Modelo Logístico de Crescimento Populacional Verhulst-Pearl e Modelo de Epidemia

A longo prazo o primeiro caso k 0 pode não ser adequado o ambiente tem limitações e o crescimento populacional é eventualmente inibido pela falta de recursos essenciais Crescimento populacional Modelo Logístico VerhulstPearl O modelo logístico de VerhulstPearl procura remediar a limitação do modelo exponencial A EDO para este modelo é dPdt k P 1 PL onde L é o limite máximo para a população também chamado a capacidade do ambiente Se P Pt é pequeno quando comparado com L a EDO é praticamente a equação exponencial Este é um exemplo de uma EDO não linear separável As soluções constantes são P 0 e P L As soluções não constantes podem ser obtidas pela separação das variáveis seguido do uso de integração com o uso da técnica das frações parciais Com algumas manipulações algébricas teremos Pt L C ekt L C ekt onde C é uma constante e L é a capacidade do ambiente Para P0 P0 Pt L P0 P0 L P0 ekt Quando t então Pt L se P0 não for zero Este modelo é bem mais realista que o anterior mas ainda é insatisfatório pois não permite a possibilidade de extinção mesmo começando com uma população pequena a população sempre tenderá para L a capacidade do ambiente Ainda assim o modelo é bastante apropriado para a análise de crescimento populacional de cidades e de populações de lactobacilos entre outras situações Exemplo Modelo de epidemia Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença dotado das hipóteses