Apostila de Interferência em Óptica Física

Professor Evandro Freire da Silva Disciplina Física IV Período 5o Física 5o Eng Metalúrgica Semestre 202202 Apostila 5 Interferência Sumário 1 Interferência construtiva e destrutiva 1 11 Interferência em uma dimensão 2 12 Interferência em duas ou três dimensões 2 2 Interferência em fendas finas 3 21 O experimento de Young 3 22 Posição das franjas 4 23 Intensidade da figura 5 3 Interferência em películas finas 7 31 Deslocamento de fase na reflexão 8 32 Diferença de fase devido à espessura da película 10 33 Cálculo da espessura da película 10 34 Aplicações 11 4 Interferômetro de Michelson 12 41 Experimento de MichelsonMorley 13 1 Interferência construtiva e destrutiva O fenômeno de interferência é um dos mais importantes dentro do estudo da Óptica Física Ao contrário de outros fenômenos estudamos anteriormente como a reflexão e a refração que podem ser estudados a partir de uma perspectiva corpuscular ou ondulatória a interferência é um fenômeno de caráter puramente ondulatório Interferência ocorre quando duas ou mais fontes de ondas enviam ondas que alcançam simultaneamente o mesmo ponto do espaço Efeitos de interferência são perceptíveis em ondas mecânicas quando as fontes possuem A mesma frequência dando origem a uma distribuição espacial de ventres pontos de amplitude de oscilação máxima e nós pontos sem oscilação Ou frequências similares dando origem a batimentos nos quais a amplitudede oscilação cresce e diminui periodicamente com uma frequência proporcional à diferença de frequências das duas fontes No estudo de interferência gerada por ondas eletromagnéticas supomos que as duas fontes tem a mesma frequência porque o segundo fenômeno batimento é imperceptível quando as frequências das fontes são muito grandes lembramos que a frequência típica para a luz visível é da ordem de 5 1014 Hz Vamos considerar que as duas fontes possuem a mesma frequência mesma fase e mesmo estado de polarização Essas condições não são muito restritivas para antenas podemos dizer que elas são alimentadas pelo mesmo circuito e apontam na mesma direção para a luz veremos adiante como garantir que essas condições sejam satisfeitas Como a velocidade de uma onda depende apenas das características do meio no caso de uma onda eletromagnética dos valores de ε e µ para o meio as fontes emitem ondas com o mesmo comprimento de onda λ Além disso ondas com a mesma fase passam por máximos e mínimos da onda simultaneamente 1 11 Interferéncia em uma dimensao Vamos considerar em primeiro lugar uma situacao unidimensional As duas fontes estéo posicionadas no eixo x separadas por uma distancia d emitindo ondas EM com a mesma fase e frequéncia Como as equacdes de Maxwell obedecem ao principio de superposigao os campos elétrico e magnético resultantes em cada ponto sao iguais 4 soma dos campos emitidos por cada fonte Vamos ver o que ocorre com o campo elétrico Se r é a distancia entre o ponto de observacao e a fonte F entao a amplitude resultante depende da diferenca Ar e do comprimento de onda Os casos mais importantes sao discutidos a seguir 1 Quando Ar é igual a um miltiplo inteiro de comprimentos de onda ou seja roma mez a as duas ondas alcangam o ponto x em fase mAximos da primeira onda coincidem com maximos da segunda onda e minimos da primeira com minimos da segunda A amplitude resultante é A A Ao 2 Dizemos que ocorre interferéncia construtiva 2 Quando Ar é igual a um miltiplo semiinteiro de comprimentos de onda ou seja 1 Ar mt5 AI meZ 3 as duas ondas alcangam o ponto x em oposicao de fase mAximos da primeira onda coincidem com minimos da segunda onda etc A amplitude resultante nesse ponto é AA Aol 4 sendo nula se as amplitudes de oscilacao das duas fontes sao iguais Dizemos que ocorre interferéncia destrutiva Interferéncia Construtiva Interferéncia Destrutiva Quando variamos x em uma dimensao no espaco entre as fontes vemos que IC e ID ocorrem alternadamente quando deslocamos x para a direita rj aumenta e 72 diminui de modo que Ar aumenta Quando Ar varia em A2 saimos da condigéo de IC e vamos para ID Fora do espaco entre as fontes ocorre apenas um tipo de interferéncia IC ou ID pois a diferenca de caminho entre as duas ondas passa a ser constante 12 Interferéncia em duas ou trés dimensoes Quando consideramos pontos fora da reta que liga as duas fontes ou seja vamos para 0 caso 2D vemos que existem linhas nas quais Ar permanece constante e que permanecem no mesmo estado de interferéncia e O caso Ar 0 corresponde 4 linha normal a reta que liga as duas fontes na metade do caminho entre as fontes Vemos interferéncia construtiva nessa linha 2 Todas as demais linhas tais que r mλ m 0 são hipérboles de fato uma possível definição de hipér bole é o conjunto de pontos cujas distâncias a dois pontos fixos as fontes têm uma diferença constante Dependendo do valor de k visualizamos IC nas linhas antinodais ou ID nas linhas nodais Na figura a seguir mostramos duas fontes de ondas com mesma frequência e fase os máximos das ondas geradas por cada fonte linhas cheias e as linhas antinodais onde a amplitude de vibração é máxima Linhas nodais localizamse entre cada par de linhas antinodais 0 1 2 3 1 2 3 Valores de m Podemos usar os conceitos abordados nesta seção para resolver exercícios de interferência de ondas de rádio geradas por duas antenas próximas ou interferência de ondas mecânicas som devido à presença de duas fontes de som próximas Algumas questões típicas são calcular o maior comprimento de onda tal que a interferência produzida num certo ponto seja construtiva ou destrutiva ou calcular uma lista de distâncias a partir de uma das fontes onde ocorre interferência construtiva ou destrutiva Se o ponto de observação estiver na linha que conecta as duas fontes o cálculo da diferença de distâncias é bem simples casos mais complexos ocorrem quando o ponto de observação está fora dessa linha e é necessário calcular a distância entre cada fonte e o ponto de observação usando o teorema de Pitágoras ou outra técnica similar Também pode ser explorados outros conceitos de Mecânica Ondulatória como a relação v λf entre a velocidade de propagação da onda a frequência e o comprimento de onda 2 Interferência em fendas finas 21 O experimento de Young Quando produzimos padrões de interferência com ondas eletromagnéticas emitidas por antenas é simples atender as restrições de mesma frequência fase e estado de polarização Além disso como o comprimento de onda envolvido pode ser da ordem de metros é simples localizar os máximos IC e mínimos ID de intensidade Existem várias dificuldades que devem ser contornadas por meio de um design mais específico do experi mento para que consigamos ver interferência entre feixes de luz 1 Fontes de luz típicas como lâmpadas ou velas tendem a ser incoerentes apresentando fases e estados de polarização aleatórios 2 O comprimento de onda da luz visível está na faixa dos 500 nm de modo que uma distância muito pequena separa pontos de interferência construtiva e destrutiva No início do século XIX T Young elaborou a seguinte experiência uma fonte de luz monocromática emite luz que incide em um pequeno orifício a luz que passa por esse orifício foi emitida por uma pequena região 3 da fonte sendo aproximadamente coerente Após passar por esse orifício a luz encontra uma superfície opaca com dois orifícios separados por uma distância d da ordem de fração de milímetro a luz que sai desses orifícios comportase como a onda EM que sai de duas antenas em fase separadas por uma distância d Finalmente essa luz é projetada sobre um anteparo opaco a uma distância x muito maior que d assim os raios que saem de cada orifício percorrem quase a mesma distância com uma diferença de percurso da ordem de 500 nm até chegar ao anteparo Para pontos y distintos do anteparo o valor de r muda de modo que a intensidade da luz em cada ponto pode corresponder a máximos ou mínimos a figura observada consiste na alternância de franjas claras e escuras formando o padrão de interferência de fenda dupla Atualmente usamos uma fonte laser como fonte coerente de luz de modo que não necessitamos do primeiro orifício para realizar o experimento de fenda dupla Usamos em vez de um par de orifícios que transmite pouca luz um par de fendas retangulares com a largura bem menor que o comprimento O experimento é realizado numa sala escura e a figura é projetada numa parede situada a alguns metros de distância Uma figura típica de interferência gerada por este método é mostrada a seguir Vemos que são projetados pontos brilhantes de intensidades diferentes o ponto central é mais claro e os demais pontos estão espaçados de forma periódica de um lado e do outro Nesta Apostila vamos obter a posição de cada ponto claro e uma fórmula para estimar a variação de intensidade entre um ponto claro e o espaço ao redor desse ponto Entretanto vemos que a intensidade dos pontos claros não é a mesma e que quando nos afastamos muito do ponto central a figura perde intensidade e desaparece estes efeitos ocorrem devido à largura finita de cada fenda o que veremos em maiores detalhes na Apostila de Difração 22 Posição das franjas Consideramos a seguinte situação duas fendas delgadas em um anteparo opaco separadas por uma distância d na vertical são iluminadas por luz coerente de comprimento de onda λ que se propaga na direção x na horizontal Uma tela opaca estendida na vertical se encontra a uma distância x das fendas com x d Formase uma figura de interferência na tela com franjas brilhantes e escuras queremos determinar a posição de cada franja assumindo que a largura de cada fenda é desprezível d y x r1 r2 Fendas Anteparo r d θ θ Pelo princípio de Huygens as fendas se comportam como fontes de luz secundárias e emitem luz em todas as direções possíveis em vez de apenas na direção horizontal O ponto da tela contido na mediatriz entre as duas fendas recebe luz que percorre exatamente o mesmo caminho saindo de cada fenda como r 0 ocorre IC nesse ponto Vamos tomar y 0 para esse ponto ele será o centro da figura de interferência que se estende de forma simétrica acima e abaixo dele Podemos traçar raios saindo de cada fenda que atingem a tela no ponto y 0 como x d os raios são praticamente paralelos Seja θ o ângulo que esses raios formam com a horizontal do diagrama a seguir podemos calcular a diferença de caminhos entre os raios da seguinte forma Traçamos uma circunferência centrada no ponto da tela de raio igual ao menor caminho que passa pela fenda mais próxima 4 e O arco de circunferéncia entre as intersecgdes com os dois raios é praticamente um segmento de reta perpendicular ao raio mais longo de modo que existe um triangulo retangulo de hipotenusa d e cateto igual a Ar e O Angulo oposto ao cateto Ar é 6 de modo que Ar sin 5 5 Usamos agora as condicoes de IC e ID para especificar os 4ngulos para os quais ocorre IC e ID A sin ma m EZ franjas brilhantes IC IY 6 sin m 5 7 me Z franjas escuras ID A relagao acima pode ser usada para qualquer valor de 0 Para obter a posigao y na tela onde sao projetadas as franjas em principio é necessdrio escrever maAd 6 arcsin yxtand 7 m 12Xd Entretanto estamos supondo que y x de modo que o angulo 6 é pequeno e podemos usar a aproximacao sinxtang2 y xsind 8 x para obter as posicdes das franjas brilhantes e escuras na tela Ax Yor mT meZ franjas brilhantes 9 1 Ax Yese M 3 a mEZ franjas escuras Observacoes e A extensao da figura de interferéncia é proporcional ao comprimento de onda maior para luz vermelho menor para luz violeta e inversamente proporcional a distancia entre as fendas e Uma vez que sin Ad vemos que a condigéo de angulos pequenos deixa de ser satisfeita quando a distancia d entre as fendas nao é muito maior que o comprimento de onda da luz menor que 10 vezes e As franjas brilhantes sao classificadas pela ordem pelo valor de m Para m 0 temos o méximo principal para m 4 0 temos os mdximos de ordem m de um lado e de outro do maximo central e Na formula acima nao existe limite para os valores de m Entretanto devido a abertura finita das fendas a intensidade das franjas diminui 4 medida que m aumenta até que as franjas brilhantes passam a ser imperceptiveis Na apostila de Difracao veremos que quanto menor a abertura da fenda maior é o numero de franjas visiveis 23 Intensidade da figura E possivel determinar a intensidade J em qualquer ponto da figura de interferéncia ao longo do eixo y Para isso é necessario obter o campo elétrico resultante das duas fendas no ponto y e a seguir calcular a intensidade Supomos novamente que as duas fendas emitem ondas monocromaticas de mesma amplitude He mesmo estado de polarizagao Desprezamos a diminuicao de amplitude de um dos raios em relacado ao outro devido ao caminho maior percorrido afinal essa diferenca é de alguns comprimentos de onda 0 que muito pequeno no caso da luz visivel e a diminuicgao de amplitude devido 4 distancia entre a fonte e a tela 5 Os campos que chegam a posigao y da tela onde é projetada a figura estao defasados entre si por uma fase ou seja o argumento da fungaéo seno é diferente para cada onda uma vez que o caminho que um deles percorreu é maior Assim podemos representar 0 campo elétrico que vem de cada fonte como Et Ecoswt 9 E2t Ecoswt 10 e o campo resultante como Et E coswt cos wt 11 E possivel reescrever a expressao dentro dos parénteses como um produto de funcoes trigonométricas Co mecamos lembrando as formulas para cosseno da soma e da diferenga de dois angulos cosa b cosacosb sinasinb 12 cosa b cosacosb sinasinb 13 Somando as duas equacées acima temos cosa b cosa b 2cosacosb 14 Sejam ce d duas novas varidveis definidas como catb dab 15 Podemos obter a e b em funcao de c e d resolvendo o sistema acima Temos cd cd b 16 o 5 16 de modo que cd cd cosc cosd 2cos S cos 17 Agora podemos reescrever a equacao 11 tomando c wt d wt 2wt EtE 2 cos 2ut cos 18 2 2 Notamos que 0 campo correspondente possui amplitude o termo que nao varia com o tempo igual a d Emax 2E cos 5 19 Analisando a expressao acima vemos que 1 Quando as duas ondas estaéo em fase 6 n2mrad e cos 1 Assim a amplitude do campo resultante é Emax 2E que é o valor para interferéncia construtiva 2 Quando as duas ondas estao em oposigaéo de fase n 12 27rad e cos 0 de modo que a amplitude do campo resultante é nula A seguir calculamos a intensidade do campo resultante usamos a formula abaixo EC 742 EC 22 I F Emas 2 4E Cos 2 20 Essa formula é normalmente escrita em fungéo da intensidade no maximo central da figura interferéncia ou seja para 0 Temos Ip 1 0 2ecE I Ip cos 21 Vemos ainda que Jp é igual a quatro vezes a intensidade do campo elétrico de uma das fendas Entretanto isso nao quer dizer que existe geracaéo de energia na formacao de uma figura de interferéncia Como a fungao cos2 oscila entre os valores de 1 e 0 seu valor médio é igual a 12 de modo que a intensidade média que atinge uma posigao da tela é igual a 27 Fenda igual 4 soma das intensidades emitidas por cada fenda 6 CAlculo da diferenca de fase Dissemos que a diferencga de fase entre os campos emitidos por cada fenda esta ligada a diferenga de caminho até a tela Vamos fazer esse calculo Quando a diferenca de caminho Ar é igual a um comprimento de onda a diferenga de fase é igual a 27rad Estabelecendo uma regra de trés temos Ar 27Ar Ar yg 2nAr 22 r 2nrad Xr A diferenga de fase acima também pode ser calculada como KAr pois ela é igual a diferenca entre os dois argumentos da fungao cosseno do campo elétrico quando colocamos valores diferentes de 7 no argumento de cada fungao Assim podemos reescrever a formula para a distribuicéo angular da intensidade na figura e interferéncia de fenda dupla 27d sin 6 dsin Ardsin I0 Ip cos 23 E a formula para a intensidade em funcao da posicaéo y no anteparo d sng2 Iy Ip cos 24 x AL O grafico de Iy mostrado a seguir estendese eternamente para ambos os lados do maximo central Entretanto se montarmos o experimento de Young numa situacao real veremos que rapidamente a intensidade das franjas brilhantes diminui até que elas deixam de ser visiveis Além disso vemos que algumas das franjas brilhantes previstas pela formula acima a intervalos periddicos que dependem da largura das fendas podem ter intensidade muito menor que o esperado Ambos os comportamentos podem ser explicados levando em conta a largura de cada fenda o que sera feito na apostila de Difracao l Uma técnica alternativa para deduzir a expressao da intensidade da figura de interferéncia é a técnica de fasores que serA vista brevemente ao final da apostila de Difracao 3 Interferéncia em peliculas finas Faixas brilhantes multicoloridas podem ser vistas quando a luz solar é refletida em bolhas de sabao manchas de 6leo molhadas na rua ou nas asas de borboletas e outros insetos Essas cores sao o resultado de interferéncia quando a luz solar é refletida em uma pelicula ou filme fino tanto na superficie quanto no fundo do filme Isso ocorre porque o raio refletido na primeira superficie e 0 raio refletido na segunda superficie passam a ter 7 uma diferenca de fase devido a distancia extra percorrida pelo segundo raio Dependendo da profundidade da pelicula os raios podem sofrer interferéncia construtiva ou destrutiva quando ocorre ID a intensidade do feixe refletido é nula a i ee ee dale Quando luz branca incide na pelicula fina cada comprimento de onda sofre interferéncia construtiva ou destrutiva para profundidades diferentes da pelicula Assim quando uma pelicula possui profundidades diferentes em diferentes pontos as cores refletidas pela pelicula ou seja que nao sofrem interferéncia destrutiva sao diferentes em cada ponto da pelicula assim curvas de nivel correspondentes a profundidades diferentes da pelicula refletem cores diferentes Por outro lado se iluminamos esses corpos com luz monocromatica vemos uma alternancia de franjas brilhantes e escuras Para que esse efeito possa ser observado usando luz natural devemos usar peliculas finas nas quais a distancia extra percorrida pela luz ao atravessar a pelicula seja de alguns poucos comprimentos de onda Isso ocorre porque fontes de luz natural emitem luz com estados de fase e polarizacao que variam aleatoriamente com o tempo permanecendo no mesmo estado de fase e polarizacaéo enquanto percorrem uma distancia média chamada de comprimento de coeréncia Quando a distancia percorrida pela luz dentro da pelicula é maior que esse comprimento de coeréncia o efeito de interferéncia é perdido Assim nao é possivel ver franjas de interferéncia apoiando uma placa de vidro de uma janela numa superficie plana Além da diferenca de fase entre os feixes refletidos em cada superficie devido a distancia extra percorrida existe um segundo fator que deve ser levado em conta para determinar o aparecimento de franjas a variacao de fase de uma onda durante a reflexao Neste capitulo vamos ver em primeiro lugar uma pelicula de espessura constante na qual um feixe de luz monocromatica refletido sofre interferéncia construtiva ou destrutiva como resultado podemos ver uma reflexao mais intensa ou nao ver a reflexdo do feixe Depois veremos rapidamente alguns casos onde a alternancia de IC e ID devido 4 mudanga de espessura da pelicula dé origem a um conjunto de franjas Um exemplo de situagao que vamos encontrar a figura abaixo indica uma situagao onde ocorre mudanga de fase no feixe refletido no topo da pelicula e nao ocorre mudanga de fase no fundo da pelicula além disso o feixe que entra na pelicula percorre uma distancia igual a dois comprimentos de onda um na ida outro na volta Como resultado os raios se reencontram fora de fase e ocorre interferéncia destrutiva raio incidente ID nao vemos luz refletida meio 1 pelicula meio 2 31 Deslocamento de fase na reflexao A mudanga de fase que uma onda sofre devido a reflexao 6 um fendmeno geral que ocorre com varios tipos de onda Assim vamos introduzir esse conceito analisando a propagacéo de ondas mecAnicas em cordas tensas Quando oscilamos uma extremidade de uma corda estamos introduzindo uma onda mecanica que se propaga na corda com velocidade v em diregéo ao outro extremo A velocidade de propagacao de ondas numa corda év Tp onde T é a tensao que nao muda quando conectamos duas cordas e yw é a densidade linear da corda a massa de uma unidade de comprimento da corda 8 Vamos conectar duas cordas de densidades lineares diferentes e ver o que acontece com a onda que se propaga na corda ao chegar ao ponto de junção Existem duas possibilidades como mostra a figura abaixo Se a onda se propaga na corda pesada e encontra a corda leve a velocidade da onda aumenta no segundo meio figura da esquerda Durante a reflexão a corda leve não atua como obstáculo para a propagação da onda a onda refletida reverte seu sentido sem sofrer mudança de fase Se a onda se propaga numa corda mais leve e encontra a corda mais pesada a velocidade da onda diminui ao passar ao segundo meio figura da direita Durante a reflexão a corda mais pesada atua como um obstáculo para a propagação da onda um pulso apontando para cima é empurrado para baixo pela corda mais pesada e o pulso é refletido com inversão de fase mudança de fase de 180 Em ambos os casos a onda transmitida ao segundo meio não sofre mudança de fase v1 v1 v2 v1 v1 v2 Situação análoga ocorre quando uma onda eletromagnética sofre reflexão e refração ao encontrar a superfície de separação entre dois meios de índices de refração diferentes A velocidade de propagação da luz em um meio é v cn de modo que a velocidade diminui quando n aumenta Quando um raio de luz se propaga do meio de índice de refração n1 para um meio de índice de refração n2 podem ocorrer duas situações Quando n2 n1 a velocidade da luz aumenta no segundo meio e a onda refletida pela superfície não sofre mudança de fase 0 rad Quando n2 n1 a velocidade da luz diminui e a onda refletida pela superfície sofre uma mudança de fase de 180 ou de πrad Em ambos os casos a onda refratada que vai para o meio 2 não sofre mudança de fase A demonstração dessas afirmações é feita resolvendo as Equações de Maxwell na fronteira entre os dois meios e não será feita aqui Quando um feixe de luz encontra uma película devemos considerar 3 meios o meio 1 onde o feixe total caminha antes de encontrar a película de índice de refração n1 a película de índice de refração np e o meio 2 substrato de índice de refração n2 Precisamos calcular a diferença de fase φr entre o raio que sofre reflexão na superfície da película e o raio que sofre reflexão apenas no fundo da película φr φ2 φ1 25 É necessário analisar 4 casos separadamente como mostra a tabela abaixo Reflexão na frente da película Caso n1 np n1 np Reflexão no fundo da película Caso φ2 φ1 πrad 0 np n2 πrad φ π π 0 φ π 0 πrad np n2 0 φ 0 π πrad φ 0 0 0 Notem que obtemos φ negativo em um dos casos Entretanto como estamos analisando o comportamento de funções de onda periódicas um atraso de πrad e um avanço de πrad são equivalentes Assim podemos resumir o fenômeno de mudança de fase devido à reflexão da seguinte maneira Quando os índices de refração são crescentes ou decrescentes ou seja ou n1 np n2 ou n1 np n2 as duas ondas sofrem a mesma mudança de fase e a mudança de fase relativa é φr 0 Quando o índice de refração da película é o maior ou o menor dos três índices uma das ondas sofre mudança de fase e a outra permanece com a mesma fase Assim a mudança de fase relativa é φr πrad 9 32 Diferenga de fase devido A espessura da pelicula Seja um feixe de luz que atinge a superficie de uma pelicula com espessura t e indice de refragao np e separado em dois feixes O feixe 1 é refletido na superficie superior da pelicula enquanto o feixe 2 penetra na pelicula caminha até o fundo onde é refletido percorre a espessura da pelicula no sentido reverso e reencontra o feixe 1 Vamos considerar o caso de incidéncia normal dos feixes de luz O caminho extra percorrido pelo segundo raio dentro da pelicula é Ar 2t Associamos a essa diferencga de caminho uma diferenga de fase Ag 27 Aobp kpAr 2t 26 Xp onde A 6 0 comprimento de onda do feixe de luz dentro da pelicula Normalmente temos 0 comprimento de onda do feixe no vacuo ou no ar A9 de modo que ro 2tn wy Ady 27 27 Np Xo Invertendo essa equacao obtemos uma expressao parcial para a espessura da pelicula Ao A t Ao Ady 28 2p 2 33 Calculo da espessura da pelicula Para continuar precisamos relacionar A com o tipo de interferéncia que desejamos ter A diferenga de fase total que determina o tipo de interferéncia entre os raios é igual 4 soma das diferengas de fase causadas por cada efeito de modo que vale A dtotal Ady Ad Ady A total Ad 29 sendo que A pode assumir dois valores diferentes dependendo dos indices de refracéo de cada meio Vamos analisar cada possibilidade separadamente e Indices de refracdo do meio 1 da pelicula e do meio 2 sdo crescentes ou decrescentes de modo que Ad 0 A espessura da pelicula é Ao A t 20 Ptotal 30 2Nny 20 Impomos as condicoes de interferéncia IC ocorre quando Adioigi 2marad A espessura da pelicula é Ag 2mr r t ftma 31 2N 20 2Np ID ocorre quando Agioray 2m 1mrad A espessura da pelicula Ao 2m 1r 1 A poem 20 2 2 2Np 20 2 2np e Indice de refracio da pelicula 6 0 maior ou o menor de todos de modo que Ad mrad A espessura da pelicula é Ao A 7 t 20 Ptotal 33 2Np 20 Agora impomos as condicoes de interferéncia IC ocorre quando Agiorqy 2m7rad ou seja um multiplo par de zrad Temos A n WwmrT 1 APtotal 2mm T m 34 27 27 2 e a espessura da pelicula é 1 Ao t 2 2 35 m 5 Zn 35 10 ID ocorre quando φtotal 2m 1πrad ou seja um múltiplo ímpar de πrad Temos φtotal π 2π 2mπ π π 2π m 1 36 Como m é um número inteiro qualquer mas a espessura não pode ser nula se fosse nula não haveria película e não haveria o fenômeno de interferência podemos substituir m 1 por m no cálculo da espessura da película t m λ0 2np 37 Nas fórmulas acima lembramos que λ0 é o comprimento de onda do feixe usado no vácuo ou no ar Se for dada a frequência em vez de λ0 tomamos c λ0f para obter λ0 34 Aplicações Os conceitos das seções anteriores podem ser aplicados ao estudo de diversos dispositivos como revestimentos aplicados a superfícies Vejamos alguns exemplos Podemos melhorar a qualidade de luz que atravessa uma lente aplicando um revestimento nãorefletor que diminui a intensidade da luz refletida usando o fenômeno de interferência em películas finas e con sequentemente aumenta a intensidade da luz transmitida pela lente Como não é possível que a mesma película cause interferência destrutiva de todos os comprimentos de onda da luz visível escolhemos um comprimento de onda no meio do espectro e aplicamos a condição de ID a este comprimento de onda Um revestimento nãorefletor também é útil para proteger superfícies de telas em museus o revestimento impede que a tela seja afetada por gordura e poeira e a luz que ilumina a tela não é refletida em excesso de modo que manchas luminosas devido à reflexão não aparecem Um revestimento refletor pode ser aplicado a uma superfície quando queremos impedir a transmissão de um excesso de luz Podemos aplicar esse revestimento às janelas de um veículo para que a maior parte da luz incidente seja refletida mantendo o ambiente interior pouco iluminado e diminuindo seu aquecimento em dias quentes Podemos criar películas com espessura variável aproximando as superfícies de dois objetos e preenchendo o espaço interno com ar ou um meio fluido qualquer Por exemplo podemos apoiar uma placa plana grossa de vidro sobre uma superfície plana sólida e em um dos lados colocamos um barbante fino ou uma folha de papel separando as duas superfícies o resultado é uma película de ar no formato de cunha separando as duas placas Quando a placa superior é iluminada por um feixe de luz monocromático vemos uma sequência de franjas brilhantes e escuras na luz refletida devido ao aumento progressivo na distância percorrida pela luz dentro da cunha quando consideramos pontos cada vez mais afastados da ponta da cunha Tipicamente queremos relacionar quantas franjas brilhantes existem dentro de uma distância x paralela à superfície da placa com o ângulo θ entre as duas placas Para resolver esse problema seja x a distância sobre a placa entre duas franjas claras consecutivas ou duas franjas escuras consecutivas o aumento da espessura da película é t x sin θ e esse aumento causou a introdução de um comprimento de onda no percurso do raio que atravessou a película Lembrando que o raio deve percorrer a película duas vezes ida e volta temos t 2λp x 2λp sin θ 38 Finalmente tomamos x Nx para introduzir o número N de franjas observadas na distância x vidro ar substrato t x θ 11 Uma película de espessura variável também é formada quando uma superfície esférica convexa como uma lente convergente é apoiada em cima de uma superfície plana no ponto de tangência a espessura da película é nula e ela aumenta com a distância do ponto de observação ao ponto de tangência As franjas de interferência tomam a forma de uma série de anéis ao redor de um disco central chamados anéis de Newton Esta situação pode ser usada por um fabricante de lentes para avaliar a curvatura da lente se a lente tem a curvatura correta então os anéis de Newton são circulares caso contrário eles são distorcidos Em exercícios sobre interferência em películas finas de espessura constante devemos identificar em primeiro lugar qual é a relação entre os índices de refração se os índices do meio 1 da película e do meio 2 estão em ordem crescente ou decrescente temos o caso I se o índice da película é maior ou menor que os outros dois temos o caso II Tendo identificado o caso devemos ver se o problema trabalha com interferência construtiva ou destrutiva e aplicar a fórmula adequada Normalmente o meio 1 e o meio 2 são diferentes mas numa bolha de sabão podemos tomar o meio 1 e o meio 2 como o ar e a película é a mistura de água e sabão Tipicamente perguntase qual a menor espessura da película que promove o efeito desejado IC ou ID calculamos o menor valor de t nãonulo tomando m 0 ou m 1 dependendo da fórmula Variações dessa situação incluem perguntar quais são as duas três quatro etc menores espessuras ou perguntar quantas espessuras produzem o efeito desejado até uma espessura limite Também podese fazer uma questão sobre a variação de fase sofrida pelo raio que percorre a película em relação ao raio que é refletido na superfície ou perguntar o número de comprimentos de onda presentes numa certa situação dentro da película Em exercícios sobre interferência em cunhas normalmente estamos interessados em descrever a relação entre o número de franjas projetadas em um certo comprimento da franja e o ângulo de abertura da franja como descrito na parte teórica O conceito básico envolvido é que a distância entre duas franjas brilhantes consecutivas é o cateto adjacente de um triângulo retângulo com o ângulo φ e o cateto oposto a esse ângulo é igual a meio comprimento de onda do raio dentro da película 4 Interferômetro de Michelson O interferômetro de Michelson é um dispositivo usado para medir distâncias muito pequenas da ordem do comprimento de onda de um feixe de luz usando o fenômeno de interferência Foi criado por volta de 1885 Historicamente esse dispositivo é importante por ter providenciado uma das primeiras provas experimentais de que a velocidade de um feixe de luz no vácuo não depende do movimento relativo entre a fonte de luz e o observador diferentemente do que previa a Física Clássica Eventualmente esse e outros resultados abriram caminho para a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein Feixe incidente Feixe 1 Feixe 2 Espelho fixo Espelho movel L1 L2 Observador Vejamos como o interferômetro de Michelson funciona Um feixe de luz monocromático incide em um divisor de feixe no ângulo de 45 parte do feixe é refletido e parte do feixe é transmitido Os feixes caminham em direções perpendiculares o feixe 1 percorre a distância L1 até incidir em um espelho fixo sendo refletido de volta ao divisor de feixe e o feixe 2 percorre a distância L2 até incidir em um espelho móvel cuja posição e orientação 12 podem ser alteradas e se espelho movel esta na posicgao padrao o feixe 2 também volta para o divisor de feixe e reencontra o feixe 1 Os dois feixes interagem novamente com o divisor e um feixe reconstruido segue em direcéo a um observador Na posicéo padrao os dois feixes percorrem distancias diferentes havendo uma diferenca de percurso Ar 2L2 L que pode dar origem a um padrao de interferéncia construtiva ou destrutiva A seguir o espelho movel é girado de um Angulo muito pequeno de forma que o percurso total de cada porgao do feixe 2 que incide em uma fatia diferente do espelho é diferente uma situacgao andloga ao padrao causado pelos blocos de vidro cercando uma cunha de ar discutida na secgao anterior O observador passa a ver um conjunto de franjas de interferéncia onde um par de franjas claras esta separado pela distancia 2 Finalmente é possivel mover o espelho mével para tras aumentando ou diminuindo a distancia percorrida pelo feixe 2 antes de se reencontrar com 0 feixe 1 Se o espelho é deslocado de 2 de modo que o comprimento percorrido pelo feixe 2 aumenta de 4 todas as franjas vistas pelo observador percorrem a distancia igual ao comprimento de uma franja Assim se 0 espelho mével percorre a distancia d e observamos que o conjunto de franjas percorrem uma distancia igual a N franjas podemos afirmar que dna 39 2 A partir desse resultado podemos medir 4 ou d se temos a outra grandeza 41 Experimento de MichelsonMorley De acordo com a Mecanica Classica ondas mecénicas em um meio movemse com uma velocidade tipica do meio a velocidade do som se 0 meio estiver em repouso Se existe movimento relativo entre um observador e o meio onde a onda se propaga a velocidade da onda medida pelo observador varia sendo necessario fazer a subtracgao vetorial da velocidade do observador em relacéo ao meio No final do século XIX a teoria eletromagnética de Maxwell havia sido capaz de prever a velocidade da luz no vacuo e em meio materiais além de outras propriedades da luz confirmando que a luz era uma onda eletromagnética Era natural na época supor a existéncia de um meio cujas perturbacdes correspondem a luz esse meio era chamado de éter lumintfero e seria 0 meio no qual as estrelas fixas estrelas que fazem parte das constelagdes vistas no céu e cuja posigao relativa nao muda estariam em repouso A Terra se movimenta ao redor do Sol completando uma orbita eliptica por ano de modo que nesse modelo a Terra se moveria em relacao ao éter causando uma diferenca entre valores da velocidade da luz no vacuo medida na Terra em relacao ao valor real medido no referencial de repouso do éter Entretanto a diferenca relativa de velocidade a ser medida seria muito pequena da ordem de 01 pois a velocidade orbital da Terra em relacdo ao Sol é de 3 x 10 ms enquanto a velocidade da luz é de 3 x 10 ms Assim apenas um instrumento capaz de medir variacdes muito pequenas da velocidade da luz seria capaz de medir essa variacao O interferémetro de Michelson era uma opcao disponivel na poca Para entender o experimento de MichelsonMorley vamos analisar novamente o funcionamento do interferd metro supondo que 0 equipamento todo esta se movendo no sentido do feixe incidente com velocidade vr No referencial do interfer6metro quando o feixe se desloca para a direita sua velocidade seria c vr e quando o feixe se desloca para a esquerda sua velocidade seria c vp Assim o tempo t que o feixe 1 leva para sair do divisor de feixe e voltar a ele seria dado por Ly Ty ctupevur 2cLy 21 1 ty l 40 cup ctup C2 va C2 va e 1v4e O feixe 2 por sua vez se desloca com velocidade c no referencial do éter no qual o interfer6metro movese para a direita Assim ele nao deve se deslocar para cima e para baixo e sim na diagonal No referencial do interferémetro o feixe se desloca para cima e para baixo de modo que a velocidade do feixe no referencial da Terra deve corresponder ao cateto de um triamgulo retangulo cuja hipotenusa é a velocidade do feixe em relacao ao éter e o outro cateto é a velocidade da Terra como mostra a proxima figura Assim o mddulo da velocidade do feixe no referencial do interfer6metro deve ser v c v2 41 nos dois trechos da viagem e 0 tempo t2 que o feixe 2 leva para sair do divisor de feixe e voltar a ele deve ser dado por tp 2 ed 42 c2 up 1v3e2 13 Movimento do interferˆometro no referencial do eter Feixe 2 v c vT O fator 1 1v2 T c2 é maior que 1 para qualquer valor de vT e isso implica que o fator 1 1v2 T c2 é maior que 1 1v2 T c2 Assim tomando o cuidado de construir o equipamento de forma que L1 L2 podemos afirmar que os tempos de viagem dos dois feixes são diferentes de modo que os feixes apresentam uma diferença de fase ao chegar ao observador o que implica que o padrão de franjas de interferência movese em um sentido em relação a um experimento feito no referencial de repouso do éter Se fazemos apenas esse experimento ainda não é possível obter o valor de vT usando apenas o resultado do experimento pois só é possível obter um conjunto de valores com a Terra se movendo em um sentido não é possível congelar a Terra em sua órbita e fazer o experimento novamente para ver qual seria a posição original das franjas e medir o deslocamento sofrido pelas franjas devido ao movimento da Terra Entretanto Michelson e Morley contornaram essa dificuldade construindo o interferômetro numa plataforma que flutuava num meio líquido mercúrio e sem mexer nas partes do equipamento rodaram o interferômetro de 90 de modo a mudar os papéis de L1 e L2 Na segunda configuração a diferença de fase entre os feixes 1 e 2 tem sinal oposto de modo que fazendo o experimento em uma orientação e depois na outra deve ser possível ver o movimento das franjas de interferência e a partir desse movimento deduzir a velocidade relativa entre a Terra e o éter Michelson e Morley não viram nenhum movimento das franjas de interferência o que implicava de acordo com a acurácia de seu equipamento que a velocidade da luz em relação à Terra não sofria alteração maior que 0015 O mesmo experimento foi refeito em outras épocas do ano quando a Terra se encontra em pontos diferentes de sua órbita em torno do Sol para verificar se o meio de repouso do éter não estaria em movimento em relação ao Sol novamente não foi vista uma variação da velocidade da luz compatível com a hipótese de que existe um meio preferencial no qual a velocidade da luz é c Várias explicações foram tentadas nos anos seguintes para explicar o resultado do experimento de Michelson Morley como postular que os braços do interferômetro se contraíam de modo diferente quando em movimento em relação ao éter de modo que a velocidade observada da luz seria sempre a mesma Eventualmente em 1905 Einstein propôs a teoria da Relatividade Restrita tema da última apostila desta disciplina que propõe tomar como fato que a velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais esse postulado implica que vários axiomas da Mecânica Clássica como a existência de um tempo absoluto não são válidos 14