Fluidostatica - Introducao a Fluidostatica - Densidade e Pressao

Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 O que é um fluido 1 Fluidos Os fluidos tem a capacidade de escoar de fluir As moléculas destas substâncias não estão rigidamente ligadas Os líquidos e os gases são exemplos de fluidos Exemplo de fluido em repouso e fluido em movimento 2 Densidade e Massa específica Considere uma embalagem de plástico bolha cujo pedaço possua uma área A Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Qual deve ser a massa dessa embalagem Qual deve ser a massa de material plástico presente nessa embalagem Imagine que se mergulhe esse mesmo pedaço do material em uma quantidade de água e assim se determine o volume da embalagem com o equivalente de variação de volume de água Posteriormente as bolhas de ar são esvaziadas e a embalagem é mergulhada chacoalhada para que não fique nenhum resíduo de ar na embalagem para se medir o volume de material plástico da embalagem Densidade propriedade do corpo embalagem 𝑑 𝑚 𝑉 Massa específica propriedade da substância do plástico Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 𝜌 𝑚 𝑉 𝜌𝑝𝑜𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 lim 𝑉0 𝑚 𝑉 Massa específica uniforme 𝜌 𝑚 𝑉 Unidade SI 𝑑 𝜌 𝑘𝑔 𝑚3 Substância 𝟎𝑪 𝒆 𝟏𝒂𝒕𝒎 Massa específica 𝒈 𝒄𝒎𝟑 𝒌𝒈 𝒍 𝟏𝟎𝟑𝒌𝒈 𝒎𝟑 Água 100 Gelo 092 Água do mar 103 Álcool etílico 079 Ar 𝟎𝑪 𝒆 𝟏𝒂𝒕𝒎 00013 Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Ar 𝟐𝟎𝑪 𝒆 𝟏𝒂𝒕𝒎 000121 quando não especificada as condições de temperatura e pressão Alumínio 27 Ferro 76 Ouro 193 Mostre que 𝑔 𝑐𝑚3 𝑘𝑔 𝑙 103 𝑘𝑔 𝑚3 Suponha que duas bicicletas idênticas uma de alumínio outra de aço estejam à venda Qual delas seria mais recomendada para passeio 3 Pressão 𝑝 𝐹𝑦 𝐴 𝐹 𝐹𝑦 𝜃 𝐴 𝐹𝑥 Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Apenas a componente perpendicular da força gera pressão Por isso a grandeza pressão é escalar Unidade SI 𝒑 𝑵 𝒎𝟐 𝑷𝒂 𝑷𝒂𝒔𝒄𝒂𝒍 1𝑎𝑡𝑚 1013 105 𝑃𝑎 1013 𝑏𝑎𝑟 760 𝑚𝑚 𝐻𝑔 760 𝑇𝑜𝑟𝑟 103323 𝑚𝑐𝑎 103323 𝑘𝑔𝑓 𝑚2 1470 𝑝𝑠𝑖 Onde 𝑎𝑡𝑚 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑃𝑎 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑏á𝑟𝑖𝑎 𝑚𝑚𝐻𝑔 𝑚𝑖𝑙í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑐ú𝑟𝑖𝑜 𝑇𝑜𝑟𝑟 𝑇𝑜𝑟𝑟𝑖𝑐𝑒𝑙𝑙𝑖 𝑚𝑐𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 𝑝𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 Uma pressão de 50000 psi libra por polegada quadrada em um jato dágua é capaz de cortar aço Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Barômetro Aneróide com unidade em hPa hectopascal 100 Pa com Termômetro e Indicador de Tendência climatológica Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Local Pressão 𝑷𝒂 crescente Nível do mar pressão atmosférica 10 105 Pneu de automóvel 20 105 Fossa oceânica mais profunda 11 108 Centro da Terra 4 1011 Local Pressão 𝑷𝒂 decrescente Nível do mar pressão atmosférica 10 105 Pressão sanguínea normal 16 104 Som mais baixo detectável 30 105 Melhor vácuo de laboratório 1012 Qual seria a força sobre seu corpo devido à pressão atmosférica Exemplo Halliday p 60 8ª ed Uma sala de estar tem 42 𝑚 de comprimento 35 𝑚 de largura e 24 𝑚 de altura a Qual é o peso do ar na sala se a pressão do ar é 10 𝑎𝑡𝑚 b Qual é o módulo da força que a atmosfera exerce sobre o alto da cabeça de uma pessoa que tem uma área da ordem de 0040 𝑚2 Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 Respostas 1𝑘𝑔𝑓 1𝑘𝑔 98 𝑚 𝑠2 98𝑁 𝑃𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑟 𝑔 𝑚𝑎𝑟 𝜌𝑎𝑟 𝑉𝑎𝑟 000121 103 𝑘𝑔 𝑚3 42 𝑚 35 𝑚 24 𝑚 423 𝑘𝑔 𝑎 𝑃𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑟 𝑔 423 𝑘𝑔98 𝑚 𝑠2 𝟒𝟐𝟎 𝑵 𝑏 𝐹 𝑝𝑎𝑟 𝐴 1013 105𝑃𝑎0040 𝟒 𝟎 𝟏𝟎𝟑𝑵 Faça uma comparação com o peso de pacotes de arroz de 5kg Fluidostática Aula 1 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 EXPERIMENTO Material utilizado Água Corante Álcool Gelo Recipiente transparente copo de vidro liso Procedimento Experimental Coloque corante em uma determinada quantidade de água Coloque o álcool no recipiente transparente copo de vidro liso Resfrie à mesma temperatura porém em recipientes separados a água com corante e o álcool Prepare cubos de gelo Retire os líquidos e alguns cubos de gelo para o experimento Coloque no copo com álcool a água colorizada e em seguida coloque um cubo de gelo Aguarde por alguns minutos e observe a posição do cubo de gelo em relação à superfície do fluido O gelo se posicionou no fundo do copo tocou o fundo O gelo se posicionou na superfície do líquido Faça a revisão desta aula ainda hoje Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Como poderíamos medir a densidade do ar ao seu redor Considere um tubo de vidro com tampa de preferência rosqueável com boa vedação uma balança digital e uma proveta graduada Como a densidade é definida em termos da massa e do volume precisaremos encontrar o volume e a massa de ar O volume de ar será igual ao volume do recipiente Para encontrar a massa seguemse as etapas Procedimento experimental Coloque a bexiga de borracha ou saco plástico na balança e anote sua massa Coloque água no recipiente de vidro até o limite do recipiente Coloque o recipiente com água em uma balança e anote a massa Transfira com uma seringa a água do recipiente para uma bexiga de borracha ou saco plástico com o cuidado de evitar bolhas de ar no volume Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Pegue um recipiente de vidro 1 2 Coloque o recipiente de vidro na balança e anote a massa vidro ar Encha o recipiente com água 3 Leve o recipiente com água à balança 4 Pegue uma bexiga 5 Coloque a bexiga vazia na balança e anote sua massa 6 Coloque a bexiga com água na balança e anote sua massa 8 Com as etapas 6 e 8 calcule a massa de água da bexiga 9 Massa de água do recipiente Coloque a água do recipiente dentro da bexiga 7 Com as etapas 4 e 9 calcule a massa de ar da bexiga 10 Massa de ar do recipiente Faça o cálculo da densidade do ar com as etapas 3 e 11 11 Densidade do ar Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Existe pressão no interior de um líquido Pressão interna de um líquido em equilíbrio estático Considere um recipiente apoiado sobre uma balança Se acrescentarmos um determinado fluido de densidade e volume conhecidos a pressão sobre a balança deverá aumentar Então a força que atua sobre a base do recipiente é o peso do fluido sobre a área 𝑝 𝐹 𝐴 𝑚𝑔 𝐴 𝑑𝐹𝑉𝑔 𝐴 Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 A pressão sobre um corpo imerso em um fluido é proporcional à profundidade desse corpo nesse fluido Sendo V o volume de fluido apoiado na base do recipiente podemos escrever 𝑉 𝐴ℎ Onde h é a altura da coluna de fluido Desta forma a equação anterior assume a forma 𝑝 𝑑𝐹𝑔ℎ Onde 𝑝 é a pressão do fluido na base do recipiente Tal resultado é conhecido como Teorema de Stevin Simon Stevin 1548 1620 Estátua de Simon Stevin em sua cidade natal Bruges Bélgica Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Se colocarmos um balão com ar sobre uma balança também verificaremos um acréscimo de pressão em relação à pressão exercida na balança com o balão vazio Isso significa que o ar também exerce pressão na coluna de fluido líquido e portanto também deverá considerarse a pressão atmosférica 𝑝0 sobre a superfície do líquido Logo a pressão total será E qual seria a diferença entre dois pontos no interior de um fluido em equilíbrio estático Considere os pontos 1 e 2 no interior de um fluido em equilíbrio estático com profundidades ℎ1 e ℎ2 respectivamente 𝑝 𝑝2 𝑝1 𝑑𝐹𝑔ℎ2 𝑑𝐹𝑔ℎ1 𝑝 𝑑𝐹𝑔ℎ 𝒉 𝟏 𝟐 𝑝1 𝑝0 𝑑𝐹𝑔ℎ 𝒉 𝟏 Verifique experimentalmente Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Qual a diferença de pressão entre os pontos A e B E entre A e C E entre C e B A B C Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Qual é a pressão sobre um objeto situado a uma profundidade de 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝒎 no mar Challenger Deep Fossa das Marianas Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 Efeitos da diferença de pressão no corpo humano Os maiores riscos do mergulho autônomo se referem aos barotraumas as diferenças de pressão gerada nos pulmões no sistema digestivo nos olhos e no nariz Os sintomas vão de fraqueza a paralisia muscular Há ainda outros riscos intoxicação pelo oxigênio e narcose pelo nitrogênio que resulta em estado de entorpecimento doença descompressiva com lesões em graus variáveis causada por bolhas de nitrogênio que se expandem no sangue ou nos tecidos do corpo embolia gasosa que é a obstrução de vasos por bolhas de ar na corrente sanguínea Estas últimas podem ocorrer quando o mergulhador sobe à superfície rapidamente e não realiza manobras específicas para equilibrar a pressão interna e a externa em seu organismo alerta a dra Rebeca Outro problema comum é a dor de cabeça causada pela respiração incorreta do mergulhador Para melhorar basta respirar mais rápido Caso a dor não passe o melhor é voltar ao barco e deixar o mergulho para outra hora ou mesmo outro dia O mergulhador está sujeito também a cãimbras Nesse caso devese puxar a nadadeira para frente como se fosse o próprio pé e voltar para a embarcação É bem provável que a dor muscular intensa resulte de equipamento inadequado como roupas e nadadeiras apertadas avisa Clécio Mayrink Extraído de httpwwweinsteinbreinsteinsaudebemestarequalidadedevidaPaginasmergulhoesporte antiestresseaspx em 11042013 Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 Bolhas no refrigerante Dica de Filme Homens de Honra Fluidostática Aula 2 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 10 Exemplo Halliday 08 p 79 8ª ed Calcule a diferença hidrostática entre a pressão arterial no cérebro e no pé de uma pessoa com 183 𝑚 de altura A massa específica do sangue é 106 103 𝑘𝑔 𝑚3 Resolução Faça a revisão desta aula ainda hoje Faça a revisão desta aula ainda hoje 𝑦 183𝑚 𝑑𝐹 106 103 𝑘𝑔 𝑚3 𝑝 𝑝 𝑑𝐹𝑔𝑦 𝑝 106 103 𝑘𝑔 𝑚3 981 𝑚 𝑠2 183𝑚 𝑝 190 104𝑃𝑎 Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Como medir a pressão atmosférica Em 1643 Evangelista Torricelli 1608 1647 realizou o seguinte experimento utilizandose de um tubo com um lado aberto e um recipiente com mercúrio Hg Colocando se mercúrio no tubo e invertendoo no recipiente ele verificou que a altura da coluna de mercúrio que permanecia no tubo era de 760 𝑚𝑚 Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Qual deve ser a altura da coluna se esse experimento for realizado com água Estátua de Evangelista Torricelli no Museu de História Natural de Florença Itália Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Sabendose que a cidade de Itumbiara GO está a 448 m de altitude em relação ao nível do mar qual seria a pressão atmosférica correspondente Tal gráfico é obtido pela Equação Barométrica 𝑝 𝑝0𝑒𝑀𝑔 𝑅𝑇 ℎ Onde 𝑝0 é a pressão de referência em uma altitude tomada como referência 𝑀 é a massa molar do gás em equilíbrio hidrostático 𝑔 é a aceleração gravitacional 𝑇 é a temperatura 𝑅 é a constante dos gases Onde Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 e Massa Molar massa de 1 mol de ar 𝑀 29 𝑔 𝑚𝑜𝑙 Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Equação Cesar Monteiro de Barros Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 B Gás A Onde a pressão é maior No ponto A ou no ponto B Verifique pelos tubos laterais conectados frente aos respectivos pontos Onde a pressão é maior No ponto A ou no ponto B B Gás A Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Por que se coloca o dedo na extremidade de uma pipeta Pressão no corpo humano Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 A Considere alguns recipientes intercomunicados Se colocarmos algum fluido no interior do conjunto e este fluido na situação de equilíbrio onde a pressão seria maior A pressão depende do formato do recipiente Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 Foto de vasos comunicantes O Efeito Sifão Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 10 Equilíbrio de Líquidos Imiscíveis Exemplo Halliday exemplo 8ª ed O tubo em forma de U da figura contém dois líquidos em equilíbrio estático no lado direito existe água de massa específica igual a 998 𝑘𝑔 𝑚3 e no lado esquerdo existe óleo de massa específica desconhecida Os valores das distâncias indicadas na figura são 135 𝑚𝑚 para 𝑙 e 123 𝑚𝑚 para 𝑑 Qual é a massa específica do óleo Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 11 Resolução 𝑑á𝑔𝑢𝑎 998 𝑘𝑔 𝑚3 𝑙 135𝑚𝑚 𝑑 123𝑚𝑚 𝑑ó𝑙𝑒𝑜 𝑝1 𝑝2 𝑝0 𝑑ó𝑙𝑒𝑜𝑔𝑙 𝑑 𝑝0 𝑑á𝑔𝑢𝑎𝑔𝑙 𝑑ó𝑙𝑒𝑜 915 𝑘𝑔 𝑚3 Equilíbrio estático 1 2 Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 12 Princípio de Pascal Blaise Pascal 16231662 Considere um recipiente aberto lateralmente para dois tubos independentes Nesse recipiente é colocado um líquido até sua capacidade máxima de armazenamento conforme a figura Estátua de Blaise Pascal na base da Torre de Santiago Paris França onde foram realizados experimentos em 1648 Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 13 Esse recipiente cheio de líquido será vedado com uma membrana de borracha e serão acrescentadas massas conhecidas e verificadas as variações de altura do líquido nos dutos laterais Procedimento Experimental Materiais necessários Esferas de massas conhecidas Quantidade de esferas Peso na membrana Pressão na membrana Variação de pressão na membrana Variação de altura no duto1 Variação de altura no duto2 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 Façamos uma análise teórica do sistema Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 14 Quais seriam as variações de pressão nos pontos Q e R Da Lei de Stevin temos 𝑝 𝑝𝑒𝑥𝑡 𝑑𝐹𝑔ℎ Se analisarmos esta equação em termos de variações em relação a um determinado ponto Q no interior do fluido teremos 𝑝𝑄 𝑝𝑒𝑥𝑡 𝑑𝐹𝑔ℎ𝑄 Como estamos analisando a variação de pressão em um determinado ponto Q em um fluido homogêneo e em repouso não há variação de profundidade e de densidade Figura variação de pressão na membrana e variações de pressão nos pontos Q e R membrana de borracha variação de altura variação da pressão externa 𝑄 𝑅 duto1 duto2 Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 15 A variação de pressão externa a um fluido incompressível confinado se transmite igualmente a qualquer ponto no interior desse fluido e às paredes do recipiente que o contém 𝑝𝑄 𝑝𝑒𝑥𝑡 𝑑𝐹𝑔ℎ𝑄 0 Então uma variação de pressão da membrana 𝑝𝑒𝑥𝑡 implica em uma variação de pressão 𝑝 em um determinado ponto do fluido cuja profundidade é ℎ Portanto 𝑝𝑄 𝑝𝑒𝑥𝑡 Da mesma maneira para um determinado ponto R no mesmo fluido e submetido à mesma 𝑝𝑒𝑥𝑡 temse 𝑝𝑅 𝑝𝑒𝑥𝑡 𝑑𝐹𝑔ℎ𝑅 0 E 𝑝𝑅 𝑝𝑒𝑥𝑡 O que significa que qualquer ponto no interior do fluido estará submetido a mesma 𝑝 𝑝 𝑝𝑒𝑥𝑡 Assim o Princípio de Pascal pode ser enunciado como Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 16 Considere agora os dutos 1 e 2 de diâmetros diferentes sendo o duto2 com o dobro do diâmetro do duto1 e o recipiente duto principal com diâmetro igual a oito vezes o diâmetro do duto1 Qual será a força comunicada pelo duto principal duto0 aos dutos 1 e 2 Primeiramente vamos definir o plano isobárico como a região onde a pressão é constante ou seja em qualquer plano horizontal a pressão é constante No plano isobárico podemos escrever para os dutos 0 1 e 2 a seguinte igualdade 𝑝0 𝑝1 𝑝2 Então 𝐹0 𝐴0 𝐹1 𝐴1 𝐹2 𝐴2 Considerando as respectivas áreas 𝐴0 𝜋𝑑0 2 2 𝜋 𝑑0 2 4 𝜋 8𝑑12 4 16𝜋𝑑1 2 𝐴1 𝜋𝑑1 2 2 𝜋 𝑑1 2 4 𝐴2 𝜋𝑑2 2 2 𝜋 𝑑2 2 4 𝜋 2𝑑12 4 𝜋𝑑1 2 Substituindoas nas respectivas frações teremos Figura Qualquer plano horizontal é um plano isobárico ou seja qualquer ponto nesse plano está submetido à mesma pressão 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑏á𝑟𝑖𝑐𝑜 duto1 duto2 variação de altura Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 17 𝐹0 16 𝐹1 1 4 𝐹2 1 Assim para o caso considerado temse 𝐹0 64𝐹1 𝐹2 4𝐹1 Quanto à elevação do fluido nos dutos 1 e 2 como os volumes deslocados são iguais teremos 𝑉 𝐴0ℎ0 𝐴1ℎ1 𝐴2ℎ2 Assim o duto de maior diâmetro terá menor altura menor deslocamento ℎ da coluna de fluido e o de menor diâmetro terá maior altura maior deslocamento do fluido Ou seja Em termos dos trabalhos realizados pelas forças em cada duto teremos fazendo uso das relações expressas em 𝜏0 𝐹0ℎ0 𝐹1𝐴0 𝐴1 𝐴1 𝐴0 ℎ1 𝑭𝟏𝒉𝟏 𝜏1 𝑭𝟏𝒉𝟏 𝜏2 𝐹2ℎ2 𝐹1𝐴2 𝐴1 𝐴1 𝐴2 ℎ1 𝑭𝟏𝒉𝟏 De um duto de menor diâmetro para um duto de maior diâmetro ampliase a força e diminuise o deslocamento do fluido De um duto de maior diâmetro para um duto de menor diâmetro reduzse a força e ampliase o deslocamento do fluido Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 18 Desta forma verificase que os trabalhos realizados em cada duto são iguais e consequentemente o produto 𝐹ℎ é constante Logo em dutos de maior força de maior espessura temse menor deslocamento e em dutos de menor força de menor espessura temse maior deslocamento Demonstração experimental do Princípio de Pascal Faça você No arranjo abaixo qual é a massa que colocada sobre a seringa 1 equilibrará uma determinada massa colocada sobre a seringa 2 Fazer furos na garrafa enchêla de água e conectála a uma bomba de ar Improvise uma bomba de ar com outra garrafa Ao pressionar a bomba verificar as distâncias dos jatos de água para cada furo lateral Se jatos alcançarem mesma distância significa que a variação de pressão foi a mesma em cada furo Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 19 Casa com portas fechadas Não se aplica o Princípio de Pascal pois o fluido ar é compressível no entanto verificamse variações de pressão com perdas de energia O Golpe de Aríete O que é Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 20 Exemplo Halliday 28 p 80 8ª ed Um êmbolo com uma seção reta 𝑎 é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo 𝑓 sobre um líquido que está em contato através de um tubo de ligação com um êmbolo maior de seção reta 𝐴 a Qual é o módulo 𝐹 da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o sistema fique em equilíbrio b Se os diâmetros dos êmbolos são 380 𝑐𝑚 e 530 𝑐𝑚 qual é o módulo da força que deve ser aplicada ao êmbolo menor para equilibrar uma força de 200 𝑘𝑁 aplicada ao êmbolo maior Resolução 𝑝𝑎 𝑝𝐴 𝑓 𝑎 𝐹 𝐴 𝐹 𝐴 𝑎 𝑓 𝑏 𝑓 𝐹 20𝑘𝑁 𝑓 𝑎 𝐴 𝐹 𝑓 𝜋𝑑𝑎 2 2 𝜋𝑑𝐴 2 2 20 103 𝑓 103𝑁 𝑎 𝐹 𝐹𝑎 𝑓 𝐹𝐴 𝐹 𝑑𝑎 380 𝑐𝑚 𝑑𝐴 530 𝑐𝑚 𝑎 𝐴 𝑓 𝐹 𝑎 𝐴 𝑓 𝐹 Fluidostática Aula 3 Introdução à Fluidostática Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 21 Faça a revisão desta aula ainda hoje Fluidostática Aula 4 Princípio de Arquimedes Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 O ar exerce força sobre nós Arquimedes de Siracusa Sicília Grécia 287 aC a 212 aC Monumento de Arquimedes na cidade de Güstrow Alemanha Fluidostática Aula 4 Princípio de Arquimedes Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Princípio de Arquimedes Todo corpo imerso parcial ou totalmente num fluido fica submetido a uma força vertical para cima denominada empuxo cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo Peso aparente 𝑃𝐴𝑃 𝑃 𝐸 Flutuação Para 𝑃𝐴𝑃 0 Temos 0 𝑃 𝐸 E consequentemente 𝐸 𝑃 𝑃 𝐸 𝐸 𝑃𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑑𝑜 𝐸 𝑚𝐹𝐷 𝑔 𝐸 𝑑𝐹 𝑔 𝑉𝐹𝐷 Fluidostática Aula 4 Princípio de Arquimedes Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Flutuabilidade e densidade Corpo totalmente imerso 𝑉𝐹𝐷 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 Corpo parcialmente imerso 𝑉𝐹𝐷 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 Mostre matematicamente que um objeto afundará em um líquido em repouso quando esse objeto tiver uma densidade maior que a densidade desse líquido 𝐸 𝑃 flutuação 𝑑𝐹 𝑔 𝑉𝐹𝐷 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜𝑔 𝑑𝐹 𝑉𝐹𝐷 𝑑𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑑𝐹 𝑑𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝐸 𝑃 flutuação 𝑑𝐹 𝑔 𝑉𝐹𝐷 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜𝑔 𝑑𝐹 𝑉𝐹𝐷 𝑑𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑑𝐹 𝑑𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 Fluidostática Aula 4 Princípio de Arquimedes Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Explique o movimento vertical do balão Na ausência de uma boia o que você procuraria para substituíla Qual material Quais dimensões Exemplo Halliday p 31 8ª ed Uma âncora de ferro de massa específica 7870 𝑘𝑔 𝑚3 parece ser 200 𝑁 mais leve na água que no ar a Qual é o volume da âncora b Quanto ela pesa no ar R a 204 102 𝑚3 b 157 𝑘𝑁 Fluidostática Aula 4 Princípio de Arquimedes Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Resolução 𝒂 𝑽â𝒏𝒄𝒐𝒓𝒂 𝒃 𝑷â𝒏𝒄𝒐𝒓𝒂 𝒏𝒐 𝒂𝒓 parece ser 200 𝑁 mais leve 𝑃𝐴𝑃 𝑃 200𝑁 Como por definição 𝑃𝐴𝑃 𝑃 𝐸 temos 𝐸 200𝑁 𝑑𝐹 1000 𝑘𝑔 𝑚3 𝑑Â𝑁𝐶 7870 𝑘𝑔 𝑚3 𝒂 𝑽â𝒏𝒄𝒐𝒓𝒂 𝐸 𝑑𝐹 𝑔 𝑉𝐹𝐷 200 𝑁 1000 𝑘𝑔 𝑚3 98 𝑚 𝑠2 𝑉Â𝑁𝐶 𝑉Â𝑁𝐶 204 102 𝑚3 𝒃 𝑷â𝒏𝒄𝒐𝒓𝒂 𝑃Â𝑁𝐶 𝑚Â𝑁𝐶 𝑔 𝑃Â𝑁𝐶 𝑑Â𝑁𝐶 𝑉Â𝑁𝐶 𝑔 𝑃Â𝑁𝐶 7870204 102 98 𝑃Â𝑁𝐶 157 𝑘𝑁 Fluidostática Aula 4 Princípio de Arquimedes Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Exemplo Um recipiente contém dois líquidos I e II de massas específicas densidades 𝑑1 e 𝑑2 respectivamente Um cilindro maciço de altura ℎ se encontra em equilíbrio na região da interface entre os líquidos como mostra a figura Podemos afirmar que a massa específica do material do cilindro vale a 𝑑1 2𝑑2 2 b 𝑑1 𝑑2 2 c 𝑑1 𝑑2 3 d 𝑑1 2𝑑2 3 e 2𝑑1 𝑑2 3 Resolução ℎ 3 interface ℎ 𝑑1 𝑑2 𝒅𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍í𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒆𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒗 𝟎 𝐸1 𝐸2 𝑃𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑑1𝑔𝑉𝐹𝐷1 𝑑2𝑔𝑉𝐹𝐷2 𝑚𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑔 𝑑1 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ℎ 3 𝑑2 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 2ℎ 3 𝑚𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑚𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒ℎ 1 3 𝑑1 2 3 𝑑2 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒ℎ 𝑑1 2𝑑2 3 Então 𝑑𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑚𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒ℎ 𝑑1 2𝑑2 3 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒ℎ 𝑑1 2𝑑2 3 Fluidostática Aula 4 Princípio de Arquimedes Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Estabilidade de flutuação Para corpos extensos devese considerar o equilíbrio estável Tal equilíbrio ocorre considerando se as forças Peso e Empuxo e seus respectivos pontos de atuação O centro de gravidade e o centro de empuxo centro de flutuação Faça a revisão desta aula ainda hoje Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 O que caracteriza a fluidodinâmica Fluidodinâmica Simulação computacional de um campo de velocidade para um fluido em escoamento Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Linhas de corrente ou de fluxo Linhas suporte dos vetores velocidade de cada partícula de um fluido em escoamento cujas direções são tangentes aos vetores velocidade em cada ponto Tubo de corrente ou de fluxo É um caminho de fluxo constante ou seja do começo ao fim do fluxo as áreas de seção transversal contém o mesmo número de linhas de corrente Fluido estacionário pode ser verificado quando a foto e o vídeo de um escoamento tem mesmo aspecto Fluidos ideais em movimento Escoamento laminar As linhas de corrente são independentes Do contrário temos um escoamento turbulento Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Escoamento incompressível Não há variação de volume quando há variação de pressão no fluido não há variação de densidade Escoamento nãoviscoso Não há atrito interno do fluido Escoamento irrotacional Não há rotação de partículas do fluido em torno de um determinado ponto Perfil de escoamento de um fluido viscoso Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Existe relação entre espessura de dutos e velocidade do fluido BUCHA DE REDUÇÃO SOLDÁVEL LONGA 50 x 32 mm Considere um fluido em movimento em uma tubulação com uma alteração de diâmetro conforme a figura O que acontece com o fluido quando ele atravessa de um tubo de um determinado diâmetro para outro tubo de outro diâmetro Qual seria a relação entre as velocidades do fluido e as áreas dos dutos pelos quais é conduzido Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 A Equação da Continuidade conservação da massa Considere uma tubulação com uma redução de diâmetro e área de seção transversal conforme a figura Considerando que o volume de fluido incompressível que atravessa a seção transversal A1 do tubo de maior diâmetro seja o mesmo que atravessa a seção transversal A2 do tubo de menor diâmetro podemos escrever 𝑉1 𝑉2 𝐴1𝑥1 𝐴2𝑥2 𝐴1𝑣1𝑡 𝐴2𝑣2𝑡 𝐴1𝑣1 𝐴2𝑣2 Qual é a grandeza resultante do produto 𝑨 𝒗 Faça a análise dimensional 𝐴 𝑣 𝑅 Onde R é a vazão 𝐴1 𝑣1 𝑣2 𝐴2 𝑥1 𝑥2 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Generalizando Na movimentação de um fluido a variação de sua área de seção transversal implica na variação proporcionalmente inversa de sua velocidade Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 Exemplo Halliday exemplo 8ª ed O jato de água que escoa de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a queda As áreas das seções transversais consideradas são 12 𝑐𝑚2 e 035 𝑐𝑚2 Os dois níveis estão separados por uma distância vertical de 45 𝑚𝑚 Qual é a vazão da torneira Resolução 𝑹 𝑨 𝒗 𝐴0 𝑣0 𝐴 𝑣 𝐼 𝑣2 𝑣0 2 2𝑔ℎ 𝐼𝐼 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑣0 𝑒𝑚 𝐼 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼𝐼 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣 2𝑔ℎ𝐴2 𝐴0 2 𝐴2 094 𝑚 𝑠 𝑅 035 104094 𝑅 33 105 𝑚3 𝑠 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 A Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli 17001782 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 10 A Equação de Bernoulli também pode ser chamada de equação para a conservação da energia mecânica para fluidos em movimento Da equação da continuidade vimos que um fluido em movimento modifica sua velocidade ao variar sua seção transversal Agora considerando a mesma situação como poderíamos relacionar a variação de velocidade do fluido à sua variação de pressão à medida que este sofre variações de sua seção transversal Considere um fluido ideal em movimento no interior de um duto horizontal com variação de seção transversal conforme a figura Notase que na movimentação de uma determinada massa de fluido ideal há variação de energia cinética e de energia potencial Há que se referir também à variação de pressão nessa massa de fluido Pelo Teorema da Energia Cinética 𝜏𝑅 𝐸𝐶 𝐸𝐶 1 2 𝑚 𝑣2 2 1 2 𝑚 𝑣1 2 𝐿 𝑣1 𝑣2 𝑦1 𝑦2 antes 𝒕 depois 𝒕 𝒕 antes 𝒕 depois 𝒕 𝒕 𝑝1 𝑝2 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 11 Onde 𝑚 𝜌𝑉 Então 𝑬𝑪 𝟏 𝟐 𝝆𝑽 𝒗𝟐 𝟐 𝒗𝟏 𝟐 Quanto ao trabalho resultante O volume de fluido considerado volume de prova está circundado de fluido anterior que empurra o volume de prova e também de fluido posterior que é empurrado pelo volume de prova Trabalho sobre o sistema realizado pelas forças que atuam no fluido força gravitacional e força que move o fluido motriz Como se trata de um sistema conservativo 𝜏 𝐸𝑃 𝜏𝐺 𝐸𝑃𝐺 𝑚 𝑔 𝑦2 𝑦1 𝜌𝑔𝑉𝑦2 𝑦1 Força que move o fluido da esquerda para a direita 𝜏𝑀1 𝐹1𝑑1 𝑝1𝐴1𝑑1 𝑝1𝐴1𝑑1 𝑝1𝑉1 𝜏𝑀1 𝑝1𝑉1 Trabalho pelo sistema Força que atua no fluido posterior da direita para a esquerda 𝜏𝑀2 𝑝2𝑉2 Mas 𝑉2 𝑉1 𝑉 Então 𝜏𝑅 𝜏𝐺 𝜏𝑀 𝜏𝑅 𝜏𝐺 𝜏𝑀1 𝜏𝑀2 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 12 𝜏𝑅 𝜌𝑔𝑉𝑦2 𝑦1 𝑝1𝑉 𝑝2𝑉 𝑝2𝑝1𝑉 𝜏𝑅 𝜌𝑔𝑉𝑦2 𝑦1 𝑝2 𝑝1𝑉 𝐸𝐶 𝜌𝑔𝑉𝑦2 𝑦1 𝑝2 𝑝1𝑉 𝜏𝑅 1 2 𝜌𝑉 𝑣2 2 𝑣1 2 𝐸𝐶 𝑝1 𝜌𝑔𝑦1 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑝2 𝜌𝑔𝑦2 1 2 𝜌𝑣2 2 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 Ou 𝑝 𝜌𝑔𝑦 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 1 2 𝜌𝑣2 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Onde 𝑝 é a pressão termodinâmica estática que pode ser medida com instrumento na mesma velocidade do fluido velocidade relativa nula O que diz esse resultado Princípio de Bernoulli Na movimentação de um fluido a variação de sua pressão está associada à variação de velocidade desse fluido diminuindo a pressão com o aumento da velocidade e aumentando a pressão com a diminuição da velocidade Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 13 Na união de tubos de diferentes diâmetros mostre que em escoamentos de fluidos a pressão 𝒑𝟏 no tubo de maior diâmetro tubo 1 é maior que a pressão 𝒑𝟐 no tubo de menor diâmetro tubo 2 Aplicando a equação de Bernoulli 𝑝1 𝜌𝑔𝑦1 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑝2 𝜌𝑔𝑦2 1 2 𝜌𝑣2 2 Adotando o plano barométrico horizontal no eixo de simetria longitudinal temos 𝑦2 𝑦1 0 E a equação fica 𝑝1 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑝2 1 2 𝜌𝑣2 2 Da equação da continuidade temos 𝑣1 𝐴2 𝐴1 𝑣2 𝐴1 𝐴2 Ou seja 𝑣1 𝑣2 Então da equação 𝑝1 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑝2 1 2 𝜌𝑣2 2 𝐴1 𝑣1 𝑣2 𝐴2 𝑝1 𝑝2 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 14 Temos 𝑝1 𝑝2 Divida cada membro da equação de Bernoulli por 𝝆 e faça a análise dimensional Qual grandeza está associada a cada termo Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 15 Exemplo Halliday exemplo 8ª ed Um bandido atira em uma caixa dágua sem tampa abrindo um furo a uma distância ℎ da superfície da água Qual é a velocidade da água ao sair da caixa dágua Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 16 Resolução Seleção do tubo de corrente Todas as linhas de corrente do fluido no sentido do furo da caixa dágua 𝐴1 𝑣1 𝐴2 𝑣2 𝐼 𝑝1 𝜌𝑔𝑦1 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑝2 𝜌𝑔𝑦2 1 2 𝜌𝑣2 2 𝐼𝐼 Reescrevendo a Eq II 𝑝1 𝜌𝑔ℎ 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑝2 𝜌𝑔0 1 2 𝜌𝑣2 2 Na Eq I temos que 𝐴2 𝐴1 e portanto 𝑣1 𝑣2 Então a equação II po 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑣1 𝑒𝑚 𝐼 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐼𝐼 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣2 2𝑔ℎ𝐴2 𝐴1 2 𝐴2 094 𝑚 𝑠 𝑅 035 104094 𝑅 33 105 𝑚3 𝑠 𝑹 𝑨 𝒗 1 2 Utilizaremos o referencial de altura no nível do furo da caixa 𝑦2 0 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 17 Simulação Pressão do Fluido e Fluxo 102 PhET Interactive Simulations Copyright 20042013 University of Colorado Some rights reserved Visit httpphetcoloradoedu Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 18 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 19 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 20 Exemplo Halliday 70 8ª ed O tubo de Pitot é usado para medir a velocidade do ar nos aviões Ele é formado por um tubo externo com pequenos furos B quatro são mostrados na figura que permitem a entrada de ar no tubo este tubo está ligado a um dos lados de um tubo em forma de U O outro lado do tubo em forma de U está ligado ao furo A na frente do medidor que aponta no sentido do movimento do avião Em A o ar fica estagnado de modo que 𝑣𝐴 0 Em B porém a velocidade do ar é presumivelmente igual a velocidade do ar em relação ao avião a Utilize a equação de Bernoulli para mostrar que 𝑣 2𝜌𝑔ℎ 𝜌𝑎𝑟 Onde ρ é a massa específica do líquido no interior do tubo em U e ℎ é a diferença entre os níveis no tubo b Suponha que tubo contém álcool e que a diferença de nível ℎ é 260 𝑐𝑚 Qual é a velocidade do avião em relação ao ar A massa específica do ar é 103 𝑘𝑔 𝑚3 e a do álcool é 810 𝑘𝑔 𝑚3 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 21 Resolução 𝑹 𝑨 𝒗 Escrevendo as equações para os pontos considerados temos 𝐴1 𝑣1 𝐴2 𝑣2 𝑝1 𝜌𝑔 𝑦1 0 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑝2 𝜌𝑔 𝑦2 0 1 2 𝜌𝑣2 2 Onde 𝐴1 𝐴 𝐴2 𝑎 𝑣1 𝑉 𝑣2 𝑣 Assim teremos a Eq de Bernoulli 𝑝1 1 2 𝜌𝑉2 𝑝2 1 2 𝜌𝑣2 Substituindo a Eq da Continuidade para 𝑣 1 2 𝜌𝑉2 1 2 𝜌 𝐴 𝑎 𝑉 2 𝑝2 𝑝1 1 2 𝜌𝑉2 1 𝐴2 𝑎2 𝑝 Então 𝑉 2𝑎2𝑝 𝜌𝑎2 𝐴2 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 22 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 23 Exemplo Halliday 67 8ª ed Um medidor venturi é usado para medir a velocidade de um fluido em um cano O medidor é ligado entre dois segmentos do cano figura a seção reta 𝐴 na entrada e na saída do medidor é igual à seção reta do cano Entre a entrada e a saída do medidor o fluido escoa com velocidade 𝑉 e depois passa com velocidade 𝑣 por uma garganta estreita de seção reta 𝑎 Um manômetro liga a parte mais larga do medidor à parte mais estreita A variação da velocidade do fluido é acompanhada por uma variação 𝑝 da pressão do fluido que produz uma diferença ℎ na altura do líquido nos dois lados do manômetro A diferença 𝑝 corresponde à pressão na garganta menos a pressão no cano a Aplicando a equação de Bernoulli e a equação da continuidade aos pontos 1 e 2 na figura mostre que 𝑉 2𝑎2𝑝 𝜌𝑎2 𝐴2 Onde ρ é a massa específica do fluido b Suponha que o fluido é água doce que a seção reta é 64 cm2 no cano e 32 cm2 na garganta e que a pressão é 55 𝑘𝑃𝑎 no cano e 41 𝑘𝑃𝑎 na garganta Qual é a vazão de água em metros cúbicos por segundo Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 24 Resolução 𝑹 𝑨 𝒗 Escrevendo as equações para os pontos considerados temos 𝐴1 𝑣1 𝐴2 𝑣2 𝑝1 𝜌𝑔 𝑦1 0 1 2 𝜌𝑣1 2 𝑝2 𝜌𝑔 𝑦2 0 1 2 𝜌𝑣2 2 Onde 𝐴1 𝐴 𝐴2 𝑎 𝑣1 𝑉 𝑣2 𝑣 Assim teremos a Eq de Bernoulli 𝑝1 1 2 𝜌𝑉2 𝑝2 1 2 𝜌𝑣2 Substituindo a Eq da Continuidade para 𝑣 1 2 𝜌𝑉2 1 2 𝜌 𝐴 𝑎 𝑉 2 𝑝2 𝑝1 1 2 𝜌𝑉2 1 𝐴2 𝑎2 𝑝 Então 𝑉 2𝑎2𝑝 𝜌𝑎2 𝐴2 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 25 Como funciona o carneiro hidráulico bomba de aríete A união de um fluido compressível com um fluido incompressível Carneiro hidráulico Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 26 Extraído de httprevistagloboruralglobocomvidanafazendanoticia201505comofazerocarneirohidraulicohtml em 22102016 Figura disponível em wwwcienciamaouspbrdadossnefensinodefisicaaestudantetrabalhopdf Acesso em 22102016 Bomba manual Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 27 Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 28 Efeito Magnus Heinrich Gustav Magnus 18021870 Vídeo Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 29 Experimento Lista de Exercícios Cap 14 Halliday 8ª edição 01 03 06 07 08 09 11 13 14 15 16 19 20 21 22 23 25 26 28 29 30 31 33 37 39 41 45 49 51 53 55 56 57 62 63 67 e 70 Imagine as duas garrafas da figura com a mesma quantidade de água e com tubos de saída do líquido de mesmo diâmetro Qual das garrafas vai se esvaziar primeiro Fluidodinâmica Aula 1 Introdução à Fluidodinâmica Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 30 9ª edição Faça a revisão desta aula ainda hoje Relatório de Fluidos Sumário 1 Introdução 2 2 Massa específica e pressão 3 21 Massa específica 3 22 Massa específica 3 3 Fluidos em repouso 4 4 Medidores de pressão 8 41 Barômetro de mercúrio 8 42 Manômetro de Tubo Aberto 9 5 Princípio de Pascal 11 51 Demonstração do Princípio de Pascal 11 52 O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico 12 6 Princípio de Arquimedes 14 61 Flutuação 16 7 Equação da continuidade 17 8 Equação de Bernoulli 19 1 Introdução Fluido qualquer líquido ou gás ou geralmente qualquer material que não possa sustentar uma força tangencial ou de cisalhamento quando em repouso e que sofra uma mudança contínua de forma quando submetido a tal tensão Essa mudança contínua e irrecuperável de posição de uma parte do material em relação a outra parte quando sob tensão de cisalhamento constitui fluxo uma propriedade característica dos fluidos Em contraste as forças de cisalhamento dentro de um sólido elástico mantido em uma posição torcida ou flexionada são mantidas o sólido não sofre escoamento e pode retornar à sua forma original Os fluidos comprimidos também podem retornar à sua forma original mas enquanto a compressão é mantida as forças dentro do fluido e entre o fluido e o recipiente não são forças de cisalhamento O fluido exerce uma pressão para fora chamada pressão hidrostática que está em todos os lugares perpendiculares às superfícies do recipiente Várias simplificações ou modelos de fluidos foram desenvolvidos desde o último quartel do século 18 para analisar o fluxo de fluidos O modelo mais simples chamado defluido perfeito ou ideal é aquele que é incapaz de conduzir calor ou de oferecer arrasto nas paredes de um tubo ou resistência interna a uma porção que escoa sobre outra Assim um fluido perfeito mesmo fluindo não pode sustentar uma força tangencial ou seja falta viscosidade e também é referido como um fluido incompressível 2 Massa específica e pressão 21 Massa específica Para determinar a massa específica 𝜌 de um fluido em um ponto do material isolase um pequeno elemento de um volume Δ𝑉 em torno do ponto e mede se a massa Δ𝑚 do fluido contido nesse elemento de volume A massa específica é dada por 𝜌 Δ𝑚 Δ𝑉 1 Teoricamente a massa específica em um ponto de um fluido é o limite dessa razão quando o volume do elemento ΔV tende a zero Na prática supomos que o volume de fluido usado para calcular a massa específica embora pequeno é muito maior que um átomo e portanto contínuo com a mesma massa específica em todos os pontos e não granulado por causa da presença de átomos Além disso em muitos casos supomos que a massa específica do fluido é a mesma em todos os elementos de volume do corpo considerado Essas duas hipóteses permitem escrever a massa específica na forma 𝜌 𝑚 𝑉 𝑘𝑔 𝑚3 2 22 Massa específica Quando um fluido como a água está em contato com uma superfície sólida o fluido exerce sobre a superfície uma foça normal perpendicular em cada ponto da superfície A força por unidade de área é a chamada pressão P do fluido dada por 𝑃 𝐹 𝐴 𝑁 𝑚2 3 Sendo que no sistema internacional de medidas 𝑁𝑚2 é chamada de pascal Pa de modo que 1 𝑃𝑎 1 𝑁 𝑚2 4 Se a pressão de um corpo aumenta a razão entre o aumento de pressão Δ𝑃 e o decréscimo relativo de volume Δ𝑉 𝑉 é o chamado módulo volumétrico 𝐵 Δ𝑃 Δ𝑉 𝑉 5 3 Fluidos em repouso Como todo mergulhador sabe a pressão aumenta com a profundidade abaixo da interface arágua O medidor de profundidade usado pelos mergulhadores é na verdade um sensor de pressão semelhante ao da Figura 01 Figura 1 a Um recipiente cheio de fluido com um pequeno sensor de pressão mostrado em b A pressão é medida pela posição relativa do êmbolo móvel Fonte Halliday Vol2 2016 Como todo alpinista sabe a pressão diminui com a altitude acima do nível do mar As pressões encontradas pelos mergulhadores e alpinistas são chamadas de pressões hidrostáticas porque se devem a fluidos estáticos em repouso Vamos agora obter uma expressão para a pressão hidrostática em função da profundidade ou da altitude Definimos um eixo y vertical com a origem na interface arágua e o sentido positivo para cima e consideramos a água contida em um cilindro imaginário circular reto de bases A horizontais Nesse caso 𝑦1 e 𝑦2 ambos números negativos são as profundidades abaixo da superfície das bases superior e inferior do cilindro respectivamente A figura 2e mostra o diagrama de corpo livre da água do cilindro A água contida no cilindro está em equilíbrio estático ou seja está em repouso e a resultante das forças que agem sobre a água do cilindro é nula A água do cilindro está sujeita a três forças verticais a força 𝐹1 age sobre a superfície superior do cilindro e se deve à água que está acima do cilindro figura 2b A força 𝐹2 age sobre a superfície inferior do cilindro e se deve à água que está abaixo do cilindro figura 2c Figura 2 a Um tanque com água no qual uma parte da água está contida em um cilindro imaginário com uma base horizontal de área A bd Uma força 1 age sobre a superfície superior do cilindro uma força 2 age sobre a superfície inferior do cilindro a força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por m e Diagrama de corpo livre do volume de água Fonte Halliday Vol2 2016 A força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por 𝑚𝑔 em que m é a massa da água contida no cilindro figura 2d De modo que o equilíbrio dessas forças pode ser escrito da seguinte forma 𝐹2 𝐹1 𝑚𝑔 6 Porém 𝐹1 𝑝1𝐴 𝐹2 𝑝2𝐴 𝑚 𝜌𝑉 7 Assim 𝑝2𝐴 𝑝1𝐴 𝜌𝐴𝑔𝑦1 𝑦2 8 Logo 𝑝2 𝑝1 𝜌𝑔𝑦1 𝑦2 9 A equação 9 pode ser usada para determinar a pressão tanto em um líquido em função da profundidade como na atmosfera em função da altitude ou altura No primeiro caso suponha que estejamos interessados em conhecer a pressão p a uma profundidade h abaixo da superfície do líquido Nesse caso escolhemos o nível 1 como a superfície o nível 2 como uma distância ℎ abaixo do nível 1 como na figura 2 e 𝑝0 como a pressão atmosférica na superfície Fazendo 𝑦1 0 𝑝1 𝑝0 𝑒 𝑦2 ℎ 𝑝2 𝑝 10 Temos que 𝑝 𝑝0 𝜌𝑔ℎ 11 Percebese que na equação acima a pressão a uma dada profundidade não depende de nenhuma dimensão horizontal Desta forma temse a seguinte definição A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio estático depende da profundidade do ponto mas não da dimensão horizontal do fluido ou do recipiente Na Eq 11 𝑝 é chamada de pressão total ou pressão absoluta no nível 2 Para compreender por que observe na figura 3 que a pressão 𝑝 no nível 2 é a soma de duas parcelas 1 𝑝0 a pressão da atmosfera que é aplicada à superfície do líquido e 2 𝑟𝑔ℎ a pressão do líquido que está acima do nível 2 que é aplicada ao nível 2 Figura 3 A pressão p aumenta com a profundidade h abaixo da superfície do líquido Fonte Halliday Vol2 2016 A diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica é chamada de pressão manométrica O nome se deve ao uso de um instrumento chamado manômetro para medir a diferença de pressão Para a situação da figura 3 a pressão manométrica é 𝑟𝑔ℎ 4 Medidores de pressão 41 Barômetro de mercúrio A figura 4a mostra um barômetro de mercúrio simples um aparelho usado para medir a pressão atmosférica Um tubo de vidro foi enchido com mercúrio e introduzido com a extremidade aberta para baixo em um recipiente cheio de mercúrio O espaço acima da coluna de mercúrio contém apenas vapor de mercúrio cuja pressão é tão baixa à temperatura ambiente que pode ser desprezada Podemos usar a Eq 9 para determinar a pressão atmosférica p0 em termos da altura h da coluna de mercúrio Chamamos de 1 o nível da interface armercúrio e de 2 o nível do alto da coluna de mercúrio figura 4 Em seguida fazemos 𝑦1 0 𝑝1 𝑝0 𝑒 𝑦2 ℎ 𝑝2 0 12 Assim 𝑝0 𝜌𝑔ℎ 13 Sendo 𝜌 a massa específica do mercúrio Figura 4 a Um barômetro de mercúrio b Outro barômetro de mercúrio A distância h é a mesma nos dois casos Fonte Halliday Vol2 2016 Para uma dada pressão a altura h da coluna de mercúrio não depende da área de seção reta do tubo vertical O barômetro de mercúrio mais sofisticado da figura 4b fornece a mesma leitura que o da figura 4a tudo que importa é a distância vertical h entre os níveis de mercúrio A Eq 13 mostra que para uma dada pressão a altura da coluna de mercúrio depende do valor de g no local em que se encontra o barômetro e da massa específica do mercúrio que varia com a temperatura A altura da coluna em milímetros é numericamente igual à pressão em torr apenas se o barômetro estiver em um local em que g tem o valorpadrão de 980665 𝑚 𝑠2 e se a temperatura do mercúrio for 0º C Se essas condições não forem satisfeitas e raramente o são pequenas correções devem ser feitas para que a altura da coluna de mercúrio possa ser lida como pressão 42 Manômetro de Tubo Aberto Um manômetro de tubo aberto figura 5 usado para medir a pressão manométrica 𝑝𝑚 de um gás consiste em um tubo em forma de U contendo um líquido com uma das extremidades ligada a um recipiente cuja pressão manométrica se deseja medir e a outra aberta para a atmosfera Figura 5 Um manômetro de tubo aberto usado para medir a pressão manométrica do gás contido no tanque da esquerda O lado direito do tubo em U está aberto para a atmosfera Fonte Halliday Vol2 2016 Podemos usar a Eq 8 para determinar a pressão manométrica em termos da altura ℎ mostrada na figura 5 Vamos escolher os níveis 1 e 2 como na figura 5 Fazendo 𝑦1 0 𝑝1 𝑝0 𝑒 𝑦2 2ℎ 𝑝2 𝑝 14 Assim 𝑝𝑚 𝑝 𝑝0 𝜌𝑔ℎ 15 em que 𝜌 é a massa específica do líquido contido no tubo A pressão manométrica 𝑝𝑚 é diretamente proporcional a h 5 Princípio de Pascal Quando apertamos uma extremidade de um tubo de pasta de dente para fazer a pasta sair pela outra extremidade estamos pondo em prática o princípio de Pascal Esse princípio é também usado na manobra de Heimlich na qual uma pressão aplicada ao abdômen é transmitida para a garganta liberando um pedaço de comida ali alojado O princípio foi enunciado com clareza pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do SI Uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente Figura 6 Bolinhas de chumbo colocadas sobre o êmbolo criam uma pressão 𝑝𝑒𝑥𝑡 no alto de um líquido incompressível confinado Se mais bolinhas de chumbo são colocadas sobre o êmbolo fazendo aumentar 𝑝𝑒𝑥𝑡 a pressão aumenta do mesmo valor em todos os pontos do líquido Fonte Halliday Vol2 2016 51 Demonstração do Princípio de Pascal Considere o caso no qual o fluido incompressível é um líquido contido em um cilindro como na figura 6 O cilindro é fechado por um êmbolo no qual repousa um recipiente com bolinhas de chumbo A atmosfera o recipiente e as bolinhas de chumbo exercem uma pressão 𝑝𝑒𝑥𝑡 sobre o êmbolo e portanto sobre o líquido A pressão p em qualquer ponto P do líquido é dada por 𝑝 𝑝𝑒𝑥𝑡 𝜌𝑔ℎ 16 Vamos adicionar algumas bolinhas de chumbo ao recipiente para aumentar 𝑝𝑒𝑥𝑡 de um valor 𝛥𝑝𝑒𝑥𝑡 Como os valores dos parâmetros ρ g e h da Eq 16 permanecem os mesmos a variação de pressão no ponto P é Δ𝑝 Δ𝑝𝑒𝑥𝑡 17 Como a variação de pressão não depende de h é a mesma para todos os pontos do interior do líquido como afirma o princípio de Pascal Figura 7 Um macaco hidráulico pode ser usado para amplificar a força 𝐹 𝑒 mas não o trabalho que é o mesmo para as forças de entrada e de saída Fonte Halliday Vol2 2016 52 O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico A figura 7 mostra a relação entre o princípio de Pascal e o macaco hidráulico Suponha que uma força externa de módulo 𝐹𝑒 seja aplicada de cima para baixo ao êmbolo da esquerda ou de entrada cuja área é 𝐴𝑒 Um líquido incompressível produz uma força de baixo para cima de módulo 𝐹𝑠 no êmbolo da direita ou de saída cuja área é 𝐴𝑠 Para manter o sistema em equilíbrio deve existir uma força para baixo de módulo 𝐹𝑠 no êmbolo de saída exercida por uma carga externa não mostrada na figura A força 𝐹 𝑒 aplicada no lado esquerdo e a força 𝐹 𝑠 para baixo exercida pela carga no lado direito produzem uma variação 𝛥𝑝 da pressão do líquido que é dada por Δ𝑝 𝐹𝑒 𝐴𝑒 𝐹𝑠 𝐴𝑆 18 Resultando em 𝐹𝑠 𝐹𝑒 𝐴𝑠 𝐴𝑒 19 Quando se coloca o êmbolo de entrada para baixo de uma distância 𝑑𝑒 o êmbolo de saída se desloca par cima de uma distância 𝑑𝑠 de modo que o mesmo volume V de líquido incompressível é deslocado pelos dois êmbolos Assim 𝑉 𝐴𝑒𝑑𝑒 𝐴𝑠𝑑𝑠 20 Logo 𝑑𝑠 𝐴𝑒 𝐴𝑠 𝑑𝑒 21 Portanto o trabalho realizado pelo êmbolo de saída é dado por 𝑊 𝐹𝑠𝑑𝑠 𝐹𝑒𝐴𝑠 𝐴𝑒 𝑑𝑒𝐴𝑒 𝐴𝑠 𝐹𝑒𝑑𝑒 22 Desta forma a equação 22 mostra que trabalho realizado sobre o êmbolo de entrada é o mesmo trabalho realizado pelo êmbolo de saída ao erguer uma carga Com isso podese afirmar o seguinte acerca do macaco hidráulico Com um macaco hidráulico uma força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor 6 Princípio de Arquimedes A figura 8 mostra uma estudante em uma piscina manuseando um saco plástico muito fino de massa desprezível cheio dágua A jovem observa que o saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático ou seja não tendem a subir nem a descer A força gravitacional para baixo g a que a água contida no saco está submetida é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que está do lado de fora do saco Figura 8 Um saco plástico de massa desprezível cheio dágua em equilíbrio estático em uma piscina A força gravitacional experimentada pelo saco é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que o cerca Fonte Halliday Vol2 2016 A força para cima que recebe o nome de força de empuxo e é representada pelo símbolo 𝐹 𝑒 se deve ao fato de que a pressão da água que envolve o saco aumenta com a profundidade Assim a pressão na parte inferior do saco é maior que na parte superior o que faz com que as forças a que o saco está submetido devido à pressão sejam maiores em módulo na parte de baixo do saco do que na parte de cima Algumas dessas forças estão representadas na figura 9a em que o espaço ocupado pelo saco foi deixado vazio Figura 9a A água que está em volta da cavidade produz um empuxo para cima sobre qualquer material que ocupe a cavidade b No caso de uma pedra de mesmo volume que a cavidade a força gravitacional é maior que o empuxo c No caso de um pedaço de madeira de mesmo volume a força gravitacional é menor que o empuxo Fonte Halliday Vol2 2016 Note que os vetores que representam as forças na parte de baixo do saco com componentes para cima são mais compridos que os vetores que representam as forças na parte de cima do saco com componentes para baixo Quando somamos vetorialmente todas as forças exercidas pela água sobre o saco as componentes horizontais se cancelam e a soma das componentes verticais é o empuxo 𝐹 𝑒 que age sobre o saco A força 𝐹 𝑒 está representada à direita da piscina na figura 9a Como o saco de água está em equilíbrio estático o módulo de 𝐹 𝑒 é igual ao módulo 𝑚𝑓𝑔 da força gravitacional 𝐹 𝑔 que age sobre o saco com água𝐹𝑒 𝑚𝑓𝑔 O índice 𝑓 significa fluido no caso a água Em palavras o módulo do empuxo é igual ao peso da água contida no saco Na figurai 9b substituímos o saco plástico com água por uma pedra que ocupa um volume igual ao do espaço vazio da figura 9a Dizemos que a pedra desloca a água ou seja ocupa o espaço que de outra forma seria ocupado pela água Como a forma da cavidade não foi alterada as forças na superfície da cavidade são as mesmas que quando o saco plástico com água estava nesse lugar Assim o mesmo empuxo para cima que agia sobre o saco plástico agora age sobre a pedra ou seja o módulo 𝐹𝐸 do empuxo é igual a 𝑚𝑓𝑔 o peso da água deslocada pela pedra Ao contrário do saco com água a pedra não está em equilíbrio estático A força gravitacional 𝐹 𝑔 para baixo que age sobre a pedra tem um módulo maior que o empuxo para cima como mostra o diagrama de corpo livre da figura 9b Assim a pedra sofre uma aceleração para baixo e desce até o fundo da piscina Vamos agora preencher a cavidade da figura 9a com um pedaço de madeira como na figura 9c Mais uma vez nada mudou com relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade de modo que o módulo 𝐹𝐸 do empuxo é igual a 𝑚𝑓𝑔 o peso da água deslocada O pedaço de madeira como a pedra não está em equilíbrio estático mas nesse caso o módulo 𝐹𝑔 da força gravitacional é menor que o módulo 𝐹𝐸 do empuxo veja o diagrama à direita da piscina de modo que a madeira sofre uma aceleração para cima e sobe até a superfície Em suma Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido uma foça de empuxo 𝐹 𝐸 exercida pelo fluido age sobre o corpo A força é dirigida par cima e tem um módulo igual ao peso 𝑚𝑓𝑔 do fluido deslocado pelo corpo De modo que o módulo da força de empuxo é dado por 𝐹𝐸 𝑚𝑓𝑔 23 Onde 𝑚𝑓 é a massa do fluido deslocado pelo corpo 61 Flutuação Quando pousamos um pedaço de madeira na superfície de uma piscina a madeira começa a afundar na água porque é puxada para baixo pela força gravitacional À medida que o bloco desloca mais e mais água o módulo 𝐹𝐸 da força de empuxo que aponta para cima aumenta Finalmente 𝐹𝐸 se torna igual ao módulo 𝐹𝑔 da força gravitacional e a madeira para de afundar A partir desse momento o pedaço de madeira permanece em equilíbrio estático e dizemos que está flutuando na água Quando um corpo flutua em um fluido o módulo 𝐹𝐸 da força de empuxo que age sobre o corpo é igual ao módulo 𝐹𝑔 da força gravitacional a que o corpo está submetido Em síntese 𝐹𝐸 𝐹𝑔 24 Sendo que a equação acima pode ser escrita como 𝐹𝑔 𝑚𝑓𝑔 25 7 Equação da continuidade A equação de continuidade é uma consequência da aplicação da conservação da massa no caso do escoamento de um fluido incompressível logo de acordo com a figura 10 o volume que entra pela extremidade esquerda deve igual o volume que sai da extremidade direita do tubo Figura 10 Um fluido escoa da esquerda para a direita com vazão constante por um segmento de tubo de comprimento L A velocidade do fluido é 𝑣1 no lado esquerdo e 𝑣2 no lado direito A área de seção reta é 𝐴1 no lado esquerdo e 𝐴2 no lado direito Do instante t em a até o instante t Δt em b a quantidade de fluido mostrada em cor violeta entra do lado esquerdo e uma quantidade igual mostrada em cor verde sai do lado direito Fonte Halliday Vol2 2016 O volume do fluido no intervalo de tempo Δ𝑡 é dado por Δ𝑉 𝐴Δ𝑥 𝐴𝑣Δ𝑡 26 Aplicando a equação aos dois lados do tubo 𝐴1𝑣1 𝐴2𝑣2 27 A equação 27 se aplica a qualquer tubo de fluxo Todo fluido contido em um tubo de fluxo permanece indefinidamente em seu interior logo 𝑅𝑣 𝐴𝑣 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 28 Onde 𝑅𝑣 é a vazão do fluido volume que passa por uma seção reta por unidade de tempo sua unidade no SI é m³s Figura 11 Um tubo de fluxo é definido pelas linhas de fluxo mais afastadas do eixo do tubo A vazão é a mesma em todas as seções retas de um tubo de fluxo Fonte Halliday Vol2 2016 8 Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli é aplicada a um fluido ideal que escoa com vazão constante através de um tubo de modo que em um intervalor de tempo Δ𝑡 o volume Δ𝑉 do fluido passa pela entrada do tubo como o fluido é incompressível o mesmo volume sai pela outra extremidade do tubo o que pode ser visto na figura 12 Figura 12 Um fluido escoa com vazão constante por um trecho de um tubo de comprimento L da extremidade de entrada à esquerda à extremidade de saída à direita Do instante t em a ao instante t Δt em b uma quantidade de fluido representada na cor violeta entra pela extremidade esquerda e uma quantidade igual representada na cor verde sai pela extremidade direita Fonte Halliday Vol2 2016 Aplicando a lei da conservação da energia temos 𝑝1 1 2 𝜌𝑣1 2 𝜌𝑔𝑦1 𝑝2 1 2 𝜌𝑣2 2 𝜌𝑔𝑦2 29 Onde O termo 1 2 𝜌𝑣2 é chamado de energia específica Reescrevendo a equação 29 𝑝 1 2 𝜌𝑣2 𝜌𝑔𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 30 Nas regiões onde as linhas de fluxo estão mais concentradas a velocidade 𝑣 é maior de modo análogo onde as linhas de fluxo estão menos concentradas a velocidade 𝑣 é menor Quando se considera apenas um elemento diferencial do fluido e este se aproxima de uma região mais estreita como a pressão p atrás dele é maior logo ele será acelerado consequentemente sua velocidade irá aumentar Este fenômeno é denominado de Efeito Venturi Analogamente temos Quando se considera apenas um elemento diferencial do fluido e este se aproxima de uma região mais larga como a pressão p atrás dele é menor logo ele será desacelerado consequentemente sua velocidade irá diminuir 9 Referências Bibliográficas David Halliday Robert Resnick e Jearl Walker Fundamentos de Física vol2 Gravitação Ondas e Termodinâmica 9ª Edição 2011 Editora LTC H Moisés Nussenzveig Curso de Física Básica Fluidos oscilações e ondas calor Vol 2 Ed Edgard Blücher 5ª ed 2014 P A Tipler e G Mosca Física vol 1 5ª ed LTC 2006 Relatório de Fluidos Sumário 1 Introdução1 2 Massa específica e pressão2 21 Massa específica3 22 Massa específica3 3 Fluidos em repouso4 4 Medidores de pressão8 41 Barômetro de mercúrio8 42 Manômetro de Tubo Aberto9 5 Princípio de Pascal11 51 Demonstração do Princípio de Pascal11 52 O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico12 6 Princípio de Arquimedes14 61 Flutuação16 7 Equação da continuidade17 8 Equação de Bernoulli19 1 Introdução Fluido qualquer líquido ou gás ou geralmente qualquer material que não possa sustentar uma força tangencial ou de cisalhamento quando em repouso e que sofra uma mudança contínua de forma quando submetido a tal tensão Essa mudança contínua e irrecuperável de posição de uma parte do material em relação a outra parte quando sob tensão de cisalhamento constitui fluxo uma propriedade característica dos fluidos Em contraste as forças de cisalhamento dentro de um sólido elástico mantido em uma posição torcida ou flexionada são mantidas o sólido não sofre escoamento e pode retornar à sua forma original Os fluidos comprimidos também podem retornar à sua forma original mas enquanto a compressão é mantida as forças dentro do fluido e entre o fluido e o recipiente não são forças de cisalhamento O fluido exerce uma pressão para fora chamada pressão hidrostática que está em todos os lugares perpendiculares às superfícies do recipiente Várias simplificações ou modelos de fluidos foram desenvolvidos desde o último quartel do século 18 para analisar o fluxo de fluidos O modelo mais simples chamado defluido perfeito ou ideal é aquele que é incapaz de conduzir calor ou de oferecer arrasto nas paredes de um tubo ou resistência interna a uma porção que escoa sobre outra Assim um fluido perfeito mesmo fluindo não pode sustentar uma força tangencial ou seja falta viscosidade e também é referido como um fluido incompressível 2 Massa específica e pressão 21 Massa específica Para determinar a massa específica ρde um fluido em um ponto do material isolase um pequeno elemento de um volume ΔV em torno do ponto e medese a massa Δ m do fluido contido nesse elemento de volume A massa específica é dada por ρ Δm ΔV 1 Teoricamente a massa específica em um ponto de um fluido é o limite dessa razão quando o volume do elemento ΔV tende a zero Na prática supomos que o volume de fluido usado para calcular a massa específica embora pequeno é muito maior que um átomo e portanto contínuo com a mesma massa específica em todos os pontos e não granulado por causa da presença de átomos Além disso em muitos casos supomos que a massa específica do fluido é a mesma em todos os elementos de volume do corpo considerado Essas duas hipóteses permitem escrever a massa específica na forma ρm V kg m 32 22 Massa específica Quando um fluido como a água está em contato com uma superfície sólida o fluido exerce sobre a superfície uma foça normal perpendicular em cada ponto da superfície A força por unidade de área é a chamada pressão P do fluido dada por P F A N m 23 Sendo que no sistema internacional de medidas Nm 2 é chamada de pascal Pa de modo que 1Pa1 N m 24 Se a pressão de um corpo aumenta a razão entre o aumento de pressão Δ P e o decréscimo relativo de volume ΔV V é o chamado módulo volumétrico B Δ P ΔV V 5 3 Fluidos em repouso Como todo mergulhador sabe a pressão aumenta com a profundidade abaixo da interface arágua O medidor de profundidade usado pelos mergulhadores é na verdade um sensor de pressão semelhante ao da Figura 01 Figura 1 a Um recipiente cheio de fluido com um pequeno sensor de pressão mostrado em b A pressão é medida pela posição relativa do êmbolo móvel Fonte Halliday Vol2 2016 Como todo alpinista sabe a pressão diminui com a altitude acima do nível do mar As pressões encontradas pelos mergulhadores e alpinistas são chamadas de pressões hidrostáticas porque se devem a fluidos estáticos em repouso Vamos agora obter uma expressão para a pressão hidrostática em função da profundidade ou da altitude Definimos um eixo y vertical com a origem na interface arágua e o sentido positivo para cima e consideramos a água contida em um cilindro imaginário circular reto de bases A horizontais Nesse caso y1 e y2 ambos números negativos são as profundidades abaixo da superfície das bases superior e inferior do cilindro respectivamente A figura 2e mostra o diagrama de corpo livre da água do cilindro A água contida no cilindro está em equilíbrio estático ou seja está em repouso e a resultante das forças que agem sobre a água do cilindro é nula A água do cilindro está sujeita a três forças verticais a força F1 age sobre a superfície superior do cilindro e se deve à água que está acima do cilindro figura 2b A força F2 age sobre a superfície inferior do cilindro e se deve à água que está abaixo do cilindro figura 2c Figura 2 a Um tanque com água no qual uma parte da água está contida em um cilindro imaginário com uma base horizontal de área A bd Uma força 1 age sobre a superfície superior do cilindro uma força 2 age sobre a superfície inferior do cilindro a força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por m e Diagrama de corpo livre do volume de água Fonte Halliday Vol2 2016 A força gravitacional que age sobre a água do cilindro está representada por m g em que m é a massa da água contida no cilindro figura 2d De modo que o equilíbrio dessas forças pode ser escrito da seguinte forma F2F1mg6 Porém F1p1 A F2p2 A mρV 7 Assim p2 Ap1 AρAg y1y28 Logo p2p1ρg y1y29 A equação 9 pode ser usada para determinar a pressão tanto em um líquido em função da profundidade como na atmosfera em função da altitude ou altura No primeiro caso suponha que estejamos interessados em conhecer a pressão p a uma profundidade h abaixo da superfície do líquido Nesse caso escolhemos o nível 1 como a superfície o nível 2 como uma distância h abaixo do nível 1 como na figura 2 e p0 como a pressão atmosférica na superfície Fazendo y10 p1p0e y2h p2p10 Temos que pp0 ρgh11 Percebese que na equação acima a pressão a uma dada profundidade não depende de nenhuma dimensão horizontal Desta forma temse a seguinte definição A pressão em um ponto de um fluido em equilíbrio estático depende da profundidade do ponto mas não da dimensão horizontal do fluido ou do recipiente Na Eq 11 p é chamada de pressão total ou pressão absoluta no nível 2 Para compreender por que observe na figura 3 que a pressão p no nível 2 é a soma de duas parcelas 1 p0 a pressão da atmosfera que é aplicada à superfície do líquido e 2 rgh a pressão do líquido que está acima do nível 2 que é aplicada ao nível 2 Figura 3 A pressão p aumenta com a profundidade h abaixo da superfície do líquido Fonte Halliday Vol2 2016 A diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica é chamada de pressão manométrica O nome se deve ao uso de um instrumento chamado manômetro para medir a diferença de pressão Para a situação da figura 3 a pressão manométrica é rgh 4 Medidores de pressão 41 Barômetro de mercúrio A figura 4a mostra um barômetro de mercúrio simples um aparelho usado para medir a pressão atmosférica Um tubo de vidro foi enchido com mercúrio e introduzido com a extremidade aberta para baixo em um recipiente cheio de mercúrio O espaço acima da coluna de mercúrio contém apenas vapor de mercúrio cuja pressão é tão baixa à temperatura ambiente que pode ser desprezada Podemos usar a Eq 9 para determinar a pressão atmosférica p0 em termos da altura h da coluna de mercúrio Chamamos de 1 o nível da interface armercúrio e de 2 o nível do alto da coluna de mercúrio figura 4 Em seguida fazemos y10 p1p0e y2h p2012 Assim p0ρgh13 Sendo ρ a massa específica do mercúrio Figura 4 a Um barômetro de mercúrio b Outro barômetro de mercúrio A distância h é a mesma nos dois casos Fonte Halliday Vol2 2016 Para uma dada pressão a altura h da coluna de mercúrio não depende da área de seção reta do tubo vertical O barômetro de mercúrio mais sofisticado da figura 4b fornece a mesma leitura que o da figura 4a tudo que importa é a distância vertical h entre os níveis de mercúrio A Eq 13 mostra que para uma dada pressão a altura da coluna de mercúrio depende do valor de g no local em que se encontra o barômetro e da massa específica do mercúrio que varia com a temperatura A altura da coluna em milímetros é numericamente igual à pressão em torr apenas se o barômetro estiver em um local em que g tem o valorpadrão de 980665 m s 2 e se a temperatura do mercúrio for 0º C Se essas condições não forem satisfeitas e raramente o são pequenas correções devem ser feitas para que a altura da coluna de mercúrio possa ser lida como pressão 42 Manômetro de Tubo Aberto Um manômetro de tubo aberto figura 5 usado para medir a pressão manométrica pm de um gás consiste em um tubo em forma de U contendo um líquido com uma das extremidades ligada a um recipiente cuja pressão manométrica se deseja medir e a outra aberta para a atmosfera Figura 5 Um manômetro de tubo aberto usado para medir a pressão manométrica do gás contido no tanque da esquerda O lado direito do tubo em U está aberto para a atmosfera Fonte Halliday Vol2 2016 Podemos usar a Eq 8 para determinar a pressão manométrica em termos da altura h mostrada na figura 5 Vamos escolher os níveis 1 e 2 como na figura 5 Fazendo y10 p1p0e y22h p2p14 Assim pmpp0ρgh15 em que ρ é a massa específica do líquido contido no tubo A pressão manométrica pm é diretamente proporcional a h 5 Princípio de Pascal Quando apertamos uma extremidade de um tubo de pasta de dente para fazer a pasta sair pela outra extremidade estamos pondo em prática o princípio de Pascal Esse princípio é também usado na manobra de Heimlich na qual uma pressão aplicada ao abdômen é transmitida para a garganta liberando um pedaço de comida ali alojado O princípio foi enunciado com clareza pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do SI Uma variação da pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todas as partes do fluido e às paredes do recipiente Figura 6 Bolinhas de chumbo colocadas sobre o êmbolo criam uma pressão pext no alto de um líquido incompressível confinado Se mais bolinhas de chumbo são colocadas sobre o êmbolo fazendo aumentar pext a pressão aumenta do mesmo valor em todos os pontos do líquido Fonte Halliday Vol2 2016 51 Demonstração do Princípio de Pascal Considere o caso no qual o fluido incompressível é um líquido contido em um cilindro como na figura 6 O cilindro é fechado por um êmbolo no qual repousa um recipiente com bolinhas de chumbo A atmosfera o recipiente e as bolinhas de chumbo exercem uma pressão pext sobre o êmbolo e portanto sobre o líquido A pressão p em qualquer ponto P do líquido é dada por ppext ρgh16 Vamos adicionar algumas bolinhas de chumbo ao recipiente para aumentar pext de um valor Δ pext Como os valores dos parâmetros ρ g e h da Eq 16 permanecem os mesmos a variação de pressão no ponto P é Δ pΔ pext17 Como a variação de pressão não depende de h é a mesma para todos os pontos do interior do líquido como afirma o princípio de Pascal Figura 7 Um macaco hidráulico pode ser usado para amplificar a força Fe mas não o trabalho que é o mesmo para as forças de entrada e de saída Fonte Halliday Vol2 2016 52 O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico A figura 7 mostra a relação entre o princípio de Pascal e o macaco hidráulico Suponha que uma força externa de módulo Fe seja aplicada de cima para baixo ao êmbolo da esquerda ou de entrada cuja área é Ae Um líquido incompressível produz uma força de baixo para cima de módulo Fs no êmbolo da direita ou de saída cuja área é As Para manter o sistema em equilíbrio deve existir uma força para baixo de módulo Fs no êmbolo de saída exercida por uma carga externa não mostrada na figura A força Fe aplicada no lado esquerdo e a força Fs para baixo exercida pela carga no lado direito produzem uma variação Δ p da pressão do líquido que é dada por Δ p Fe Ae Fs AS 18 Resultando em FsFe As Ae19 Quando se coloca o êmbolo de entrada para baixo de uma distância de o êmbolo de saída se desloca par cima de uma distância d s de modo que o mesmo volume V de líquido incompressível é deslocado pelos dois êmbolos Assim VAedeAsds20 Logo d s Ae Asde21 Portanto o trabalho realizado pelo êmbolo de saída é dado por W Fsd s Fe As Ae de Ae As Fe de22 Desta forma a equação 22 mostra que trabalho realizado sobre o êmbolo de entrada é o mesmo trabalho realizado pelo êmbolo de saída ao erguer uma carga Com isso podese afirmar o seguinte acerca do macaco hidráulico Com um macaco hidráulico uma força aplicada ao longo de uma dada distância pode ser transformada em uma força maior aplicada ao longo de uma distância menor 6 Princípio de Arquimedes A figura 8 mostra uma estudante em uma piscina manuseando um saco plástico muito fino de massa desprezível cheio dágua A jovem observa que o saco e a água nele contida estão em equilíbrio estático ou seja não tendem a subir nem a descer A força gravitacional para baixo g a que a água contida no saco está submetida é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que está do lado de fora do saco Figura 8 Um saco plástico de massa desprezível cheio dágua em equilíbrio estático em uma piscina A força gravitacional experimentada pelo saco é equilibrada por uma força para cima exercida pela água que o cerca Fonte Halliday Vol2 2016 A força para cima que recebe o nome de força de empuxo e é representada pelo símbolo Fe se deve ao fato de que a pressão da água que envolve o saco aumenta com a profundidade Assim a pressão na parte inferior do saco é maior que na parte superior o que faz com que as forças a que o saco está submetido devido à pressão sejam maiores em módulo na parte de baixo do saco do que na parte de cima Algumas dessas forças estão representadas na figura 9a em que o espaço ocupado pelo saco foi deixado vazio Figura 9a A água que está em volta da cavidade produz um empuxo para cima sobre qualquer material que ocupe a cavidade b No caso de uma pedra de mesmo volume que a cavidade a força gravitacional é maior que o empuxo c No caso de um pedaço de madeira de mesmo volume a força gravitacional é menor que o empuxo Fonte Halliday Vol2 2016 Note que os vetores que representam as forças na parte de baixo do saco com componentes para cima são mais compridos que os vetores que representam as forças na parte de cima do saco com componentes para baixo Quando somamos vetorialmente todas as forças exercidas pela água sobre o saco as componentes horizontais se cancelam e a soma das componentes verticais é o empuxo Fe que age sobre o saco A força Fe está representada à direita da piscina na figura 9a Como o saco de água está em equilíbrio estático o módulo de Fe é igual ao módulo mf g da força gravitacional Fg que age sobre o saco com águaFemf g O índice f significa fluido no caso a água Em palavras o módulo do empuxo é igual ao peso da água contida no saco Na figurai 9b substituímos o saco plástico com água por uma pedra que ocupa um volume igual ao do espaço vazio da figura 9a Dizemos que a pedra desloca a água ou seja ocupa o espaço que de outra forma seria ocupado pela água Como a forma da cavidade não foi alterada as forças na superfície da cavidade são as mesmas que quando o saco plástico com água estava nesse lugar Assim o mesmo empuxo para cima que agia sobre o saco plástico agora age sobre a pedra ou seja o módulo FE do empuxo é igual a mf g o peso da água deslocada pela pedra Ao contrário do saco com água a pedra não está em equilíbrio estático A força gravitacional Fg para baixo que age sobre a pedra tem um módulo maior que o empuxo para cima como mostra o diagrama de corpo livre da figura 9b Assim a pedra sofre uma aceleração para baixo e desce até o fundo da piscina Vamos agora preencher a cavidade da figura 9a com um pedaço de madeira como na figura 9c Mais uma vez nada mudou com relação às forças que agem sobre a superfície da cavidade de modo que o módulo FE do empuxo é igual a mf g o peso da água deslocada O pedaço de madeira como a pedra não está em equilíbrio estático mas nesse caso o módulo Fg da força gravitacional é menor que o módulo FE do empuxo veja o diagrama à direita da piscina de modo que a madeira sofre uma aceleração para cima e sobe até a superfície Em suma Quando um corpo está total ou parcialmente submerso em um fluido uma foça de empuxo FE exercida pelo fluido age sobre o corpo A força é dirigida par cima e tem um módulo igual ao peso mf g do fluido deslocado pelo corpo De modo que o módulo da força de empuxo é dado por FEmf g23 Onde mf é a massa do fluido deslocado pelo corpo 61 Flutuação Quando pousamos um pedaço de madeira na superfície de uma piscina a madeira começa a afundar na água porque é puxada para baixo pela força gravitacional À medida que o bloco desloca mais e mais água o módulo FE da força de empuxo que aponta para cima aumenta Finalmente FE se torna igual ao módulo Fg da força gravitacional e a madeira para de afundar A partir desse momento o pedaço de madeira permanece em equilíbrio estático e dizemos que está flutuando na água Quando um corpo flutua em um fluido o módulo FE da força de empuxo que age sobre o corpo é igual ao módulo Fg da força gravitacional a que o corpo está submetido Em síntese FEFg24 Sendo que a equação acima pode ser escrita como Fgmf g25 7 Equação da continuidade A equação de continuidade é uma consequência da aplicação da conservação da massa no caso do escoamento de um fluido incompressível logo de acordo com a figura 10 o volume que entra pela extremidade esquerda deve igual o volume que sai da extremidade direita do tubo Figura 10 Um fluido escoa da esquerda para a direita com vazão constante por um segmento de tubo de comprimento L A velocidade do fluido é v1 no lado esquerdo e v2 no lado direito A área de seção reta é A1 no lado esquerdo e A2 no lado direito Do instante t em a até o instante t Δt em b a quantidade de fluido mostrada em cor violeta entra do lado esquerdo e uma quantidade igual mostrada em cor verde sai do lado direito Fonte Halliday Vol2 2016 O volume do fluido no intervalo de tempo Δt é dado por ΔV A Δ xAv Δt 26 Aplicando a equação aos dois lados do tubo A1v1A2v227 A equação 27 se aplica a qualquer tubo de fluxo Todo fluido contido em um tubo de fluxo permanece indefinidamente em seu interior logo RvAvconstante28 Onde Rv é a vazão do fluido volume que passa por uma seção reta por unidade de tempo sua unidade no SI é m³s Figura 11 Um tubo de fluxo é definido pelas linhas de fluxo mais afastadas do eixo do tubo A vazão é a mesma em todas as seções retas de um tubo de fluxo Fonte Halliday Vol2 2016 8 Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli é aplicada a um fluido ideal que escoa com vazão constante através de um tubo de modo que em um intervalor de tempo Δt o volume ΔV do fluido passa pela entrada do tubo como o fluido é incompressível o mesmo volume sai pela outra extremidade do tubo o que pode ser visto na figura 12 Figura 12 Um fluido escoa com vazão constante por um trecho de um tubo de comprimento L da extremidade de entrada à esquerda à extremidade de saída à direita Do instante t em a ao instante t Δt em b uma quantidade de fluido representada na cor violeta entra pela extremidade esquerda e uma quantidade igual representada na cor verde sai pela extremidade direita Fonte Halliday Vol2 2016 Aplicando a lei da conservação da energia temos p11 2 ρv1 2ρg y1p21 2 ρv2 2ρg y229 Onde O termo 1 2 ρv 2 é chamado de energia específica Reescrevendo a equação 29 p 1 2 ρv 2ρgyconstante30 Nas regiões onde as linhas de fluxo estão mais concentradas a velocidade v é maior de modo análogo onde as linhas de fluxo estão menos concentradas a velocidade v é menor Quando se considera apenas um elemento diferencial do fluido e este se aproxima de uma região mais estreita como a pressão p atrás dele é maior logo ele será acelerado consequentemente sua velocidade irá aumentar Este fenômeno é denominado de Efeito Venturi Analogamente temos Quando se considera apenas um elemento diferencial do fluido e este se aproxima de uma região mais larga como a pressão p atrás dele é menor logo ele será desacelerado consequentemente sua velocidade irá diminuir 9 Referências Bibliográficas David Halliday Robert Resnick e Jearl Walker Fundamentos de Física vol2 Gravitação Ondas e Termodinâmica 9ª Edição 2011 Editora LTC H Moisés Nussenzveig Curso de Física Básica Fluidos oscilações e ondas calor Vol 2 Ed Edgard Blücher 5ª ed 2014 P A Tipler e G Mosca Física vol 1 5ª ed LTC 2006