Filtros Digitais: Estruturas e Funções

Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros Digitais Em geral estamos interessados em manipular algum tipo de sinal Por exemplo podemos querer retirar algum ruído de um sinal como no caso de um sinal de voz onde o ruído deve ser diferenciado da voz Essa manipulação ou alteração do sinal é feita através de filtros digitais Filtros estão envolvidos em diversas partes de um sistema de processamento digital de sinal Eles podem ser implementados tanto em hardware quanto em software e atuam em sinais digitais de diversas naturezas como sons voz imagem ou vídeo Filtros Digitais Filtros digitais são formados por poucos componentes Basicamente são apenas multiplicadores somadores e elementos de retardo delay Desses multiplicadores e somadores implementam essas operações aritméticas em sequências discretas Retardos são unidades que processam elementos anteriores de uma sequência Fig 91 Fig 91 Retardo delay aplicado a uma sequência xn Filtros Digitais A representação mostrada na Fig 91 em diagrama de blocos é comum para filtros Os elementos básicos de um filtro também são representados dessa maneira Nesse caso o elemento de delay é representado como z1 devido à Transformada Z As representações em diagrama de blocos podem ser vistas na Fig 92 Fig 92 Diagrama de blocos de a Somador de duas sequências b multiplicador de duas sequências c multiplicador de uma sequência por uma constante e d retardo Filtros Digitais Um exemplo de um tal sistema é um acumulador definido pela sequência cujo diagrama de blocos pode ser visto na figura abaixo Esse sistema é representado pela equação de diferenças temos que N 1 a0 1 a1 1 M 0 e b0 1 Filtros Digitais Filtros FIR A estrutura de um filtro FIR é bastante regular e uma vez definidos os coeficientes o filtro pode ser completamente especificado Na Fig 93 podemos ver uma estrutura simples de um filtro FIR Observase que a passagem pelos componentes do filtro se dá sempre da esquerda para a direita Por isso esse filtro é chamado também de feedforward Fig 93 Exemplo de um filtro FIR Filtros Digitais Suponha na Fig 93 que o sistema tem uma entrada xn 1 0 Sendo um sistema causal a entrada para n 0 é igual a zero Assim para n 0 temos Filtros Digitais E para n 1 Logo a saída seria yn05 05 Suponha na Fig 93 que o sistema tem uma entrada xn 1 0 Sendo um sistema causal a entrada para n 0 é igual a zero Filtros Digitais A equação para cada termo é y0 05x0 05x1 y1 05x1 05x0 Forma geral yn 05xn 05xn 1 Filtros Digitais Sistemas com Fase Linear Em diversas aplicações como processamento de voz ou som filtros digitais são usados para implementar operações seletivas de frequência Dessa forma são necessárias especificações no domínio da frequência em termos de magnitude desejada e resposta em fase do filtro Em geral uma resposta em fase linear na banda de passagem é desejada Filtros Digitais τω grdHejω ddω argHejω Filtros Digitais Supondo que estamos contando o número de carros que passam por uma ponte a cada minuto E queremos saber a média de carros por minuto num intervalo de 5 minutos Ou seja a cada minuto nós calculamos a média de carros por minuto levando em conta os cinco minutos anteriores Filtros FIR Exemplo Filtros Digitais Filtros FIR Exemplo Minute index Number of carsminute over the last minute Number of carsminute averaged over the last five minutes 1 10 2 22 3 24 4 42 5 37 6 77 404 7 89 538 8 22 534 9 63 576 10 9 52 Filtros Digitais Filtros FIR Exemplo A curva da média é muito mais suave que a curva original A curva da média varia menos A sequência da média é mais suave que a sequência de entrada Transições ligeiras na sequência de entrada aparecem mais suaves na saída Como as transições são componentes de alta frequência o filtro de média é um filtro passabaixas Filtros Digitais Filtros FIR Exemplo A média na quinta amostra é dada por y5 15x1 x2 x3 x4 x5 A média na sexta amostra é dada por y6 15x2 x3 x4 x5 x6 Podemos dizer que a média está se movendo Filtros Digitais Filtros FIR Exemplo Para um caso geral a média na nésima amostra é dada por yn 15xn 4 xn 3 xn 2 xn 1 xn yn 15 kn4n xk A média na amostra n é a soma das amostras n e suas quatro amostras anteriores multiplicada por 15 A média pode ser escrita como yn 15 xn 4 15 xn 3 15 xn 2 15 xn 1 15 xn yn kn4 15 xk Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros FIR yn hkxn k k0 No exemplo h0 h1 h4 15 Para um caso geral um filtro FIR com M taps a saída nésima é dada por yn hkxn k k0 Filtros Digitais Filtros FIR yn hkxn k k0 Para M4 o diagrama de blocos do filtro FIR é dado por Filtros Digitais Filtros FIR A equação acima é por si só a convolução em filtros FIR Conhecendo a sequência de entrada e a sequência que descreve os coeficientes do filtro podemos obter a sequência de saída do filtro FIR Filtros Digitais Filtros FIR Filtros Digitais Filtros FIR Sequência na ordem inversa Filtros Digitais Filtros FIR Exemplo Aplique o impulso unitário no filtro FIR abaixo e obtenha a sequência de saída Filtros Digitais Filtros FIR Note que na resposta do filtro FIR a entrada impulso é igual aos cinco valores do coeficientes do filtro Isso vale para quaisquer coeficientes de filtros FIR Por esta razão os termos Coeficientes do filtro FIR e Resposta ao Impulso são sinônimos Como existe um número finito de coeficientes a resposta ao impulso terá duração finita por isso o nome do filtro Filtros FIR podem ter coeficientes diferentes para melhorar a performance em atenuar frequências indesejadas Filtros Digitais Filtros FIR Filtros Digitais Filtros FIR O seno aplicado tem frequência fs32 e amplitude 1 Os sinais de entrada e saída são conforme figura abaixo Filtros Digitais Filtros FIR O sinal de saida é um sinal senoidal com a mesma frequência que o sinal de entrada linear O sinal de saída do filtro é um sinal defasado e atenuado em relação a entrada As quatro primeiras amostras do sinal de saída não se comportam como uma forma senoidal Estas amostras são a resposta transitória do filtro A duração da resposta transitória depende de quantos delays tem o filtro FIR Filtros Digitais Filtros FIR No exemplo anterior os coeficientes eram Tinham apenas 5 coeficientes mas vamos calcular a TDF de 64 pontos para uma melhor resolução Após calcular a TDF de 64 pontos obtemos a reposta em frequência do filtro Filtros Digitais Filtros FIR Novamente na amplitude se faz a multiplicação e na fase é feita a soma Filtros Digitais Filtros FIR Conclusões Quanto maior for a frequência do sinal de entrada maior será a atenuação e a defasagem no sinal de saída O filtro funciona como um filtro passabaixas Atenua mais as altas frequências que as baixas Filtros Digitais Filtros FIR Alterando os coeficientes do filtro há uma melhora na resposta em frequência Filtros Digitais Filtros FIR podem implementar diferentes funções apenas com mudanças nos seus coeficientes A função de um filtro depende de seu comportamento no domínio da frequência Um filtro pode ser passabaixa passaalta passafaixa rejeitafaixa ou notch Um filtro notch é um filtro que tem fendas profundas ou idealmente zeros perfeitos na sua resposta em frequência Filtros Digitais Filtros passabaixa ou passaalta permitem passar baixas ou altas frequências de um sinal Nas Figs 94 e 95 são mostrados exemplos simples de filtros assim Fig 94 Exemplos de filtros passabaixa e passaalta ideais Filtros Digitais Fig 95 Exemplos de filtros passabaixa e passaalta Filtros Digitais Na prática os filtros têm características diferentes podemos observar por exemplo ondulações nas banda de passagem na banda de rejeição e uma resposta suave ou abrupta na banda de transição Essas características podem ser vistas na Fig 96 a qual apresenta o espectro de diferentes filtros ou seja suas transformadas de Fourier É através do espectro que podemos analisar o comportamento do filtro Filtros Digitais Fig 98 Padrões de ondulação na banda de passagem ou na banda de rejeição e um na banda de transição suave Filtros Digitais Por exemplo um filtro apenas com coeficientes 05 05 comportase como um FPB Seu comportamento foi avaliado anteriormente tendo sua saída definida por yn 05xn 05xn 1 que é o mesmo que yn xn xn 12 Por isso filtros passabaixa são chamados às vezes de filtro da média Um filtro com coeficientes 05 05 corresponde a um filtro passaalta chamado de filtro de diferenciação Filtros Digitais O seguinte código no MatLab apresenta a transformada de Fourier para uma sequência de coeficientes Na figura abaixo são mostrados os resultados para os coeficientes 05 05 Passa Alta Filtros Digitais Para as sequências 05 05 temos Passa Baixa Filtros Digitais Filtros notch Eliminam frequências específicas Filtros Digitais Filtros Passa Faixa Bandpass filter with cutoff freqs 20 40 60 and 80 Filtros Digitais Para ver como é o comportamento de um filtro devemos ver sua resposta em frequência através da Transformada de Fourier de seus coeficientes Passa Baixa Filtros Digitais Passa Alta B2 fir1100 03 high x zeros1 1000 x50 1 x é um impulso Y2 fftconvx B2 apresentamos metade apenas pois o resto é simétrico half 1ceillengthY22 plothalfmaxhalf absY2half b Filtros Digitais Para atender a linearidade os filtros FIR podem ser divididos em quatro classes Filtros Digitais 1 Sistemas FIR com fase linear do Tipo I Um sistema do tipo I tem resposta ao impulso simétrica com M um inteiro par observe que isso gera um número ímpar de amostras O atraso M2 é um inteiro A resposta em frequência é Filtros Digitais Exemplo 1 a Tipo I resposta simétrica M par hn 1 0 n 4 e 0 caso contrário hn hM n A resposta em frequência é Hejw n0 to 4 ejwn 1 ejw5 1 ejw Filtros Digitais Filtros Digitais 2 Sistemas FIR com fase linear do Tipo II Um sistema do tipo II tem uma resposta ao impulso simétrica como mas com M um inteiro ímpar Exemplo 2 hn hM n Então Hejw 1 e2jw j2sinw2ejw Filtros Digitais 3 Sistemas FIR com fase linear do Tipo III Se o sistema tem uma resposta ao impulso assimétrica com M um inteiro par Exemplo 3 Filtros Digitais 4 Sistemas FIR com fase linear do Tipo IV Se o sistema tem uma resposta ao impulso assimétrica com M um inteiro ímpar Exemplo 4 Filtros Digitais Então Hejω 1 ejω j2sinω2ejω2 Magnitude e fase Filtros Digitais Exemplo O seguinte código implementa no MatLab um filtro FIR tipo I h 3 4 5 6 5 4 330 Veja que vai de zero a seis M lengthh M7 numero de amostras N M12 N3 centro da simetria L 512 periodo H ffth zeros1LM transformada do filtro k 0L1 contagem das posições das amostras W expj2piL A H WNk transformada inversadá a amplitude da fase linear A realA figure1 w 0L12piL1 subplot211 plotwpiabsH resposta em frequencia ylabelHω Aω xlabelωπ subplot212 plotwpiA ylabelAω xlabelωπ Filtros Digitais Hω Aω Aω Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros IIR Os filtros FIR usam apenas cálculos feed forward Se feedback é permitido a resposta de um filtro ao impulso não será necessariamente finita Assim filtros com feedback são chamados de filtros com resposta ao Impulso Infinita IIR Infinite Impulse Response Por exemplo o filtro abaixo cuja equação que descreve sua saída é dada por Filtros Digitais Se um impulso passa por esse filtro teremos como resposta as seguintes saídas considerando o filtro causal Ou seja mesmo quando a entrada se anula o filtro continua apresentando uma saída Essa saída diminui mas não tornase zero Claro que na prática a resposta chega a zero em algum momento Filtros Digitais Considere então o filtro a seguir Esse filtro tem saídas A saída será sempre 08 mesmo a entrada permanecendo 0 Filtros Digitais Nesse próximo exemplo a saída cresce mesmo com a entrada zero Filtros Digitais De uma maneira geral os filtros IIR são expressos como com a seguinte função de sistema Filtros Digitais Suas formas Direta I e Direta II são mostradas nas figuras abaixo Filtros Digitais Filtros Digitais Exemplo 5 Considere a função de sistema As formas diretas I e II podem ser desenhadas como Filtros Digitais Exemplo 6 Conexão em cascata Considere a função de sistema Como os polos e zeros são reais uma estrutura em cascata tem seções com coeficientes reais Duas estruturas em cascata equivalentes podem ser criadas para essa função Filtros Digitais Exemplo 6 Conexão em paralelo Considere a mesma função de sistema A forma paralela para esse sistema com uma seção de segunda ordem mostrada abaixo Filtros Digitais