Probabilidade e Modelos Probabilisticos - Variaveis Continuas e Distribuicao Normal

Probabilidade e Modelos Probabilísticos 2ª Parte modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas modelo normal Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades ou modelo probabilístico indica para uma variável aleatória quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer Exemplo 1 Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo obtido neste experimento fx 0o 360o x Área 1 1 360 X variável aleatória que indica o ângulo formado Exemplo 1 Qual é a probabilidade de obter um ângulo entre 30o e 60o fx 0o 360o x 1 360 área 00833 P30o X 60o Exemplo 2 Distribuição normal Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X a sua altura em centímetros Apresentase a seguir uma possível distribuição de probabilidades para este caso 130 140 150 160 170 180 190 200 210 x fx altura em cm Exemplo 2 Representar o evento estudante selecionado tem 180 cm ou mais X 180 e sua probabilidade PX 180 130 140 150 160 170 180 190 200 210 x fx altura em cm X 180 PX 180 Distribuição Normal fx x f x e x 1 2 1 2 2 média desvio padrão Características x Área 1 A variável aleatória pode assumir valores de a Área abaixo da curva é igual a 1 100 de probabilidade Características Identificada pela média e pelo desvio padrão x Média e Desvio Padrão x mesmo e diferentes µ Média e Desvio Padrão 2 4 X mesmo e diferentes Características Simetria em relação à média x 50 área 683 Exemplo 2 2 Exemplo área 954 Exemplo 3 3 área 997 17 FÓRMULA PARA CÁLCULO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Z X µ σ Onde Z crítico ou calculado é o valor que a variável Z assume para um dado X µ valor da média σ valor do desvio padrão X variável aleatória contínua Normal Padronizada x 2 2 0 z 1 1 2 2 19 TRANSFORMAÇÃO DE X EM Z Para consultar a tabela é preciso decompor o Zc Z crítico ou calculado em duas parcelas Parte inteira 1 casa decimal 1 parcela e 00 2casa decimal 2 parcela Ex1 Z 139 1parcela 13 na margem esquerda vertical 2parcela 009 na margem superior horizontal Z 04177 20 O Z decomposto em duas parcelas compõe a moldura da tabela No cruzamento das duas parcelas encontrase a probabilidade correspondente a área da curva entre 0 e o Z calculado também chamado crítico Ex2 Zcalculado 200 1parcela 20 2parcela 000 Z 04772 21 COMO CALCULAR A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Passo 1 transformar X em Z isto é para cada caso calcular o valor do Zc que corresponde ao X dado Passo 2 fazer os gráficos para visualização Passo 3 procurar na tabela as probabilidades pedidas Às vezes é preciso fazer algumas operações simples ou para obter a resposta final AREA subtendida pela CURVA NORMAL REDUZIDA de 0 a z μ média τ variância fx 1 τ 2π eZ²2 Z x μ τ z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0754 02 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 03 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 04 1564 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 05 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 06 2258 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2518 2549 07 2580 2612 2642 2673 2704 2734 2764 2794 2823 2852 08 2881 2910 2939 2967 2996 3023 3051 3078 3106 3133 09 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 10 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 11 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 12 3809 3869 3888 3947 3925 3944 3962 3980 3997 4015 13 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 14 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 15 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 16 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4543 17 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 18 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 19 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 20 4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817 21 4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857 22 4861 4864 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 4900 23 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916 24 4918 4920 4922 4925 4927 4929 4931 4932 4934 4936 25 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952 26 4953 4955 4956 4957 4959 4960 4961 4962 4963 4964 27 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974 28 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4979 4980 4981 29 4981 4982 4982 4983 4984 4984 4985 4985 4986 4986 30 4987 4987 4987 4988 4988 4989 4989 4989 4990 4990 31 4990 4991 4991 4991 4992 4992 4992 4992 4993 4993 32 4993 4993 4994 4994 4994 4994 4994 4995 4995 4995 33 4995 4995 4995 4996 4996 4996 4996 4996 4996 4997 34 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4998 35 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 36 4998 4998 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 37 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 38 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 39 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 TABELA Z 37 Exemplo 4 de novo PX65 x 5 65 39 Grato pela atenção Exemplo 3 Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X o valor de sua altura em centímetros Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm Qual é o escore padronizado de um estudante com 190 cm x 190 z x 190 170 10 2 20 10 Exemplo 3 2 z 0 190 10 x 170 Exemplo 3 z 2 0 190 x 170 PX190 PZ2 Exemplo 3 1 1 3 3 2 2 z 0 160 180 140 200 190 150 10 x 170 Exercício 1 uso da tabela Com base na tabela da normal padronizada calcular a PZ 1 z 0 1 01587 tabela Exercício 2 Com base na tabela da normal padronizada calcular b PZ 123 z 0 123 01093 tabela Exercício 3 c P2 Z 2 z 0 2 2 00228 tabela P2 Z 2 1 200228 09554 Exercício 4 Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X o valor de sua altura em centímetros Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm qual é a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm Exercício 4 resposta x 185 cm z z x 185 170 10 15 15 10 Exercício 4 resposta PZ 15 z 0 15 00668 tabela Aproximação da binomial pela normal Considere que um aluno irá fazer um teste de Estatística Pelo que estudou ele tem 50 de probabilidade de responder corretamente uma questão Se o teste tem 10 perguntas seja X o número de respostas corretas Exemplo 4 0001 001 0246 001 0001 0117 0044 0044 0205 0117 0205 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PX número de respostas corretas X Distribuição binomial n10 p05 Exemplo 4 Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas PX6P7P8P9P1001170044001000010172 0001 001 0246 001 0001 0117 0044 0044 0205 0117 0205 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 PX6 0172 Aproximação da Binomial pela Normal Quando o número de ensaios n da binomial é grande a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média np e variância np1 p x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Exemplo 4 de novo Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas afirmativas usando a normal x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PX65 Exemplo 4 de novo z x 65 5 1581139 095 5 1581139 x 65 z 0 095 01711 Lembrando a probabilidade Exata pela binomial era de 01720