Transformações Lineares - Lista de Exercícios Resolvidos

10 f IR3 IR fxyz 3x 2y z 11 f IR2 IR fxy x 12 f IR2 IR4 fxy y x y x Nos problemas 13 a 18 dada a transformação linear f IR2 IR2 definida em cada um deles a fazer um gráfico de um vetor genérico v xy e de sua imagem fv b dizer que transformação linear plana os gráficos representam 13 fxy 2x 0 14 fxy 2x y 15 fxy 2x 2y 16 fxy 3x 2y 17 fxy y x 18 fxy 2 x y 19 Seja f IR3 W a projeção ortogonal do IR3 sobre o plano y 0 z indicado por W a Determinar a lei que define f b Calcular f3 4 5 20 Dada a transformação linear f IR3 IR2 tal que f1 0 0 2 1 f0 1 0 1 0 e f0 0 1 1 2 a determinar a matriz canônica de f b calcular f3 4 5 c calcular fx y z 21 Uma transformação linear f IR2 IR3 é tal que f1 1 3 2 1 e f0 1 1 1 0 Determinar a f2 3 b fx y c v IR2 tal que fv 2 1 3 22 Seja f IR3 IR2 a transformação linear definida por f1 1 1 1 2 f1 1 0 2 3 e f1 0 0 3 4 Determinar a fx y z b v1 IR3 tal que fv1 3 2 c v2 IR3 tal que fv2 0 0 23 Dado o operador linear f IR2 IR2 fx y 2x y 4x 2y dizer quais dos seguintes vetores pertencem a Nf a v1 1 2 b v2 2 3 c v3 3 6 24 Para o mesmo operador linear do problema anterior verificar quais dos seguintes vetores pertencem à Imf a μ1 2 4 b μ2 12 1 c μ3 1 3 Nos problemas 25 a 28 são apresentadas transformações lineares Para cada uma delas determinar a o núcleo uma base desse subespaço e sua dimensão b a imagem uma base desse subespaço e sua dimensão Verificar ainda em cada caso a propriedade 3 item 35 relativa à dimensão 25 f IR2 IR2 fx y 3x y 3x y 26 f IR2 IR3 fx y x y x 2y 27 f IR2 IR2 fx y x 2y x y 28 f IR3IR2 fxyz x 2y z 2x y z 29 Dada a transformação linear f IR3IR2 fxyz 2x y z x 2y e as bases A 1 0 0 2 1 0 0 1 1 do IR3 e B 1 1 0 1 do IR2 determinar a matriz de f na bases A e B 30 Seja a transformação linear f IR2 IR3 fxy 2x y x 3y 2y e as bases A 1 1 2 1 e B 0 0 1 0 1 1 1 1 0 Determinar a a matriz de f nas bases A e B b a matriz de f nas bases A e C sendo C a base canônica do IR3 c a matriz canônica de f d f3 4 usando as matrizes obtidas em a b e c 31 Seja a matriz A 3 1 1 0 e f o operador linear no IR2 definido por fv A v Determinar a matriz de f em cada uma das seguintes bases a 10 01 b 12 13 32 Dados o operador linear f IR2 IR2 fxy x 2y x y e as bases A 1 1 1 0 B 2 1 1 1 e C a canônica do IR2 determinar TA TB e TC matrizes do f nas bases A B e C respectivamente 33 Sabendo que a matriz de uma transformação linear f IR2 IR3 nas bases A 1 1 1 0 do IR2 e B 1 1 1 2 1 0 3 0 1 do IR3 é T1 3 1 2 5 1 1 determinar a expressão de fxy e a matriz canônica de f 34 Dado o operador linear f IR2 IR2 representado pela matriz A 1 3 1 5 determinar os vetores µ v e ω tais que a fµ µ b fv 2v c fω 44 Os problemas 35 e 36 se referem às transformações lineares de IR2 em IR3 definidas por f1xy xy 2xy 2x e f2xy 2xy x3y y 35 Calcular f1 f2xy 36 Calcular 3f1 2f2xy Os problemas 37 a 42 se referem aos operadores lineares f e g definidos por fxy x2yy e gxy 2xy 37 Calcular f g 38 Calcular g f 39 Calcular 2f 4g 40 Calcular f g 41 Calcular g f 42 Calcular f f 43 Dado o operador linear f IR2 IR2 que produz uma rotação do plano de um ângulo θ calcular f24 e fxy nos casos de a θ π b θ π4 c θ π3 20 Dada a transformação linear f R3 R2 tal que f100 21 f010 10 e f001 12 a determinar a matriz canônica de f b calcular f345 c calcular fxyz Solução a Para encontrar a matriz canônica de f basta colocar as imagens dos vetores da base canônica de R3 como colunas da matriz correspondente a f Assim temos f f100 f010 f001 2 1 1 1 0 2 b Para calcular f345 basta multiplicar a matriz canônica de f pelo vetor 345 f345 2 1 1 1 0 2 345 23 14 15 13 04 25 7 7 Portanto f345 77 c Para calcular fxyz basta usar a definição da transformação linear f fxyz fx100 y010 z001 x f100 y f010 z f001 Substituindo os valores dados para f100 f010 e f001 temos fxyz x21 y10 z12 2x y z x 2z Portanto fxyz 2x y z x 2z 21 Uma transformação linear f R2 R3 é tal que f11 321 e f01 110 Determinar a f23 b fxy c v R2 tal que fv 213 Solução a Primeiramente vamos escrever o vetor 23 como combinação linear dos vetores 11 e 01 Para isso precisamos encontrar os escalares a e b tais que 23 a11 b01 Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações a 2 a b 3 A primeira equação nos dá a 2 e a segunda equação nos dá b 5 Portanto temos 23 211 501 22 05 23 Logo 23 pode ser escrito como combinação linear dos vetores 11 e 01 com coeficientes 2 e 5 respectivamente Logo com isso temos que f23 f211501 2f115f01 23215110 112 b Agora vamos determinar a forma geral da transformação fxy Para isso vamos escrever xy como combinação linear dos vetores 11 e 01 com efeito Para escrever o vetor xy como combinação linear dos vetores 11 e 01 precisamos encontrar os escalares a e b tais que xy a11 b01 Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações a x a b y A primeira equação nos dá a x e a segunda equação nos dá b x y Portanto temos xy x11 x y01 xx 0x y xy Logo xy pode ser escrito como combinação linear dos vetores 11 e 01 com coeficientes x e x y respectivamente Então aplicando f teremos que fx y fx1 1 x y0 1 xf1 1 x yf0 1 x3 2 1 x y1 1 0 y 2x y x x portanto fx y y 2x y x x c Queremos encontrar um vetor v a b tal que fv 2 1 3 Então precisamos resolver o sistema de equações b 2a 2 b a 1 a 3 A terceira equação nos dá a 3 Substituindo esse valor nas duas primeiras equações temos b 2 3 2 b 3 1 Que nos dá b 4 Portanto v 3 4 e fv 2 1 3 Questão 22 22 Seja f R3 R2 a transformação linear definida por f1 1 1 1 2 f1 1 0 2 3 e f1 0 0 3 4 Determinar a fx y z b v1 R3 tal que fv1 3 2 c v2 R3 tal que fv2 0 0 Solução a Primeiramente vamos escrever x y z como combinação linear dos vetores 1 1 1 e 1 1 0 e 1 0 0 Para escrever o vetor x y z como combinação linear dos vetores 1 1 1 1 1 0 e 1 0 0 precisamos encontrar os escalares a b e c tais que x y z a1 1 1 b1 1 0 c1 0 0 Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações a b c x a b y a z A terceira equação nos dá a z Substituindo esse valor nas duas primeiras equações temos b c x z b y z A primeira equação nos dá c x y e a segunda equação nos dá b y z Portanto temos x y z z1 1 1 y z1 1 0 x y1 0 0 x y z Logo x y z pode ser escrito como combinação linear dos vetores 1 1 1 1 1 0 e 1 0 0 com coeficientes z y z e x y respectivamente Então aplicando a função f teremos que fx y z fz1 1 1 y z1 1 0 x y1 0 0 zf1 1 1 y zf1 1 0 x yf1 0 0 z1 2 y z2 3 x y3 4 3x 2y z 3y 3z 2z 4x 4y 3x 2y z 4x y z que é a expressão para fx y Seja f R2 R3 definida por fx y 3x 2y z 4x y z Para determinar os vetores v1 e v2 tais que fv1 3 2 e fv2 0 0 podemos resolver os sistemas de equações lineares b Para v1 temos 3x 2y z 3 4x y z 2 Isolando z na segunda equação temos z 4x y 2 Substituindo em 3x 2y z 3 obtemos 3x 2y 4x y 2 3 o que simplifica para x 3y 5 Resolvendo esse sistema encontramos x 1 y 2 e z 8 Portanto v1 1 2 8 b Para v2 temos 3x 2y z 0 4x y z 0 Isolando z na segunda equação temos z 4x y Substituindo em 3x 2y z 0 obtemos 3x 2y 4x y 0 o que simplifica para x 3y 0 Resolvendo esse sistema encontramos x 3y e z 4x y 11y Portanto v2 x y z 3y y 11y y3 1 11 Logo todo vetor múltiplo de 3 1 11 satisfaz o desejado Questão 29 Dadas a transformação linear f R3 R2 fxyz 2x y z x 2y e as bases A 100210011 do R3 e B 1101 do R2 determinar a matriz de f nas bases A e B Solução Nessa questão vamos exibir a matriz de f nas bases A e B Para isso vamos determinar os valores de f para os vetores da base de A Com efeito f100 2 0 0 1 0 21 f210 4 1 0 2 2 30 f011 2 0 1 1 0 2 02 Agora vamos expressar os resultados acima como combinação linear dos vetores B Com efeito para expressar os vetores 21 30 e 02 como combinação linear dos vetores de B 11 01 precisamos encontrar os escalares a e b tais que 2 1 a1 1 b0 1 3 0 a1 1 b0 1 0 2 a1 1 b0 1 Simplificando cada equação temos a 2 b a 1 a 3 a b 0 a 0 a b 2 Portanto temos as respostas a 2 b 3 a 3 b 3 a 0 b 2 Portanto os vetores 21 30 e 02 podem ser expressos como combinação linear dos vetores de B da seguinte forma 2 1 21 1 30 1 3 0 31 1 30 1 0 2 01 1 20 1 Então usando os coeficientes da combinação linear podemos escrever a seguinte matriz 2 3 0 3 3 2 onde cada coluna corresponde aos coeficientes usados na combinação linear Questão 30 Seja a transformação linear f R2 R3 fx y 2x y x 3y 2y e as bases A 1 1 2 1 e B 0 0 1 0 1 1 1 1 0 Determinar a a matriz de f nas bases A e B b a matriz de f nas bases A e C sendo C a base canônica do R3 c a matriz canônica de f d f3 4 usando as matrizes obtidas em a b e c Solução O procedimento é análogo ao feito na questão anterior a Primeiro vamos calcular os valores de f com os argumentos de A Com efeito f1 1 2 1 1 3 2 3 2 2 f2 1 4 1 2 3 2 3 5 2 Agora vamos expressar cada vetor como combinação linear dos vetores da base B Com efeito vamos determinar a b e c tais que 3 2 2 a0 0 1 b0 1 1 c1 1 0 c 3 b c 2 a b 2 portanto c 3 b 2 c 2 3 5 e a 2 b 2 5 3 Dessa forma temos que c 3 a 3 e b 5 Analogamente vamos determinar a b e c de modo que 3 5 2 a0 0 1 b0 1 1 c1 1 0 c 3 b c 5 a b 2 e disso temos que c 3 b 5 c 5 3 2 e a 2 b 2 2 0 Ou seja a 0 b 2 e c 3 De posse disso podemos determinar a matriz de transformação usando os coeficientes obtidos de modo a termos a seguinte matriz 3 0 5 2 3 3 b O cálculo é análogo ao item a Primeiro vamos calcular os valores de f com os argumentos de A Com efeito f1 1 2 1 1 3 2 3 2 2 f2 1 4 1 2 3 2 3 5 2 Agora vamos expressar cada vetor como combinação linear dos vetores da base C Com efeito vamos determinar a b e c tais que 3 2 2 a1 0 0 b0 1 0 c0 0 1 a 3 b 2 c 2 7 Analogamente vamos determinar a b e c de modo que 3 5 2 a1 0 0 b0 1 0 c0 0 1 a3 b5 c2 De posse disso podemos determinar a matriz de transformação usando os coeficientes obtidos de modo a termos a seguinte matriz 3 3 2 5 2 2 c A matriz canônica de f é obtida simplesmente analisando a expressão da transformação f Com efeito temos que fxy 2x y x 3y 2y 2 1 1 3 0 2 x y e logo temos que a matriz canônica de f é dada por 2 1 1 3 0 2 d Vamos calcular f34 para todo os casos encontrados anteriormente Com efeito teremos que No item a f34 3 0 5 2 3 3 3 4 9 23 3 No item b f34 3 3 2 5 2 2 3 4 21 26 14 No item c f34 2 1 1 3 0 2 3 4 2 15 8 Questão 31 Seja a matriz A 3 1 1 0 e f o operador linear no R2 definido por fv Av Determinar a matriz de f em cada uma das seguintes bases a 1001 b 12 13 Solução a Para encontrar a matriz de f em relação à base 10 01 basta usar a definição de matriz de transformação linear Temos f10 3 1 1 0 1 0 3 1 1 f01 3 1 1 0 0 1 1 0 2 Agora podemos montar a matriz de f em relação à base 10 01 colocando as coordenadas dos vetores f10 e f01 como colunas da matriz Assim temos f1001 3 1 1 0 b Para encontrar a matriz de f em relação à base 12 13 precisamos encontrar as coordenadas dos vetores f12 e f13 em relação a esta base Para isso podemos resolver o sistema linear formado pela matriz de mudança de base e pelas coordenadas dos vetores 1 1 2 3 x y 3 1 1 1 2 3 x y 1 0 Resolvendo estes sistemas encontramos f12 7 1 3 1 2 2 1 3 f13 10 2 4 1 2 3 1 3 Portanto a matriz de f em relação à base 12 13 é f1213 3 4 2 3 Questão 32 Dados o operador linear f R² R² fx y x 2y x y e as bases A 1 1 1 0 B 2 1 1 1 e C a canônica do R² determinar TA TB e TC matrizes do f nas bases A B e C respectivamente Solução Vamos obter cada uma as matrizes acima Primeiramente para a matriz A vamos aplicar os valores da base A em f Para calcular f1 1 e f1 0 basta aplicarmos a definição de f f1 1 1 2 1 1 1 1 2 f1 0 1 2 0 1 0 1 1 Podemos escrever cada um desses vetores como uma combinação linear dos vetores da base A 1 1 1 0 da seguinte forma f1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 f1 0 1 1 1 1 1 1 0 2 Com isso podemos obter a seguinte matriz da transformação Com efeito essa matriz é TA 2 1 1 2 3 Agora vamos fazer o mesmo processo para a base B Em verdade a base é B 2 1 1 1 então temos que Para calcularmos f nos valores 2 1 e 1 1 basta substituirmos esses valores nas expressões de x e y em fx y x 2y x y Para 2 1 temos f2 1 2 21 2 1 0 3 Para 1 1 temos f1 1 1 21 1 1 1 2 Portanto f2 1 0 3 e f1 1 1 2 Para expressar f2 1 como combinação linear dos vetores 2 1 e 1 1 precisamos encontrar números a e b tais que f2 1 a2 1 b1 1 Temos que f2 1 2 21 2 1 0 3 Então queremos encontrar a e b tais que 0 3 a2 1 b1 1 Isso nos dá o sistema de equações 2a b 0 a b 3 Resolvendo esse sistema encontramos a 3 e b 6 Portanto f2 1 32 1 61 1 Para expressar f1 1 como combinação linear dos vetores 2 1 e 1 1 precisamos encontrar números a e b tais que f1 1 a2 1 b1 1 Temos que f1 1 1 21 1 1 1 2 Então queremos encontrar a e b tais que 1 2 a2 1 b1 1 Isso nos dá o sistema de equações 2a b 1 a b 2 Resolvendo esse sistema encontramos a 1 e b 3 Portanto f1 1 12 1 31 1 Então obtemos a seguinte matriz TB 3 6 1 3 4 c Tendo em mãos que C é a base canônica isto é C 1 0 0 1 temos então que Calculando f1 0 temos f1 0 1 2 0 1 0 1 1 Calculando f0 1 temos f0 1 0 2 1 0 1 2 1 Para escrever f1 0 como combinação linear de 1 0 e 0 1 precisamos encontrar escalares a e b tais que a 1 0 b 0 1 1 1 Isso nos dá o sistema de equações a 1 b 1 Portanto podemos escrever f1 0 como combinação linear de 1 0 e 0 1 da seguinte forma f1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 Para escrever f0 1 como combinação linear de 1 0 e 0 1 precisamos encontrar escalares a e b tais que a 1 0 b 0 1 2 1 Isso nos dá o sistema de equações a 2 b 1 Portanto podemos escrever f0 1 como combinação linear de 1 0 e 0 1 da seguinte forma f0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 Daí somos capazes de obter a seguinte matriz TC 1 2 1 1 de mudança de base Questão 33 Sabendo que a matriz de uma transformação linear f R² R³ nas bases A 1 1 1 0 do R² e B 1 1 1 2 1 0 3 0 1 do R³ é T₁ 3 1 2 5 1 1 determinar a expressão de fx y e a matriz canônica de f Solução Primeiramente vamos usar a informação do fato de que T₁ é a matriz de f nas bases A e B Então disso temos que f1 1 31 1 1 22 1 0 13 0 1 10 5 4 f1 0 11 1 1 52 1 0 13 0 1 8 6 2 Para um elemento x y qualquer na base A teremos que x y a1 1 b1 0 b a x a y logo a y e logo b x a x y Aplicando a f temos que fx y y f1 1 x y f1 0 y 10 5 4 x y 8 6 2 18y 8x 11y 6x 2y 2x portanto fx y 18y 8x 11y 6x 2y 2x que é a transformação pedida Já a matriz canônica associada é 8 18 6 11 2 2 Questão 34 Dado o operador linear f R² R² representado pela matriz A 1 3 1 5 determinar os vetores μ v e ω tais que a fμ μ b fv 2v c fω 4 4 Solução a Vamos determinar μ x y tal que fx y x y Então teremos que fx y x y 1 3 1 5 x y x y x 3y x 5y x y x 3y x x 5y y 3y 0 x 4y 0 Portanto x y 0 E logo o vetor é μ 0 0 b Vamos determinar v x y tal que fx y 2x y Então teremos que fx y 2x y 1 3 1 5 x y 2 x y x 3y x 5y 2 x y x 3y 2x x 5y 2y x 3y 0 x 3y 0 Assim temos que x 3y Portanto o vetor v é tal que v x y 3y y 3 1y Logo todo vetor múltiplo de 3 1 satisfaz a relação fv 2v c Vamos determinar ω 4 4 tal que fx y 4 4 Então teremos que fx y 4 4 1 3 1 5 x y 4 4 x 3y x 5y 4 4 x 3y 4 x 5y 4 Somando as expressões temos que 8y 8 y 1 Por outro lado temos que x 3y 4 x 3 4 x 1 Com isso segue ω 1 1 15