Análise de Circuitos RLC Paralelo com Chaveamento - Resposta Superamortecida e Subamortecida

1 O interruptor é acionado apenas no tempo t0 s Consideramos que antes desse instante não há energia armazenada no circuito o que implica condições iniciais nulas Após o primeiro chaveamento no instante t0 s temos o circuito equivalente Transformamos a fonte de tensão para uma fonte de corrente com uma resistência em paralelo resultando em um circuito RLC paralelo com uma fonte de corrente Os parâmetros do circuito são α 1 2RC 1 2320010 6 α8333333 ω0 1 LC 1 5010 320010 63162278rad s Como α ω0 a resposta do circuito é superamortecida e tem a forma i1t I S A1e s1t A2e s2t Os polos são dados por s12α α 2ω0 2 s1283333338333333 23162278 2 s1623311 s216043336 i1t I S A1e 623311t A2e 16043336t Aplicando as condições iniciais i10 I S A1 A2 A1 A210 A tensão no indutor é igual a tensão no capacitor e é dada por vot L di1 t dt vot 1 20 623311 A1e 623311t16043336 A2e 16043336t Aplicando a condição inicial 31166 A1802168 A20 Resolvendo o sistema temos que A1104042 A204042 Resultando i1t 10104042e 623311t04042e 16043336t A Substituindo para a expressão de vo vot 324253e 623311t324253e 16043336tV Voltamos ao circuito original para determinar as outras variáveis i330vO 3 i310vo 3 i3t 10108084e 623311t108084 e 16043336t A v2t 1i3t v2t 10108084e 623311t108084e 16043336tV No tempo t26445ms ocorre novo chaveamento Precisamos determinar as condições iniciais para o indutor e capacitor nesse instante vot 324253e 623311t324253e 16043336tV vo26445ms 62376V i1t 10104042e 623311t04042e 16043336t A i126445ms 8 A Após o segundo chaveamento no instante t26445ms temos o circuito equivalente Para facilitar a análise consideramos o tempo inicial igual a 0 e ao final aplicamos o deslocamento para as expressões no domínio do tempo O circuito resultante é um RLC paralelo sem fonte Os parâmetros do circuito são α 1 2RC 1 224 20010 6 α1041667 ω0 1 LC 1 5010 320010 63162278rad s Como α ω0 a resposta do circuito é subamortecida A resposta tem a forma i1t e αt A1cosωdt A2sin ωdt Onde ωdω0 2α 2 ωd2985788 rad s i1t e 1041667t A1cos2985788t A2sin 2985788t Aplicando as condições iniciais i10 8A1 i1t e 1041667t 8cos 2985788t A2sin 2985788t A tensão no indutor é igual a tensão no capacitor e é dada por vot L di1 t dt vot 1 20 e 1041667 82985788sin2985788tA22985788cos 2985788t 1041667e 1041667 8cos 2985788t A2sin 2985788t vo0 62376 1 20 2985788 A210416678 2985788 A212475208333336 A232069 i1t e 1041667t 8cos 2985788t 32069sin 2985788t A Substituindo na expressão de vo vot 1 20 e 104166782985788sin2985788t320692985788cos 2985788t 1041667e 1041667 8cos 2985788t 32069sin 2985788t vot e 1041667 t 62339cos 2985788t 1360635sin 2985788t V Determinando as outras variáveis Por observação i3t 0 Aplicando divisor de tensão v2t vot 1 123 v2t e 1041667t 02597cos2985788t 56693sin 2985788t V Para todo o período aplicando os deslocamentos de tempo vot 324253e 623311te 16043336t 0t26445ms e 1041667t0026462339cos2985788 t00264 1360635sin 2985788 t00264 26445mst i1t 1004042e 16043336t104042e 623311t0t 26445ms e 1041667 t00264 8cos2985788 t00264 32069sin 2985788 t00264 26445mst v2t 10108084 e 623311te 16043336t 0t26445ms e 1041667 t0026402597 cos2985788 t00264 56693sin 2985788 t00264 26445mst i1t 10108084 e 623311te 16043336t 0t 26445ms 026445mst Todas as variáveis tendem a valor nulo como condições finais já que a fonte é desconectada do circuito o que leva a energia armazenada a ser dissipada 1 O interruptor é acionado apenas no tempo 𝑡 0s Consideramos que antes desse instante não há energia armazenada no circuito o que implica condições iniciais nulas Após o primeiro chaveamento no instante 𝑡 0s temos o circuito equivalente Transformamos a fonte de tensão para uma fonte de corrente com uma resistência em paralelo resultando em um circuito RLC paralelo com uma fonte de corrente Os parâmetros do circuito são 𝛼 1 2𝑅𝐶 1 2 3 200 106 𝛼 8333333 𝜔0 1 𝐿𝐶 1 50 103 200 106 3162278 rads Como 𝛼 𝜔0 a resposta do circuito é superamortecida e tem a forma 𝑖1𝑡 𝐼𝑆 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠2𝑡 Os polos são dados por 𝑠12 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝑠12 8333333 83333332 31622782 𝑠1 623311 𝑠2 16043336 𝑖1𝑡 𝐼𝑆 𝐴1𝑒623311𝑡 𝐴2𝑒16043336𝑡 Aplicando as condições iniciais 𝑖10 𝐼𝑆 𝐴1 𝐴2 𝐴1 𝐴2 10 A tensão no indutor é igual a tensão no capacitor e é dada por 𝑣𝑜𝑡 𝐿 𝑑𝑖1𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑡 1 20 623311𝐴1𝑒623311𝑡 16043336𝐴2𝑒16043336𝑡 Aplicando a condição inicial 31166𝐴1 802168𝐴2 0 Resolvendo o sistema temos que 𝐴1 104042 𝐴2 04042 Resultando 𝑖1𝑡 10 104042𝑒623311𝑡 04042𝑒16043336𝑡 A Substituindo para a expressão de 𝑣𝑜 𝑣𝑜𝑡 324253𝑒623311𝑡 324253𝑒16043336𝑡 V Voltamos ao circuito original para determinar as outras variáveis 𝑖3 30 𝑣𝑂 3 𝑖3 10 𝑣𝑜 3 𝑖3𝑡 10 108084𝑒623311𝑡 108084𝑒16043336𝑡 A 𝑣2𝑡 1 𝑖3𝑡 𝑣2𝑡 10 108084𝑒623311𝑡 108084𝑒16043336𝑡 V No tempo 𝑡 26445 ms ocorre novo chaveamento Precisamos determinar as condições iniciais para o indutor e capacitor nesse instante 𝑣𝑜𝑡 324253𝑒623311𝑡 324253𝑒16043336𝑡 V 𝑣𝑜26445 ms 62376 V 𝑖1𝑡 10 104042𝑒623311𝑡 04042𝑒16043336𝑡 A 𝑖126445 ms 8 A Após o segundo chaveamento no instante 𝑡 26445 ms temos o circuito equivalente Para facilitar a análise consideramos o tempo inicial igual a 0 e ao final aplicamos o deslocamento para as expressões no domínio do tempo O circuito resultante é um RLC paralelo sem fonte Os parâmetros do circuito são 𝛼 1 2𝑅𝐶 1 2 24 200 106 𝛼 1041667 𝜔0 1 𝐿𝐶 1 50 103 200 106 3162278 rads Como 𝛼 𝜔0 a resposta do circuito é subamortecida A resposta tem a forma 𝑖1𝑡 𝑒𝛼𝑡𝐴1 cos𝜔𝑑𝑡 𝐴2 sin𝜔𝑑𝑡 Onde 𝜔𝑑 𝜔0 2 𝛼2 𝜔𝑑 2985788 rad s 𝑖1𝑡 𝑒1041667𝑡𝐴1 cos2985788𝑡 𝐴2 sin2985788𝑡 Aplicando as condições iniciais 𝑖10 8 𝐴1 𝑖1𝑡 𝑒1041667𝑡8 cos2985788𝑡 𝐴2 sin2985788𝑡 A tensão no indutor é igual a tensão no capacitor e é dada por 𝑣𝑜𝑡 𝐿 𝑑𝑖1𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑜𝑡 1 20 𝑒10416678 2985788 sin2985788𝑡 𝐴2 2985788 cos2985788𝑡 1041667𝑒10416678 cos2985788𝑡 𝐴2 sin2985788𝑡 𝑣𝑜0 62376 1 20 2985788𝐴2 1041667 8 2985788𝐴2 1247520 8333336 𝐴2 32069 𝑖1𝑡 𝑒1041667𝑡8 cos2985788𝑡 32069 sin2985788𝑡 A Substituindo na expressão de 𝑣𝑜 𝑣𝑜𝑡 1 20 𝑒10416678 2985788 sin2985788𝑡 32069 2985788 cos2985788𝑡 1041667𝑒10416678 cos2985788𝑡 32069 sin2985788𝑡 𝑣𝑜𝑡 𝑒1041667𝑡62339 cos2985788𝑡 1360635 sin2985788𝑡 V Determinando as outras variáveis Por observação 𝑖3𝑡 0 Aplicando divisor de tensão 𝑣2𝑡 𝑣𝑜𝑡 1 1 23 𝑣2𝑡 𝑒1041667𝑡02597 cos2985788𝑡 56693 sin2985788𝑡 V Para todo o período aplicando os deslocamentos de tempo 𝑣𝑜𝑡 324253𝑒623311𝑡 𝑒16043336𝑡 0 𝑡 26445 ms 𝑒1041667𝑡0026462339 cos2985788𝑡 00264 1360635 sin2985788𝑡 00264 26445 ms 𝑡 𝑖1𝑡 10 04042𝑒16043336𝑡 104042𝑒623311𝑡 0 𝑡 26445 ms 𝑒1041667𝑡002648 cos2985788𝑡 00264 32069 sin2985788𝑡 00264 26445 ms 𝑡 𝑣2𝑡 10 108084𝑒623311𝑡 𝑒16043336𝑡 0 𝑡 26445 ms 𝑒1041667𝑡0026402597 cos2985788𝑡 00264 56693 sin2985788𝑡 00264 26445 ms 𝑡 𝑖1𝑡 10 108084𝑒623311𝑡 𝑒16043336𝑡 0 𝑡 26445 ms 0 26445 ms 𝑡 Todas as variáveis tendem a valor nulo como condições finais já que a fonte é desconectada do circuito o que leva a energia armazenada a ser dissipada