Cálculo Diferencial e Integral - Lista de Exercícios Resolvidos

1 Determine o coeficiente angular do gráfico da função ft t³ 3t em um ponto dado Em seguida determine uma equação para a reta tangente ao gráfico no ponto 1 4 2 Determine as derivadas das funções a fx 43x3x² x Regra do quociente b fx 1 x²x34 x3 Regra do produto c fx sqrt1 cosx Regra da cadeia d fx e2x3 Regra da cadeia e fx ln3x Regra da cadeia 3 Dada a função y 2x³ 6x² 3 determine os pontos críticos de y se houver e identifique o comportamento da função em cada um deles os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescente os pontos de inflexão caso haja e a concavidade da curva 4 Use a regra de Lhôpital para calcular os limites abaixo a limx2 x²x6x2 b limx0 sen4xtg5x 5 Sua metalúrgica foi contratada por uma fábrica de papel para projetar e construir um tanque retangular de aço com base quadrada sem tampa e com 1000 m³ de capacidade O tanque será construído soldandose as chapas de aço umas às outras ao longo das bordas Como engenheiro de produção sua tarefa é determinar as dimensões para a base e a altura que farão o tanque pesar o mínimo possível Que dimensões serão passadas para a oficina Bons estudos 1 ft t³ 3t ft 3t² 3 Logo o coeficiente angular num ponto t é ft 3t² 3 e quando t 1 é f1 31² 3 4 Assim a equação da reta tangente em 1 4 é y 4 4x1 4 4x 4 y 4x 2 a fx 43x3x² x 43x3x² x3x² x² 33x² x 43x6x 13x² x² 9x² 3x 18x² 21x 43x² x² 9x² 24x 43x² x² b fx 1 x²x34 x3 1 x²x34 x3 2xx34 x3 1 x²34 x14 3x4 2x74 2x2 34 x14 3x4 34 x74 3x2 114 x74 3x4 x2 34 x74 c fx 12 1 cosx12 1 cosx 12 sqrt1 cosx senx senx2 sqrt1 cosx d fx e2x3 2x3 23 e2x3 e fx 3x1 3x 13x 3 1x 3 Primeiro calculando as derivadas primeira e segunda y 6x² 12x y 12x 12 Pontos críticos y 0 6x² 12x 0 6xx2 0 x 0 ou x 2 y0 120 12 12 e y2 122 12 12 Logo os pontos críticos são x 0 de mínimo local e x 2 de máximo local Assim se x 0 a função é decrescente 0 x 2 é crescente e 2 x é decrescente Logo Crescente 0 2 e Decrescente 0 U 2 y 0 12x 12 0 12x 12 x 1 Logo x 1 é ponto de inflexão se x 1 y 0 e x 1 y 0 Assim Concavidade para cima 1 Concavidade para baixo 1 4 a lim x2 x² x 6 x 2 lim x2 2x 1 1 por LHospital 22 1 5 b lim x0 sen4x tg5x lim x0 4cos4x 5sec²5x por LHospital 4cos40 5sec²50 41 51² 45 5 A massa é diretamente proporcional a área das chapas usadas Logo queremos a de menor área Seja x o lado da base e y a altura x²y 1000 y 1000 x² A área do tanque é A x² 4xy x² 4x1000x² x² 4000x Ax 2x 4000x² assim Ax 0 2x³ 4000x² 0 2x³ 4000 0 x³ 40002 2000 x ³2000 10³2 é o ponto de mínimo Logo a base é 10³2 m e a altura 4000 10³2 5002¹³2¹³ 50 ³2² 50 ³4 m