Rebatimento de Planos em Geometria Descritiva Metodos e Projecoes

129 capítulo X MétodoS deScritiVoS rebatiMentoS 108 Rebatimento de um plano sobre outro Dados dois planos secantes α e β dizse que rebater α sobre β é girar α em torno de sua interseção αβ com β até que os dois planos venham a coincidir A interseção αβ dos dois planos o eixo de tal rotação é denominada charneira ou eixo do rebatimento Figuras 445 e 446 Por se tratar de um movimento de rotação para qualquer ponto A do plano α a rebater podese garantir Figuras 445 e 446 que o arco descrito no movimento pertence a um plano γ per pendicular à charneira αβ as distâncias do ponto A antes e depois da rotação à charneira αβ são iguais todos os pontos da charneira αβ permanecem fixos durante o movimento os raios do arco descrito pelo ponto A em estudo perten cem às retas de maior declive de α em relação a β e de β em relação a α e por isso o ângu lo θ entre eles formado mede o ângulo que α forma com β 130 GeometRia descRitiva 109 Rebatimento de um plano sobre um plano de projeção Porque o principal objetivo dos rebatimentos de planos é operar com as verdadeiras grandezas de suas figuras o mais conveniente sempre que possível é que tais rebatimentos se façam sobre π ou sobre π No caso de rebatimento de um plano α so bre π Figura 447 cabe observar que a charneira é o traço horizontal απ a reta AA1 formada pela projeção hori zontal A de um ponto A genérico de α e por seu rebatimento A1 é perpendicu lar à charneira απ Para o rebatimento de α sobre π Figura 448 analogamente a charneira é o traço vertical απ a reta AA1 formada pela projeção verti cal de um ponto A qualquer do plano e por seu rebatimento A1 é perpendicular à charneira απ 110 Rebatimento de um plano sobre um plano horizontal ou frontal Quando por condições impostas ou por limitações de espaço para operar não for possível ou for desvantajoso rebater um plano sobre qualquer dos planos de projeção po dese optar por rebatêlo sobre um plano horizontal ou sobre um plano frontal convenien temente escolhido A não ser pela mudança da charneira que será então a interseção do plano α a rebater com o plano γ auxiliar escolhido todas as proprieda des acima elencadas permanecerão válidas Na Figura 449 exemplificamos o caso do reba timento do plano α sobre um plano horizontal γ 111 Alçado Denominase alçado ou alçamento o retorno dos elementos rebatidos ao ambiente original da épura Naturalmente permanecem válidas nos alçados as propriedades acima listadas para os rebatimentos célio Pinto de almeida 131 112 Triângulo de rebatimento Quando se rebate um plano α sobre outro β oblíquo a α a um ponto A qualquer de α e não pertencente à charneira αβ podese associar um triângulo retângulo A Figura 450 cuja hipotenusa A J pertence a uma reta de maior declive de α em relação a β e cujos catetos pertencem respectivamente à projetante A sobre β e a uma reta de maior declive de β em relação a α Tal triângulo retângulo A é denomi nado triângulo de rebatimento para o ponto A e sua utilidade natural além de elemento auxi liar na execução do rebatimento como adiante se verá é a apresentação do ângulo θ formado pelos dois planos Nos exemplos antes apresentados tais tri ângulos são AAJ Figura 447 e AAJ Fi gura 448 No caso particular em que α é perpendicular a β Figura 451 deixa de existir o triângulo de rebatimento para qualquer ponto A de α permanecendo iguais para todo ponto A do plano as distâncias à charneira αβ antes e após o rebatimento 113 Porção útil de um plano Porção útil ou espaço útil de um plano para cada um dos diedros é a porção do plano situada em tal diedro É claro que tais porções ficam limitadas pelos traços do plano Cabe observar que os planos horizontais frontais e os pertencentes à linha de terra por só atravessarem dois diedros possuem apenas duas porções úteis cada Aos paralelos à linha de terra correspondem três porções úteis e os demais verticais de topo e quaisquer por atravessarem sempre os quatros diedros possuem quatro porções úteis Aliás enquanto para os planos verticais e de topo tais porções úteis correspondem a ângulos retos já que seus traços são perpendiculares entre si para os planos quaisquer as porções úteis ocupam ângulos agudos e obtusos 132 GeometRia descRitiva 114 Utilização da afinidade ortogonal nos rebatimentos Consideremos o rebatimento de um plano genérico α oblíquo a π sobre este plano de projeção e observemos que por ser um sistema rígido pertencente ao plano o con junto de retas de α paralelas ou não à charneira απ mantém essas posições relativas Figura 452 após o rebatimento considerado Assim entre as projeções hori zontais dos pontos e das retas de α e seus respectivos rebatimentos estabe lecese uma afinidade plana ortogonal cujo eixo é a charneira απ Geometria Plana número 351 o que se confirma Figura 453 pela concorrência simul tânea da projeção horizontal de cada reta de α e de seu respectivo reba timento em pontos da charneira απ mesmo que impróprios A utilização reiterada dessa afi nidade ortogonal facilita sobremodo as construções dos rebatimentos e dos alçados de retas e de pontos do plano após a obtenção admitida na Figura 454 do rebatimento A1 de um primeiro ponto A É claro que tudo se passaria de forma idêntica mas em projeção vertical entre rebatimentos e respec tivas projeções verticais de pontos e retas de um plano oblíquo a π so bre este plano funcionando então como eixo da afinidade ortogonal a charneira απ célio Pinto de almeida 133 115 Rebatimento do plano de topo sobre um dos planos de projeção Entre as duas possibilidades para os planos de topo a mais usual é o rebatimento so bre π para aproveitar a afinidade entre projeções horizontais e rebatimentos de pontos e de retas do plano funcionando como eixo dessa afinidade o traço horizontal do plano E mais para obter o rebatimento A1 de um primeiro ponto A de um plano de topo α sobre π basta utilizar a VG do movimento circular descrito por A em seu rebati mento que acontece na projeção vertical Figuras 455 e 456 Observese ainda que feito o rebatimento o traço horizontal απ1 do plano α em estudo já rebatido coincide com a linha de terra Figura 456 Na Figura 457 podem ser apreciados os três tipos de retas que o plano de topo pode conter número 40 frontal de topo e qualquer e seus respectivos rebatimentos sobre π Para a hipótese do rebatimento de um plano de topo α sobre π funcionará natu ralmente como charneira seu traço vertical απ e o rebatimento απ de seu traço horizon tal será perpendicular a απ No movimento para cada ponto A de α servirá como raio do rebatimento o próprio afastamento do ponto Figuras 458 e 459 Na Figura 460 apresentamse as porções úteis do plano α já após seu rebatimento sobre π no sentido admitido nas Figuras 458 e 459 134 GeometRia descRitiva 116 Rebatimento do plano vertical sobre um dos planos de projeção Para aproveitar a afinidade ortogonal entre projeções verticais e respectivos rebati mentos com eixo na charneira απ convém sempre que possível rebater um plano vertical α sobre π e também desde que viável utilizar no movimento do rebatimento o sentido do ângulo obtuso para evitar superposições no primeiro diedro Figuras 461 e 462 Tudo decorre com absoluta semelhança ao detalhado no item anterior inclusive a afi nidade acima destacada As retas verticais horizontais e quaisquer possíveis de pertencer a um plano vertical nú mero 40 apresentamse respectivamente assim após o rebatimento sobre π Figura 463 No rebatimento do plano vertical sobre π para cada um de seus pontos é a cota que funciona como raio do rebatimento Figuras 464 e 465 A Figura 466 apresenta após o rebatimento as porções úteis do plano vertical α em cada diedro utilizado o sentido indicado nas Figuras 464 e 465 célio Pinto de almeida 135 117 Rebatimento do plano de perfil sobre um dos planos de projeção No rebatimento de um plano de perfil α sobre π funciona naturalmente como charneira seu traço vertical απ No movimento cada ponto A do plano mantém cons tante sua cota enquanto o arco descrito espacialmente por ele projetase em VG sobre π Figuras 467 e 468 Porque os planos de perfil são perpendiculares aos dois de projeção não cabe a utili zação da afinidade ortogonal antes explorada O sentido antihorário habitualmente empregado neste rebatimento oferece como vantagem a colocação após realizado das porções úteis do plano na mesma distribuição que a cartesiana Figura 468 Após tal rebatimento as retas verticais do topo e de perfil capazes de pertencer a pla nos de perfil número 40 mantêm suas naturais posições respectivamente perpendiculares aos traços horizontal e vertical do plano e por último oblíqua aos dois Figura 469 Por ser perpendicular tanto a π quanto a π tudo se passa de forma semelhante para o rebatimento de um plano de perfil α sobre π Figuras 470 e 471 e com a explici tação dos rebatimentos dos três tipos de reta a eles pertencentes Figura 472 136 GeometRia descRitiva 118 Rebatimento do plano paralelo a ππ sobre um dos planos de projeção Por terem traços paralelos são muito semelhantes os rebatimentos de um plano α paralelo à linha de terra sobre π ou sobre π No primeiro caso em havendo na épura espaço para a obtenção do rebatimento απ de seu traço vertical convém utilizar o triângulo de rebatimento ver número 112 para um ponto V qualquer desse traço Figuras 473 e 474 do que se aproveita para explicitar a VG da distância d existente entre os dois traços do plano A charneira é naturalmente o traço horizontal απ do plano E para rebater ou alçar pontos e retas do plano tanto se pode lançar mão do reba timento de um corte de perfil Figura 475 quanto de retas do plano Figura 476 ou da afinidade ortogonal existente entre as projeções horizontais e os rebatimentos desses ele mentos Figura 477 Por último cabe observar que por sua própria natureza o plano só atravessa três die dros tendo por isso mesmo apenas três porções úteis como indicado nas Figuras 478 e 481 célio Pinto de almeida 137 O rebatimento de α sobre π aproveita em sendo possível o triângulo de rebati mento de um ponto H qualquer de seu traço horizontal απ Figura 479 E os rebati mentos ou alçados de pontos e retas do plano se fazem como na hipótese anterior utili zando o rebatimento de um corte de perfil além de retas quaisquer e frontohorizontais do plano explorando a afinidade ortogonal existente entre suas projeções verticais e seus rebatimentos respectivos funcionando como eixo απ a charneira deste rebatimento Figura 480 Num rebatimento de um plano paralelo à linha de terra sobre π quando o rebati mento do traço vertical απ for inacessível devese trabalhar com o triângulo de rebati mento de um ponto M qualquer do plano Figuras 482 e 483 e daí por diante com as retas do plano e a afinidade existente entre as projeções horizontais e os rebatimentos desses elementos Naturalmente tudo isso se aplica também para um rebatimento de α sobre π quando não for possível utilizar o rebatimento do seu traço horizontal απ Figura 484 138 GeometRia descRitiva Quando não são dados os traços ou inexiste a linha de terra devese mais uma vez utilizar o triângulo de rebatimento de um ponto do plano Assim foi feito na Figu ra 485 para se determinar a verdadeira grandeza A1B1C1D1 do paralelogramo ABCD dado por suas projeções e na Figura 486 quando dado um plano por um pon to A e por uma frontohorizontal r suprimida a linha de terra se pediu determinar a VG do triângulo ABC dadas a projeção vertical B do vértice B e a horizontal C do vértice C Nos dois exemplos o triângulo de rebatimento escolhido foi para o ponto A e no segundo o rebatimento foi efetuado sobre o plano horizontal γ pertencente a r para se chegar à VG A1B1C1 pedida Figura 486 célio Pinto de almeida 139 Por ser o primeiro plano não projetante cujo estudo desenvolvemos cabe um exemplo de resolução de um problema de construção geométrica embora ainda bem simples Então dados por seus traços os planos α e β e a projeção vertical A de um ponto A de α pedese construir as projeções do hexágono regular ABCDEF pertencente a α sabendo que seu lado AB é paralelo ao plano β medindo 15 mm que A é o vértice de maior abscissa e que o hexágono se situa no primeiro diedro Para solucionar o problema devese rebater o plano α sobre um dos planos de proje ção escolhemos sobre π para operar em VG levando ao rebatimento o ponto A e a interseção s de α e β à qual deve ser paralelo o lado AB do hexágono pedido Figura 487 cuja construção é então bem simples Há apenas uma solução devido às restrições impostas O alçado foi realizado com auxílio da afinidade do rebatimento com a projeção hori zontal mediante a utilização da diagonal CF e do lado DE paralelos a AB 140 GeometRia descRitiva 119 Rebatimento do plano ππ M São absolutamente semelhantes os rebatimentos de um plano ππM sobre π ou sobre π funcionando como charneira para ambos os casos a própria linha de terra devendo ser utilizado para tais movimentos ou o triângulo de rebatimento relativo ao ponto M Figuras 488 489 e 492 ou o rebatimento de um corte de perfil Figuras 490 e 493 Para o rebatimento ou alçamento de novos pontos do plano devem ser utilizadas retas frontohorizontais ou quaisquer do plano como apresentado nas Figuras 490 e 493 respectivamente dos rebatimentos estudados sobre π e sobre π As porções úteis duas apenas no caso são também de obtenção imediata Figuras 489 e 492 célio Pinto de almeida 141 Como exemplo de utilização do rebatimento para planos ππM seja construir as projeções do triângulo equilátero ABC pertencente ao plano definido por A e pela linha de terra sendo dado o ponto A por suas projeções sabendose que o lado do triângulo mede 6 cm que o vértice B tem cota nula e que A é o vértice de menor abscissa Para a resolução devese efetuar o rebatimento do plano ππA sobre um dos pla nos de projeção para a construção do triângulo A1B1C1 em VG No exemplo foi escolhido o rebatimento sobre π e a construção em VG do triân gulo ofereceu apenas uma solução para garantir que A tenha a menor abscissa O vértice B para ter cota nula tem de pertencer a ππ Figura 494 Para o alçado foram utilizadas uma reta r qualquer do plano naturalmente concor rente com a linha de terra e uma frontohorizontal s pertencente ao vértice C 142 GeometRia descRitiva 120 Rebatimento do plano qualquer Como diz seu próprio nome o plano qualquer é o de mais genérica posição no sistema biprojetivo da Geometria Descritiva não sendo projetante estando sempre oblíquo à linha de terra Tem como vimos número 40 ao contrário de todos os demais da classificação geral quatro tipos de retas e seus traços são ambos oblíquos à linha de terra Por sempre atravessar todos os diedros possui quatro porções úteis Figuras 495 e 498 correspondendo aos pares a ângulos agudos e obtusos Habitualmente em épura os planos quaisquer são apresentados apenas pelas porções de seus traços correspondentes ao primeiro diedro Figuras 496 e 499 embora o mais correto fosse que eles viessem represen tados completamente Figuras 497 e 500 Aliás dizse que quando em épuras de primeiro diedro os traços de um plano qualquer se voltam ambos para a direita ou ambos para a esquerda tratase de um plano qualquer com traços de sentido direto Figuras 495 496 e 497 e em caso contrário Figuras 498 499 e 500 de sentido inverso É claro então que no primeiro diedro é agudo o ângulo formado pelos traços do plano qualquer de sentido direto e obtuso o existente entre os traços do de sentido inverso célio Pinto de almeida 143 Por não existirem especiais diferenças entre suas posições em relação aos dois planos de projeção são de procedimentos semelhantes os rebatimentos de um plano qualquer α sobre π ou sobre π utilizandose em ambos os casos um triângulo de rebatimento Figuras 501 502 504 e 505 funcionando como charneiras respectivamente απ e απ A utilização dos triângulos de rebatimento contribui com o fornecimento das verdadei ras grandezas dos ângulos γ e ϕ que o plano α forma respectivamente com π e com π E com o rebatimento obtémse Figuras 503 e 506 a verdadeira grandeza do ângulo θ formado entre os traços do plano no primeiro diedro Interessante observar que o segmento JV do traço vertical de α entre um ponto genérico V de απ e o traço do plano com a linha de terra está em VG tanto em sua pro jeção vertical JV quanto em seu rebatimento J1V1 sobre π Figura 503 o que permi te com o traçado de um arco de centro em JJ e raio JV obter rapidamente V1 sobre a perpendicular VV1 à charneira απ Motivo igual permite no rebatimento sobre π obter o rebatimento H1 de um pon to H qualquer do traço horizontal απ e em consequência o rebatimento απ1 desse traço sobre π Figura 506 144 GeometRia descRitiva Imediata também é a demarcação das porções úteis do plano qualquer α tenha ele traços com sentido direto Figura 507 ou inverso Figura 508 Simples ainda a obtenção dos rebatimentos das retas de um plano α qualquer quando estão disponíveis seus traços Figuras 509 510 511 e 512 destacandose que as principais de α evidentemente conservam seus paralelismos aos traços correspondentes Para retas w concorrentes com a linha de terra Figura 513 ou quando ao menos um dos traços de uma reta m Figuras 514 e 515 resta inacessível devese utilizar uma segunda reta de α concorrente ou paralela à estudada célio Pinto de almeida 145 O rebatimento das retas i e p traços de um plano qualquer α com β13 e com β24 respectivamente bem como das paralelas a elas pertencentes a α enquadramse neste caso como indicado nas Figuras 516 e 517 abaixo E para rebater ou alçar figuras retas ou pontos pertencentes a um plano qualquer α podese lançar mão da afinidade ortogonal existente entre o rebatimento e uma das proje ções desses elementos a horizontal na Figura 518 visto terse rebatido α sobre π 146 GeometRia descRitiva Quando o plano não é dados por seus traços mas ao menos um deles pode ser cons truído devese utilizar este como charneira e empregar o triângulo de rebatimento para um qualquer de seus pontos M como indicam as Figuras 519 e 520 em que os rebatimentos foram respectivamente efetuados sobre π e sobre π E quando a linha de terra é suprimida devese rebater o plano sobre um plano ho rizontal γ Figura 521 ou se mais conveniente sobre um plano frontal também auxiliar célio Pinto de almeida 147 Tal como apresentado para os planos paralelos ou pertencentes a ππ incluímos um exemplo da utilização do rebatimento de um plano qualquer α para a construção em VG de uma figura a ele pertencente Seja assim construir as projeções de um pentágono convexo regular ABCDE pertencente ao plano qualquer α dado por seus traços conhecendo a projeção vertical O do centro do círculo de raio igual a 28 cm que circunscreve o polígono sabendo que seu lado AB é de perfil com a maior abscissa possível e que a cota de A é menor que a de B Para a resolução foi utilizada uma reta de perfil VH de α à qual o lado AB deve ser paralelo Figura 522 148 GeometRia descRitiva 121 Aplicação dos rebatimentos às rotações Quando estudamos o método das rotações vimos serem tanto mais simples as ope rações quanto mais particulares fossem os eixos utilizados De fato a grande maioria das aplicações então apresentadas utilizou eixos verticais ou de topo Vimos também no entanto rotações de figuras em torno de outros eixos Nestes ca sos para retornar aos processos usuais indicamos como auxílio geral o emprego de uma ou mais mudanças que tornassem o eixo vertical ou de topo Quando apenas uma mudança é suficiente para levar o eixo a uma posição mais sim ples a épura não é muito onerada sendo razoável tal procedimento Quando no entanto duas mudanças são indispensáveis para tornar vertical ou de topo o eixo isto é quando ele é qualquer ou de perfil em muitos casos conseguese simplificar o processo gráfico da épura pela utilização de um rebatimento em substituição àquela dupla mudança Tal rebatimento será de um plano perpendicular ao eixo aquele que contenha o cír culo descrito pelo movimento de certo ponto em sua rotação Assim quando o eixo for qualquer o plano que se irá rebater será também qualquer Figura 523 e quando o eixo for de perfil o plano será paralelo ou pertencente à linha de terra Figura 524 célio Pinto de almeida 149 Vejamos alguns exemplos 1211 Seja girar o ponto A em torno da reta r até que ele venha a pertencer a π sendo dados A e r por suas projeções Solução Por A tra çase o plano α perpen dicular a r com auxílio da horizontal AV Figura 526 O círculo descrito por A em sua rotação em torno de r pertencerá a este plano e terá para cen tro o ponto O interse ção de r com α Figu ra 525 o que se consegue com o auxílio do plano de topo γ pertencente a r Figura 526 Obtido ponto O rebatese α sobre π por exemplo poden dose então construir aquele círculo em verdadei ra grandeza Figura 526 Porque queremos gi rar A até que ele pertença a π os pontos B e C interseções do círculo de rotação com απ resolvem o problema E como B e C pertencem à charneira do rebatimento já estão alçados 150 GeometRia descRitiva 1212 Seja agora girar um ponto A dado por suas projeções em torno da reta r de perfil até que A venha a pertencer ao plano α dado por seus traços A reta r é definida pelos pontos E e F dados por suas projeções Solução Porque r EF é de perfil A descreverá um círculo pertencente a um pla no β perpendicular a EF e portanto paralelo à linha de terra Figura 527 Assim utilizandose um corte de perfil obtêmse os tra ços de β bem como o pon to O interseção deste plano com EF O será o centro do círculo descrito por A Como em sua posição final o ponto A terá de per tencer a α ele deverá estar sobre VH interseção de α e β Figura 527 Rebatese então β sobre π a fim de determi nar os pontos B1 e C1 in terseções de V1H1 com o círculo de rotação de A1 Para obter as projeções dos pontos B e C que re solvem a questão basta alçar B1 e C1 o que foi feito com o auxílio da própria reta BC que une esses pontos Figura 528