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Engenharia Elétrica ·
Geometria Analítica
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Medida angular\n\n1. Medida angular entre retas\nSejam r e s duas retas concorrentes\n\nPara evitar ambiguidade, definimos o ângulo entre r e s como sendo o menor dos ângulos θ1 e θ2. Este é um número do intervalo [0, π/2].\nDenotamos por ang(r,s) o ângulo entre as retas r e s. Temos\n0 ≤ ang(r,s) ≤ π/2\n\nSeja r~ um vetor diretor da reta r e s~ um vetor diretor da reta s.\nSeja θ = ang(r~,s~) e ϕ = ang(s~,r~)\n\nTemos ang(r,s) = { ang(r,s) se ang(r,s) ∈ [0,π/2] ang(r~,s~) se ang(r~,s~) ∈ [π/2,π] }\nTemos cos(ang(r,s)) = r~·s~\n\nPortanto cosϕ = { cosθ se θ ∈ [0,π/2] - cosθ se θ ∈ [π/2,π] }\n\nou seja cosϕ = |cosθ|, isto é\n\nCoolang(r;s) = |r~·s~| = |r~| |s~| Se as retas r e s são paralelas, então ang(r,s) = 0.\nSuponha que r e s são reversas.\n\nSeja π o plano que contém a reta s e é paralelo a reta r. \nSeja r' uma reta paralela a r e contida no plano π.\nDefinimos ang(r,s) = ang(r',s).\nComo um vetor diretor r' de r também é um vetor diretor da reta r', temos\n\nCos(ang(r,s)) = |r~·s~| / |r~||s~|\n\n[A construção acima é para tornar intuitiva a construção do ângulo entre duas retas reversas.]\n\nExemplo. Seja Σ = (0,B) um sistema ortogonal de coordenadas\nObtenha a equação da reta r que contém o ponto P=(1,1) e é concorrente com s: x=2y=2z, sabendo que o coseno da medida angular entre r e s é igual a 1/√3. 2. Medida angular entre reta e plano\n\nSeja r uma reta transversal a um plano π. Seja r~ um vetor diretor de r e n~ um vetor normal de π.\nDefinimos o ângulo entre r e π como ang(r,π) := menor dos ângulos ang(r,s) com s uma reta em π.\n\nSeja û a projeção ortogonal de r~ ao plano π.\nTemos prj( r~ ) = r~ - (r~·n~)n~/|n~|² \nE r~ = prj(r~) + (r~·n~)n~/|n~|²\n\nPortanto u~ = r~ - (r~·n~)n~/|n~|²\n\nSeja s uma reta em π e s~ um vetor diretor de s. Escolhamos s~ inicial.\n\nTemos s~·n~ = cos x·r~ + sen x·n~ e x = ang(s~|n~)\n\nComo j~ é ortogonal a n~ e r~, r~ e combinação linear de û e n~, segue que j~ é ortogonal a r~. Portanto r~·j~ = 0, e r~·s = cos x. Temos \\( \\cos(\\text{ang}(r,s)) = \\frac{|\\overline{r}||\\overline{s}|}{||r||||s||} = |\\cos(\\alpha)| \\quad (\\alpha \\in [0,\\pi]) \\). \nPortanto \\( \\text{ang}(r,s) \\) é mínimo se, e somente se, \\( \\alpha=0 \\) se, e somente se, \\( s \\) é a projeção ortogonal da reta \\( r \\) sobre o plano \\( \\Pi \\).\nEntão \\( \\text{ang}(\\pi,\\pi) = \\frac{\\pi}{2} - \\text{ang}(r,n) \\) onde \\( n \\) é uma reta, ortogonal ao plano \\( \\Pi \\).\nDai \\( \\sin(\\text{ang}(r,\\pi)) = \\frac{|\\overline{r}|}{||r||||\\pi||} \\)\n3. Medida angular entre dois planos \n\\( \\Pi_1 \\) e \\( \\Pi_2 \\) é a medida angular entre duas retas quaisquer \\( r_1 \\) e \\( r_2 \\) perpendiculares a \\( \\Pi_1 \\) e \\( \\Pi_2 \\) respectivamente.\nTemos \\( \\cos(\\text{ang}(\\Pi_1, \\Pi_2)) = \\frac{||\\overline{n_1}||||\\overline{n_2}||}{||n_1|| ||n_2||} \\)\nCom \\( \\overline{n_1} \\) vetor normal a \\( \\Pi_1 \\) e \\( \\overline{n_2} \\) vetor normal a \\( \\Pi_2 \\).\nExemplo Seja \\( \\Sigma = (0,E) \\) um sistema ortogonal de coordenadas.\\n\\( \\Sigma: \\begin{cases}\n\\Pi_1: & x-y+z=20 \\\n\\Pi_2: & x=(1,1,-2)+\\lambda(0,-1)+\\mu(1,-3), \\lambda, \\mu \\in R\n\\end{cases} \n\\)\nCalcule \\( \\text{ang}(\\Pi_1, \\Pi_2) \\). Distância \\( Fixamos um sistema ortogonal de coordenadas \\Sigma = (0,B), \\quad \\text{com } B \\text{ base positiva.} \\)\n1. Distância entre dois pontos \\( \\Sigma: A=(x_1,y_1,z_1), \\; B=(x_2,y_2,z_2) \\) dois pontos,\\n\\( d(A,B) = || \\overline{AB} || = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \\)\n2. Distância entre um ponto e uma reta \\nDenotamos por \\( d(P,r) \\) a distância entre \\( P \\) e \\( r \\)\nDefinimos \\( d(P,r) = \\text{menor das distâncias entre } P \\text{ e } Q, \\quad \\text{onde } Q \\text{ é a projeção ortogonal de } P \\text{ sobre } r.\\)\nVamos calcular \\( d(P,r) \\). Escolhendo dois pontos distintos da reta \\( r \\)\nTemos \\( \\text{área do triângulo } ABP = \\frac{1}{2} ||\\overline{AP} \\land \\overline{AB}|| = \\frac{1}{2} || \\overline{AB} || \\)\nonde \\( h = d(P,Q) = d(P,r). \\) Logo\\n\\( d(P,r) = \\frac{|| \\overline{AP} \\land \\overline{AB} ||}{|| \\overline{AB} ||} \\)\nPodemos substituir \\( \\overline{AB} \\) por um vetor diretor \\( \\vec{d} \\) da reta \\( r.\\)\n\\( d(P,r) = \\frac{|| \\overline{AP} \\land \\overline{r} ||}{|| \\vec{r} ||} \\)\nExemplo Calcule a distância entre \\( P=(1,-1,4) \\) e \\( r: \\frac{x-2}{4} = \\frac{y-3}{-3} = \\frac{1-z}{2} \\). 3. Distância de ponto a plano\\n\\( \\text{Seja } \\Pi \\text{ um plano e } \\overline{n} \\text{ um vetor normal a } \\Pi. \\)\nDenotamos por \\( d(P,\\Pi) \\) a distância de \\( P \\) a \\( \\Pi. \\)\\nDefinimos \\( d(P,\\Pi) = \\text{o menor dos distâncias entre } P \\text{ e os pontos de } P\\)\n\\( = d(P,Q) \\) onde \\( Q \\) é a projeção ortogonal de P a \\( \\Pi. \\)\\nTemos \\( d(P,\\Pi) = d(P,Q) = ||\\overline{PQ}||\\)\n\\( = ||\\overline{AP} - \\overline{n}|| \\quad \\text{onde } A \\text{ é um ponto qualquer do plano } \\Pi. \\)\nSuponha que \\( \\Pi \\) é dado por uma equação geral \\( ax+by+cz+d=0 \\)\ne \\( P=(x_0,y_0,z_0), A=(x_1,y_1,z_1). \\text{ Então } \\overline{AP} = (x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1) \\text{ } \\overline{n} = (a,b,c).\\)\n\\( \\Rightarrow \\overline{AP}.\\overline{n} = a(x_0-x_1) + b(y_0-y_1) + c(z_0-z_1) \\)\n= a z_0 + b y_0 + c z_0 - ax_1 - by_1 - cz_1 = -d.\\)\nLogo\\n\\( d(P,\\Pi) = \\frac{|ax_0+by_0 + cz_0+d|}{\\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\) Exemplo\nCalcule a distância de P = (9,2,-2) a \\Pi: x = (1,5) + \\lambda(0, \\frac{5}{12},1) + M(1,0,0), \\lambda\\in\\mathbb{R}.\n\n4. Distância entre retas\nSejam r e s duas retas. Denote por d(r,s) a distância entre r e s.\nDefinimos d(r,s) = o menor dos distâncias entre pontos A de r e pontos B de s.\n\nEntão d(r,s) = 0 & r e s são concorrentes ou\nSão paralelas idênticas.\n\nd(r,s) = d(A,s) = d(B,r) se r e s são paralelas distintas.\n\nSuponha agora que r e s são reversas.\n\nSeja \\Pi o plano que contém a reta r e é paralelo à reta s.\nSeja t uma reta perpendicular a r e s. Então\nd(r,s) = d(P,Q)\nSejam A um ponto qualquer de r e B um ponto qualquer de s.\n\nSegundo um vetor diretor de r e s é um vetor diretor de s.\nO vetor \\vec{r} \\wedge \\vec{s} é um vetor normal de \\Pi. Temos\nd(r,s) = d(P,Q) = d(B,\\Pi) = \\frac{|\\vec{A} \\cdot \\vec{r}|}{||\\vec{r}||}\n\nd(r,s) = |\\vec{A} \\cdot \\vec{r}| / ||\\vec{r}||\n\n Exemplo\nCalcule a distância entre\nr: x = (2,1,0) + \\lambda(1,-1,-1) e \\lambda(1,-1,1) e S: x+y+z=2x-y-1=0.\n\n5. Distância entre reta e plano\nDefinimos a distância d(r,\\Pi) entre a reta r e o plano \\Pi como\nd(r,\\Pi) = maior das distâncias entre pontos A de r e B do \\Pi\n(m)\n\n\\vec{n} \\cdot r \\neq 0 & r é transveral a \\Pi\n\\vec{n} \\cdot r = 0, r \\subset \\Pi\n\\vec{n} \\cdot \\vec{p} = 0\n\nAssim,\n\nd(r,\\Pi) = d(r,P) = d(r,B) = d(r,\\Pi) = d(A,P) -\n\nd(A,P)² = \\lambda² + (2-2\\lambda)² + (1+2-2\\lambda)²\n= 6x² - 12y + 9 = 0 => d(A,P) = 3\n\\Rightarrow d(A,P) = \\sqrt{3}\n\n= 1\nO único ponto P que dista \\sqrt{3} de A é o ponto P = (1,1,0).\nComo o ponto é único, d(A,r) = \\sqrt{3} (Detalhe este argumento!)\n Exemplos\n\\Sigma = (0,B) sistema ortogonal de coordenadas com B base positiva\n1. Obtenha os pontos da reta r: x - y = 2y = z que equidistam\nde A = (1,1,0) e B = (0,1,1).\n\n2. Obtenha os pontos da reta r: x = (0,1,1) + \\lambda(1,2), \\lambda\\in\\mathbb{R} que\nequidistam do plano \\Pi₁: x + 2y - 2 - 3 = 0 e \\Pi₂: x - y + z = 1.\n\n3. Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos\nA = (1,1,1) e B = (0,2,1) e equidista do ponto\nC = (2,3,0) e D = (0,1,2).\n Mudança de Sistema de Coordenadas\n\nA nossa escolha de um sistema de coordenadas E é arbitrária.\nComo passar das coordenadas de um ponto X em E2 em um sistema de coordenada para um outro sistema de coordenadas?\n\nSeja Σ1=(O1,E) um sistema de coordenadas em E3 e seja\nΣ2=(O2,F) um novo sistema de coordenadas em E3.\nSuponha que O2=(h,k,e)Σ1 é dento por MEF a matriz de mudança da base E para F.\nUm ponto X∈E3 tem coordenadas X=(x,y,z)E\nX=(u,v,w)F\n\nPor definição:\n\nx=(x,y,z)Σ1 ⇔ O2→X=(x,y,z)E\nO2→X=(u1,u2,w)F\nO2→1=(h,k,e)Σ1 ⇔ z=(h,k,e)\n\nDecorre O2→X=O2→1+O1→X = O1→X−O2→ = (z-h,y-k,z-e)E\n\nAplicando a fórmula de mudança de base a O2→X obtemos\n\n(x-h)\n(y-k)\n(z-e) = MEF(u,v)\n w\n\nPortanto,\n\n(z/y/z) + MEF(u/v/w)\n\nEscrevendo\n\nMEF=(a11,a12,a13)\n (a21,a22,a23)\n (a31,a32,a33)\n\nobtivemos as chamadas equações de mudança de coordenadas de Σ1 para Σ2:\n
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Medida angular\n\n1. Medida angular entre retas\nSejam r e s duas retas concorrentes\n\nPara evitar ambiguidade, definimos o ângulo entre r e s como sendo o menor dos ângulos θ1 e θ2. Este é um número do intervalo [0, π/2].\nDenotamos por ang(r,s) o ângulo entre as retas r e s. Temos\n0 ≤ ang(r,s) ≤ π/2\n\nSeja r~ um vetor diretor da reta r e s~ um vetor diretor da reta s.\nSeja θ = ang(r~,s~) e ϕ = ang(s~,r~)\n\nTemos ang(r,s) = { ang(r,s) se ang(r,s) ∈ [0,π/2] ang(r~,s~) se ang(r~,s~) ∈ [π/2,π] }\nTemos cos(ang(r,s)) = r~·s~\n\nPortanto cosϕ = { cosθ se θ ∈ [0,π/2] - cosθ se θ ∈ [π/2,π] }\n\nou seja cosϕ = |cosθ|, isto é\n\nCoolang(r;s) = |r~·s~| = |r~| |s~| Se as retas r e s são paralelas, então ang(r,s) = 0.\nSuponha que r e s são reversas.\n\nSeja π o plano que contém a reta s e é paralelo a reta r. \nSeja r' uma reta paralela a r e contida no plano π.\nDefinimos ang(r,s) = ang(r',s).\nComo um vetor diretor r' de r também é um vetor diretor da reta r', temos\n\nCos(ang(r,s)) = |r~·s~| / |r~||s~|\n\n[A construção acima é para tornar intuitiva a construção do ângulo entre duas retas reversas.]\n\nExemplo. Seja Σ = (0,B) um sistema ortogonal de coordenadas\nObtenha a equação da reta r que contém o ponto P=(1,1) e é concorrente com s: x=2y=2z, sabendo que o coseno da medida angular entre r e s é igual a 1/√3. 2. Medida angular entre reta e plano\n\nSeja r uma reta transversal a um plano π. Seja r~ um vetor diretor de r e n~ um vetor normal de π.\nDefinimos o ângulo entre r e π como ang(r,π) := menor dos ângulos ang(r,s) com s uma reta em π.\n\nSeja û a projeção ortogonal de r~ ao plano π.\nTemos prj( r~ ) = r~ - (r~·n~)n~/|n~|² \nE r~ = prj(r~) + (r~·n~)n~/|n~|²\n\nPortanto u~ = r~ - (r~·n~)n~/|n~|²\n\nSeja s uma reta em π e s~ um vetor diretor de s. Escolhamos s~ inicial.\n\nTemos s~·n~ = cos x·r~ + sen x·n~ e x = ang(s~|n~)\n\nComo j~ é ortogonal a n~ e r~, r~ e combinação linear de û e n~, segue que j~ é ortogonal a r~. Portanto r~·j~ = 0, e r~·s = cos x. Temos \\( \\cos(\\text{ang}(r,s)) = \\frac{|\\overline{r}||\\overline{s}|}{||r||||s||} = |\\cos(\\alpha)| \\quad (\\alpha \\in [0,\\pi]) \\). \nPortanto \\( \\text{ang}(r,s) \\) é mínimo se, e somente se, \\( \\alpha=0 \\) se, e somente se, \\( s \\) é a projeção ortogonal da reta \\( r \\) sobre o plano \\( \\Pi \\).\nEntão \\( \\text{ang}(\\pi,\\pi) = \\frac{\\pi}{2} - \\text{ang}(r,n) \\) onde \\( n \\) é uma reta, ortogonal ao plano \\( \\Pi \\).\nDai \\( \\sin(\\text{ang}(r,\\pi)) = \\frac{|\\overline{r}|}{||r||||\\pi||} \\)\n3. Medida angular entre dois planos \n\\( \\Pi_1 \\) e \\( \\Pi_2 \\) é a medida angular entre duas retas quaisquer \\( r_1 \\) e \\( r_2 \\) perpendiculares a \\( \\Pi_1 \\) e \\( \\Pi_2 \\) respectivamente.\nTemos \\( \\cos(\\text{ang}(\\Pi_1, \\Pi_2)) = \\frac{||\\overline{n_1}||||\\overline{n_2}||}{||n_1|| ||n_2||} \\)\nCom \\( \\overline{n_1} \\) vetor normal a \\( \\Pi_1 \\) e \\( \\overline{n_2} \\) vetor normal a \\( \\Pi_2 \\).\nExemplo Seja \\( \\Sigma = (0,E) \\) um sistema ortogonal de coordenadas.\\n\\( \\Sigma: \\begin{cases}\n\\Pi_1: & x-y+z=20 \\\n\\Pi_2: & x=(1,1,-2)+\\lambda(0,-1)+\\mu(1,-3), \\lambda, \\mu \\in R\n\\end{cases} \n\\)\nCalcule \\( \\text{ang}(\\Pi_1, \\Pi_2) \\). Distância \\( Fixamos um sistema ortogonal de coordenadas \\Sigma = (0,B), \\quad \\text{com } B \\text{ base positiva.} \\)\n1. Distância entre dois pontos \\( \\Sigma: A=(x_1,y_1,z_1), \\; B=(x_2,y_2,z_2) \\) dois pontos,\\n\\( d(A,B) = || \\overline{AB} || = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \\)\n2. Distância entre um ponto e uma reta \\nDenotamos por \\( d(P,r) \\) a distância entre \\( P \\) e \\( r \\)\nDefinimos \\( d(P,r) = \\text{menor das distâncias entre } P \\text{ e } Q, \\quad \\text{onde } Q \\text{ é a projeção ortogonal de } P \\text{ sobre } r.\\)\nVamos calcular \\( d(P,r) \\). Escolhendo dois pontos distintos da reta \\( r \\)\nTemos \\( \\text{área do triângulo } ABP = \\frac{1}{2} ||\\overline{AP} \\land \\overline{AB}|| = \\frac{1}{2} || \\overline{AB} || \\)\nonde \\( h = d(P,Q) = d(P,r). \\) Logo\\n\\( d(P,r) = \\frac{|| \\overline{AP} \\land \\overline{AB} ||}{|| \\overline{AB} ||} \\)\nPodemos substituir \\( \\overline{AB} \\) por um vetor diretor \\( \\vec{d} \\) da reta \\( r.\\)\n\\( d(P,r) = \\frac{|| \\overline{AP} \\land \\overline{r} ||}{|| \\vec{r} ||} \\)\nExemplo Calcule a distância entre \\( P=(1,-1,4) \\) e \\( r: \\frac{x-2}{4} = \\frac{y-3}{-3} = \\frac{1-z}{2} \\). 3. Distância de ponto a plano\\n\\( \\text{Seja } \\Pi \\text{ um plano e } \\overline{n} \\text{ um vetor normal a } \\Pi. \\)\nDenotamos por \\( d(P,\\Pi) \\) a distância de \\( P \\) a \\( \\Pi. \\)\\nDefinimos \\( d(P,\\Pi) = \\text{o menor dos distâncias entre } P \\text{ e os pontos de } P\\)\n\\( = d(P,Q) \\) onde \\( Q \\) é a projeção ortogonal de P a \\( \\Pi. \\)\\nTemos \\( d(P,\\Pi) = d(P,Q) = ||\\overline{PQ}||\\)\n\\( = ||\\overline{AP} - \\overline{n}|| \\quad \\text{onde } A \\text{ é um ponto qualquer do plano } \\Pi. \\)\nSuponha que \\( \\Pi \\) é dado por uma equação geral \\( ax+by+cz+d=0 \\)\ne \\( P=(x_0,y_0,z_0), A=(x_1,y_1,z_1). \\text{ Então } \\overline{AP} = (x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1) \\text{ } \\overline{n} = (a,b,c).\\)\n\\( \\Rightarrow \\overline{AP}.\\overline{n} = a(x_0-x_1) + b(y_0-y_1) + c(z_0-z_1) \\)\n= a z_0 + b y_0 + c z_0 - ax_1 - by_1 - cz_1 = -d.\\)\nLogo\\n\\( d(P,\\Pi) = \\frac{|ax_0+by_0 + cz_0+d|}{\\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\) Exemplo\nCalcule a distância de P = (9,2,-2) a \\Pi: x = (1,5) + \\lambda(0, \\frac{5}{12},1) + M(1,0,0), \\lambda\\in\\mathbb{R}.\n\n4. Distância entre retas\nSejam r e s duas retas. Denote por d(r,s) a distância entre r e s.\nDefinimos d(r,s) = o menor dos distâncias entre pontos A de r e pontos B de s.\n\nEntão d(r,s) = 0 & r e s são concorrentes ou\nSão paralelas idênticas.\n\nd(r,s) = d(A,s) = d(B,r) se r e s são paralelas distintas.\n\nSuponha agora que r e s são reversas.\n\nSeja \\Pi o plano que contém a reta r e é paralelo à reta s.\nSeja t uma reta perpendicular a r e s. Então\nd(r,s) = d(P,Q)\nSejam A um ponto qualquer de r e B um ponto qualquer de s.\n\nSegundo um vetor diretor de r e s é um vetor diretor de s.\nO vetor \\vec{r} \\wedge \\vec{s} é um vetor normal de \\Pi. Temos\nd(r,s) = d(P,Q) = d(B,\\Pi) = \\frac{|\\vec{A} \\cdot \\vec{r}|}{||\\vec{r}||}\n\nd(r,s) = |\\vec{A} \\cdot \\vec{r}| / ||\\vec{r}||\n\n Exemplo\nCalcule a distância entre\nr: x = (2,1,0) + \\lambda(1,-1,-1) e \\lambda(1,-1,1) e S: x+y+z=2x-y-1=0.\n\n5. Distância entre reta e plano\nDefinimos a distância d(r,\\Pi) entre a reta r e o plano \\Pi como\nd(r,\\Pi) = maior das distâncias entre pontos A de r e B do \\Pi\n(m)\n\n\\vec{n} \\cdot r \\neq 0 & r é transveral a \\Pi\n\\vec{n} \\cdot r = 0, r \\subset \\Pi\n\\vec{n} \\cdot \\vec{p} = 0\n\nAssim,\n\nd(r,\\Pi) = d(r,P) = d(r,B) = d(r,\\Pi) = d(A,P) -\n\nd(A,P)² = \\lambda² + (2-2\\lambda)² + (1+2-2\\lambda)²\n= 6x² - 12y + 9 = 0 => d(A,P) = 3\n\\Rightarrow d(A,P) = \\sqrt{3}\n\n= 1\nO único ponto P que dista \\sqrt{3} de A é o ponto P = (1,1,0).\nComo o ponto é único, d(A,r) = \\sqrt{3} (Detalhe este argumento!)\n Exemplos\n\\Sigma = (0,B) sistema ortogonal de coordenadas com B base positiva\n1. Obtenha os pontos da reta r: x - y = 2y = z que equidistam\nde A = (1,1,0) e B = (0,1,1).\n\n2. Obtenha os pontos da reta r: x = (0,1,1) + \\lambda(1,2), \\lambda\\in\\mathbb{R} que\nequidistam do plano \\Pi₁: x + 2y - 2 - 3 = 0 e \\Pi₂: x - y + z = 1.\n\n3. Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos\nA = (1,1,1) e B = (0,2,1) e equidista do ponto\nC = (2,3,0) e D = (0,1,2).\n Mudança de Sistema de Coordenadas\n\nA nossa escolha de um sistema de coordenadas E é arbitrária.\nComo passar das coordenadas de um ponto X em E2 em um sistema de coordenada para um outro sistema de coordenadas?\n\nSeja Σ1=(O1,E) um sistema de coordenadas em E3 e seja\nΣ2=(O2,F) um novo sistema de coordenadas em E3.\nSuponha que O2=(h,k,e)Σ1 é dento por MEF a matriz de mudança da base E para F.\nUm ponto X∈E3 tem coordenadas X=(x,y,z)E\nX=(u,v,w)F\n\nPor definição:\n\nx=(x,y,z)Σ1 ⇔ O2→X=(x,y,z)E\nO2→X=(u1,u2,w)F\nO2→1=(h,k,e)Σ1 ⇔ z=(h,k,e)\n\nDecorre O2→X=O2→1+O1→X = O1→X−O2→ = (z-h,y-k,z-e)E\n\nAplicando a fórmula de mudança de base a O2→X obtemos\n\n(x-h)\n(y-k)\n(z-e) = MEF(u,v)\n w\n\nPortanto,\n\n(z/y/z) + MEF(u/v/w)\n\nEscrevendo\n\nMEF=(a11,a12,a13)\n (a21,a22,a23)\n (a31,a32,a33)\n\nobtivemos as chamadas equações de mudança de coordenadas de Σ1 para Σ2:\n