Geometria Analítica - Interseção de Semiplanos e Retas Concorrentes

a Mostre que a interseção de dois semiplanos é um convexo b Mostre que a interseção de n semiplanos é um convexo para n 2 um inteiro 1 Digitar a resolução usar a linguagemprotocolo tex ou anexar um aquivo digitalizado da resolução 2 Se for anexar um arquivo assinar antes de digitalizar São dados 4 pontos A B C e D e uma reta m que não contém nenhum deles Sabese que os segmentos AB e CD cortam a reta m e que o segmento BC não corta Mostre que o segmento AD também não corta a reta m 1 Digitar a resolução usar a linguagemprotocolo tex ou anexar um aquivo digitalizado da resolução 2 Se for anexar um arquivo assinar antes de digitalizar Mostre que a união de todas as retas que passam por um ponto A é o plano 1 Digitar a resolução usar a linguagemprotocolo tex ou anexar um aquivo digitalizado da resolução 2 Se for anexar um arquivo assinar antes de digitalizar Questão 1 a Mostre que a interseção de dois semiplanos é um convexo Um semiplano é um conjunto convexo A interseção de dois conjuntos convexos é também um conjunto convexo Portanto a interseção de dois semiplanos é um conjunto convexo b Mostre que a interseção de n semiplanos é um convexo para n 2 um inteiro Podemos provar isso por indução Suponha que a interseção de n semiplanos seja um conjunto convexo Então a interseção de n 1 semiplanos é a interseção de n semiplanos um conjunto convexo com outro semiplano também um conjunto convexo Como a interseção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo a interseção de n 1 semiplanos também é um conjunto convexo Portanto por indução podemos concluir que a interseção de n semiplanos é um conjunto convexo para qualquer n 2 Questão 2 Mostre que a união de todas as retas que passam por um ponto A é o plano A união de todas as retas que passam por um ponto A é o plano Isso pode ser visualizado ao imaginar um ponto A em um plano e traçar várias retas que passam por ele Cada reta pode ser rotacionada em torno do ponto A para cobrir todo o plano Dessa forma a união de todas essas retas é o próprio plano Questão 3 São dados 4 pontos A B C e De uma reta m que não contém nenhum deles Sabese que os segmentos AB e CD cortam a reta m e que o segmento BC não corta Mostre que o segmento AD também não corta a reta m Para mostrar que o segmento AD não corta a reta m podemos usar o fato de que os segmentos AB e CD cortam a reta m e que o segmento BC não corta Suponha que o segmento AD corte a reta m em um ponto P Então os pontos A e D estão em lados opostos da reta m Como os segmentos AB e CD cortam a reta m os pontos B e C também estão em lados opostos da reta m No entanto isso contradiz o fato de que o segmento BC não corta a reta m Portanto nossa suposição inicial de que o segmento AD corta a reta m é falsa Isso significa que o segmento AD não corta a reta m Note que o segmento AD não está traçado no gráfico mas é fácil visualizar por que ele não pode cruzar a reta m a partir da posição dos pontos A B C e D e dos segmentos de reta traçados