Resumos Geometria Analitica

30 11 21\nResumo de fórmulas para a prova:\n• determinar coordenadas\nex: \\vec{AB} = B - A\nponto final - inicial\n• determinar módulo (tamanho)\nex: ||AB|| = \\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \\sqrt{u.c.}\n• soma de vetores\nex: \\vec{u} = (3,4) \\vec{v} = (5,6)\n\\vec{s} = (3 + 5, 4 + 6)\n\\vec{z} = (8,10)\n• subtração de vetores\n\\vec{d} = \\vec{u} - \\vec{v}\nex: \\vec{d} = \\vec{u} + (-\\vec{v})\n\\vec{d} = (5,6) + (-3,-4)\n\\vec{d} = (2,2)\n• multiplicação por escalar\n\\vec{u} = (3,4)\n-2\\vec{u}\n-2\\vec{u} = -2(3,4) = (-6,-8)\ntilibra • decomposição de vetores\n\\vec{w} = (3,4)\n\\vec{v} = (5,6)\n\\vec{w} = 2\\vec{u} + 3\\vec{v}\n\\vec{w} = 2(3,4) + 3(5,6)\n\\vec{w} = (6,8) + (15,18)\n\\vec{w} = (21,26)\n• vetores coplanares e colineares\ncoplanares = mesmo plano\ncolineares = estão na mesma linha, ou na mesma reta, ou retas paralelas\n\\vec{u} = (6,4) \\vec{v} = (3,2)\n\\vec{u} = 2\\vec{v}\n• Produto escalar ou interno\n<\\vec{u},\\vec{v}> = \\vec{u}.\\vec{v}\n\\vec{u} = (5,7) \\vec{v} = (10,1)\n\\vec{u}.\\vec{v} = 5.10 + 7.1 = 57\nlembrando:\n1. \\vec{u}.\\vec{v} = \\vec{v}.\\vec{u} (comutativa)\n2. \\vec{u}.(\\vec{v} + \\vec{w}) = \\vec{u}.\\vec{v} + \\vec{u}.\\vec{w} (distributiva)\n3. ||\\vec{u}|| = \\sqrt{\\vec{u}.\\vec{u}}\nex:\n* Qual o valor de θ? \\vec{u} = (1,0) \\vec{v} = (2,1)\n \\vec{u} = (1,0) \\vec{v} = (2,1) \\vec{u}.\\vec{v} = 1.2 + 0.1 = 2\n||\\vec{u}|| = \\sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1\n2 = 1.\\sqrt{5}.\\cosθ\n\\cosθ = \\frac{2}{\\sqrt{5}}\nθ = \\arccos(\\frac{2}{\\sqrt{5}})\n* Verifique se \\vec{u} e \\vec{v} são ortogonais, sendo\n\\vec{u} = (-2,3,8) \\vec{v} = (1,-2,1)\n\\vec{u}.\\vec{v} = ||\\vec{u}|| ||\\vec{v}|| \\cos θ\n\\vec{u}.\\vec{v} = -2.1 + 3.(-2) + 8.1 = 0\n→ não são ortogonais.\n* Qual o ângulo θ entre os vetores \\vec{u} = (2,-1,3) e \\vec{v} = (-2,1,2)\n\\vec{u}.\\vec{v} = 2(-2) + (-1).1 + 3.2 = 1\n||\\vec{u}|| = \\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 3^{2}} = \\sqrt{14}\n||\\vec{v}|| = (-2)^{2} + 1^{2} + 2^{2} = \\sqrt{3}\n\\vec{u}.\\vec{v} = ||\\vec{u}|| ||\\vec{v}|| \\cos θ → \\cosθ = \\frac{1}{\\sqrt{14}.\\sqrt{3}}\n1 = \\frac{\\sqrt{14}.3.\\cosθ}{\\sqrt{14}}→ \\cosθ = \\frac{1}{3\\sqrt{14}}\n* Quanto vale <\\vec{u},\\vec{w}>? ||\\vec{u}|| = 4 ||\\vec{v}|| = 15\n\\vec{u} + \\vec{w} \\rightarrow \\vec{u}.\\vec{v} + \\vec{u}.\\vec{w} = \\vec{u}.\\vec{v} → ||\\vec{u}||.{||\\vec{w}||.\\cosθ = ||\\vec{u}|| ||\\vec{v}||.60\n\\frac{a^{2}}{2} + \\vec{u}.\\vec{w} = 4.15 = 1.5 * projeção\n\nu̅ = (1,2)\nv̅ = (1,3)\nw̅ = ??\n\nP_{v̅}u̅ = (\\frac{(u̅.v̅)}{(v̅.v̅)})v̅\n\nu̅.v̅ = 1.1+2.3=7\nv̅.v̅ = 1.1+3.3=10\n\n* Produto vetorial (u̅ x v̅) ou (u̅ ∧ v̅)\nu̅ = (1,2,3)\nv̅ = (1,0,2)\n\nu̅ x v̅ = (4j + 3k - 2i) - 2j = 4i + j - 2k\n\nCalcula a área do paralelogramo\nex: u̅ = (2,1,-1) e v̅ = (5,-2,1)\nA_{0} = ||u̅ x v̅|| * Produto Misto\n\nu̅ = (0,6,1)\nv̅ = (1,1,0)\nw̅ = (-1,-3,0)\n\n(u̅,v̅,w̅) ou (u̅ x v̅)·w̅ =\n\n| 0 6 1 |\n| 1 1 0 |\n| -1 -3 0 |\n\n= -3 + 1 = -2\n\nPropriedades:\n1. (u̅,v̅,w̅+r̅) = (u̅,v̅,w̅) + (u̅,v̅,r̅)\n2. (u̅,v̅,w̅ mw̅) = (u̅ mw̅,v̅) = m(u̅,v̅,w̅)\n3. ||(u̅,v̅,w̅)|| = volume do paralelepípedo\n\n(a, um dos vetores é nulo\nb, dos vetores são colineares\nc, três vetores são coplanates. Resumo Geometria Analítica\n1. Introdução às retas e planos\n\n2. Estudo da Reta\n\n-> equação vetorial da reta -> (x,y,z) = (1,0,1) + t(1,1,2)\n\nA = (1,0,1)\nB = (2,1,3)\n\n-> equação paramétrica\nr: (x,y,z) = (1,0,1) + t(1,1,2) = (1+t,0+t,1+2t)\n\n{ x = 1+t\n y = 0+t\n z = 1+2t }\n\n-> equação simétrica\n{ x = 1+t -> t = x-1\n y = t -> t = y\n z = 1+2t -> t = (z-1)/2 } -> equação reduzida (em função de x, y e z)\n x - 1 = y = z - 1/2\n\ni) x - 1 = y\n\nii) x - 1 = z - 1/2 → z = 2(x - 1) + 1\n{y = x - 1\nz = 2(x - 1) + 1}\n\nejaculação: determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, -2, 3, 1) e é paralela ao vetor v = (1, -3, 2).\n\neq vetorial: (x, y, z) = (1, -2, 3) + t(1, -3, 2)\n\nt = 1 = pol(t) + 0, 3\n\neq. paramétrica: r0(x, y, z) = -2 + t + e, -3 + t, +1 + 2t\n\neq. simétrica:\nx = -2 + t \n y = 3 - 3t \n z = 1 + 2t\n\neq. reduzida: o(z = 3 - y/3)\n3x + 2 = 3 - y + 3x = 3x - y,\n\neq. reduzida:\n(i) x + 2 = 3 - y → 3x + 2 = 3 - y → 3x - 3 + 3y - 3 - 3x - 3y = 0\nt(z - 3) - 24/3 → (z = 9 - 24)/3\nd = x - 3y + 9 + 12 Exercício 2º as retas 2x + y + z = 1, x + 3y + z = 2 e x + y + 4z = 3 se interceptam? se sim, qual ponto?\n2 + x + y + z = 1 \n[z = -2 - x - y]\n x + 3y + z = 2 \n[x + 3y + z + 4z = 3]\n2y + y + 4(1 - 2 - x - y) = 3\n3y + 4 - 8 - 4y = 4\n-y - 8x = 0\n-y - 8(2(1/2) + 1 = 0\nX = 1/17 \nZ = 1/17\n\n3. Estudo do plano\n-> equação geral ou cartesiana (ax + by + cz + d = 0)\nn = (1, 3, 1)\nA = (1, 2, 1)\n\n1. ax + 3y + 4z + d = 0\n1(1) + 3(2) + 4(1) + d = 0\n1 + 6 + 4 + d = 0\nd = -11\n. x + 3y + 4z - 11 = 0 -> vetores ao plano\nP - (1, 2, 2)\nA = (1, 2, 2)\nv = (1, 3, 2)\nv = (2, 1, 5)\n\n1º modo \nvetor angular\nCálculo do produto vetorial entre os vetores (u x v)\n 1 3 2\n 2 5 k\n(1, 3, -1, -5) = -m\n\nii) normal 0\n\neq geral: ax + by + cz + d = 0\n13x - y - 5z + d = 0\n13(1) - 2 - 5(2) + d = 0\nd = -λ\n. 13x - y - 5z - 1 = 0,\n\n2º modo \nfaça os vetores pertencem ao mesmo plano, o produto misto entre eles = 0 (ou seja, são coplanares).\n\npara qualquer \nP = (x, y, z)\nP - A = (x - 1, y - 2, z - 2)\nA = (1, 2, 2)\n\nii) calcular o produto misto\n(u x v, u, AP) = 0\n1 3 2\n2 1 5\n1 3 1\n\nx1 - y2 - z2 - x1 - y2\n5(y - 1) = -5(z - 2) + 13(x - 1) - 1(y - 2) = 0\n5z + 10 + 13x - 13 - 4 + 2 = 0\n13x - 5z - y - 1 = 0 equação vetorial\nA = (1, 2, 2)\nv = (1, 3, 2)\nv = (2, 1, 5)\nr: t(v1, v2)\nP(x, y, z) = (1, 2, 2) + λ(1, 3, 2) + μ(1, 3, 2)\n\nexercício 3: achar o ponto P de interseção da reta r com o plano π.\nr: { x = -4\nz = 5\n}\nπ: y = 2x - z + 1\n\nx = -y\nz = 5\n\ny = 2x - z + 1 → y = 2(-y) - 5 + 1 → 3y = -4 → y = -4/3 → x = 4/3 exercício 2: qual a equação da reta formada pela interseção dos planos π1 e π2?\nπ1: 5x - 2y + z + 7 = 0\nπ2: 3x - 3y + z + 4 = 0\n\n5x - 2y + z + 7 = 0\n3x - 3y + 4 = 0\nz = 3y - 3 + 4\nz = 3y - 3 - 4\n\n5x - 3y + 3 - 7 = 0\n2y + 3 = 0\ny = -x - 3\nz = -9x - 13\n\n4.1 Posições Relativas entre Retas\n- paralelas distintas\n- models (pinas)\n- comuns\n- reversas\n\nAB = B - A = (-1, -1, 1)\n(AB, r, s) ≠ 0\n\n5.5 (x, y, z) = (1, 3, 4) + t(1, 0, 2)\nr: (x1, y1, z1) = (0, 2, 5) + t(3, 1, 6) Regra 2:\nr = (x1, y1, z1) + t r\ns = (x2, y2, z2) + t s\n\nAB = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1)\n(AB, r, s) ≠ 0 → retas reversas\n(AB, r, s) = 0 → coplanas\n\n4.1 Posição Relativa de Reta e Plano\n- r contida em π\n- r paralela a π\n- r transversal a π\n\nr = (1, 2, 3) + t(1, 0, 2)\ns: 5x + 2y + z - 4 = 0\n5(1) + 2(0) = 5 + 2 ≠ 0 → reta transversal ao plano\n\nир reconheço \nr = (x, y, z) + t(1, 1, 1)\nπ: {(0, 1, 1) | e ∈ π, r: (0, 1, 1) ∈ π} ressumindo :\nri : ax + by + cz + d=0\nri : (x0,y0,z0) + t (e,f,g)\n\n ae + bf + cg ≠ 0\n \n ae + bf + cg = 0\n ↔ ax0 + by0 + cz0 + d = 0\n ↔ reta contida no plano\n ↔ ax0 + by0 + cz0 + d ≠ 0\n ↔ reta paralela ao plano\n\n4.3 Posição Relativa entre Planos\n\n → paralelos distintos\n planos e não se cruzam\n\n → paralelos coincidentes\n mesmo plano e pontos em comum\n\n → transversais\n planos que se cruzam\n\nTi: 2x + 4y + 2z - 2 = 0\nTj: x + 2y + z - 1 = 0\n\n(2,4,2,-2) = λ (1,2,1,-1)\n[α = 2]\n\nTi: 2x + 4y + 2z - 2 = 0\nTj: x - z + 3 = 0\n\n(2,4,2,-2) = λ(1,0,-1,3)\n\nDigitalizado com CamScanner ressumindo :\nTi: 1.ax + by + cz + d1 = 0\nTj: 2.ax + b2.y + c2.z + d2 = 0\n\n(a1,b1,c1,d1) = λ(a2,b2,c2,d2) ↔ paralelos coincidentes\npe d1 ≠ d2 → paralelos distintos\n(a1,b1,c1,d1) ≠ (a2,b2,c2,d2) → transversais\n\n5. Ângulo entre Retas e Planos\n\n1) ângulo entre retas:\n\ncosθ = r1.r2/||r1||.||r2||\n\np σ r\nr1(x,y,z) = (1,2,3) + t(1,4,1)\ng0•g1(x,y,z) = (0,3,6) + t(2,0,2)\n\ncalcula o produto interno\nr1.r2 = (1,1,1)•(2,0,2) = 2 + 0 + 0 = 2 → ||r1|| = |1| = 1\n\n||r2|| = √(1² + 0² + 2²) = √5\n\ncosθ = 4 = = 2 θ = cos⁻¹(2/√5)\n\n2) ângulo entre reta e plano\n\nr1: y + x + y + z + 3 = 0\nr2(x,y,z) = (3,0,A) + t(2,1,0)\n\n||n1|| = √(1² + 1² + (-1)²) = √3\n||n2|| = √(1² + (-1)² + 1²) = √3\n\nθ = 🡫(3/√30) \n\nDigitalizado com CamScanner 3) ângulo entre planos → (cosθ = n1.n2/||n1||.||n2||)\n\nT1: 2x + 3y - z + 6 = 0\nT2: x - y - z - 5 = 0\n\n||n1|| = √(2² + 3² + (-1)²) = √14\n||n2|| = √(1² + (-1)² + 1²) = √3\n\ncosθ = 2 = 2 θ = cos⁻¹(2/√14)\n\nDigitalizado com CamScanner