Estudo da Reta - Projeções e Propriedades Geométricas

A RETA ESTUDO DA RETA A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre este plano p C D B A A B D C a Baixando de todos os pontos da reta perpendiculares ao plano os pés das perpendiculares dão lugar à projeção ortogonal da reta Estas perpendiculares formam um plano perpendicular ao plano p que é o plano projetante da reta Os pés das perpendiculares estão na interseção dos dois planos e a projeção da reta AB é portanto esta interseção ESTUDO DA RETA AB B A p A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta quando esta lhe for perpendicular Neste caso a projeção da reta se reduz a um ponto porque as projetantes de todos os seus pontos se confundem com a própria reta ESTUDO DA RETA A B A p B Quando uma reta for paralela ao plano a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria reta No exemplo dado seja a reta AB paralela ao plano p cuja projeção neste plano é a reta AB As duas retas AB e AB formam com as projetantes AA e BB um paralelograma no qual AB AB Dizse então que a reta se projeta em VERDADEIRA GRANDEZA VG ESTUDO DA RETA p A B A B Quando uma reta for oblíqua a um plano a sua projeção é menor que a reta do espaço Isto pois a reta forma com a sua projeção e as projetantes um trapézio retângulo cuja base é menor que a reta do espaço ESTUDO DA RETA p A B B4 B3 B2 B1 AB B1 B2 B3 B4 O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação desta em relação ao plano Uma reta pode passar por todos os valores de zero reta ortogonal ao plano até o limite máximo igual ao comprimento verdadeiro da reta reta paralela ao plano ESTUDO DA RETA p A B B4 B3 B2 B1 AB B1 B2 B3 B4 Seja a reta AB perpendicular ao plano p Suponha que a reta girando em torno de A ocupe as posições AB1 AB3 etc cujas projeções no plano p são respectivamente AB AB1 AB2 etc e assim por diante Verificase que a projeção inicial é o ponto AB e que esta projeção tornase AB1 quando o ponto B atinge a posição B1 e vai crescendo gradativamente Concluise que a projeção de uma reta sobre um plano é tanto maior quanto menor for sua inclinação sobre ele POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS M s r a Sejam as retas r e s o plano a e o ponto M comum à reta s e ao plano a Enquanto a reta r está situada no plano a a reta s tem neste plano apenas um ponto M Concluise que o ponto M e a reta r definem o plano a e a reta s a ele não pertence RETAS REVERSAS OU NÃO COPLANARES r e s são retas reversas ou não coplanares o que significa que não pertencem ou não estão posicionadas no mesmo plano POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES Sejam as retas r e s o plano a e o ponto M comum às retas r e s e ao plano a As retas r e s pertencem ao mesmo plano r e s são ditas coplanares pois definem um plano a M s r a M s r r1 s1 Concorrentes as retas r e s apresentam um ponto em comum M Paralelas as retas r1 e s1 são paralelas não admitindo ponto comum POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS COPLANARES Duas retas são concorrentes quando o ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais M estiver numa mesma linha de chamada a RETAS COPLANARES CONCORRENTES POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS M r s r s M M s s M r r Duas retas são concorrentes quando duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se cortam RETAS COPLANARES CONCORRENTES POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS a O r s O S O r O rs Neste caso as 2 retas concorrentes admitem um mesmo plano de projetante e por isso suas 2 projeções de mesmo nome coincidem Duas retas são concorrentes quando uma das projeções de uma reta se reduz a um ponto sobre a projeção de mesmo nome da outra reta RETAS COPLANARES CONCORRENTES POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS a r u M Mu r u r M r Mu Duas retas são paralelas quando I as suas projeções de mesmo nome são paralelas RETAS COPLANARES PARALELAS POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS r r s s r r s s a Duas retas são paralelas quando II duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas é o caso de duas retas s admitirem um mesmo plano projetante RETAS COPLANARES PARALELAS POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS r a s rs r s rs Duas retas são paralelas quando III as suas projeções sobre um mesmo plano se reduzem cada uma a um ponto RETAS COPLANARES PARALELAS POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS r a s r s s r É o caso de duas retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si ALGUMAS POSIÇÕES DA RETA RETA HORIZONTAL reta paralela ao plano horizontal RETA FRONTAL reta paralela ao plano vertical RETA FRONTOHORIZONTAL reta paralela aos dois planos RETA VERTICAL reta perpendicular ao plano horizontal RETA DE TOPO reta perpendicular ao plano vertical Não mencionamos retas perpendiculares aos dois planos Por que POSIÇÕES DA RETA Pois não há retas nesta posição Toda a reta perpendicular a um plano será obrigatoriamente paralela ao outro JÁ QUE OS PLANOS DE PROJEÇÃO SÃO PERPENDICULARES ENTRE SI DETERMINAÇÃO DE UMA RETA A B A B De modo geral a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções desta reta sobre os dois planos ortogonais de Monge Sejam os planos p e p perpendiculares e AB e AB respectivamente as projeções da reta AB cuja posição queremos determinar Por AB fazse passar um plano perpencicular ao plano p o mesmo se aplica com AB em relação a p Cada um dos planos que são os planos projetantes da reta nos respectivos planos de projeção deve conter a reta do espaço que será então a interseção destes 2 planos projetantes A A A B p B B p PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA a A C A C B B Sabese que três pontos em linha reta projetamse segundo três pontos também em linha EXCETO quando os pontos estão na mesma reta perpendicular ao plano Verificase então que se o o ponto C da figura ao lado pertence à reta AB a projeção C pertence à projeção AB REGRA GERAL r A A r B B t t E E F C C F PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA REGRA GERAL um ponto pertence a uma reta quando as projeções deste ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta ou seja a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta EXEMPLOS POSIÇÕES DA RETA Em relação aos planos de projeção a reta pode ocupar várias posições posições estas que determinam nomes e propriedades particulares Veremos aqui a maior parte delas No espaço Na épura Características da reta Qualquer O segmento AG é oblíquo em relação ao PV e ao PH Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento Nenhuma de suas projeções está em VG As projecções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT RETA QUALQUER AG PV A2 C B F G D H A E G1 G2 A1 PH A2 G2 G1 A1 L T No espaço Na épura RETA FRONTOHORIZONTAL AB Características da reta Frontohorizontal O segmento AB tem a mesma cota distância do ponto ao PH em todos os seus pontos portanto é paralela ao PH Tem também o mesmo afastamento distância do ponto ao PV em todos os seus pontos e portanto é paralela ao PV Sendo paralela ao PV e ao PH também o será à LT Por ser paralela ao PH a sua projeção horizontal está em VG Verdadeira Grandeza Por ser paralela ao PV a sua projeção vertical também estará em VG PV A2 C B F G D H A E B1 B2 A1 PH A2 B2 B1 A1 L T RETA HORIZONTAL AC No espaço Na épura Características da reta Horizontal O segmento AC tem mesma cota em todos os seus pontos portanto é paralela ao P H Porém tem afastamentos diferentes nos pontos é oblíquo ao PV Por ser paralela ao PH porém oblíquo ao PV a sua projeção horizontal está em VG e é oblíqua à LT Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH a sua projeção vertical é paralela à LT PV A2 C B F G D H A E C1 C2 A1 PH A2 C2 C1 A1 L T RETA DE TOPO AD No espaço Na épura Características da reta de Topo O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos portanto é paralela ao PH Porém tem afastamentos diferentes nos seus pontos e é perpendicular ao PV Por ser paralela ao PH a sua projeção horizontal está em VG e é perpendicular à LT Sendo perpendicular ao PV a sua projeção vertical transformase num ponto PV A2D2 C B F G D H A E D1 A1 PH A2D2 D1 A1 L T RETA DE VERTICAL AE No espaço Na épura Características da reta Vertical O segmento AE tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos portanto é paralelo ao PV Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e é perpendicular ao PH Sendo paralelo ao PV a sua projeção vertical estará em VG e é perpendicular à LT Por ser perpendicular ao PH a sua projeção horizontal estará reduzida a um ponto PV A2 C B F G D H A E A1E1 PH A2 A1E1 L T E2 E2 RETA FRONTAL AF No espaço Na épura Características da reta Frontal O segmento AF tem o mesmo afastamento em todos os seus pontos portanto é paralelo ao PV Porém tem cotas diferentes nos seus pontos e é oblíquo ao PH Sendo paralelo ao PV a sua projeção vertical estará em VG e é oblíqua à LT Por ser oblíqua ao PH mas paralela ao PV a sua projeção horizontal será paralela à LT PV A2 C B F G D H A E A1 PH A2 A1 L T F2 F2 F1 F1 RETA DE PERFIL AH No espaço Na épura Características da reta de Perfil O segmento AH é oblíquo tanto ao PV quanto ao PH As cota e os afastamentos são diferentes ao longo do segmento As suas projeções horizontal e vertical não estão em VG As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT No espaço ela pode ser concorrente à LT PV A2 C B F G D H A E H1 A1 PH A2 H1 A1 L T H2 H2 POSIÇÕES DA RETA Uma reta de perfil só pode ocupar 2 posições em relação aos planos de projeção i ou possui os 2 traços distintos H e V e neste caso passa por 3 diedros ou ii possui os seus traços coincidentes sobre a LT e só atravessará os 2 diedros opostos pS pA s pP pI HV H r V RETA DE PERFIL TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA A2 B2 HV A1 B1 EM ÉPURA seja A B dada por suas projeções A2 e B2 e A1 e B1 V V é o traço da reta sobre o plano vertical p Suponha que o traço H da reta sobre o plano horizontal p e o traço V da reta sobre o plano vertical p sejam desconhecidos VAMOS DETERMINÁLOS Operase fazendose centro em HV e descrevendo os raios de círculo até situar estes pontos em A3 e B3 na linha de terra OBS na realidade não é necessário obrigatoriamente traçar os arcos de círculo O transporte dos afastamentos dos pontos A e B para HA3 e HB3 levam ao mesmo resultado TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA PASSO 1 A2 B2 HV A3 B3 A1 B1 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA PASSO 2 EM ÉPURA teremos em A1B1 a verdadeira grandeza da reta AB através do prolongamento superior da reta A1B1 podemos derivar o traço vertical VV da reta AB A1 B1 A2 B2 HV A1 B1 A1 VV B1 TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA A1 B1 A B HV A1 B1 A VV B TRAÇOS DE RETA DE PERFIL POSIÇÕES DA RETA A1 B1 A2 B2 HV A1 B1 H1 A1 H VV B1 PASSO 4 Pronto H e V estão determinados EM ÉPURA com o mesmo centro em HV e raio HH1 descrevese em sentido contrário ao efetuado para o rebatimento sentido dos ponteiros o arco H1H sendo H o traço horizontal POSIÇÕES DA RETA Assim como analisado para o ponto esta reta pode estar contida toda dentro de qualquer dos semiplanos ou em coincidência com a LT No primeiro caso a reta possuirá sempre uma das projeções sobre a LT No segundo caso ambas as projeções coincidem com aquela com a LT A B AA BB Reta situada no pS A reta coincide com a sua própria projeção vertical Na épura a projeção vertical aparece acima da LT e a projeção horizontal sobre a LT AA pS BB A B pI pA pP POSIÇÕES DA RETA Reta situada no pI pS pI pA pP A A B B A B A B A A B B A reta coincide com a sua própria projeção vertical Na épura a projeção vertical aparece abaixo da LT e a projeção horizontal sobre a LT POSIÇÕES DA RETA Reta situada no pA pP pS pA A A B B B A pI A reta coincide com a sua própria projeção horizontal Na épura a projeção vertical da reta aparece sobre a LT enquanto a sua a projeção horizontal posicionase abaixo da LT A B A A B B POSIÇÕES DA RETA Reta situada no pP A reta coincide com a sua própria projeção horizontal Na épura a projeção vertical da reta aparece sobre a LT enquanto a sua a projeção horizontal posicionase acima da LT pP pS pI B A A B B pA A B A B B A A POSIÇÕES DA RETA Reta situada sobre a LINHA DE TERRA pp BBB AAA pI pA AAA BBB pP pS POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos pP pS pA r pI r Reta r de topo no pA pS u pI pA pP u POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos Reta u vertical no pS POSIÇÕES DA RETA Outros exemplos Reta m frontohorizontal no pP pP pS pI B pA A Exercícios 1 Representar em épura os segmentos de reta AB e CD definindo ambos quanto a posição Dados A 1 2 1 B 3 1 3 C 3 2 2 D 0 2 3 2 Traçar em épura um segmento de reta horizontal distante 2 cm do plano π contendo um ponto A no bissetor do 1º diedro e outro ponto B em πs 3 Representar em épura uma reta r com um ponto no plano π1 e outro no terceiro diedro determinando seus traços Exercícios 4 Dada a reta AB onde A 0 2 1 e B 4 2 25 determine a sua épura b seus traços c os diedros que ela atravessa d a sua posição no espaço 5 Um ponto A está situado no 1o bP trace uma reta BC que contenha o ponto A sendo A 3 15 B 05 3 2 e C 5 6 Traçar a épura de uma reta qualquer AB com o ponto A em pA e B em ps passando por um ponto C 2 1 1 Exercícios 7 Traçar as épuras das seguintes retas a de uma vertical distante 2 cm do plano p e com um ponto em pA b de uma fronto horizontal mais próxima do plano p do que do plano p 8 Utilizando a mesma linha de terra represente em épura as seguintes retas no primeiro diedro a de perfil toda no bI e possuindo um ponto na linha de terra b de topo com ponto no ps e outro no bI Exercícios c qualquer com um ponto no ps distante 15 cm de p e outro no pA distante 2 cm de ps d de uma horizontal de cota nula 9 Traçar a épura de uma reta situada no primeiro diedro que atravesse os segundo e quarto diedros 10 Por um ponto A 2 2 2 traçar uma reta AB paralela a uma reta dada CD sendo B 0 C 1 1 3 e D 3 0 1