Transformada de Fourier: Conceitos e Aplicações

INSTITUTO FEDERAL DA PARAÍBA IFPB COORDENAÇÕES DOS CURSOS DE ENGENHARIA ELÉTRICA E SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES Professor JEFFERSON COSTA E SILVA TRANSFORMADA DE FOURIER Transformada de Fourier Usada para sinais aperiódicos é a generalização da série de Fourier A Série de Fourier é usada para sinais periódicos e o espectro é discreto A Transformada de Fourier é usada para sinais aperiódicos e o espectro é contínuo no tempo A transformada de Fourier tem uma parte real e outra imaginária ou seja Para que a Transformada de Fourier de uma função ft exista é necessário que seja finita je jX F R F Transformada de Fourier 𝑓𝑡 𝑑𝑡 Transformada de Fourier de Algumas Funções Úteis 1 𝒇 𝒕 𝒆𝒂𝒕𝒖 𝒕 𝑭 𝝎 𝒆𝒂𝒕𝒖𝒕𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝑭 𝝎 𝒆𝒂𝒕𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝟎 𝑭 𝝎 𝒆 𝒂𝒕𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒆 𝒂𝒕𝒋𝝎𝒕 𝒂 𝒋𝝎 𝟎 𝟎 𝟏 𝒂 𝒋𝝎 𝟎 𝟏 𝒂 𝒋𝝎 𝑭𝝎 𝟏 𝒂𝟐 𝝎𝟐 𝒆 𝜽 𝝎 𝒕𝒈𝟏 𝝎 𝒂 Transformada de Fourier de Algumas Funções Úteis 2 𝒇 𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝑭 𝝎 𝒆𝒂𝒕𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝑭 𝝎 𝒆𝒂𝒕𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝟎 𝒆𝒂𝒕𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝟎 𝑭 𝝎 𝒆𝒂𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝟎 𝒆𝒂𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝟎 𝒆 𝒂𝒋𝝎 𝒕 𝒂 𝒋𝝎 𝟎 𝒆 𝒂𝒋𝝎 𝒕 𝒂 𝒋𝝎 𝟎 𝟏 𝒂 𝒋𝝎 𝟎 𝟎 𝟏 𝒂 𝒋𝝎 𝑭𝝎 𝟐𝒂 𝒂𝟐 𝝎𝟐 Transformada de Fourier de Algumas Funções Úteis 3 𝒇 𝒕 𝟏 𝒕 𝝉𝟐 𝟎 𝒕 𝝉𝟐 𝑭 𝝎 𝟏 𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝝉𝟐 𝝉𝟐 𝑭 𝝎 𝟏 𝒋𝝎 𝒆𝒋𝝎𝒕 𝝉𝟐 𝝉𝟐 𝟏 𝒋𝝎 𝒆𝒋𝝎𝝉𝟐 𝒆𝒋𝝎𝝉𝟐 𝑨 𝒆𝒋𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝝉𝟐 𝒋𝒔𝒆𝒏 𝝎𝝉𝟐 𝑨 𝑩 𝟐𝒋 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝝉𝟐 𝑩 𝒆𝒋𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝝉𝟐 𝒋𝒔𝒆𝒏 𝝎𝝉𝟐 𝑭 𝝎 𝟐𝒋 𝒋𝝎 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝝉𝟐 𝟐 𝝎 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝝉𝟐 multiplica numerador e denominador por t2 𝑭 𝝎 𝝉 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝝉𝟐 𝝎𝝉𝟐 Função Sampling 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 Transformada de Fourier de Algumas Funções Úteis 4 𝒇 𝒕 𝜹 𝒕 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐 𝑭 𝝎 𝜹𝒕𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝒕 𝒆𝒋𝝎𝟎 𝟏 A função impulso contém todas as componentes de frequência com as mesmas amplitudes relativas 5 ft A função constante F 2pAd Sinal DC 0 Transformada de Fourier de Algumas Funções Úteis 6 ft ut Função degrau 𝑭𝝎 𝝅𝜹 𝝎 𝟏 𝒋𝝎 A descontinuidade da função degrau gera um impulso e outras componentes de frequência 7 ft cost 𝑭 𝝎 𝝅 𝜹 𝝎 𝝎𝟎 𝜹 𝝎 𝝎𝟎 8 ft sent 𝑭 𝝎 𝒋𝝅 𝜹 𝝎 𝝎𝟎 𝜹 𝝎 𝝎𝟎 Propriedades da Transformada de Fourier 1 Simetria Se 𝒇 𝒕 𝑭 𝝎 𝑭 𝒕 𝟐𝝅𝒇𝝎 2 Linearidade Se 𝒇𝟏 𝒕 𝑭𝟏 𝝎 𝒇𝟐 𝒕 𝑭𝟐 𝝎 𝒂𝒇𝟏 𝒕 𝒃𝒇𝟐 𝒕 𝒂𝑭𝟏 𝝎 𝒃𝑭𝟐 𝝎 3 Escalonamento Se 𝒇 𝒕 𝑭 𝝎 f 𝒂𝒕 𝟏 𝒂 𝒇𝝎𝒂 Compressão no tempo expansão na frequência Propriedades da Transformada de Fourier 6 Deslocamento na frequência Se 𝒇 𝒕 𝑭 𝝎 𝒇 𝒕 𝒆𝒋𝝎𝟎 𝑭𝝎 𝝎𝟎 Princípio da modulação 7 Deslocamento no Tempo Se 𝒇 𝒕 𝑭 𝝎 𝒇 𝒕 𝒕𝟎 𝑭 𝝎 𝒆𝒋𝝎𝒕𝟎 8 Diferenciação e integração no tempo Se 𝒇 𝒕 𝑭 𝝎 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒋𝝎 𝑭 𝝎 𝒇 𝝉 𝒅𝝉 𝟏 𝒋𝝎 𝑭𝝎 𝒕