Mudanças de Variáveis na Integral Dupla

Exercícios Volume 3 Capítulo 4 Mudança de Variáveis na Integral Dupla 1 Calcule a integral 2 2 2 2 x y B x e dxdy 2 2 2 2 B x y x y R R em que R 0 é uma constante Solução Considerando coordenadas polares cos x ρ θ sen y ρ θ temos 2 2 2 x y ρ logo por essa mudança B é a imagem de 0 2 e B R ρθ θ ρ θ π ρ Observe que a fronteira de B tem conteúdo nulo e a imagem do interior de Bρθ é o interior de B Assim como dxdy d d ρ ρ θ temos 2 2 2 4 2 3 2 2 4 3 2 0 0 2 4 2 0 0 4 2 2 0 4 2 0 4 2 0 4 cos cos 1 cos 4 1 cos 4 1 1 1 cos2 4 2 2 1 sen2 4 2 4 1 4 x y B B R R R R R R x e dxdy e d d e d d e d e d e d e e ρ ρθ π ρ π ρ π π π ρ θ ρ θ θρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π 2 Exercícios 2 Usando coordenadas polares calcule a integral 2 2 1 1 B dxdy x y em que B é o con junto cuja imagem através dessa mudança de coordenadas é 0 cos2 e 4 B r ρθ π ρ θ θ θ Solução Considerando coordenadas polares cos x ρ θ sen y ρ θ e dxdy d d ρ ρ θ assim 2 2 2 cos 2 4 0 2 4 cos 2 2 4 0 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 cos2 1 2 1 cos 2 cos 1 2sen 2 sen sen 4 4 2 2 2 B B dxdy d d x y d d d d d d ρθ π θ π π θ π π π π π π π π π ρ ρ θ ρ ρ ρ θ ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π π π π 3 Calcule a integral 4 4 2 2 B x y xy dxdy a b 4 4 2 2 2 0 e 0 x y B x y R x y a b em que a b e R são constantes positivas 3 Mudança de Variáveis na Integral Dupla Solução Considere a mudança de coordenadas cos x aρ θ sen y bρ θ assim cos sen 2 cos 2 cos 4 cos sen sen cos 2 sen 2 sen a a x x a a x y ab y y ab b b b b θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ θ θ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ Além disso 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sen cos x y a b a b a b ρ θ ρ θ ρ donde B é a imagem do conjunto 2 0 e 0 0 e 0 2 2 B R R ρθ π π θ ρ ρ θ θ ρ ρ θ Observe que a fronteira de B tem conteúdo nulo e que o interior de B é a imagem pela mudança de coordenadas do interior de Bρθ Portanto temos que 4 4 2 2 2 2 3 2 0 0 4 2 0 0 2 2 0 2 2 2 0 cos sen 4 cos sen 4 16 16 16 32 B B R R x y ab xy dxdy ab d d a b ab ab d d ab d abR d abR abR ρθ π π π π ρ ρ θ θ ρ θ θ θ ρ ρ θ ρ θ θ π θ 4 Calcule a integral 2 2 cos B x y x y dxdy B x y x y π 4 Exercícios Solução Considere a mudança de coordenadas u x y e v x y assim 2 u v x e 2 u v y Observe que x 0 e y 0 u 0 e x y x y x y u x 0 e y 0 v 0 e x y x y x y v x 0 e y 0 v 0 e x y x y v x 0 e y 0 u 0 e x y x y u Logo B é transformado em e Buv u v u v π π Além disso B tem frontei ra com conteúdo nulo o interior de uv B é transformado no interior de B e 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 x x u v x y u v y y u v Donde segue que 2 2 2 2 2 3 3 3 4 cos cos 2 cos 6 1 1 cos2 3 2 2 1 sen2 6 2 3 B u x y x y dxdy vdudv v u dv v dv v v π π π π π π π π π π π π π π π 5 Calcule a integral 4 4 1 x x B e dxdy e em que 1 1 e 0 2 2 B x y x y π Solução Considere a mudança de coordenadas 2 x cos u e y 2 x sen v e y Então 2 2 x ln u v y arctg v u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 u v x x u v u v u v x y u v u v y y v u u v u v u v 5 Mudança de Variáveis na Integral Dupla Observe que a reta 1 x 2 é transformada no círculo de raio 1 e centro na origem do plano uv 2 2 u v e a reta x 1 é transformada no círculo de raio e2 e centro na origem do plano uv 2 2 2 u v e a reta y 0 é transformada na reta v 0 e a reta 2 y π é transformada na reta u 0 Donde segue que B é a imagem pela mudança de coordenadas do conjunto 2 2 2 0 e 0 Buv u v e u v e u v Assim 4 4 2 2 1 1 1 x x B Buv e dxdy dudv e u v Agora utilizando coordenadas polares cos u ρ θ e sen v ρ θ então uv B é transfor mado em 2 e 0 2 B e e ρθ ρ θ ρ θ π e 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 4 2 0 2 2 4 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 ln ln 1 2 1 2 B B uv e e e e dudv d d u v d d d e e e e e ρθ π π π ρ ρ θ ρ ρ ρ θ ρ ρ θ θ π π 6 Prove a convergência da seguinte integral imprópria 2 2 2 2 2 2 x y x y e dxdy x y 1 Solução Temos que 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim x y x y x y R R x y e x y e dxdy dxdy x y x y Exercícios 1 Exercicio 1 Capítulo 4 Mudança de Variáveis na Integral Dupla 1 Calcule a integral B x² ex²y²² dx dy B xy R² x² y² R² em que R 0 é uma constante Vamos resolver a integral 02π 0R x² ex²y²² dx dy usando coordenadas polares 1 Mudança para Coordenadas Polares Nas coordenadas polares temos as seguintes relações x r cos θ y r sin θ x² y² r² O elemento de área dx dy transformase em dx dy r dr dθ Substituindo na integral 02π 0R r² cos² θ er⁴ r dr dθ 02π 0R r³ cos² θ er⁴ dr dθ 2 Separação das Integrais Podemos separar a integral em duas partes 02π cos² θ dθ 0R r³ er⁴ dr 3 Resolução da Integral em θ A integral em θ é resolvida usando a identidade trigonométrica cos² θ 1 cos2θ2 Assim 02π cos² θ dθ 02π 1 cos2θ2 dθ 12 02π 1 dθ 12 2π π 4 Resolução da Integral em r Agora resolvemos a integral em r 0R r³ er⁴ dr Fazendo a substituição u r⁴ temos du 4r³ dr e a integral se torna 14 0R⁴ eu du 14 eu0R⁴ 14 1 eR⁴ 5 Resultado Final do Exercício 1 Portanto o valor da integral é π4 1 eR⁴ 2 Exercicio 2 2 Usando coordenadas polares calcule a integral B 11 x² y² dx dy em que B é o conjunto cuja imagem através dessa mudança de coordenadas é Bρθ ρθ 0 r cos 2θ e θ π4 Consideramos a integral I 11 x² y² dx dy Vamos resolvêla usando coordenadas polares Passo 1 Transformação para Coordenadas Polares Em coordenadas polares onde x ρ cosθ e y ρ sinθ o elemento diferencial dx dy é substituído por ρ dρ dθ A função se transforma em 11 x² y² 11 ρ² Portanto a integral se torna I π4π4 0cos2θ ρ1 ρ² dρ dθ Passo 2 Resolver a Integral Interna Consideramos a integral interna com respeito a ρ 0cos2θ ρ1 ρ² dρ Utilizamos a substituição u 1 ρ² Então du 2ρ dρ o que implica que ρ dρ 12 du Os limites de u são Quando ρ 0 u 1 Quando ρ cos2θ u 1 cos2θ Substituindo obtemos 11cos2θ 12u du A integral de 1u é 2u Assim 12 2u11cos2θ 1 cos2θ 1 Simplificando 1cos2θ1 Passo 3 Resolver a Integral Externa Agora integramos com respeito a θ π4π4 1cos2θ1 dθ Usamos a identidade cos2θ 2cos²θ 1 Assim 1 cos2θ 2 cos²θ Portanto 1cos2θ 2 cos²θ 2 cosθ Como θ varia de π4 a π4 temos cosθ 0 Assim 1cos2θ 2 cosθ A integral se torna π4π4 2 cosθ 1 dθ Dividimos em duas integrais π4π4 2 cosθ dθ π4π4 1 dθ Passo 4 Resolver as Integrais Primeira integral π4π4 2 cosθ dθ 2 sinθπ4π4 2 sinπ4 sinπ4 2 22 22 2 2 2 Segunda integral 9 π4π4 1 dθ θπ4π4 π4 π4 π2 Resposta Final do Exercício 2 Portanto o valor da integral é 2 π2 10 3 Exercício 3 3 Calcule a integral B xy x⁴a² y⁴b² dxdy B xy R² x⁴a² y⁴b² R x 0 e y 0 em que a b e R são constantes positivas Considere a integral I xy x⁴a² y⁴b² dx dy onde x 0 y 0 e a região é dada por x⁴a² y⁴b² R Vamos utilizar a transformação de coordenadas x aρ cosθ e y bρ sinθ Passo 1 Transformar a Região de Integração Substituímos x e y na condição da região x⁴a² y⁴b² R Substituindo x aρ cosθ e y bρ sinθ aρ cosθ⁴ a² bρ sinθ⁴ b² R Simplificando temos a² ρ² cos²θ a² b² ρ² sin²θ b² R ρ² cos²θ sin²θ R Como cos²θ sin²θ 1 ρ² R Portanto 0 ρ R E θ varia de 0 a π2 para a região onde x 0 e y 0 Passo 2 Determinar o Jacobiano da Transformação Para a transformação x aρ cosθ e y bρ sinθ calculamos o Jacobiano Primeiro encontramos as derivadas parciais xρ 12 aρ cosθ xθ 12 aρcosθ3 sinθ yρ 12 bρ sinθ yθ 12 bρsinθ3 cosθ Então o Jacobiano J é J xyρθ 12 aρ cosθ 12 bρ sinθ 12 aρcosθ3 sinθ 12 bρsinθ3 cosθ Simplificando o Jacobiano é J 14 abρ2 cosθ sinθ Passo 3 Substituição na Integral Substituímos x e y e o Jacobiano na integral xy x4a2 y4b2 dx dy Usando x aρ cosθ e y bρ sinθ xy aρ cosθ bρ sinθ abρ2 cosθ sinθ x4a2 a2 ρ2 cos2θa2 ρ2 cos2θ y4b2 b2 ρ2 sin2θb2 ρ2 sin2θ x4a2 y4b2 ρ2 cos2θ ρ2 sin2θ ρ2 Portanto xy x4a2 y4b2 abρ2 cosθ sinθ ρ2 ρ2 abρ2 cosθ sinθ E com o Jacobiano 14 abρ2 cosθ sinθ A integral tornase ₀π2 ₀R ρ2 abρ2 cosθ sinθ 14 abρ2 cosθ sinθ dρ dθ Simplificando ab4 ₀π2 ₀R ρ3 dρ dθ Passo 4 Resolver a Integral Para a integral em ρ ₀R ρ3 dρ ρ440R R44 R24 E a integral em θ ₀π2 dθ π2 Portanto ab4 R24 π2 abR2π32 Resposta Final do Exercício 3 O valor da integral é abR2π32 4 Exercicio 4 4 Calcule a integral B xy2 cos2xy dxdy B xy x y π Considere a integral I xy2 cos2xy dx dy sobre a região definida por x y π usando a transformação de variáveis u xy e v xy 41 Passo 1 Determinar a Região de Integração Primeiro reescrevemos a condição da região em termos de u e v x uv2 e y uv2 Então x y uv2 uv2 12 uv uv A região é então uv uv 2π Passo 2 Determinar o Jacobiano da Transformação O Jacobiano da transformação xy uv é J xyuv 12 12 12 12 12 Passo 3 Substituir na Integral Substituímos x e y e o Jacobiano na integral xy2 cos2xy u2 cos2v Portanto a integral se torna u2 cos2v 12 du dv 5 Exercício 5 5 Calcule a integral B e4x1 e4x dxdy em que B xy 12 x 1 e 0 y π2 Considere a integral I 0π2 121 e4x1 e4x dx dy Passo 1 Separar a Integral Podemos separar a integral em duas partes I 0π2 121 e4x1 e4x dx dy Passo 2 Resolver a Integral Interna em x Para resolver a integral interna usamos a substituição u e4x Então du 4e4x dx ou dx du4u Os limites para u são de e2 a e4 121 e4x1 e4x dx 14 e2e4 11 u du Passo 3 Resolver a Integral com Respectiva Substituição A integral se torna 14 e2e4 11 u du Usamos a substituição w 1 u 14 lnw1 e21 e4 14 ln 1 e21 e4 Resposta Final do Exercıcio 4 O valor da integral e π4 3 11 Passo 4 Determinar os Limites de Integração Os limites para u e v são π u π π v π Passo 5 Resolver a Integral A integral se torna 12 ππ ππ u2 cos2v dv du Podemos separar a integral 12 ππ u2 du ππ cos2v dv Primeiro resolvemos a integral em u ππ u2 du u33ππ π33 π33 2π33 Agora resolvemos a integral em v ππ cos2v dv Utilizando a identidade trigonométrica cos2v 1 cos2v2 A integral se torna ππ 1 cos2v2 dv 12 ππ 1 dv 12 ππ cos2v dv A integral de cos2v sobre um período é zero 12 ππ 1 dv 12 2π π Finalmente a integral completa é 12 2π33 π π43 Passo 4 Resolver a Integral Externa em y A integral em y é 0π2 dy π2 Passo 5 Combinar os Resultados Multiplicando os resultados das integrais I π214 ln 1 e21 e4 π8 ln 1 e21 e4 O valor da integral é π8 ln 1 e21 e4 Vamos verificar a equivalência entre as seguintes expressões π8 ln 1 e21 e4 e π2 lne2 1 51 Passo 6 Simplificar a Fração no Logaritmo Considere a expressão π8 ln 1 e21 e4 Observe que 1 e4 1 e21 e2 Portanto 1 e21 e4 1 e21 e21 e2 11 e2 Assim a expressão no logaritmo se simplifica para 1 e21 e4 11 e2 52 Passo 7 Aplicar a Propriedade do Logaritmo Substituindo na expressão original fracpi8 ln left frac11 e2 right Usamos a propriedade do logaritmo que diz que ln leftfrac1aright ln a fracpi8 ln left frac11 e2 right fracpi8 left ln1 e2 right fracpi8 ln1 e2 53 Passo 8 Comparar com a Forma Desejada Queremos mostrar que fracpi8 ln1 e2 fracpi2 lne2 1 Observe que ln1 e2 lne2 1 Portanto fracpi8 ln1 e2 fracpi8 lne2 1 Para obter fracpi2 lne2 1 observe que fracpi8 lne2 1 fracpi2 lne2 1 não é verdadeiro a menos que fracpi8 fracpi2 o que não é o caso Assim a expressão original fracpi8 ln left frac1 e21 e4 right é equivalente a fracpi8 lne2 1 e não a fracpi2 lne2 1 Resposta Final do Exercício 5 A equivalência correta é boxedfracpi8 ln leftfrac1 e21 e4right fracpi8 lne2 1 6 Exercício 6 intinftyinfty intinftyinfty fracx2 y2 esqrtx2y2sqrtx2 y2 dx dy Vamos determinar a convergência da integral imprópria I intinftyinfty intinftyinfty fracx2 y2 esqrtx2y2sqrtx2 y2 dx dy fxy fracx2 y2 esqrtx2y2sqrtx2 y2 Figure 1 Gráfico da função fxy Passo 1 Transformar para Coordenadas Polares Em coordenadas polares temos x rho cos heta y rho sin heta dx dy rho drho d heta sqrtx2 y2 rho x2 y2 rho2 A integral em coordenadas polares se transforma em I int02pi int0infty fracrho2 erhorho cdot rho drho d heta Simplificando a função dentro da integral fracrho2 erhorho cdot rho rho2 erho Então a integral se torna I int02pi int0infty rho2 erho drho d heta Passo 2 Separar as Integrais A integral pode ser separada em duas partes I leftint02pi d hetaright leftint0infty rho2 erho drho right Passo 3 Avaliar a Integral em heta A integral em heta é int02pi d heta 2pi Passo 4 Avaliar a Integral em rho A integral int0infty rho2 erho drho é uma integral padrão que pode ser avaliada usando a função gama Gamman Para n 3 int0infty rho2 erho drho Gamma3 2 Resposta Final do Exercício 6 Substituindo o valor encontrado na integral boxedI 2pi imes 2 4pi Como a integral é finita podemos concluir que a integral imprópria converge