Lista de Exercícios Resolvidos - Dinâmica e Eletrodinâmica

1 Problema 2 Duas partıculas de massas m1 e m2 estao sobre uma cunha dupla conectados por um fio inextensıvel e sem massa que passa por um suporte sem atrito Considere que o coeficiente de atrito entre os blocos e o plano vale µ use o princıpio de DAlembert e determine a A aceleracao de cada massa b A tracao no fio c Qual resultado obterıamos para aceleracao e tracao caso µ 0 e α2 π2 050510 pontos Problema 3 Na eletrodinˆamica de Weber a forca entre duas cargas eletricas em movimento e dirigida ao longo da linha que as une e tem magnitude onde r denota a distˆancia entre as partıculas carregadas e c e a velocidade da luz no vacuo Determine a O potencial generalizado associado a essa forca b A lagrangiana do sistema c As equacoes para o movimento num plano de uma carga na presenca de outra carga fixa na origem do sistema de coordenadas 070706 pontos 2 Problema 4 Um pˆendulo duplo consiste de duas partıculas suspensas por dois fios como mostra figura abaixo Determine a As equacoes de transformacao07 ponto b A lagrangiana do sistema07 ponto c As equacoes de movimento06 ponto Problema 5 Mostre que a geodesica em uma superfıcie de um cilindro circular direito e um segmento de uma helice 20 pontos Vigiai pois porque nao sabeis o dia nem a hora em que o Filho do homem ha de virMt 2513 Problema 3 a F e l r² 1 r²c² r² 2 c² Procuramos Ur r tal que as forças generalizadas são Qk Uqk ddt Uqk Temos F e l 1 r² r² r² c² r r² c² Mas ddt rr r r r r² r ddt r r r² r² Logo F e l 1r² r² 2 r² c² ddtr r c² F e l r 1r r² 2 r c² e l ddt r 1r r² 2 r c² de modo que Ur r e l 1r r² 2 r c² b A energia cinética é dada por T m2 r² r² θ² onde a princípio podemos ter um movimento no plano descrito pela distância relativa entre as cargas e o ângulo entre elas coordenadas polares Logo L T U L m2 r² r² θ² e l 1r r² 2 r c² c Para r temos por EulerLagrange Problema 2 Seja o desenho abaixo O comprimento do fio é X X1 X2 constante Pelo princípio de dAlembert temos F1 P1 δx1 F2 P2 δx2 0 Do vínculo δx1 δx2 Mas P1 m1 x1 P2 m2 x2 m2 x1 Pegando os componentes das forças paralelas à cunha m1 g sen a1 u m1 g cos a1 m1 x1δx1 m2 g sen a2 u m2 g cos a2 m2 x2δx2 0 Onde identificamos que a força normal é N m g cos a Logo usando o vínculo m1 g sen a1 u m1 g cos a1 m1 x1 m2 g sen a2 u m2 g cos a2 m2 x1δx1 0 logo x1 m1 g sen a1 u m1 g cos a1 m2 g sen a2 u m2 g cos a2 m1 m2 e x2 x1 Note que supomos que a massa m1 está subindo b A tração na corda pode ser obtida pela equação proveniente da análise de forças no bloco A m1 g sen a1 u m1 g cos a1 T m1 x1 T m1 g sen a1 u m1 g cos a1 m1 x1 com x1 dado no item a c Se u 0 e a2 π2 então x1 m1 g sen a1 m2 g m1 m2 x2 x1 e T m1 g sen a1 m1 m1 g sen a1 m2 g m1 m2 ddtLr Lr mr ddtUr Ur mrθ² mr mrθ² Ur ddtUr F mr mrθ² uℓ 1r² rπc² r²c² Para θ temos ddtLθ Lθ ddtmr²θ 0 mr²θ constante ou seja o momento angular se conserva Problema 4 a Vamos ilustrar o sistema As equações de transformação são x₁ l₁ sen θ₁ y₁ l₁ cos θ₁ x₂ l₁ sen θ₁ l₂ sen θ₂ y₂ l₁ cos θ₁ l₂ cos θ₂ b A Lagrangiana é L T U onde T m₁v₁²2 m₂v₂²2 com vi² xi² yi² Diferenciando x₁ x₂ y₁ e y₂ e elevando ao quadrado obtemos T m₁l₁²θ₁²2 m₂2 l₁²θ₁² l₂²θ₂² 2l₁l₂θ₁θ₂ cosθ₁ θ₂ onde identificamos que cosθ₁cosθ₂ senθ₁ senθ₂ cosθ₁ θ₂ A energia potencial é U m₁g y₁ m₂ g y₂ U m₁ m₂ g l₁ cos θ₁ m₂ g l₂ cos θ₂ Portanto L m₁l₁²θ₁²2 m₂2 l₁²θ₁² l₂²θ₂² 2l₁l₂θ₁θ₂ cosθ₁ θ₂ m₁ m₂ g l₁ cos θ₁ m₂ g l₂ cos θ₂ c Para θ₁ temos Lθ₁ m₁ m₂l₁²θ₁ m₂ l₁ l₂ θ₂ cos θ₁ θ₂ Lθ₁ m₂ l₁ l₂ θ₁ θ₂ senθ₁ θ₂ m₁ m₂ g l₁ sen θ₁ de modo que por Euler Lagrange e dividindo por l₁ m₁ m₂ l₁ θ₁ m₂ l₂ θ₂ cosθ₁ θ₂ m₂ l₂ θ₂² senθ₁ θ₂ m₁ m₂ g senθ₁ 0 Para θ₂ Lθ₂ m₂ l₂² θ₂ m₂ l₁ l₂ θ₁ cosθ₁ θ₂ Lθ₂ m₂ l₂ l₁ θ₁ θ₂ senθ₁ θ₂ m₂ g l₂ senθ₂ Logo por EulerLagrange e dividindo por m₂ l₂ l₂ θ₂ l₁ θ₁ cosθ₁ θ₂ l₁ θ₁² senθ₁ θ₂ g sen θ₂ 0 Problema 5 Na superfície do cilindro temos dz² dr² r² dθ² dz² Se r R constante z z₁z₂ r² θ² dz² z₁z₂ dz 1 r² θ² onde θ dθdz z z₁z₂ fθ θ z dz Aplicando a equação de Euler à f temos fθ ddz fθ 0 ddz r² θ 1 r² θ² 0 Como r é constante O é constante em relação à z Logo O a z b onde a e b são constantes que é a equação de uma Hélice