Análise de Convergência e Monotonicidade de Sequências Numéricas

6 determine para quais valores de r a sequência nr converge e determine seu limite 1 determine se a sequência dada é monótona eou ilimitada a an 12n3 b an n1n c an nn21 Lista sequências Lista de sequências en cosn 3 a 123456 A sequência é gerada por an 1nn para todo n ℕ Basta ver que a1 111 1 Para n 1 a2 122 1 a3 133 3 ak 1kk E o termo geral então é an 1nn b 12481632 Veja que os termos podem ser escritos como 2021222324 Em suma isso nos mostra que o termo geral pode ser escrito como an 2n1 com n ℕ onde ℕ 123 c 05101520 Veja que os termos podem ser postos como 015253545 e 01 001 0001 00001 Os termos gerações dessa sequência podem ser postos como 110 1100 11000 110000 ou ainda da forma 1101 1102 1103 e logo podemos conjecturar o termo geral por an 110n n ℕ ℕ 123 4 a 3n 15n 4 Provaremos que a sequência é limitada por 29 e 35 Com efeito que vemos perceber que 0 24 3n 15n 4 2 1 a1 Para n 1 temos que 3n 15n 4 3 15 4 2 que prova a1 para n 1 Assumamos que a1 vale para n De fato veja que 0 3n 15n 4 35 35n 4 0 3n 1 15n 4 2 1 b n3n 1 Primeiramente provaremos que a sequência é monotônica decrescente Para isso é necessário e suficiente que an an 1 0 an n3n 1 De fato an an 1 n3n 2 n 13n 2 3n n 13n 2 2n 13n 2 Note que 2n 13n 2 0 para todo n de em sequência temos que n3n 1 é decrescente logo é uma decrescente Matruvemos ainda que a sequência é limitada mais precisamente que 0 n3n 1 1 n ℕ Para n 1 temos que a1 131 13 que verifica a desigualdade acima Assumamos para n e provaremos para n 1 então 0 2n3n 1 1 0 n 13n 2 1 c 2n 1 2n Definamos an 2n 1 2n Mostraremos que a sequência é montona isto é mostraremos que De fato an1 an an1 0 n ℕ De fato an an1 2n 1 2n 2n1 1 2n2 2n 2n1 1 2n1 2n1 2n1 1 2n1 2n1 2n1 1 2n1 2n1 que é maior que zero para todo n Logo temos que an an 0 n ℕ Vejase a sequência é montona mais especificamente monotonamente crescente Agora mostraremos a limitação com efeito mostraremos a validade da seguinte desigualdade dada 0 2n 1 2n 1 De fato para n 1 temos a1 23 1 e a desigualdade é satisfeita Assumimos a hipótese para n e provaremos mais para n 1 De fato 0 2n 1 2n 1 2 12 Logárgica 0 an 1 Portanto a sequência é montona e limitada e em consequência é convergente 5n 1 52n Mostramos mais que a sequência de fim dada por an 5n 1 52n é decrescente então mostramos que an an1 0 n ℕ De fato an an1 5n 1 52n 5n1 1 52n2 5n 53n2 5n1 53n1 1 52n1 52n2 5n25 5 55 5 1 52n1 52n2 53n20 5n4 9 1 52n1 52n2 5n4125 1 1 52n1 52n2 45n124 1 52n1 52n2 O qual para todo n ℕ é maior que zero logo an an1 0 an an1 n ℕ que prova a monotonicidade decrescente da sequência Mostraremos que a sequência é limitada Com efeito mostramos mais 0 52 1 52 0 5n 1 52n 1 5 0 5n1 1 52n2 5 152 0 5n1 1 52n2 15 1 Logo 0 5n1 1 52n2 2 0 an 1 2 0 an 1 2 0 5n 1 1 52n2 2 0 5n1 1 52n2 2 0 5n1 1 52n2 0 1 n ℕ Portanto a sequência an é limitada e logo é convergente 5 a frac3n1 limn o infty 3 limn o infty frac1n1 3 cdot 0 0 b limn o infty frac1sqrtn limn o infty n12 0 c limn o infty frac8n2n 3 quad extLimit limn o infty frac8n2 frac3n frac82 4 d limn o infty fracn2 1n limn o infty left limn o infty n limn o infty frac1n right infty 6 rn Analisaremos alguns casos c Se r 1 então rn diverge pois a sequência é ilimitada Se r 1 então rn diverge pois a sequência é ilimitada Se 1 r 0 a sequência diverge pois é alternada e logo há duas subsequências convergentes para limites distintos Se 0 leq r 1 e a sequência converge Pois Se n 0 então rn é a sequência constante igual a zero Mas se 0 r ext então limn o infty rn 0 Logo observe que limn o infty n cdot rn infty cdot 0 infty cdot 0 que é uma indeterminação do tipo LHôpital Logo limn o infty n cdot rn limn o infty frachnr Logo limn o infty fracn1n 0 Logo e limite da sequência é zero 7 a an frac12n 3 veja que a limn o infty an limn o infty frac12n 3 0 E logo a sequência é convergente e portanto limitada A sequência ainda é monotona decrescente pois an an1 forall n in mathbbN c an fracnn2 1 a sequência é limitada pois é convergente ou seja limn o infty an limn o infty fracnn2 1 0 anan1 nn²1 nn²1 nn1² nn³ n²1n²1n1²1 nn²2n1 n n³ n² 1n²nn1²1 n²n1n²nn1²1 0 nℕ Logo anan1 0 an an2 nℕ E daí concluise a monotonicidade de an