Aula 71: Carga Crítica e Comportamento de Colunas

Conteúdo da Aula 71 Carga crítica 72 Coluna ideal com apoios de pinos 73 Coluna com vários tipos de apoios 74 Exercícios propostos 71 Carga crítica Em elementos estruturais comprimidos se forem compridos e esbeltos a carga poderá ser grande o suficiente para provocar uma deflexão ou oscilação lateral São denominados colunas ou pilares e a deflexão lateral que ocorre é denominada flambagem A flambagem de uma coluna pode resultar em uma falha repentina de uma estrutura As colunas devem suportar com segurança as cargas pretendidas sem sofrer flambagem A carga axial máxima que uma coluna pode suportar na iminência de sofrer flambagem é denominada carga crítica Pcr Se uma carga P aplicada for maior que Pcr ocorrerá flambagem RM II Eng Civil Aula 7 03 71 Carga crítica Considerase um mecanismo composto por duas barras sem peso rígidas e conectadas por pinos nas extremidades Quando as barras estão na posição vertical a mola de rigidez k não está esticada e uma pequena força vertical P é aplicada ao topo de uma delas É possível perturbar essa posição de equilíbrio deslocando o pino em A até uma pequena distância F k RM II Eng Civil Aula 7 04 71 Carga crítica A carga aplicada P desenvolve duas componentes horizontais Px P tgθ que tendem a empurrar o pino e as barras ainda mais para fora da posição de equilíbrio Como θ é pequeno θ L 2 e tgθ θ A força de restauração reação na mola será F k k θ L 2 A força perturbadora 2 Px 2 P θ Equilíbrio F 2 Px RM II Eng Civil Aula 7 05 71 Carga crítica Se F 2 Px P k L 4 equilíbrio estável Se F 2 Px P k L 4 equilíbrio instável Se F 2 Px carga crítica P k L 4 equilíbrio neutro RM II Eng Civil Aula 7 06 72 Coluna ideal com apoios de pinos Coluna ideal uma coluna perfeitamente reta antes da carga feita de material homogêneo e na qual a carga é aplicada no centroide da seção transversal Considerase que o material comportase de uma maneira linearelástica e que a coluna sofre flambagem ou flexão em um único plano Quando Pcr é atingida a coluna está na iminência de tornarse instável de modo que uma pequena força lateral F fará com que ela permaneça na posição defletida quando F for removida RM II Eng Civil Aula 7 07 72 Coluna ideal com apoios de pinos e Pela equacdo da deflexdo dy v EI dx2 M Pv dv 4 P 0 f di BI dx EI L e Essa éuma equagao diferencial linear homogénea re de segunda ordem com coeficientes constantes vp Sua solucdo geral é y P P r ci iy 2 a x 72 Coluna ideal com apoios de pinos Condicdes de contorno P v2 00 Cy 0 Tf P x x 4 L L vx 0 Cysen EI 0 L v Se C 0 acoluna permaneceria sempre reta re uv 0 Portanto y vPp P f sen EI 0 P 72 Coluna ideal com apoios de pinos e Aequacao sera satisfeita se P n 72 El Er ou P n 123 x x J Omenor valor de P é obtido para n 1 Portanto a carga critica é L 2 AM mw EI Ov Te y e Esta carga é chamada de carga de Euler nome que iF se deve ao matematico suico Leonhard Euler que foi o primeiro a resolver esse problema em 1757 x 72 Coluna ideal com apoios de pinos e Adeflexdo sera dada por P P4P TX vx Cl sen C representa a deflexdo maxima v2 que ocorre no ponto médio da coluna i nrepresenta o numero de curvas meiaonda na PS ina forma defletida da coluna 3 e Sen 2 acoluna suportara uma carga critica i 4 vezes maior 4 P imediatamente antes da i eye P flabagem na pratica essa forma de flambagem P4P nao existira nat n2 72 Coluna ideal com apoios de pinos Observações A carga crítica é independente da resistência do material ela depende somente das dimensões da coluna I e L e do módulo de elasticidade do material E A capacidade de carga de uma coluna aumentará à medida que o momento de inércia da seção transversal aumentar Uma coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal daseçãotransversalquetenhaomenormomentodeinércia eixo menos resistente RM II Eng Civil Aula 7 12 72 Coluna ideal com apoios de pinos Em resumo Pcr π2 EI L2 Pcr carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes do início da flambagem E módulo de elasticidade do material I menor momento de inércia para a área da seção transversal da coluna L comprimento da coluna sem apoio cujas extremidades estejam presas por pinos RM II Eng Civil Aula 7 13 72 Coluna ideal com apoios de pinos e Podese reescrever a equacao introduzindo o raio de giragdo r I Ar P w2EA 7 E oO Lr Lr o tensao critica de flambagem tensdo média na coluna imediatamente antes da flambagem e r menor raio de giracao da coluna r IA sendo J o menor momento de inércia da coluna e Lr indice de esbeltez utilizado para medir a flexibilidade de uma coluna 72 Coluna ideal com apoios de pinos Para o aço A36 por exemplo traçando um gráfico σ Lr que é uma curva que diminuiamedidaqueoíndicedeesbeltez aumenta Para Lr 89 a tensão crítica ultrapassa a tensão admissível do material portanto esta deve ser utilizada no dimensionamento Para Lr 89 devese utilizar a carga crítica no dimensionamento RM II Eng Civil Aula 7 15 72 Coluna ideal com apoios de pinos Exemplo 1 132 Hibbeler 7 ed O elemento estrutural A36 W200 x 46 de aço mostrado na figura ao lado deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe Resposta Pcr 147250 kN RM II Eng Civil Aula 7 16 72 Coluna ideal com apoios de pinos Exemplo 2 101 Beer et al 7 ed Uma coluna de seção quadrada com 2 m de comprimento apoiada por pinos será feita de madeira Considerando E 13 GPa σu 12 MPa e um fator de segurança de 25 para a tensão de ruptura e a carga crítica determine o tamanho da seção transversal para a coluna suportar com segurança a a carga de 100 kN e b a carga de 200 kN Resposta a b 145 mm b b 205 mm RM II Eng Civil Aula 7 17 73 Coluna com vários tipos de apoios Comprimento efetivo Na fórmula de Euler L representa a distância sem apoio entre os pontos de momento nulo Se a coluna for apoiada de outros modos a fórmula de Euler poderá ser usada para determinaracargacrítica desdequeLrepresenteadistânciaentrepontosdemomento nulo Essa distância é denominada comprimento efetivo da coluna Le Geralmente em normas ele é representado por um coeficiente K Le K L RM II Eng Civil Aula 7 18 73 Coluna com vários tipos de apoios Pinopino K 1 Engastelivre K 2 Engasteengaste K 05 Engastepino K 07 RM II Eng Civil Aula 7 19 73 Coluna com vários tipos de apoios Casos gerais de apoio Com base nessa generalidade a fórmula de Euler pode ser escrita como Pcr π2 E I K L2 π2 E A K Lr2 σcr π2 E K Lr2 Sendo que K Lr representa o índice de esbeltez efetivo λ da coluna λ K L r RM II Eng Civil Aula 7 20 73 Coluna com vários tipos de apoios Exemplo 3 132 Hibbeler 7 ed Uma coluna de aço W 150 x 24 tem 8 m de comprimento e as extremidades engastadas Sua capacidade de carga é aumentada pelas escoras de reforço em torno do eixo yy fraco Consideramos que essas escoras estejam apoiadas por pinos no ponto médio da altura da coluna Determine a carga que a coluna pode suportar sem flambagem e sem que o material ultrapasse a tensão de escoamento Use E 200 GPa e σe 410 MPa Resposta Pcr 46075 kN RM II Eng Civil Aula 7 21 73 Coluna com vários tipos de apoios Exemplo 4 134 Hibbeler 7 ed A coluna de alumínio está presa na base e seu topo está ancorado por cabos de modo a impedir que o topo movimentese ao longo do eixo x Se considerarmos que elaestáfixanabase determineamaiorcargaadmissível P que pode ser aplicada Use um fator de segurança para flambagem FS 30 Dados E 70 GPa e σe 215 MPa A 75 103 mm2 Ix 613 106 mm4 e Iy 232 106 mm4 Resposta Pcr 14117 kN RM II Eng Civil Aula 7 22 74 Exercícios propostos Exercício 1 Probs 133 e 134 Hibbeler 7 ed Uma coluna de aço A36 tem comprimento de 4 m Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura determine a carga crítica se a Ela está presa por pinos em ambas as extremidades b A coluna for engastada na base e presa por pinos no topo Resposta a Pcr 2272 kN b Pcr 4637 kN RM II Eng Civil Aula 7 23 74 Exercícios propostos Exercício 2 Prob 138 Hibbeler 7 ed Uma coluna de aço A36 tem comprimento de 5 m e está engasta da em ambas as extremidades Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura determine a carga crítica Resposta Pcr 27214 kN RM II Eng Civil Aula 7 24 74 Exercícios propostos Exercício 3 Prob 1312 Hibbeler 7 ed Determine a força máxima P que pode ser aplicada ao cabo de modo que a haste de controle de aço A 36 AB não sofra flambagem A haste tem diâmetro de 30 mm e está presa por pinos nas extremidades Resposta P 6460 kN RM II Eng Civil Aula 7 25 74 Exercícios propostos Exercício 4 Prob 1322 Hibbeler 7 ed Consideramos que os elementos estruturais da treliça estão acoplados por pinos Se o elemento estrutural BD for uma haste de aço A36 de raio 50 mm determine a carga máxima P que pode ser suportada pela treliça sem provocar flambagem no elemento estrutural Resposta P 45419 kN RM II Eng Civil Aula 7 26 74 Exercícios propostos Exercícios complementares Hibbeler 7 ed Capítulo 13 Colunas com vários tipos de apoio 136 137 139 1310 1311 1314 1315 1316 1317 1318 1319 1321 1323 1325 1327 1329 1331 1334 1336 1340 RM II Eng Civil Aula 7 27 Referências BEER F P et al Mecânica dos Materiais 8 ed São Paulo AMGH Editora 2021 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais 8 ed São Paulo Cengage Learning 2018 HIBBELER R C Resistência dos Materiais 7 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 RM II Eng Civil Aula 7 28