Mecanica Classica Nivaldo Lemos - Resolucao Exercicios 77 711 e 714

Perguntas do livro de Nivaldo Lemos 77 711 e 714 Mecânica Clássica 77 A Hamiltoniana do problema é H T V 12m pr2 pθ2 r2 kr com k 0 A equação 733 é dada por j qj Hqj i pi Hpi Logo j qj Hqj φ Hφ u Hr u Hr u pφ2mr3 kr2 pφ2mr2 kr pφ2mr2 V e também i pi Hpi pr Hpr pθ Hpθ pr prm pθ pθmr2 pr2m pθ2mr2 22 2 T portanto j qj Hqj i pi Hpi V pφ2mr2 2 T Da equação 739 Vr A rn T n2 V Eq 7310 No nosso caso 2 T V Eq 7311 pois n 1 o que implica que p𝜙2mr2 0 e como p𝜙 cte p𝜙2m 1r2 0 logo 1r2 0 Para que isso seja verdade seria necessário que u2 o que não faz sentido Note que a trajetória é fechada uma elipse além disso pelas leis de Kepler vemos que u2 O motivo pelo qual chegamos nesse resultado absurdo é que ao descrever um sistema físico de força central em coordenadas polares aparece um termo chamado potencial centrífugo Ele tem a forma Vcentr B r2 VTOT Br2 kr 711 i A Lagrangiana do problema é dada por L m2 r2 r2 θ2 ż2 a eφ ϕ com a dθ A Hamiltoniana H j qj pj L H ė P𝑒 𝜙 p𝜙 𝑗 P3 m2 ė² e² 𝜙² 𝑗² a e² 𝜙 como P𝑒 Lė mė p𝜙 L𝜙 m e² 𝜙 a e² 𝜙 u P3 L𝑗 m𝑗 então ė P𝑒m 𝜙 p𝜙 a e²m e² u 𝑗 P3m logo H ė P𝑒 𝜙 p𝜙 𝑗 P3 m2 P𝑒²m e² e² p𝜙 a e²²m² e² P3²m² a e² p𝜙 a e²m e² H ė P𝑒 𝜙 p𝜙 𝑗 P3 P𝑒²2m p𝜙 a e²²2m e² P3²2m a p𝜙 a e²m H P𝑒²m p𝜙 a e² p𝜙m e² P3²m p𝜙² 2 a e² p𝜙 a² e⁴2m e² P𝑗²2m ap𝜙 a e²m P𝑒²2m P𝜙²2m e² P𝑗²2m a² e²2m a p𝜙m iii Constantes do movimento Como as coordenadas 𝜙 e z são cíclicas então P𝑝 e P3 são constantes do movimento Por fim temos a própria hamiltoniana a final Ht 0 iv Quadratura Sendo a hamiltoniana uma constante do movimento Ht 0 12m P𝑒²e² P𝜙²e² P𝑗² a²e²2m a p𝜙m k P𝑒²2m P𝜙²2me² P𝑗²2m a²e²2m a p𝜙m k sendo P𝑒 mė mė²2 k P𝜙²2me² P𝑗²2m a²e²2m a p𝜙m mė²2 k P𝜙²2me² P𝑗²2m a p𝜙m 22 e²e² a²e²2m e²e² mė²2 k P𝑗²2m P𝜙² 2 a e p𝜙 a² e⁴2me² mė²e² k P𝑗²2m p𝜙 a e²²2me² ė² 2km P𝑗²m² p𝜙 a e²²m² e² Definindo a 2km P𝑗²m² e β p𝜙 ė² a β a e²²m² e² ė a β a e²²m² e² dedt dt d𝑒a β a e²²m² e² t d𝑒a β a e²²m² e² 714 Eletrodinâmica de Weber O potencial é dado por Uωis ecr 1 ű²2 c² A lagrangiana em coordenadas polares será Lr θ ṙ θ m2 ṙ² r² θ² e cr 1 ṙ²2c² é a hamiltoniana H Σ ṡ pᵢ L sendo pᵣ Lṙ mṙ c c ṙc² r e pθ Lθ m r² θ logo ṙ pᵣm c cc² r m c² pᵣ m c² r c c e θ pθ m r² portanto H ṙ pᵣ θ pθ m2 ṙ² m2 r² θ² c cr c c2 c² ṙ²r H ṙ pᵣ θ pθ ṙ mṙ2 c c ṙ2 c² r m r² θ θ c cr H ṙ pᵣ θ pθ ṙ2 pᵣ pθ θ2 c cr logo m c² pᵣ² 2 m c² r c c pθ² 2 m r² c cr C pᵣ² m c² 2 m c² r c c pθ² 2 m r² c cr C com pᵣ m c² r c c m c² ṙ logo m c² r c cm c²² ṙ² m c² 2 m c² r c c pθ² 2 m r² c cr C m c² r c c 2 m c² ṙ² C pθ² 2 m r² c c r ṙ m c² r c c 2 m c² C pθ² 2 m r² c cr EDO de primeira ordem