosmaL e cosrxL integradas em um intervalo simétrico de L2aL2 L2 9 L2 rr 2 2 2 202 2 xjapxdx weos dx 5 5 woreda z fi de 55 Page 4 A integral acima pode ser resolvida aplicando a integragaéo por partes duas vezes Usamos para a primeira integracao u x e dv cos a e também que cos9 5 c0s20 L2 a her2 2 L2 rx h2r2 2 2 2 p x jax F 2 cos ax Dessa forma temos que 0 Ly 5 xa eC Op hn e o produto resulta em 1 lhe fh r h h Ly 28 x 114 xp 2 IL 2V3 27 9 Portanto o resultado obtido esta de acordo com o principio de incerteza de Heisenberg Nota Caso seja utilizado o intervalo de 0 a L no lugar de L2 a L2 havera algumas mudangas na resolugao A fungao de onda sera dada por Esin 3 O argumento utilizado para zerar e p deixa de valer devido ao intervalo nao ser simétrico Z ou seja no meio da caixa da mesma forma que utilizando o outro intervalo a interpretagao fisica nao pode ser alterada 7 PL 4 n 545 andlogo a mudanga de x Os demais resultados sao iguais pois eles nao dependem de como o intervalo de x é definido Page 5