Decaimento Radioativo e Aplicações de Equações de Primeira Ordem

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª ORDEM Decaimento radioativo Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento Se Q Qt é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t então a taxa de variação de Qt com respeito ao tempo t denotada por dQdt é dada por dQdt k Qt onde k é uma constante que depende do elemento Por exemplo para o carbono14 o valor aproximado é k 1244x104 para o rádio o valor aproximado é k 14x1011 O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de meiavida do elemento A meiavida é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento Portanto se a meiavida do elemento for conhecida a constante k pode ser obtida e viceversa As meiasvidas de vários elementos radioativos podem ser encontradas nos livros de Química Por exemplo a meiavida do carbono14 está entre 5538 e 5598 anos sendo em média 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos O carbono14 é uma importante ferramenta em pesquisa arqueológica conhecida como teste do radiocarbono A quantidade inicial do elemento radioativo é Q0 Q₀ Exemplo Um isótopo radioativo tem uma meiavida de 16 dias Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias Calcule a quantidade inicial do isótopo Solução Seja Qt a quantidade presente no instante t e Q0Q₀ a quantidade inicial Resolvendo a equação dQdt k Qt temos que Qt Q₀ ekt e para t 16 Q16 ½Q₀ logo e16k ½ Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade obtemos k ln216 00433 dias¹