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Probabilidade e Modelos Probabilísticos 1ª Parte Conceitos básicos variáveis aleatórias modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas modelo binomial Probabilidade Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios mostrando como poderão ocorrer os fatos Base teórica para a análise inferencial Probabilidade universo do estudo população Hipóteses conjeturas Resultados ou dados observados O raciocínio dedutivo da probabilidade Exemplo de um experimento aleatório Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher Resultados possíveis homem mulher Espaço amostral homem mulher Probabilidade de um resultado Qual a probabilidade de homem e de mulher Phomem 05 Pmulher 05 A probabilidade é um número entre 0 e 1 sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1 50 homens 50 mulheres Modelos probabilísticos Construção de modelos de probabilidade para entender melhor os fenômenos aleatórios A maioria das tomadas de decisões no mundo dos negócios são baseadas em condições de incerteza Exemplos Quais são as possibilidades de que as vendas caiam se aumentamos os preços Quais as chances de uma nova dieta nutricional aumentar a produtividade Qual a probabilidade de nascer um terneiro mocho Quais são as chances de um novo investimento ser lucrativo A probabilidade é uma medida numérica das possibilidades de que um evento ocorra Costuma ser utilizada para medir o grau de incerteza associados aos quatro exemplos anteriores Se as probabilidades estiverem disponíveis poderemos determinar a possibilidade de cada evento ocorrer Daí a importância da probabilidade para a tomada de decisão já que permite medir expressar e analisar a incerteza associada com eventos futuros Modelos probabilísticos Definição do experimento Definição dos resultados possíveis do experimento Definição de uma regra que obtenha a probabilidade de cada resultado ocorrer Modelo de probabilidades 20 30 50 bomótimo regular ruimpéssimo POPULAÇÃO Opinião a respeito do governo AMOSTRA 1000 pessoas observadas ao acaso Resultado Probab bomótimo 020 regular 030 ruimpéssimo 050 Modelo probabilístico Espaço amostral O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável é dito contínuo quando for infinito formado por intervalos de números reais Eventos Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral E é um evento E Então E é um evento de ou S Se ESé um evento certo Se E S e é um conjunto unitário é chamado de evento elementar Se EØ E é chamado de evento impossível 1 No lançamento de um dado temos S 123456 Formule os eventos definidos pelas sentenças A Obter um número par na face superior do dado A 246 onde A C S B Obter um número menor ou igual a 6 na face superior B 123456 onde B S logo B é um evento certo de S C Obter o número 4 na face superior C 4 logo C é um evento elementar de S D Obter um número maior que 6 na face superior D Ø logo D é um evento impossível de S Probabilidade de eventos Espaços amostrais discretos equiprováveis n n P A A sendo n resultados igualmente prováveis nA destes resultados pertencem a um certo evento A Evento Evento conjunto de resultados possíveis Espaço amostral 1 2 3 4 5 6 Probabilidades P1 P2 P6 16 Eventos A número par B núm menor que 3 A 2 4 6 B 1 2 PA 12 PB 26 13 PA nº de casos favoráveis de A nº total de casos Operações entre eventos União A B b interseção A B c complementar Ā Operação Conjunto Evento União A B reúne os elementos de ambos os conjuntos ocorre quando ocorrer pelo menos um deles A B ou ambos b Interseção A B formado somente pelos elementos que estão em A e B ocorre quando ocorrer ambos os eventos A e B c Complementar formado pelos elementos que não estão em A ocorre quando não ocorrer o evento A não A Operações entre eventos p q 1 Sabemos que um evento pode ocorrer ou não Sendo p a probabilidade de que ele ocorra sucesso e q a probabilidade de que ele não ocorra insucesso para um mesmo evento existe sempre a relação p q 1 ObsNuma distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde p1 p2 p3 pn 1 Eventos Complementares Operações com eventos A A 1 P A P A não A Exemplos 1Sabemos que a probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p 16 logo a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado q 1 p ou q 1 16 56 2Calcular a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida onde as suas chances segundo os entendidos são de 3 para 2 Calcule também a probabilidade dele perder O termo 3 para 2 significa De cada 5 corridas ele ganha 3 e perde 2 Então p 35 ganhar e q 25 perder P1 U 2 P1 ou 2 P1 P2 Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente Se dois eventos são mutuamente exclusivos a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize Eventos Mutuamente Exclusivos Exemplo No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 Os dois eventos são mutuamente exclusivos então P 16 16 26 13 Operações com eventos A B A B B P A P B P A B P A Na probabilidade da união de dois eventos A e B quando há elementos comuns devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B elementos de A n B para não serem computadas duas vezes Assim PA U B PA PB PA n B Exemplo Retirandose uma carta de um baralho de 52 cartas qual a probabilidade da carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS PÁS U Copas PÁS PCopas PÁS n Copas 452 1352 152 1652 Eventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros Nesse caso PAB PA A e B são independentes B P A A B P P B BA P P e Regra do produto PAB PA B PB PA B PB PA B ou PB A PA B PA PA B PA PB A P1 n 2 P1 e 2 P1 x P2 Exemplo Quando lançamos dois dados o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro Então qual seria a probabilidade de obtermos simultaneamente o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado Assim sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do segundo evento a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula P1 P4 dado1 16 P2 P3 dado2 16 P total P 4 dado1 x P 3 dado2 16 x 16 136 Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e viceversa Probabilidade Condicional P A e B P A x PBA Se A e B são dois eventos a probabilidade de B ocorrer depois de A ter acontecido é definida por P BA ou seja é chamada probabilidade condicional de B Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela fórmula Exemplo Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição Qual a probabilidade de ambas serem COPAS P Copas1 e Copas2 PCopas1 x PCopas2Copas1 1352 x 1251 00588 588 PCopas1 1352 PCopas2Copas1 1251 Obs No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente O resultado seria PCopas1 x PCopas2 1352 x 1352 0625 625 Espaço amostral do baralho de 52 cartas Carta pretas 26 Páus 13 ás 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete dama rei Espadas 13 ás 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete dama rei Cartas vermelhas 26 Ouros 13 ás 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete dama rei Copas 13 ás 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete dama rei Probabilidade condicional Tipo do leite Condição do peso B B C C UHT U Total dentro das especificações D 500 4500 1500 6500 fora das especificações F 30 270 50 350 Total 530 4770 1550 6850 0 051 6850 350 P F 0 032 1550 50 F U P 6850 1550 6850 50 1550 50 U P U P F P F U Probabilidade condicional 5 3 8 5 8 3 Calabresa P Calabresa P Champignon Champignon Calabresa P Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele 4 3 8 4 8 3 Champignon P Calabresa P Champignon P Calabresa Champignon Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele 4 2 8 4 8 2 Calabresa P Calabresa P Champignon Champignon Calabresa P Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele 4 2 8 4 8 2 Champignon P Calabresa P Champignon P Calabresa Champignon Probabilidades de eventos 1 P A P A 1 Evento complementar B P A P B P A B P A 2 Propriedade da soma P B P A B P A 3 Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos A P B P A B P A 4 Propriedade do produto P B P A B P A 5 Propriedade do produto para eventos independentes EXERCÍCIOS 1 Qual a probabilidade de sair o ÁS de ouros quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas 2 Qual a probabilidade de sair o um REI quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas 3 Em um lote de 12 peças 4 sã defeituosas Sendo retirada uma peça calcule a a probabilidade de essa peça ser defeituosa b a probabilidade de essa peça nã ser defeituosa 4 De dois baralhos de 52 cartas retiramse simultaneamente uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um REI e a do segundo ser o 5 de paus 5 Uma urna A contém 3 bolas brancas 4 pretas 2 verdes uma urna B contém 5 nolas brancas 2 pretas 1 verde uma urna C contém 2 bolas brancas 3 pretas 4 verdes Uma bola é retirada de cada urna Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da 1ª 2ª e 3ª urnas serem respectivamente branca preta e verde 6 De um baralho de 52 cartas retiramse ao acaso duas cartas sem reposição Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ÁS de paus e a segunda ser o REI de paus 7 Qual a probabilidade de sair uma figura rei ou dama ou valete quando retiramos uma carta de um baralho de 52 carta 8 São dados dois baralhos de 52 cartasTiramos ao mesmo tempo uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo Qual a probabilidade de tirarmos uma DAMA e um REI não necessariamente nessa ordem 9 Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ou ESPADAS 10 Duas bolas são retiradas sem reposição de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta 11 Duas bolas são retiradas com reposição de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta 12 Duas bolas são retiradas sem reposição de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas e 5 bolas verdes aQual a probabilidade de que ambas sejam verdes b Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor Variável aleatória Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos cujo valor é determinado por fatores de chance Associa números aos eventos do espaço amostral X número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda cara cara cara coroa coroa cara coroa coroa X 0 1 2 x Exemplos de variáveis aleatórias Vida útil em horas de um televisor Número de peças com defeito em um lote produzido Número de acidentes registrados durante um mês na BR101 Na internet o tempo em segundos para que uma determinada mensagem chega ao seu destino Se uma mensagem chega X 1 ou não X 0 ao seu destino Variáveis aleatórias variável aleatória discreta os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável contínua os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais 0 1 2 3 4 0 número de defeitos em tempo de resposta de Distribuição de Probabilidades Exemplo Distribuição de probabilidade para o número de carros vendidos durante um dia em concessionária segundo dados históricos x n de carros vendidos durante o dia Pode assumir os valores 012345 x 0 1 2 3 4 5 ƒx 018 039024 014 004 001 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades ou modelo probabilístico indica para uma variável aleatória quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer Construção de distribuições de probabilidades Sortear 2 bolas com reposição X número de bolas pretas na amostra Sortear 2 bolas com reposição X número de bolas pretas na amostra x px 0 925 036 1 1225 048 2 425 016 Sortear 2 bolas sem reposição X número de bolas pretas na amostra x px 0 620 030 1 1220 060 2 220 010 Sortear 2 bolas X número de bolas pretas na amostra Distrib de X com reposição x px 0 036 1 048 2 016 Distrib de X sem reposição x px 0 030 1 060 2 010 independência 46 Condições exigidas para uma Função Discreta de Probabilidade ƒx 0 ƒx 1 Exemplo 1 Considere que numa grande loja de departamentos em 60 dos dias algum cliente rouba alguma peça Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X número de dias com roubos na loja considerando o período de observação de três dias Suponha independência Exemplo 1 x 0 1 1 1 2 2 2 3 Possibilidades BBB BBR BRB RBB BRR RBR RRB RRR Probabilidade 04 x 04 x 04 0064 04 x 04 x 06 0096 04 x 06 x 04 0096 06 x 04 x 04 0096 04 x 06 x 06 0144 06 x 04 x 06 0144 06 x 06 x 04 0144 06 x 06 x 06 0216 Exemplo 1 x px 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 Total 1 0064 0 1 2 3 0216 0432 0288 número de dias com roubos na loja Distribuição de probabilidade de X Valor esperado e variância x px x1 p1 x2 p2 xn pn Total 1 xi pi E X i i p x X V 2 2 X número de dias com roubos na loja xi pi E X EX 00064 10288 20432 30216 18 Exemplo 1 x px 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 X número de dias com roubo na loja x px 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 VX 0 1820064 1 1820288 2 1820432 3 1820216 072 Exemplo 1 i i p x X V 2 2 Experimento binomial consiste de n ensaios cada ensaio tem somente dois resultados sucesso fracasso os ensaios são independentes com Psucesso p 0 p 1 constante ao longo dos ensaios X número de sucesso nos n ensaios Exemplos de experimentos binomiais Número de caras em 10 lançamentos de uma moeda Número de itens defeituosos numa amostra de 20 itens supondo amostragem aleatória e com reposição Número de eleitores favoráveis a um determinado projeto de lei em uma amostra de 200 entrevistados supondo amostragem aleatória de uma população muito grande Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais X número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com Pcara p PX 1 X 1 C K K K C K K K C PCKK p 1 p2 PX 1 3 p 1 p2 x n O modelo binomial n x x p x p n x X P 1 Para um particular x 0 1 n x n x n x n C n x p n E X 1 p p n V X Exemplo 1 de novo Considere que numa grande loja de departamentos em 60 dos dias algum cliente rouba alguma peça Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X número de dias com roubos na loja considerando o período de observação de três dias Suponha independência Exemplo 1 de novo X número de dias com roubos binomial com n 3 p 06 1 p 04 x x x x X P 3 40 60 3 Exemplo 1 de novo n 3 p 06 PXx 06x1 063x 3 x 1 3 0 PX0 0601 0630 1060043 0064 3 0 3 0 30 1 Exemplo 1 de novo n 3 p 06 3 1 PX1 0611 0631 3061042 0288 3 1 3 1 31 3 PXx 06x1 063x 3 x Exemplo 1 de novo n 3 p 06 3 2 PX2 0621 0632 3062041 0432 3 2 3 2 32 3 PXx 06x1 063x 3 x Exemplo 1 de novo n 3 p 06 3 3 PX3 0631 0633 1063040 0216 3 3 3 3 33 1 1 PXx 06x1 063x 3 x Distribuição da variável X 0064 0 1 2 3 0216 0432 0288 x px 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 Total 1 81 60 3 p n X E 0 72 40 60 3 1 p p n V X Exercício Em um grande lote sabese que 10 das peças são defeituosas Qual é a probabilidade de ao se retirarem 6 peças ao acaso a uma ser defeituosa b no máximo uma ser defeituosa c pelo menos duas serem defeituosas 03543 08857 01143
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Probabilidade e Modelos Probabilísticos 1ª Parte Conceitos básicos variáveis aleatórias modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas modelo binomial Probabilidade Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios mostrando como poderão ocorrer os fatos Base teórica para a análise inferencial Probabilidade universo do estudo população Hipóteses conjeturas Resultados ou dados observados O raciocínio dedutivo da probabilidade Exemplo de um experimento aleatório Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher Resultados possíveis homem mulher Espaço amostral homem mulher Probabilidade de um resultado Qual a probabilidade de homem e de mulher Phomem 05 Pmulher 05 A probabilidade é um número entre 0 e 1 sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1 50 homens 50 mulheres Modelos probabilísticos Construção de modelos de probabilidade para entender melhor os fenômenos aleatórios A maioria das tomadas de decisões no mundo dos negócios são baseadas em condições de incerteza Exemplos Quais são as possibilidades de que as vendas caiam se aumentamos os preços Quais as chances de uma nova dieta nutricional aumentar a produtividade Qual a probabilidade de nascer um terneiro mocho Quais são as chances de um novo investimento ser lucrativo A probabilidade é uma medida numérica das possibilidades de que um evento ocorra Costuma ser utilizada para medir o grau de incerteza associados aos quatro exemplos anteriores Se as probabilidades estiverem disponíveis poderemos determinar a possibilidade de cada evento ocorrer Daí a importância da probabilidade para a tomada de decisão já que permite medir expressar e analisar a incerteza associada com eventos futuros Modelos probabilísticos Definição do experimento Definição dos resultados possíveis do experimento Definição de uma regra que obtenha a probabilidade de cada resultado ocorrer Modelo de probabilidades 20 30 50 bomótimo regular ruimpéssimo POPULAÇÃO Opinião a respeito do governo AMOSTRA 1000 pessoas observadas ao acaso Resultado Probab bomótimo 020 regular 030 ruimpéssimo 050 Modelo probabilístico Espaço amostral O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável é dito contínuo quando for infinito formado por intervalos de números reais Eventos Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral E é um evento E Então E é um evento de ou S Se ESé um evento certo Se E S e é um conjunto unitário é chamado de evento elementar Se EØ E é chamado de evento impossível 1 No lançamento de um dado temos S 123456 Formule os eventos definidos pelas sentenças A Obter um número par na face superior do dado A 246 onde A C S B Obter um número menor ou igual a 6 na face superior B 123456 onde B S logo B é um evento certo de S C Obter o número 4 na face superior C 4 logo C é um evento elementar de S D Obter um número maior que 6 na face superior D Ø logo D é um evento impossível de S Probabilidade de eventos Espaços amostrais discretos equiprováveis n n P A A sendo n resultados igualmente prováveis nA destes resultados pertencem a um certo evento A Evento Evento conjunto de resultados possíveis Espaço amostral 1 2 3 4 5 6 Probabilidades P1 P2 P6 16 Eventos A número par B núm menor que 3 A 2 4 6 B 1 2 PA 12 PB 26 13 PA nº de casos favoráveis de A nº total de casos Operações entre eventos União A B b interseção A B c complementar Ā Operação Conjunto Evento União A B reúne os elementos de ambos os conjuntos ocorre quando ocorrer pelo menos um deles A B ou ambos b Interseção A B formado somente pelos elementos que estão em A e B ocorre quando ocorrer ambos os eventos A e B c Complementar formado pelos elementos que não estão em A ocorre quando não ocorrer o evento A não A Operações entre eventos p q 1 Sabemos que um evento pode ocorrer ou não Sendo p a probabilidade de que ele ocorra sucesso e q a probabilidade de que ele não ocorra insucesso para um mesmo evento existe sempre a relação p q 1 ObsNuma distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde p1 p2 p3 pn 1 Eventos Complementares Operações com eventos A A 1 P A P A não A Exemplos 1Sabemos que a probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p 16 logo a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado q 1 p ou q 1 16 56 2Calcular a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida onde as suas chances segundo os entendidos são de 3 para 2 Calcule também a probabilidade dele perder O termo 3 para 2 significa De cada 5 corridas ele ganha 3 e perde 2 Então p 35 ganhar e q 25 perder P1 U 2 P1 ou 2 P1 P2 Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente Se dois eventos são mutuamente exclusivos a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize Eventos Mutuamente Exclusivos Exemplo No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 Os dois eventos são mutuamente exclusivos então P 16 16 26 13 Operações com eventos A B A B B P A P B P A B P A Na probabilidade da união de dois eventos A e B quando há elementos comuns devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B elementos de A n B para não serem computadas duas vezes Assim PA U B PA PB PA n B Exemplo Retirandose uma carta de um baralho de 52 cartas qual a probabilidade da carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS PÁS U Copas PÁS PCopas PÁS n Copas 452 1352 152 1652 Eventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros Nesse caso PAB PA A e B são independentes B P A A B P P B BA P P e Regra do produto PAB PA B PB PA B PB PA B ou PB A PA B PA PA B PA PB A P1 n 2 P1 e 2 P1 x P2 Exemplo Quando lançamos dois dados o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro Então qual seria a probabilidade de obtermos simultaneamente o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado Assim sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do segundo evento a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula P1 P4 dado1 16 P2 P3 dado2 16 P total P 4 dado1 x P 3 dado2 16 x 16 136 Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e viceversa Probabilidade Condicional P A e B P A x PBA Se A e B são dois eventos a probabilidade de B ocorrer depois de A ter acontecido é definida por P BA ou seja é chamada probabilidade condicional de B Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela fórmula Exemplo Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição Qual a probabilidade de ambas serem COPAS P Copas1 e Copas2 PCopas1 x PCopas2Copas1 1352 x 1251 00588 588 PCopas1 1352 PCopas2Copas1 1251 Obs No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente O resultado seria PCopas1 x PCopas2 1352 x 1352 0625 625 Espaço amostral do baralho de 52 cartas Carta pretas 26 Páus 13 ás 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete dama rei Espadas 13 ás 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete dama rei Cartas vermelhas 26 Ouros 13 ás 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete dama rei Copas 13 ás 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete dama rei Probabilidade condicional Tipo do leite Condição do peso B B C C UHT U Total dentro das especificações D 500 4500 1500 6500 fora das especificações F 30 270 50 350 Total 530 4770 1550 6850 0 051 6850 350 P F 0 032 1550 50 F U P 6850 1550 6850 50 1550 50 U P U P F P F U Probabilidade condicional 5 3 8 5 8 3 Calabresa P Calabresa P Champignon Champignon Calabresa P Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele 4 3 8 4 8 3 Champignon P Calabresa P Champignon P Calabresa Champignon Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele 4 2 8 4 8 2 Calabresa P Calabresa P Champignon Champignon Calabresa P Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele 4 2 8 4 8 2 Champignon P Calabresa P Champignon P Calabresa Champignon Probabilidades de eventos 1 P A P A 1 Evento complementar B P A P B P A B P A 2 Propriedade da soma P B P A B P A 3 Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos A P B P A B P A 4 Propriedade do produto P B P A B P A 5 Propriedade do produto para eventos independentes EXERCÍCIOS 1 Qual a probabilidade de sair o ÁS de ouros quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas 2 Qual a probabilidade de sair o um REI quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas 3 Em um lote de 12 peças 4 sã defeituosas Sendo retirada uma peça calcule a a probabilidade de essa peça ser defeituosa b a probabilidade de essa peça nã ser defeituosa 4 De dois baralhos de 52 cartas retiramse simultaneamente uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um REI e a do segundo ser o 5 de paus 5 Uma urna A contém 3 bolas brancas 4 pretas 2 verdes uma urna B contém 5 nolas brancas 2 pretas 1 verde uma urna C contém 2 bolas brancas 3 pretas 4 verdes Uma bola é retirada de cada urna Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da 1ª 2ª e 3ª urnas serem respectivamente branca preta e verde 6 De um baralho de 52 cartas retiramse ao acaso duas cartas sem reposição Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ÁS de paus e a segunda ser o REI de paus 7 Qual a probabilidade de sair uma figura rei ou dama ou valete quando retiramos uma carta de um baralho de 52 carta 8 São dados dois baralhos de 52 cartasTiramos ao mesmo tempo uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo Qual a probabilidade de tirarmos uma DAMA e um REI não necessariamente nessa ordem 9 Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ou ESPADAS 10 Duas bolas são retiradas sem reposição de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta 11 Duas bolas são retiradas com reposição de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta 12 Duas bolas são retiradas sem reposição de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas e 5 bolas verdes aQual a probabilidade de que ambas sejam verdes b Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor Variável aleatória Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos cujo valor é determinado por fatores de chance Associa números aos eventos do espaço amostral X número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda cara cara cara coroa coroa cara coroa coroa X 0 1 2 x Exemplos de variáveis aleatórias Vida útil em horas de um televisor Número de peças com defeito em um lote produzido Número de acidentes registrados durante um mês na BR101 Na internet o tempo em segundos para que uma determinada mensagem chega ao seu destino Se uma mensagem chega X 1 ou não X 0 ao seu destino Variáveis aleatórias variável aleatória discreta os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável contínua os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais 0 1 2 3 4 0 número de defeitos em tempo de resposta de Distribuição de Probabilidades Exemplo Distribuição de probabilidade para o número de carros vendidos durante um dia em concessionária segundo dados históricos x n de carros vendidos durante o dia Pode assumir os valores 012345 x 0 1 2 3 4 5 ƒx 018 039024 014 004 001 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades ou modelo probabilístico indica para uma variável aleatória quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer Construção de distribuições de probabilidades Sortear 2 bolas com reposição X número de bolas pretas na amostra Sortear 2 bolas com reposição X número de bolas pretas na amostra x px 0 925 036 1 1225 048 2 425 016 Sortear 2 bolas sem reposição X número de bolas pretas na amostra x px 0 620 030 1 1220 060 2 220 010 Sortear 2 bolas X número de bolas pretas na amostra Distrib de X com reposição x px 0 036 1 048 2 016 Distrib de X sem reposição x px 0 030 1 060 2 010 independência 46 Condições exigidas para uma Função Discreta de Probabilidade ƒx 0 ƒx 1 Exemplo 1 Considere que numa grande loja de departamentos em 60 dos dias algum cliente rouba alguma peça Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X número de dias com roubos na loja considerando o período de observação de três dias Suponha independência Exemplo 1 x 0 1 1 1 2 2 2 3 Possibilidades BBB BBR BRB RBB BRR RBR RRB RRR Probabilidade 04 x 04 x 04 0064 04 x 04 x 06 0096 04 x 06 x 04 0096 06 x 04 x 04 0096 04 x 06 x 06 0144 06 x 04 x 06 0144 06 x 06 x 04 0144 06 x 06 x 06 0216 Exemplo 1 x px 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 Total 1 0064 0 1 2 3 0216 0432 0288 número de dias com roubos na loja Distribuição de probabilidade de X Valor esperado e variância x px x1 p1 x2 p2 xn pn Total 1 xi pi E X i i p x X V 2 2 X número de dias com roubos na loja xi pi E X EX 00064 10288 20432 30216 18 Exemplo 1 x px 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 X número de dias com roubo na loja x px 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 VX 0 1820064 1 1820288 2 1820432 3 1820216 072 Exemplo 1 i i p x X V 2 2 Experimento binomial consiste de n ensaios cada ensaio tem somente dois resultados sucesso fracasso os ensaios são independentes com Psucesso p 0 p 1 constante ao longo dos ensaios X número de sucesso nos n ensaios Exemplos de experimentos binomiais Número de caras em 10 lançamentos de uma moeda Número de itens defeituosos numa amostra de 20 itens supondo amostragem aleatória e com reposição Número de eleitores favoráveis a um determinado projeto de lei em uma amostra de 200 entrevistados supondo amostragem aleatória de uma população muito grande Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais X número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com Pcara p PX 1 X 1 C K K K C K K K C PCKK p 1 p2 PX 1 3 p 1 p2 x n O modelo binomial n x x p x p n x X P 1 Para um particular x 0 1 n x n x n x n C n x p n E X 1 p p n V X Exemplo 1 de novo Considere que numa grande loja de departamentos em 60 dos dias algum cliente rouba alguma peça Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X número de dias com roubos na loja considerando o período de observação de três dias Suponha independência Exemplo 1 de novo X número de dias com roubos binomial com n 3 p 06 1 p 04 x x x x X P 3 40 60 3 Exemplo 1 de novo n 3 p 06 PXx 06x1 063x 3 x 1 3 0 PX0 0601 0630 1060043 0064 3 0 3 0 30 1 Exemplo 1 de novo n 3 p 06 3 1 PX1 0611 0631 3061042 0288 3 1 3 1 31 3 PXx 06x1 063x 3 x Exemplo 1 de novo n 3 p 06 3 2 PX2 0621 0632 3062041 0432 3 2 3 2 32 3 PXx 06x1 063x 3 x Exemplo 1 de novo n 3 p 06 3 3 PX3 0631 0633 1063040 0216 3 3 3 3 33 1 1 PXx 06x1 063x 3 x Distribuição da variável X 0064 0 1 2 3 0216 0432 0288 x px 0 0064 1 0288 2 0432 3 0216 Total 1 81 60 3 p n X E 0 72 40 60 3 1 p p n V X Exercício Em um grande lote sabese que 10 das peças são defeituosas Qual é a probabilidade de ao se retirarem 6 peças ao acaso a uma ser defeituosa b no máximo uma ser defeituosa c pelo menos duas serem defeituosas 03543 08857 01143