Vibrações Mecânicas - Excitação Harmônica e Sistemas de 1 GDL

EXCITAÇÃO HARMÔNICA DE SISTEMAS DE 1 GDL VIBRAÇÕES MECÂNICAS PROF HUGO TUPAN IFMG OBJETIVOS Identificar a forma padrão da equação diferencial de movimento para vibrações forçadas Classificar vibrações forçadas Avaliar a resposta harmônica de sistemas vibratórios Compreender os fenômenos de ressonância e batimento Avaliar a resposta de sistemas vibratórios sujeitos ao desbalanceamento rotativo Avaliar a resposta de sistemas submetidos a excitação harmônica pela base VIBRAÇÕES FORÇADAS As vibrações forçadas do sistemas de um grau de liberdade ocorrem quando o trabalho está sendo feito no sistema enquanto as vibrações ocorrem Exemplos de vibração forçadas incluem o movimento do solo durante um terremoto o movimento causado por máquinas recíprocas não balanceadas ou o movimento do solo transmitido a um veículo à medida que sua roda atravessa o contorno da estrada VIBRAÇÕES FORÇADAS Modelo de sistemas equivalente para as vibrações forçadas A equação diferencial regente 𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 𝑐𝑒𝑞 ሶ𝑥 𝑘𝑒𝑞𝑥 𝐹𝑒𝑞 𝑡 Dividindo por 𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 2𝜁𝜔𝑛 ሶ𝑥 𝜔𝑛2𝑥 𝐹𝑒𝑞 𝑡 𝑚𝑒𝑞 EXCITAÇÃO HARMÔNICA Trata da solução sujeita às excitações periódicas Uma excitação é periódica do período 𝑇 se 𝐹𝑒𝑞 𝑡 𝑇 𝐹𝑒𝑞 𝑡 para todos os valores de 𝑡 Uma excitação periódica de frequência única é definida como 𝐹𝑒𝑞 𝑡 𝐹0 sen 𝜔𝑡 𝜓 Sendo 𝐹0 a amplitude de excitação 𝜔 a sua frequência de modo que 𝜔 2𝜋 𝑇 e 𝜓 a sua fase RESPOSTA HARMÔNICA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO A equação de vibrações forçadas não amortecidas do sistema de 1 gdl sujeito à excitação harmônica de frequência única é ሷ𝑥 𝜔𝑛2𝑥 𝐹0 𝑚𝑒𝑞 sen 𝜔𝑡 𝜓 Aplicando o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução particular assume se com solução 𝑥𝑝 𝑡 𝑈 cos 𝜔𝑡 𝜓 𝑉 sen 𝜔𝑡 𝜓 RESPOSTA HARMÔNICA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO Se 𝜔 𝜔𝑛 𝑈 0 então 𝑉 𝐹0 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛2 𝜔2 A solução particular para 𝜔 𝜔𝑛 se torna 𝑥𝑝 𝑡 𝐹0 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛2 𝜔2 sen 𝜔𝑡 𝜓 RESPOSTA HARMÔNICA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO A solução geral é 𝑥 𝑡 𝑥0 𝐹0 sen 𝜓 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛2 𝜔2 cos 𝜔𝑛𝑡 1 𝜔𝑛 ሶ𝑥0 𝐹0𝜔 cos 𝜓 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛2 𝜔2 sen 𝜔𝑛𝑡 1 𝐹0 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛2 𝜔2 sen 𝜔𝑡 𝜓 𝜙 RESPOSTA HARMÔNICA DE UM SISTEMA NÃO AMORTECIDO RESSONÂNCIA O caso quando 𝜔 𝜔𝑛 é especial O termo não homogêneo e a solução homogênea não são linearmente independentes A solução particular é assumida nesse caso como 𝑥𝑝 𝑡 𝑈𝑡 cos 𝜔𝑛𝑡 𝜓 𝑉𝑡 sen 𝜔𝑛𝑡 𝜓 Substituindo na equação 𝑥𝑝 𝑡 𝐹0 2𝑚𝑒𝑞𝜔𝑛 𝑡 cos 𝜔𝑛𝑡 𝜓 RESSONÂNCIA A aplicação das condições iniciais à soma da solução homogênea e particular produz 𝑥 𝑡 𝑥0 cos 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝑥0 𝜔𝑛 𝐹0 cos 𝜓 2𝑚𝑒𝑞𝜔𝑛2 sen 𝜔𝑛𝑡 𝐹0 2𝑚𝑒𝑞𝜔𝑛 𝑡 cos 𝜔𝑛𝑡 𝜓 RESSONÂNCIA RESSONÂNCIA Como a amplitude da resposta é proporcional a 𝑡 ela cresce sem limite produzindo uma condição chamada ressonância A ressonância leva ao aumento de amplitude para um valor em que as suposições usadas no modelamento do sistema físico não são válidos A ressonância é uma condição perigosa em um sistema mecânico ou estrutural e produzirá grandes deslocamentos indesejados ou levará à falha BATIMENTO Quando a frequência de excitação é próxima mas não exatamente igual ocorre um curioso fenômeno chamado batimento Batimento é o acúmulo e redução contínuos da amplitude Quando 𝑥0 ሶ𝑥0 0 a solução é 𝑥 𝑡 2𝐹0 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛2 𝜔2 sen 𝜔 𝜔𝑛 2 𝑡 cos 𝜔 𝜔𝑛 2 𝑡 BATIMENTO Como 𝜔 𝜔𝑛 é um valor pequena a equação é vista como uma onda cosseno com amplitude ligeiramente variante 𝑥 𝑡 2𝐹0 𝑚𝑒𝑞 𝜔 𝜔𝑛 2 𝜔 𝜔𝑛 2 sen 𝜔 𝜔𝑛 2 𝑡 cos 𝜔 𝜔𝑛 2 𝑡 BATIMENTO RESPOSTA HARMÔNICA DE UM SISTEMA AMORTECIDO A forma padrão da equação diferencial é ሷ𝑥 2𝜁𝜔𝑛 ሶ𝑥 𝜔𝑛2𝑥 𝐹0 𝑚𝑒𝑞 sen 𝜔𝑡 𝜓 Uma solução particular é assumida como 𝑥𝑝 𝑡 𝑈 cos 𝜔𝑡 𝜓 𝑉 sen 𝜔𝑡 𝜓 RESPOSTA HARMÔNICA DE UM SISTEMA AMORTECIDO Solucionando as equação e substituindo na solução particular leva a 𝑥𝑝 𝑡 𝐹0 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛2 𝜔2 2 2𝜁𝜔𝜔𝑛 2 2𝜁𝜔𝜔𝑛 cos 𝜔𝑡 𝜓 𝜔𝑛2 𝜔2 sen 𝜔𝑡 𝜓 O uso da identidade trigonométrica para o seno da diferença dos ângulos e manipulação algébrica leva à seguinte forma 𝑥𝑝 𝑡 𝑋 sen 𝜔𝑡 𝜓 𝜙 𝑋 𝐹0 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛2 𝜔2 2 2𝜁𝜔𝜔𝑛 2 𝜙 tan1 2𝜁𝜔𝜔𝑛 𝜔𝑛2 𝜔2 RESPOSTA HARMÔNICA DE UM SISTEMA AMORTECIDO Multiplicando a primeira equação 𝑋 por Τ 𝑚𝑒𝑞𝜔𝑛2 𝐹0 e fazendo 𝑟 Τ 𝜔 𝜔𝑛 razão de frequência leva a 𝑀 𝑚𝑒𝑞𝜔𝑛2𝑋 𝐹0 1 1 𝑟2 2 2𝜁𝑟 2 A razão 𝑀 é adimensional e geralmente é chamada de razão de amplitude ou fator de ampliação FATOR DE AMPLIAÇÃO EM FUNÇÃO DA RAZÃO DE FREQUÊNCIA ÂNGULO DE FASE EM FUNÇÃO DA RAZÃO DE FREQUÊNCIA DESBALANCEAMENTO ROTATIVO A máquina da figura possui um componente que gira a uma velocidade constante 𝜔 Seu centro de massa está localizado a uma distância 𝑒 chamada de excentricidade a partir do eixo de rotação A massa do componente rotativo é 𝑚0 enquanto a massa total da máquina incluindo o componente rotativo é 𝑚 A máquina é forçada a moverse verticalmente DESBALANCEAMENTO ROTATIVO Seja 𝑥 o representado do movimento descendente da máquina A aceleração do componente rotativo é obtida usando a equação de aceleração relativa 𝑎𝑟𝑥 ሷ𝑥 𝑒𝜔2 sin 𝜃 Considerando o DCL e calculando σ 𝐹𝑒𝑥𝑡 σ 𝐹𝑒𝑓 aplicada na direção vertical produz 𝑘𝑥 𝑐 ሶ𝑥 𝑀 ሷ𝑥 𝑚𝑒𝜔2 sen 𝜃 DESBALANCEAMENTO ROTATIVO Como 𝜃 𝜔𝑡 𝜃0 𝑀 ሷ𝑥 𝑘𝑥 𝑐 ሶ𝑥 𝑚𝑒𝜔2 sen 𝜔𝑡 𝜃0 Fazendo 𝜓 𝜃0 𝜋 tem se que 𝑀 ሷ𝑥 𝑘𝑥 𝑐 ሶ𝑥 𝑚𝑒𝜔2 sen 𝜔𝑡 𝜓 A constante de proporcionalidade momento de desbalanceamento é 𝑀𝑋 𝑚𝑒 Λ 𝑟2 1 𝑟2 2𝜁𝑟 2 DESBALANCEAMENTO ROTATIVO EXCITAÇÃO HARMÔNICA PELA BASE Considere o sistema de massa molaamortecedor mostrado na figura A mola e o amortecedor estão paralelos com uma extremidade de cada um conecta à massa e a outra extremidade de cada um conectada ao suporte móvel EXCITAÇÃO HARMÔNICA PELA BASE Seja 𝑦 𝑡 o deslocamento conhecido do suporte e 𝑥 𝑡 o deslocamento absoluto da massa A aplicação de Segunda Lei de Newton produz 𝑚 ሷ𝑥 𝑐 ሶ𝑥 𝑘𝑥 𝑐 ሶ𝑦 𝑘𝑦 EXCITAÇÃO HARMÔNICA PELA BASE Definindo 𝑧 𝑡 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 A equação é reescrita como 𝑚 ሷ𝑧 𝑐 ሶ𝑧 𝑘𝑧 𝑚 ሷ𝑦 Dividindo por 𝑚 ሷ𝑥 2𝜁𝜔𝑛 ሶ𝑥 𝜔𝑛2𝑥 2𝜁𝜔𝑛 ሶ𝑦 𝜔𝑛2𝑦 ሷ𝑧 2𝜁𝜔𝑛 ሶ𝑧 𝜔𝑛2𝑧 ሷ𝑦 EXCITAÇÃO HARMÔNICA PELA BASE Se o deslocamento da base for dado por uma harmônica de frequência única na forma 𝑦 𝑡 𝑌 sen 𝜔𝑡 As equações tornamse ሷ𝑥 2𝜁𝜔𝑛 ሶ𝑥 𝜔𝑛2𝑥 2𝜁𝜔𝑛𝜔𝑌 cos 𝜔𝑡 𝜔𝑛2𝑌 sen 𝜔𝑡 ሷ𝑧 2𝜁𝜔𝑛 ሶ𝑧 𝜔𝑛2𝑧 𝜔2𝑌 sen 𝜔𝑡 EXCITAÇÃO HARMÔNICA PELA BASE Logo 𝑧 𝑡 𝑍 sen 𝜔𝑡 𝜙 𝑐𝑜𝑚 𝑍 𝑌Λ Λ 𝑚𝑒𝑞 𝑋 𝑌 𝑟2 1 𝑟2 2𝜁𝑟 2 O deslocamento absoluto é 𝑥 𝑡 𝑌 Λ sen 𝜔𝑡 𝜙 sen 𝜔𝑡 EXCITAÇÃO HARMÔNICA PELA BASE Usando a relação trigonométrica do seno da diferença de dois ângulos a equação pode ser expressa por 𝑥 𝑡 𝑋 sen 𝜔𝑡 𝜆 𝜆 tan1 2𝜁𝑟3 1 4𝜁2 1 𝑟2 𝑋 𝑌 𝑇 𝑇 1 2𝜁𝑟 2 1 𝑟2 2 2𝜁𝑟 2 𝑇 Τ 𝑋 𝑌 é a amplitude do deslocamento absoluto da massa para a amplitude do deslocamento da base adimensional EXCITAÇÃO HARMÔNICA PELA BASE REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS INMAN D J Vibrações Mecânicas Tradução da 4ª edição Rio de Janeiro Elsevier 2018 KELLY S G Vibrações Mecânicas Teoria e Aplicações São Paulo Cengage 2017 RAO S Vibrações Mecânicas 4ª edição São Paulo Pearson Prentice Hall 2008 RIPPER NETO A P Vibrações Mecânicas Rio de Janeiro EPapers 2007