MHS-Movimento-Harmonico-Simples-Oscilacoes-Periodo-e-Frequencia

Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 O que é uma oscilação 11 Período e Frequência Quando nos referimos à palavra oscilação sem dúvida a relacionamos a um movimento específico o movimento vaievem ou de idaevolta Por exemplo a oscilação de uma folha de uma árvore sob ação de um vento A algum movimento de idaevolta podemos diferenciálo de outro a começar pelo seu tempo para completar uma ida e uma volta um ciclo Como exemplo se considerarmos as folhas de uma árvore que oscilam devido à ação do vento como caracterizar seus tempos de oscilação Mediante esse tempo de idae volta tempo para completar um ciclo denominado período 𝑇 Poderíamos novamente caracterizar em relação ao tempo esses movimentos medindo o número de oscilações num determinado tempo a denominada frequência 𝑓 Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Quantos períodos tem seu curso Qual a frequência desses períodos Qual a relação entre período e frequência Qual o período do movimento do ponteiro de horas de um relógio Qual a frequência do movimento do ponteiro de segundos num tempo de 1 minuto Relação entre período e frequência 𝑇 1 𝑓 Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 12 Movimento Harmônico Simples MHS Considere uma esfera numa trajetória circular com velocidade constante em módulo MCU que gira em torno de um anteparo posicionado na horizontal veja figura e que sob luz intensa e com ligar e apagar alternados de lados opostos ao anteparo projeta uma sombra no mesmo Se observarmos a esfera veremos que a sombra de tal esfera descreve um movimento de ida e volta ou seja um movimento oscilatório cos 𝜃 𝑥 𝐴 𝑥 𝐴 cos 𝜃 𝑣𝑃 𝑋 𝐴 𝑥 𝑃 𝑅 𝑥 𝑅 𝐴 𝜃 𝑂 Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Mas sabemos que a posição angular 𝜃 de um objeto em rotação depois de certo tempo depende de seu ponto de partida 𝜃0 e da sua velocidade angular 𝜔 conforme a seguinte equação do MCU 𝜃 𝜃0 𝜔𝑡 Então considerando 𝑅 𝐴 no triângulo POX temos 𝑥𝑡 𝐴 cos𝜃 Substituindo a equação do MCU resulta em 𝑥𝑡 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝜃0 𝑓𝑎𝑠𝑒 Sendo θ0 a fase inicial do movimento oscilatório e harmônico Com o MHS ao longo do eixo x podemos escrever 𝑥𝑡 𝑥𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃0 Qual a fase inicial apresentada no gráfico anterior Descrição gráfica do deslocamento variação de posição no MHS Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Partindo de uma fase inicial 𝜃0 0 e após um determinado tempo 𝑇 a partícula retorna ao ponto de partida Assim podemos escrever 𝑥𝑡 𝑥𝑡 𝑇 Ou seja 𝐴 cos𝜔𝑡 0 𝐴 cos𝜔𝑡 𝑇 Logo cos𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 𝜔𝑇 2𝜋 Sabendo que o período da função cosseno é 2π podemos escrever 𝜔𝑇 2𝜋 ou 𝜔 2𝜋 𝑇 Perceba que a equação anterior por ser escrita também como 𝜔 1 𝑇 2𝜋 𝜔 2𝜋𝑓 Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Que é a frequência angular pulsação E a velocidade Sabendo que 𝑣 𝜔𝑅 E o seno do triângulo em destaque sen 𝜃 𝑣 𝜔𝐴 Teorema dos ângulos de lados mutuamente perpendiculares Ângulos de lados mutuamente perpendiculares são congruentes ou suplementares 𝑣𝑥 𝑣𝑃𝑝 𝑣𝑥 𝑣 𝜔𝐴 𝜃 𝜃 Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 𝑣𝑡 𝜔𝐴 sen𝜔𝑡 𝜃0 De outra maneira sabemos que 𝑣𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐴 cos𝜔𝑡 𝜃0 Então 𝑣𝑡 𝜔𝐴 sen𝜔𝑡 𝜃0 Para o movimento no eixo x a equação fica assim 𝑣𝑡 𝜔𝑥𝑚 sen𝜔𝑡 𝜃0 𝑣𝑥 Da equação da velocidade sen𝜔𝑡 𝜃0 𝑣 𝜔𝐴 E da equação da posição elongação cos𝜔𝑡 𝜃0 𝑥 𝐴 Utilizando a identidade trigonométrica Descrição gráfica da velocidade no MHS Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 sen2 𝑎 cos2 𝑎 1 Obtemos 𝑣 𝜔𝐴 2 𝑥 𝐴 2 1 E finalmente 𝑣2 𝜔2𝐴2 𝑥2 Onde a velocidade é nula Façamos 𝑥 𝐴 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 na equação anterior Qual é a velocidade escalar máxima do MHS Façamos 𝑥 0 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 na equação anterior e obteremos 𝑣𝑚á𝑥 𝜔𝐴 Ainda na equação de 𝑣𝑥 notase que o aumento da posição 𝑥 implica em uma diminuição do módulo de 𝑣 e a diminuição da posição 𝑥 implica em um aumento do módulo de 𝑣 Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 A aceleração Sabendo que 𝑎𝑐 𝑣2 𝑅 𝜔2𝑅 E o cosseno do triângulo em destaque cos 𝜃 𝑎 𝜔2𝐴 𝑎𝑡 𝜔2𝐴 cos𝜔𝑡 𝜃0 Ou diretamente por 𝑎𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝜔𝐴 sen𝜔𝑡 𝜃0 𝑎𝑡 𝜔2𝐴 cos𝜔𝑡 𝜃0 𝑣𝑃 𝐴 𝑃 𝑎𝑥 𝑎 𝑎𝑐𝑃 𝑎𝑥 𝜔2𝐴 𝜃 Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 10 Mas 𝐴 cos𝜔𝑡 𝜃0 𝑥 Então 𝑎 𝜔2𝑥 Qual o significado do sinal da equação anterior Qual é o ponto onde a aceleração é nula Qual é o ponto onde a aceleração é máxima Na equação anterior verificase que o ponto onde a aceleração é máxima é para o deslocamento máximo Então façamos 𝑥 𝐴 extremidades E obtemos 𝑎𝑚á𝑥 𝜔2𝐴 Descrição gráfica da aceleração no MHS Oscilações Aula 1 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 11 A equação 𝑎 𝜔2𝑥 Pode ser escrita como 𝑑2𝑥𝑡 𝑑𝑡2 𝜔2 𝑥𝑡 0 Cuja solução é a função 𝑥𝑡 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜃0 Demonstre a solução da equação diferencial 𝑑2𝑥𝑡 𝑑𝑡2 𝜔2𝑥𝑡 0 Oscilações Aula 2 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Movimento Harmônico Simples MHS 𝑑2𝑥𝑡 𝑑𝑡2 𝜔2 𝑥𝑡 0 𝑥𝑡 𝑥𝑚 cos𝜔𝑡 𝜙 𝑣𝑡 𝜔𝑥𝑚 sen𝜔𝑡 𝜙 𝑎𝑡 𝜔2𝑥𝑚 cos𝜔𝑡 𝜙 𝜔 2𝜋 𝑇 𝑥𝑡 𝑥𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑡 0 𝑣𝑡 𝑣𝑚 𝜔𝑥𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑡 0 𝑣𝑡2 𝜔2𝑥𝑚2 𝑥𝑡2 𝑎𝑡 𝑎𝑚 𝜔2𝑥𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑡 𝑥𝑚 Movimento Oscilatórios Movimentos Periódicos com período constante 𝑓 1 𝑇 Oscilações Aula 2 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Atividade Faça a representação vetorial das grandezas posição velocidade e aceleração de uma partícula em MHS nos pontos 2 1 0 1 2 na figura seguinte utilize a parte superior do eixo horizontal para representações do movimento para direita e a parte inferior para o movimento para esquerda Exemplo 01 CARRON pág473 Um corpo executa MHS em um período de 2 s A amplitude de oscilação é de 3 m e no instante inicial o móvel está no extremo direito da trajetória Pedemse a A função horária da elongação a da velocidade e a da aceleração b A elongação a velocidade e a aceleração em t 1 𝑠 0 1 2 1 2 Oscilações Aula 2 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Exercício 2 CARRON pág474 modificado Um móvel executa um movimento harmônico simples de acordo com a equação 𝑥 2 cos 𝜋 4 𝑡 no SI Determine a A amplitude a velocidade angular o período e a fase inicial do movimento b A velocidade e a aceleração máximas c Esboce os gráficos da posição da velocidade e da aceleração em função do tempo de 0 a 5 s Exercício 3 HALLIDAY 8ª ed pág106 Em um barbeador elétrico a lâmina se move para frente e para trás ao longo de uma distância de 20 mm em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz Determine a a amplitude b a velocidade máxima da lâmina e c o módulo da aceleração máxima da lâmina Resolução Oscilações Aula 2 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Exercício RESOLVIDO ITA 2010 Considere um oscilador harmônico simples composto por uma mola de constante elástica 𝑘 tendo uma extremidade fixada e a outra acoplada a uma partícula de massa 𝑚 O oscilador gira num plano horizontal com velocidade angular constante 𝜔 em torno da extremidade fixa mantendose apenas na direção radial conforme mostra a figura Considerando 𝑅0 a posição de equilíbrio do oscilador para 𝜔 0 podese afirmar que a o movimento é harmônico simples para qualquer que seja velocidade angular 𝜔 b o ponto de equilíbrio é deslocado para 𝑅 𝑅0 c a frequência do MHS cresce em relação ao caso de 𝜔 0 d o quadrado da frequência do MHS depende linearmente do quadrado da velocidade angular e se a partícula tiver carga um campo magnético na direção do eixo de rotação só poderá aumentar a frequência do MHS Resolução D Oscilações Aula 2 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Nas figuras acima R0 distância da extremidade fixa da mola até o centro de oscilação para o sistema não em rotação R distância da extremidade fixa da mola até o centro de oscilação para o sistema em rotação R distância da extremidade fixa da mola até um ponto qualquer da trajetória x deformação da mola x variação da deformação entre o centro de oscilação em rotação e um ponto qualquer da trajetória Para um referencial inercial se o sistema apenas girasse sem oscilar o movimento circular uniforme teria raio R A força atuante sobre a partícula seria apenas a força elástica agindo como resultante centrípeta Teríamos então 2 Rcp el F F m R kx Oscilações Aula 2 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 2 0 m R k R R equação 1 Para o sistema girando e oscilando vamos considerar um referencial fixo ao oscilador referencial nãoinercial Para esse referencial há um movimento oscilatório com uma deformação aparente da mola igual a x quando a partícula está numa posição de raio R R Para esse referencial temos que introduzir a força de inércia ou força centrífuga Fi dirigida para fora oposta à força elástica como mostrado na Fig 2 Obs pela conservação do momento angular a velocidade angular só pode ser considerada constante quando as deformações são pequenas quando comparadas a R Nesse referencial obedecendo ao sentido de orientação a força resultante é R el i F F F ma kx m2R equação 2 Na Fig 2 vemos que x R R0 e R x R Substituindo na equação 2 ma kx R R0 m2 x R ma kx kR R0 m2x m2R equação 4 Substituindo I em IV vem ma kx kR R0 2x kR R0 Fazendo os cancelamentos e isolando a vem 2 k a x m ou Oscilações Aula 2 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 2 k a x m equação 5 Ora a propriedade fundamental de um MHS diz que a aceleração é diretamente proporcional à elongação x A constante de proporcionalidade é o oposto do quadrado da pulsação do movimento oscilatório osc ou seja a 2 osc x a 2f2 x equação 6 Igualando as equações 5 e 6 temos 42 f2 k 2 m f2 2 2 2 k 1 4 m 4 Ou seja o quadrado da frequência do MHS depende linearmente do quadrado da velocidade angular Oscilações Aula 3 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 1 O Pêndulo Simples Pêndulo Ponto Considere uma massa presa a um fio ideal e que solta de um determinado ângulo inicia um movimento oscilatório em local sem resistência do ar Do que dependeria o período de oscilação deste pêndulo Dependeria do ângulo da massa do corpo do comprimento do fio Vamos analisar Oscilações Aula 3 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Do triângulo maior sen 𝜃 𝑥 𝐿 ℎ Verifique na figura que quanto menor o valor de 𝜃 menor também o valor de ℎ Verifique em sua calculadora ou no gráfico seguinte que para 𝜽 bem pequeno próximo de zero temse sen 𝜃 𝜃 ajuste sua calculadora para RAD e simule valores menores que 05 rad ℎ y x 𝑥 𝐿 𝑇 𝑃 𝑦 𝑃 𝑥 𝜃 𝜃 𝑃 𝑙 Oscilações Aula 3 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Voltemos ao diagrama do pêndulo Observe que a equação para o triângulo maior é sen 𝜃 𝑥 𝐿 ℎ E que para 𝜃 pequeno poderá ser aproximada por 𝜃 𝑥 𝐿 Analisando o triângulo menor do diagrama do pêndulo temos que sen 𝜃 𝑃𝑥 𝑃 Então 𝑃𝑥 𝑃 sen 𝜃 𝜃 𝑃𝜃 𝑃 𝑥 𝐿 Sabendo que Note que as funções 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑔𝑥 𝑥 são muito próximas para 𝑥 pequeno Oscilações Aula 3 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 𝑃 𝑚𝑔 A equação anterior 𝑃𝑥 𝑚𝑔 𝑥 𝐿 𝑚𝑎 𝑚𝑔 𝑥 𝐿 𝑎 𝑔 𝑥 𝐿 Ou 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑔 𝐿 𝑥 Que é a equação diferencial típica de MHS Logo como se trata de um MHS é também válida a equação 𝑎 𝜔2𝑥 𝜔2 𝑔 𝐿 2𝜋 𝑇 2 𝑔 𝐿 Oscilações Aula 3 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 𝑇 2𝜋𝐿 𝑔 Note que o tempo de ida e volta o período do pêndulo não depende da massa e também não depende do ângulo Movimento do pêndulo simples como MHS e o Pêndulo de Foucault Oscilações Aula 3 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Exemplo 8 CARRON pág478 Um pêndulo simples de comprimento 𝐿 e massa 𝑚 oscila com período 𝑇 O fio do pêndulo é inextensível e sem peso O comprimento 𝐿 pode variar convenientemente Podemos afirmar que a Encurtando o fio a frequência da oscilação diminui b Mantendo o comprimento do fio constante e aumentando a massa do pêndulo o período aumenta c Mantendo constante o comprimento do fio e transportando o pêndulo para outro lugar onde a aceleração da gravidade é maior o período aumenta d Durante a oscilação ao passar pela posição vertical a tração no fio é igual ao peso da massa do pêndulo e Nenhuma das alternativas anteriores é correta Exercício 5 GASPAR pág185 Para determinar o valor da aceleração da gravidade num determinado local um grupo de estudantes construiu um pêndulo simples de 120 m de comprimento Posto a oscilar com pequenas oscilações o grupo verificou que o pêndulo gastou 438 s para efetuar 20 oscilações completas Determine a O período do movimento do pêndulo b A aceleração da gravidade no local Oscilações Aula 3 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Atividade Prepare uma apresentação experimental utilizando o exemplo 8 e o exercício 5 abaixo Ou 1 Cada estudante deverá com seu próprio pêndulo medir e calcular a aceleração da gravidade no local Lembrando que a aceleração gravitacional varia com a altitude de acordo com a equação 𝑔 𝐺 𝑀 𝑅 ℎ 2 onde G é a constante da gravitação universal constante gravitacional cujo valor é 667 1011 𝑁 𝑚2 𝑘𝑔2 E 𝑀 é a massa e 𝑅 o raio da Terra Massa da Terra 598 1024𝑘𝑔 Raio Médio da Terra 637 106𝑚 2 Também deverá demonstrar o pêndulo de Foucault Oscilações Aula 4 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 22 O Oscilador massamola Considere um corpo de massa 𝑚 acoplado a uma mola de constante elástica 𝑘 Em dado momento o corpo é deslocado de sua posição de equilíbrio por uma força F Lei de Hooke 𝐹𝑒 𝑘𝑥 Quando o bloco é solto 𝐹 0 da Segunda Lei de Newton temos 𝐹𝑒 𝑚𝑎 Substituindo a Lei de Hooke encontramos a aceleração 𝑚 𝑘 𝐹 𝐹 𝑒 𝑥 𝑚 Oscilações Aula 4 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 𝑎 𝑘 𝑚 𝑥 Ou 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑘 𝑚 𝑥 Novamente sendo o caso de um MHS é válida a equação 𝑎 𝜔2𝑥 Associandoa com a expressão anterior em destaque chegamos a 𝜔2 𝑘 𝑚 Assim a frequência angular ω será 𝜔 𝑘 𝑚 Lembrando que 𝜔 2𝜋 𝑇 Encontramos 𝑇 2𝜋𝑚 𝑘 Oscilações Aula 4 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 221 Energia Mecânica do Oscilador massamola A Energia Mecânica do sistema é dada por 𝐸𝑀 𝐸𝑃 𝐸𝐶 Então a Energia Potencial será considerada 𝐸𝑃 1 2 𝑘𝑥2 1 2 𝑘𝐴 cos𝜔𝑡 𝜃02 𝐸𝑃 1 2 𝑘𝐴2 cos2𝜔𝑡 𝜃0 E a Energia Cinética 𝐸𝐶 1 2 𝑚𝑣2 1 2 𝑚𝜔𝐴 sen𝜔𝑡 𝜃02 Oscilações Aula 4 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 𝐸𝐶 1 2 𝑚 𝜔2𝐴2 sen2𝜔𝑡 𝜃0 Lembrando que 𝜔2 𝑘 𝑚 teremos 𝐸𝐶 1 2 𝑘𝐴2 sen2𝜔𝑡 𝜃0 Assim a Energia Mecânica poderá ser escrita como 𝐸𝑀 1 2 𝑘𝐴2cos2𝜔𝑡 𝜃0 sen2𝜔𝑡 𝜃0 O que resulta em 𝐸𝑀 1 2 𝑘𝐴2 Oscilações Aula 4 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Exemplo 112 modificado RAMALHO pág396 Um ponto material de massa 004 kg oscila em torno da posição de equilíbrio com MHS A energia mecânica do sistema é 32 104 J e a constante elástica da mola é 016 Nm Despreze forças dissipativas e determine a O período de oscilação b A pulsação em radianos por segundo c A amplitude da oscilação d A função horária da posição velocidade e aceleração adotandose o eixo horizontal positivo para a direita e instante inicial t 0 quando o móvel está na posição extrema A da figura e O gráfico da posição x em função do tempo t a partir de t 0 até t 2T onde T é o período Exercício P405 modificado RAMALHO pág399 Um corpo de massa 2 kg oscila livremente suspenso a uma mola helicoidal de massa desprezível As posições ocupadas pelo corpo são registradas por meio de Oscilações Aula 4 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 um estilete preso a ele em uma fita de papel vertical que se desloca horizontalmente com velocidade constante de 020 ms O corpo oscila 020 m em torno da posição de equilíbrio e a marcação do papel mostra que em 15 T há um espaçamento de 075 m Determine a A frequência e a amplitude do movimento do corpo b A constante elástica da mola c A função horária do movimento do corpo sabendo que no instante t 0 a elongação é nula e o corpo está subindo Oscilações Aula 5 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Oscilador Massamola 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑘 𝑚 𝑥 𝑇 2𝜋𝑚 𝑘 𝐸𝑀 1 2 𝑘𝐴2 Pêndulo Simples 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑔 𝐿 𝑥 𝑇 2𝜋𝐿 𝑔 Oscilações Aula 5 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 1 O Pêndulo de Torção A barra quando deslocada de um determinado ângulo é solta e passa a oscilar em torno de uma posição angular de equilíbrio estando ela submetida a um torque restaurador do tipo 𝜏 𝜅 𝜃 Onde 𝜅 é a constante de torção Comparando com a força restauradora 𝐹 𝐾 𝑥 Cujo período de oscilação é dado por 𝑇 2𝜋𝑚 𝑘 Podemos escrever por comparação 𝑇 2𝜋𝐼 𝜅 𝜃𝑚 𝜃𝑚 0 Oscilações Aula 5 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 32 O Pêndulo Físico Pêndulo Extenso Diferentemente do caso da partícula no Pêndulo Simples agora consideraremos a massa em uma extensão uma distribuição Considere um corpo com a posição do centro de massa C conhecida Como poderemos calcular seu período de oscilação O torque restaurador pode ser escrito como 𝜏 𝑃 sen 𝜃 ℎ Sendo o torque pela Segunda Lei de Newton igual a 𝜏 𝐼𝛼 Então 𝐼𝛼 𝑚𝑔 sen 𝜃 ℎ Tomando sen 𝜃 𝜃 temos 𝛼 𝑚𝑔ℎ 𝐼 𝜃 𝑃 cos 𝜃𝑗 𝑃 𝜃 𝜃 𝑃 sen 𝜃𝑖 C h O Oscilações Aula 5 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Comparando com a aceleração típica do MHS 𝑎 𝜔2𝑥 Notamos que 𝜔2 𝑚𝑔ℎ 𝐼 Então o período de oscilação será dado por 𝑇 2𝜋 𝐼 𝑚𝑔ℎ Onde ℎ é a distância do centro de massa ao eixo de rotação Atividade Prática Construir um relógio de pêndulo Um mecanismo de relógio de pêndulo Oscilações Aula 5 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Exemplo 45 modificado Halliday pág109 Um pêndulo físico é formado por um disco uniforme e cujo raio é de 235 𝑐𝑚 Este pêndulo é sustentado em um plano vertical por um pino situado a uma distância de 175 𝑐𝑚 do centro do disco O disco é deslocado de um pequeno ângulo e liberado Qual é o período de movimento harmônico simples resultante Resolução 𝑅 235 𝑐𝑚 𝑑 175 𝑐𝑚 𝑇 𝑇 2𝜋 𝐼𝑂 𝑚𝑔𝑑 𝐼𝑂 𝐼𝐶 𝑚𝑑2 Teorema Eixos Paralelos 𝐼𝐶 1 2 𝑚𝑅2 Então 𝐼𝑂 1 2 𝑚𝑅2 𝑚𝑑2 E 𝑇 2𝜋𝑚1 2 𝑅2 𝑑2 𝑚𝑔𝑑 2𝜋 1 2 𝑅2 𝑑2 𝑔𝑑 0366𝑠 O C R 𝑑 Oscilações Aula 5 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Exemplo 43 Halliday Um pêndulo formado por um disco uniforme de raio 100 centímetros e 500 gramas de massa preso a uma barra uniforme de comprimento 500 milímetros e 279 gramas de massa a Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão b Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo c Calcule o período de oscilação Oscilações Aula 5 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Resolução Faça a revisão desta aula ainda hoje 𝑚𝑑 500 𝑔 𝑚𝑏 279 𝑔 𝑟 100 𝑐𝑚 𝐿 500 𝑚𝑚 L r O C 𝑎 𝐼𝑂 0205 𝑘𝑔 𝑚2 𝐼𝑂 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑂 𝐼𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑂 𝐼𝑂 1 2 𝑚𝑑𝑟2 𝑚𝑑𝐿 𝑟2 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 1 3 𝑚𝑏𝐿2 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑏 𝑥𝐶𝑀 477𝑐𝑚 𝑥𝐶𝑀 𝑚1 𝑥1 𝑚2 𝑥2 𝑚1 𝑚2 𝑐 𝑇 15 𝑠 𝑇 2𝜋 𝐼𝑂 𝑀𝑔𝑑 Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Quais oscilações não diminuem suas amplitudes com o tempo Poderia existir algum sistema oscilatório com amplitude constante sem acréscimo de energia ao sistema Oscilador Massamola 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑘 𝑚 𝑥 𝑇 2𝜋𝑚 𝑘 𝐸𝑀 1 2 𝑘𝐴2 Pêndulo Simples 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝑔 𝐿 𝑥 𝑇 2𝜋𝐿 𝑔 Pêndulo de Torção 𝑇 2𝜋𝐼 𝜅 Pêndulo Extenso 𝑇 2𝜋 𝐼 𝑚𝑔ℎ Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 41 Movimento Harmônico Simples Amortecido 411 O Oscilador Massamola Amortecido Considere o oscilador massamola da figura Suponha que você movimente sua mão submersa em água em uma piscina por exemplo O que você percebe em sua mão quando você procura aumentar a velocidade dela Você nota algum acréscimo de força de resistência ao aumentar a velocidade da mão Tomaremos portanto esta força de resistência arrasto como 𝐹𝑎 𝑏𝑣 Onde 𝑏 é a constante de amortecimento Considerando o conjunto a força elástica é dada por 𝐹𝑒 𝑘𝑥 Vamos considerar que o corpo flutua ou seja que o peso e o empuxo se equivalem quando o corpo de prova está totalmente submerso o que significa que tais forças resultam em soma zero e portanto não as escreveremos Então pela Segunda Lei de Newton 𝑏𝑣 𝑘𝑥 𝑚𝑎 Que também pode ser escrita como Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 𝑚 𝑑2𝑥𝑡 𝑑𝑡2 𝑏 𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑡 𝑘 𝑥𝑡 0 A solução desta equação é 𝑥𝑡 𝐴𝑒𝑏𝑡 2𝑚 cos𝜔𝑡 𝜃0 Onde 𝜔 𝑘 𝑚 𝑏2 4𝑚2 𝜔2 𝑏 2𝑚 2 𝜔2 𝛾2 sendo 𝛾 𝑏 2𝑚 Demonstre a solução da equação diferencial 𝑚 𝑑2𝑥𝑡 𝑑𝑡2 𝑏 𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑡 𝑘 𝑥𝑡 0 Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Casos especiais Considerando a equação 𝝎 𝒌 𝒎 𝒃𝟐 𝟒𝒎𝟐 Para 𝑏 0 𝜔 𝜔 𝑘 𝑚 amortecimento nulo Para 𝑏 𝜔 𝜔 𝜔 𝑘 𝑚 amortecimento fraco Para amortecer o movimento sem oscilação ω 0 ou seja 𝜔 𝑘 𝑚 𝑏2 4𝑚2 com 𝑘 𝑚 𝑏2 4𝑚2 logo teremos que ter 𝑏 2𝑘𝑚 amortecimento crítico Para um amortecimento sem oscilação ω 0 porém mais lento 𝑏 2𝑘𝑚 e temse o amortecimento forte Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 E a energia do sistema Como a energia do sistema diminui com o tempo faremos uma comparação com o oscilador não amortecido 𝐸𝑀 1 2 𝑘𝐴2 Com o amortecimento a amplitude varia com o tempo conforme a equação para 𝑥𝑡 portanto 𝐴𝑡 𝐴𝑒𝑏𝑡 2𝑚 E a equação para a energia mecânica para um amortecimento pequeno será 𝐸𝑀 𝑡 1 2 𝑘𝐴2𝑒𝑏𝑡 𝑚 Qual é o significado da constante de amortecimento 𝒃 O que diz sua unidade 𝑏 𝐹 𝑣 𝑏 𝑁 𝑚 𝑠 Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Figura 1Conjunto Mola e Amortecedor Figura 2 Interior do amortecedor Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Exemplo 57 Halliday 8ª ed Um bloco possui uma massa de 150 𝑘𝑔 e a constante elástica é 800 𝑁𝑚 A força de amortecimento é dada por 𝑏𝑑𝑥𝑑𝑡 onde 𝑏 230𝑔𝑠 O bloco é puxado 120 𝑐𝑚 para baixo e liberado a Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial b Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo Solução 𝑏 𝜔 𝜔 𝑘 𝑚 231 𝑟𝑎𝑑𝑠 e 𝑏 0230 𝑘𝑔𝑠 𝑏 𝜔 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑜 𝜔 𝜔 a 𝑡 para 𝐴 1 3 𝐴 𝐴𝑒𝑏𝑡 2𝑚 1 3 𝐴 ln𝑒𝑏𝑡 2𝑚 ln1 3 𝑏𝑡 2𝑚 ln1 3 𝑡 143𝑠 𝜔 𝑘 𝑚 𝑏2 4𝑚2 231 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑇 2𝜋 𝜔 2𝜋 231 272𝑠 b 𝑛 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 para 𝐴 1 3 𝐴 1 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 𝑇 𝑛 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 𝑡 1 272 𝑛 143 𝑛 526 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 A Lei do MHS Vimos que para o oscilador massamola tínhamos como força restauradora 𝐹𝑒𝑥 Pela Segunda lei de Newton 𝐹𝑒𝑥 𝑚𝑎 Sendo 𝐹𝑒𝑥 𝑘 𝑥 e 𝑎 𝑎𝑥 teremos 𝑚 𝑎𝑥 𝑘 𝑥 0 Mas 𝑥 𝑥𝑡 𝑚 𝑎𝑥𝑡 𝑘 𝑥𝑡 0 𝑑2𝑥𝑡 𝑑𝑡2 𝑘 𝑚 𝑥𝑡 𝐹𝑒𝑥 𝑥 𝑚 Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 Para o Pêndulo Simples a força restauradora 𝑃𝑥 não era linear tal como a força elástica da Lei de Hooke 𝑃𝑥 𝑃 sen 𝜃 Desta forma se em vez de 𝒔𝒆𝒏 𝜽 houvesse um 𝒙 teríamos um MHS Mas isto acontece quando 𝜃 é pequeno e a força restauradora fazendo 𝑥 𝜃 𝐿 será 𝑃𝑥 𝑚𝑔 𝐿 𝑘 𝑥 𝑚 𝑎𝑥𝑡 𝑘 𝑥𝑡 0 Então 𝑑2𝑥𝑡 𝑑𝑡2 𝑔 𝐿 𝑥𝑡 Ou seja o MHS é descrito pela equação Oscilações Aula 6 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 10 𝑑2𝑥𝑡 𝑑𝑡2 𝜔2 𝑥𝑡 Atenção para a pergunta Qual a solução desta equação diferencial Qual função cuja derivação por duas vezes retorna a própria função Faça a revisão desta aula ainda hoje Oscilações Aula 7 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Oscilações Forçadas e Ressonância Determinados sistemas oscilam por conta de uma força externa É também sabido que todos os sistemas oscilantes possuem uma frequência própria frequência natural de vibração Para saber a frequência própria de vibração de um determinado sistema oscilante basta provocar uma perturbação inicial sobre o mesmo e verificar essa frequência Como exemplo considere como sistema oscilante um balanço de um parque infantil que inicialmente está em sua posição de equilíbrio Para sabermos sua frequência natural basta que um vento forte o suficiente o tire de sua posição de equilíbrio e este passará a oscilar em sua frequência natural Oscilações Aula 7 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Sendo a frequência natural 𝝎 e a frequência da oscilação externa 𝝎𝑬 a oscilação encontrase em ressonância quando 𝝎𝑬 𝝎 e a função horária da posição para tal oscilação é 𝑥𝑡 𝐴 cos𝜔𝐸𝑡 𝜃0 E o efeito observado é a máxima amplitude de oscilação para a velocidade e para o deslocamento Para que ocorra a situação de ressonância portanto é necessária uma força externa que provoque uma oscilação de mesma frequência que a frequência natural do sistema oscilante Assim para o caso do balanço no parque uma pessoa que empurre o balanço com uma frequência de ressonância 𝜔𝐸 𝜔 o colocará em um máximo de velocidade e deslocamento que não ocorrerá para outra frequência Oscilações Aula 7 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 O Terremoto e a Ressonância em Edificações Materiais necessários Tubos de mesmo diâmetro e diferentes comprimentos Uma cartolina Exemplo 62 Halliday 8ª ed Nove pêndulos com os seguintes comprimentos são pendurados em uma viga horizontal a 010 b 030 c 040 d 080 e 12 f 28 g 35 h 50 i 62 m A viga sofre oscilações horizontais com frequências angulares na faixa de 200 𝑟𝑎𝑑𝑠 a 400 𝑟𝑎𝑑𝑠 Quais os pêndulos entram fortemente em oscilação Resolução Oscilações Aula 7 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Exemplo 63 Halliday 8ª ed Um carro de 1000 𝑘𝑔 com quatro ocupantes de 82 𝑘𝑔 viaja em uma estrada de terra com costelas separadas por uma distância média de 40 𝑚 O carro trepida com amplitude máxima quando está a 16 𝑘𝑚ℎ Quando o carro para e os ocupantes saltam qual é a variação de altura do carro Frequências naturais de oscilação de cada pêndulo 𝜔 2𝜋𝑓 2𝜋 1 2𝜋 𝑔 𝐿 𝑔 𝐿 Pêndulo A 𝜔𝐴 𝑔 𝐿𝐴 98 010 𝟗 𝟗 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝜔𝐵 𝑔 𝐿𝐵 98 030 𝟓 𝟕 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝜔𝐶 𝑔 𝐿𝐶 98 040 𝟒 𝟗 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝜔𝐷 𝑔 𝐿𝐷 98 080 𝟑 𝟓 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝜔𝐸 𝑔 𝐿𝐸 98 12 𝟐 𝟖 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝜔𝐹 𝑔 𝐿𝐹 98 28 𝟏 𝟗 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝜔𝐺 𝑔 𝐿𝐺 98 35 𝟏 𝟕 𝒓𝒂𝒅 𝒔 Apenas os pêndulos D e E estão na faixa alcançada pela frequência externa Oscilações Aula 7 Movimento Harmônico Simples MHS Prof Thiago Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Resolução Lista de Exercícios Cap 15 Halliday 8ª edição 01 03 07 13 24 27 30 38 43 45 49 57 59 61 e 63 9ª edição 03 05 11 13 26 28 29 38 41 43 47 51 57 59 61 e 63 Faça a revisão desta aula ainda hoje A situaçãoproblema pode ser modelada por um oscilador massamola cujo período sabemos que é 𝑇 2𝜋𝑀 𝑘 Sendo 𝑀 𝑚𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑚𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 𝑚𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 1000𝑘𝑔 𝑚𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 328𝑘𝑔 Cálculo do período 𝑣 16 𝑘𝑚 ℎ 44 𝑚 𝑠 𝐷 4𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑙𝑜𝑚𝑏𝑎𝑑𝑎𝑠 costelas 𝑣 𝐷 𝑇 44 𝑚 𝑠 4𝑚 𝑇 𝑇 091𝑠 Então na equação do período 𝑘 𝑀 4𝜋2 𝑇2 632 104 𝑁 𝑚 Carro em repouso com pessoas 𝐾𝑥𝑖 𝑀𝑔 𝑥𝑖 𝑀𝑔 𝑘 021 𝑚 Carro em repouso sem pessoas 𝐾𝑥𝑓 𝑚𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑔 𝑥𝑓 𝑚𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑔 𝑘 016 𝑚 𝑥𝑓 𝑥𝑖 005 𝑚 Relatório de Oscilações Sumário 1 Introdução 2 2 Oscilações Harmônicas 2 21 Outros modelos para oscilações harmônicas 10 3 Oscilações amortecidas 14 4 Oscilações Forçadas 20 Referências 22 1 1 Introdução O estudo de fenômenos oscilatórios constitui parte ímpar na Física e nas engenharias esses fenômenos podem ser concebidos como o movimento no entorno de uma dada posição a qual é usualmente chamada de posição de equilíbrio Não obstante as oscilações são fenômenos que aparecem em diversos ramos da engenharia e física seja em sistemas mecânicos elétricos hidrodinâmicos cosmológicos e quânticos Dentre o estudo desses fenômenos as oscilações harmônicas ganham destaque nos cursos de graduação em especial o modelo do Oscilador Harmônico OH o qual descreve a dinâmica para pequenas pertubações em torno da posição de equilíbrio pertubações essas geradas pelo potencial quadrático que é proporcional ao quadrado dos desvios sofridos Nesse sentido o estudo basilar dos conceitos que permeiam a teoria das oscilações tornase suficientemente relevante e imprescindível para a formação de físicos e engenheiros Tendo isso em vista nesse relatório visamos abordar os principais conceitos e quantidades físicas associadas a esse fenômeno de modo que esse relatório constitua uma parte significativa do estudo de oscilações Para tanto revisaremos as seguintes bibliografias que constituem os principais livros textos empregados para o estudo de oscilações nas universidades brasileiras NUSSENZVEIG 2018 TIPLER MOSCA 2021 e primorosamente seguiremos a linha de conteúdo abordada por RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 2 Oscilações Harmônicas Nossa discussão inicial versará pelas oscilações harmônicas Em verdade essa classe de oscilação e algumas variantes serão os objetos de estudo desse trabalho Nesse sentido é interessante começarmos a descrição e caracterização desse tipo de oscilação para tanto come çaremos nossa discussão a partir de um relevante modelo físico o oscilador harmônico simples composto por um bloco preso numa mola ademais consideramos ainda as seguintes hipóteses sobre o movimento i Consideraremos sistemas com único grau de liberdade ii Considera que os desvios em torno de uma posição de equilíbrio é suficientemente pe quena A primeira hipótese restringe a modelagem a sistemas físicos descritos por equações di ferenciais com uma única variável dependente Enquanto a segunda hipótese caracteriza o fenômeno de oscilações harmônicas ao passo que torna necessário apenas contribuições de pri meira ordem da posição da partícula De posse disso podemos ir ao sistema físico mais simples que descreve esse tipo de oscilação o oscilador harmônico conforme apresentado na Figura 1 A dinâmica do bloco dado pela Figura 1 é um movimento periódico onde o bloco oscila e torno de uma posição x0 que chamaremos de ponto de equilíbrio Nesse movimento há duas 2 Figura 1 Esquematização do oscilador harmônico no sistema massamola grandezas que aparecem e são significativas no estudo das oscilações são essas frequência f e o período T O período determina o tempo necessário para que ocorra uma oscilação com pleta por outro lado a frequência designa a quantidade de oscilações que ocorre por rotação Evidentemente essas duas grandezas estão correlacionadas mais precisamente são dadas por T 1 f ou f 1 T 1 Entretanto essas grandezas aparecem não apenas nos conteúdos de oscilação em verdade essas aparecem ainda no estudo da cinemática dos movimentos circulares Então a partir disso somos motivados a definir outra grandeza chamada frequência angular a qual é dada por ω 2πf 2π T 2 Essencialmente trazer a frequência angular dos movimentos circulares para os movimen tos oscilatórios é extremamente factível dado que um movimento circular é um movimento periódico que sempre se repete após a partícula percorrer o comprimento da circunferência NUSSENZVEIG 2018 Com isso posto podemos voltar a discussão para o oscilador harmô nico simples descrito na Figura 1 em particular descrevamos a dinâmica desse movimento a qual é efetuada através das leis de Newton Mais precisamente a única força que atua no sistema é a lei de Hooke para molas a qual diz que as força que a mola atua no bloco é dada por fx kx 3 em que k é a constante de rigidez da mola e x o deslocamento do bloco Por outro lado da segunda lei de Newton temos que a força resultante sobre o bloco será Fresultante m a 4 onde a é a aceleração m é a massa do bloco e Fresultante a força resultante Nesse caso teremos 3 que Fresultante fx kx e também temos que a aceleração a pode ser posta como derivada segunda da posição x xt em relação ao tempo ou seja a x d2x dt2 e com isso obtemos que mx kx dividindo tudo por m teremos que x k mx e a partir disso definamos que ω2 k m a fim de obtermos a seguinte equação compacta x ω2x 5 A Equação 5 é chamada de equação diferencial do oscilador harmônico simples e suas solu ções descrevem os estados de posição do oscilador A um primeiro momento não é claro que a frequência angular discutida anteriormente de fato seja associada dessa forma no entanto agora ao passo que exibirmos uma solução para a Equação 5 ficará claro como essa convenção de fato é dotada de sentido físico Esse modelo de oscilações é o caso mais simples em que nosso oscilador está sujeito ape nas a ação de uma força central a citar a lei de Hooke a dinâmica do oscilador é determinada pela equação 5 Vamos então buscar uma solução para essa equação os métodos de so lução de EDOs nos dizem que as soluções para essa equação devem ser do tipo ϕt eλt NUSSENZVEIG 2018 então levando essa forma na EDO teremos ϕ ω2ϕ d2 dt2eλt ω2eλt λ2eλt ω2eλt λ2 ω2 λ ω2 λ ωi onde λ é chamado de valor característico ou autovalor e i a unidade imaginária dos números complexos Com isso determinarmos dois possíveis valores para λ os quais são λ1 ωi e λ2 ωi A partir disso como dizemos as soluções terão a forma eλit entanto obtivemos duas soluções em verdade essas duas serão soluções e dado ao princípio de linearidade NUS SENZVEIG 2018 a solução geral do oscilador harmônico simples ou seja da Equação 5 será xt Aeλ1t Beλ2t 6 4 onde A e B são constantes reais Todavia podemos melhorar essa expressão tanto pondo os valores de λi i 1 2 quanto empregando a fórmula de Euler para a exponencial complexa empregando essas ideias temos o seguinte desenvolvimento xt Aeλ1 t Beλ2 t Aeωi t Beωi t Acosωt i sinωtBcosωt i sinωt Acosωt i sinωtBcosωt i sinωt A B cosωt Ai Bi sinωt c cosωt d sinωt onde c A B e d Ai Bi Com isso temos a seguinte solução para o oscilador harmônico xt c cosωt d sinωt a qual pode ainda ser melhorada Para isso vamos compactar a soma anterior num único cosseno ou seja imporemos que c cosωt d sinωt A cosωt φ nesse sentido desenvolvamos o lado direito da igualdade acima por meio da soma de arcos da função cosseno com efeito A cosωt φ Acosωt cosφ sinωt sinφ A cosφ cosωt A sinφ sinωt logo obtemos a seguinte igualdade c cosωt d sinωt A cosφ cosωt A sinφ sinωt por igualdade polinomial temos que A cosφ c A sinφ d dividindo essas equações temos A sinφ A cosφ tanφ d c φ arctan d c por outro lado elevando ambas ao quadrado e somando membro a membro temos A2 cos2φA2 sin2φ d2 c2 A2 cos2φ A2 sin2φ d2 c2 A2 d2 c2 A d2 c2 com isso nossa solução toma a seguinte forma xt A cosωt φ 7 em que A c2 d2 e cosφ a a2 b2 ou sinφ b a2 b2 A equação 7 é a solução geral para o oscilador harmônico simples A escrita nessa forma já nos fornece alguns aspectos físicos relevantes em especial temos que a constante A é a amplitude de oscilação ω é a frequência de oscilações note que a frequência angular de fato toma sentido ter sido tomada anteriormente pois essa coincide com a frequência da função cosseno e φ é o ângulo de fase que representa um possível deslocamento da posição inicial Agora vamos determinar os valores de A e φ Em verdade determinaremos esses empregando condições iniciais para que o movimento harmônico simples ocorra portanto suponhamos de forma genérica que o movimento inicia na posição x0 x0 com velocidade v0 v0 Buscaremos uma solução para esse PVI com efeito de 7 obtemos xtt0 A cosωt φxx0 x0 A cosφ vtt0 A ω sinωt φx0 v0 A ω sinφ 8 em que usamos o fato de que a derivada da posição ser a velocidade isto é xt vt A solução do sistema 8 é simples Para tanto basta multiplicarmos a primeira equação por ω elevar ambas ao quadrado e somálas de que obtemos o valor da constante A a qual é dada por A2 x02 v02 ω2 A x0 v02 ω2 9 Por outro lado podemos dividir ambas as equações de modo a termos o seguinte tanφ x0 ω v0 φ arctan x0 ω v0 10 consequentemente a solução geral do oscilador harmônico para esse PVI é dada por xt x0 v02 ω2 cos ωt arctan x0 ω v0 11 Figura 2 Esquematização da relação do movimento harmônico com o movimento circular Extraído de RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 A Equação 11 bem como todo o desenvolvimento para o oscilador harmônico foi conduzido através do emprego das funções circulares De fato as funções circulares como seno e cosseno desempenham um papel substancialmente efetivo na descrição de sistemas oscilatórios Não obstante essas ainda permitem que tracemos uma analogia com o movimento circular de fato a Figura 2 ilustra essa analogia Não obstante a analogia fica ainda mais clara ao passo que olhamos para os vetores velocidade e aceleração Então de posse de 11 podemos obter as equações da velocidade e aceleração do sistema e a dinâmica desse sistema fica inteiramente dada por xt x0 v02 ω2 cos ωt arctan x0 ω v0 vt ω x0 v02 ω2 sin ωt arctan x0 ω v0 at ω2 x0 v02 ω2 cos ωt arctan x0 ω v0 12 em que usamos as interpretações cinemáticas da derivada em suma xt vt e at vt xt Resumindo obtemos que a dinâmica do movimento é dada de forma oscilatória guiada pelas funções circulares Note ainda que a aceleração pode ser escrita ainda da forma at ω2 xt Ou seja os vetores velocidade e aceleração projetamse conforme a Figura 2 ao longo da circunferência Desse modo é factível estabelecer que o movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme em um diâmetro da circunferência ao longo da qual acontece o movimento circular TIPLER MOSCA 2021 RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 Com intuito de melhor visualizamos a dinâmica do oscilador harmônico simples plotamos na Figura 3 os estados de posição para diferentes fases Figura 3 Estados de posição para um oscilador harmônico com omega 1 v0 1 e diferentes fases utilizamos unidades do SI Um aspecto importante para entendermos no caso das oscilações harmônicas é acerca das posições onde ocorrem os máximos de velocidade e elongação da mola Em verdade essa determinação se dá pela análise das energias que o compõe Em especial ao modelarmos o sistema pela equação 5 não incluímos nenhuma força dissipativa apenas a força restaurada provida da lei de Hooke De fato esperase então que o sistema mantenha o caráter oscilatório perpetuamente no entanto podemos obter expressões para as energias que compõe o sistema sendo estas a energia cinética e a energia potencial as quais são dadas por leftbeginarrayl Txt frac12 m x2t Vxt frac12kx2 endarrayright Longrightarrow leftbeginarrayl Tt fracm2 omega2 leftx0 fracv02omega2right sin2 leftomega t arctan leftfracx0omega v0rightright Vt frac12k leftx0 fracv02omega2right cos2 leftomega t arctan leftfracx0omega v0rightright endarrayright 13 Agora notemos que como omega2 km ao somarmos as duas equações obtemos seguinte Tt Vt E frac12 m omega2 leftx0 fracv02omega2right 14 ou seja a quantidade física E que é a energia do sistema é constante e depende da frequência do oscilador da massa e das condições iniciais Este comportamento é primoroso no estudo de sistemas harmônicos o fato de termos que a energia é conservada nos permite estudar diversos pontos da trajetória com base em um já conhecido Desse modo a informação de um único ponto nos permite estudar a dinâmica completa da trajetória Não obstante o caráter oscilatório dos estados de posição marcado pela função 11 já nos mostra que haverá uma variação das energias em certo elas irão alternar seus valores entre as componentes potenciais e cinéticas a depender da posição de modo que se mantenha sempre 8 constante o valor obtido para a energia E em 14 Com intuito de melhor visualizarmos a oscilação da energia plotamos as curvas do sistema 13 e apresentamos esse na Figura 4 Figura 4 Energias potenciais e cinéticas do oscilador harmônico mesmas condições da Figura 3 Agora determinaremos os valores máximos das velocidades e elongação da mola a partir das equações das energias De fato comecemos para a velocidade máxima nesse caso a energia mecânica E total do sistema deve ser composta unicamente pela componente cinética isso ocorre quando a elongação da mola é nula ou seja no centro do movimento e a partir disso temos T fracmv2max2 E No entanto conhecemos o valor de E de fato esse é uma constante que depende dos dados iniciais assim associando as expressões temos fracmv2max2 E frac12 m omega2 leftx0 fracv02omega2right Longrightarrow fracmv2max2 frac12 m omega2 leftx0 fracv02omega2right Longrightarrow v2max omega2 leftx0 fracv02omega2right Longrightarrow vmax omega sqrtleftx0 fracv02omega2right Logo a velocidade máxima do oscilador harmônico nesse caso é dada por vmax pm omega sqrtleftx0 fracv02omega2right os sinais de mais ou menos aparecem pois o bloco da Figura 1 atinge esse valor duas vezes a primeira com sinal negativo quando passa pelo centro do movimento e a segunda com sinal positivo quando está voltando para a posição que foi solto Já a elongação máxima isto é xmax é obtido de forma análoga no entanto essa é obtida nos chamados pontos de virada que são os pontos onde não se há velocidade em particular no máximo da contração ou expansão da mola nessas situações temos frackx2max2 E frac12 m omega2 leftx0 fracv02omega2right Longrightarrow frackx2max2 frac12 m omega2 leftx0 fracv02omega2right Longrightarrow x2max omega4 leftx0 fracv02omega2right Longrightarrow xmax pm omega2 sqrtleftx0 fracv02omega2right e a elongação máxima é dada por xmax pm omega2 sqrtleftx0 fracv02omega2right 21 Outros modelos para oscilações harmônicas Por mais que o modelo massamola seja suficientemente rico para exploração dos conceitos sobre oscilações em verdade essa dinâmica não ocorre apenas nesse sistema Em suma há diversos outros sistemas físicos que descrevem oscilações harmônicas as quais possuem variáveis análogas às encontradas no caso do sistema massamola Nesse sentido exploraremos alguns desses sistemas agora O primeiro sistema de interesse é o chamado pêndulo de torção O pêndulo de torção é um objeto físico que consiste numa barra de massa m que rotacionase em torno de um eixo a fim de exemplificar tal problema consideremos a Figura 5 Uma deflexão da barra faz com que ela rotacionese em torno do eixo z assim fazendo com que haja um torque sobre o sistema o qual é obtido através da lei de Hooke para torções que nos diz que o torque au é au K varphi 15 onde K é o módulo de torção do fio que depende do seu comprimento diâmetro e material A barra por ser um corpo extenso obedecerá a segunda lei de Newton para sistemas em rotações ou seja o torque resultante da barra é au I alpha I varphi 16 onde alpha é a aceleração angular e I o momento de inércia da barra TIPLER MOSCA 2021 Figura 5 Esquematização de um pêndulo de torção Dessa forma igualando as duas equações obtemos o seguinte Iφ Kφ φ ω²φ 0 17 onde ω² K I Nesse caso a dinâmica do pêndulo de torção é descrita pela Equação 17 que é uma equação do tipo oscilador harmônico simples onde a frequência angular agora depende do momento de inércia e da constante de torção Com isso podemos obter todos os resultados anteriores em verdade toda descrição da aceleração velocidade e energia do sistema é análogo para esse caso A partir disso determinaremos o período para o pêndulo de torção que é obtido pelo seguinte desenvolvimento T 1 f 1 1ω 2π 2 π 1ω 2π I K ou seja o período T é T 2π I K O segundo exemplo e talvez um dos mais significativos é o pêndulo simples Esse no que lhe concerne consiste num objeto de massa m suspensa por um fio de comprimento l e massa desprezível e movese sobre um círculo de raio l A fins ilustrativos consideremos o esquema na Figura 6 Figura 6 Esquematização de um pêndulo simples Nesse caso o massa m movese em decorrência de um torque que age sobre ela nesse caso o torque resultante que age está na direção x sendo associado a projeção do vetor força peso o qual vale Px mg sinθ não obstante a componente angular θ pode ser associada ao deslocamento do arco do círculo lugar geométrico descrito pelo pêndulo por s lθ por conseguinte a aceleração será s lθ onde s é o deslocamento escalar e θ o deslocamento angular Com isso e da segunda lei de Newton temos que maθ mld2θ dt2 mg sen θ 18 Assim a equação de movimento do pêndulo simples pode ser dada por θ g l sen θ No entanto essa equação é uma equação de movimento não linear em verdade essa é associada a quaisquer deslocamentos do ângulo θ Todavia muitas vezes estaremos interessados no caso em que os ângulos θ são suficientemente pequenos isto é θ 1 sen θ θ Logo para pequenos desvios da posição de equilíbrio estável a equação se reduz ao seguinte 12 caso θ g l θ 0 ω² g l que é uma equação diferencial do tipo do oscilador harmônico Portanto o pêndulo simples é um sistema que se comporta como um oscilador harmônico no regime de pequenas amplitudes de oscilações Ademais é interessante descrevermos seu período o que é obtido no seguinte desenvolvimento T 1 f 1 1ω 2π 2 π 1ω 2π l g ou seja o período T de oscilações é T 2π l g que independe da massa do pêndulo Agora vamos ao terceiro caso que é o chamado pêndulo físico Esse é uma generalização do pêndulo simples pois em vez de ter sua massa toda concentrada num determinado ponto o pêndulo físico constituise de uma distribuição de massa com um dado ponto fixo O que permite a rotação dessa distribuição massiva A fim de esquematizarmos tal sistema físico considere a Figura 7 Figura 7 Esquematização de um pêndulo Físico De posse da Figura 7 obteremos uma expressão para a dinâmica desse corpo Com efeito consideremos o torque em relação ao ponto O que é dado pela componente da força peso projetada ao longo do eixo central do pêndulo físico isto é τ Mgs sinθ 19 onde M é a massa do pêndulo físico e s e θ as medidas conforme ilustrado na Figura 7 Então considerando um momento de inércia I para o pêndulo físico então da segunda lei de Newton para rotações teremos que Iα Iθ τ Mgs sinθ ou seja temos a seguinte equação θ ω²θ 0 já fazendo a aproximação para pequenas amplitudes analogamente ao feito no pêndulo simples Ademais a frequência angular ω é dada por ω² Mgs I Não obstante se tomarmos um comprimento l efetivo dado por l I Ms o pêndulo físico se reduz exatamente ao pêndulo simples mostrando que esse constitui uma generalização do modelo anterior Por fim determinemos seu período conforme o desenvolvimento T 1 f 1 1ω 2π 2 π 1ω 2π I Mgs ou seja o período T de oscilações é T 2π I Mgs 3 Oscilações amortecidas De fato as oscilações harmônicas são suficientemente significativas para o estudo de fenômenos oscilatórios No entanto por vezes a descrição provida pela Equação 5 nem sempre consegue capturar toda a física envolvida num sistema em um regime oscilatório Nesse sentido é factível prover modificações na Equação 5 de tal modo que essa contenha a física desejada do sistema em questão em particular á dois casos que são usualmente trabalhados que atra vés de modificações sutis na Equação do oscilador harmônico conseguem prover tais aspectos físicos estes são os osciladores amortecidos e os osciladores forçados Em relação aos osciladores amortecidos consideremos nesse caso que além da força de hooke existe outra força que age no sistema Em suma essa força é uma força dissipativa que amortece o movimento oscilatório e consideramos ela como sendo proporcional a velocidade do oscilador harmônico ou seja ela deve ter a seguinte forma Famortecimento ϵv ϵx 20 onde ϵ 0 é uma constate que quantifica a intensidade da força e o sinal de menos aparece por conta da natureza da força a qual é age dissipando energia no sistema De posse disso temos da segunda lei de Newton o seguinte desenvolvimento Fresultante Famortecimento Fhooke mx ϵx kx x γx ω2 0x 0 onde temos que γ ϵ m e ω2 0 k m que designam a constante de amortecimento e a frequência angular natural Portanto nosso sistema é agora dado pela equação x γx ω2 0x 0 21 em que usamos ω0 em vez de ω pelo fato de que nesse tipo de movimento haverá uma mu dança de frequência de oscilação e então o termo ω0 referese a oscilação no caso livre de amortecimento Por vezes essa força externa pode ser associada a algum meio que apresente certa viscosi dade por exemplo um pêndulo no ar uma superfície rugosa a imersão do bloco num líquido viscoso ou mesmo a resistência elétrica de um circuito fechado e nesse sentido o coeficiente de proporcionalidade γ 0 é chamado de coeficiente de viscosidade No entanto dado o ca ráter geral das oscilações que estamos tomando esse será chamado apenas de coeficiente de amortecimento sua unidade é dada em Nms que é unidade de força por unidade de ve locidade Procuraremos uma solução para 21 da forma ϕt eλt que nos dá o seguinte desenvolvimento ϕ γϕ ω2 0ϕ 0 eλt γeλt ω2 0eλt 0 λ2eλt γλeλt ω2 0eλt 0 λ2 γλ ω2 0 0 15 ou seja obtemos a seguinte equação característica λ² γλ ω₀² 0 cujo raízes são obtidas pela fórmula resolvente das equações do segundo grau Nesse caso temos que essas são λ₁₂ γ γ² 4ω₀² 2 γ2 γ²4 ω₀² ou seja podemos por essas soluções da seguinte forma λ γ2 ω ω γ²4 ω₀² 22 Partindo de 22 podemos obter diferentes tipos de soluções essas que estão relacionadas a diferentes tipos de amortecimentos Então investigaremos primeiramente o amortecimento subcrítico em que γ2 ω₀ consequentemente temos que λ γ2 iω e a solução geral é dada por xt aeγ2iωt beγ2 iωt eγ2t aeiωt beiωt eγ2tc cosωt d sinωt 23 Analogamente ao feito no caso para oscilações livres determinaremos as constantes A e φ para o seguinte PVI v0 v₀ 0 e x0 x₀ 0 Usando a função 23 e sua derivada obtemos o seguinte x0 x₀ c v0 v₀ γ2 c ωd 24 e de imediato obtemos c x₀ d 1ω v₀ γx₀2 e a solução geral para esse caso é dada por xt eγ2t x₀ cosωt 1ω v₀ γx₀2 sinωt 25 Observe que podemos escrever o sistema de forma mais compacta introduzindo a amplitude A e o ângulo de fase φ os quais são dados por A x₀² 1ω² v₀ γx₀2² φ arctanv₀x₀ω γω e assim podemos compactar 25 da seguinte forma xt eγ2t x₀² 1ω² v₀ γx₀2² cos ωt arctanv₀x₀ω γω 26 A equação 26 nos dá a dinâmica do oscilador com o amortecimento De imediato vemos que quando t temos que xt 0 o que corrobora com o modelo físico ao passo que a força introduzida age dissipando energia do oscilador Além da solução geral é importante obter outra curva associado a esse oscilador as envoltórias Essas curvas nos ajudam a entender o decaimento exponencial da solução e estão relacionadas diretamente com o termo de amortecimento Essas são dadas por ψt eγ2t x₀² 1ω² v₀ γx₀2² 27 isto é as envoltórias do movimento são exatamente o termo que acompanha a amplitude que decai em razão da exponencial negativa Observemos ainda que o sinal de define duas envoltórias as quais estão associadas as amplitudes nos extremos da oscilação Dessa forma o estudo de 27 permite entendermos a variação nas amplitudes com a evolução temporal e explorando suas derivadas obtemos quão rápido o sistema será completamente amortecido De posse disso analisamos a dinâmica do oscilador harmônico amortecido bem como suas envoltórias as quais estão apresentadas na Figura 8 Analisado a parte dinâmica desse oscilador resta a nós o estudo do comportamento da energia ao longo da trajetória Com efeito multiplicando a equação 21 multiplicaremos ela por mx e integrando obtemos o seguinte ddt m x²2 k x²2 mγx² 28 Notemos que o termo dentro do parêntese é exatamente a soma das energias cinéticas e potenciais desse modo temos a seguinte relação ddt Et mγx² 29 a qual nos dá a taxa de variação da energia Notemos ainda que essa é sempre menor ou igual a zero que nos mostra que o comportamento da energia é decrescente o que corrobora com Figura 8 Oscilador harmônico amortecido crítico com x₀ 1 ω 2 γ 025 v₀ 1 em unidades do SI o modelo físico tratado Essa expressão em SI tornase suficiente para o estudo da energia todavia podemos ainda obter uma expressão analítica para a energia mesmo essa sendo suficientemente complicada Para tanto basta usarmos 25 em 29 que obtemos o seguinte Et 12 m x₀² 1ω² v₀ γx₀2² eγt ω₀² γ²4 cos²ωt φ ω₀² γ²4 sin²ωt φ γω2 sin2ωt 2φ 30 Agora investigaremos o segundo caso de amortecimento denominado supercrítico e caracterizado por γ2 ω₀ De 22 obtemos que a solução geral é dada por xt eγ2 taeωt beωt 31 em que a b são constantes de integração Nesse caso a dinâmica do oscilador é determinada pelas exponenciais Em especial o termo γ determina o qual abrupto a curva será Agora resolvermos o PVI usual isto é x0 x₀ e v0 v₀ Em especial utilizando a equação 31 obtemos o seguinte sistema b a x₀ b a v₀ γ2 x₀ 1ω 32 O sistema é facilmente resolvido e nos dá que b v₀ γ2 x₀ 12ω x₀2 e a x₀2 v0 γ2 x0 1 2ω Com isso obtemos a solução geral dada por xt eγ2 t x02 v0 γ2 x0 1 2ω eωt v0 γ2 x0 1 2ω x0 2 eωt 33 A curva da solução é apresentada na Figura 9 Figura 9 Estados de posição para o oscilador amortecido supercrítico com v0 5 x0 4 ω0 2 γ 10 em unidades do SI Agora vamos ao último caso denominado de amortecimento crítico que ocorre quando γ2 ω0 Pela equação 22 obtemos uma única raiz a qual é dada por λ γ2 Como já vimos precisamos de duas soluções linearmente independentes para formar o espaço de soluções de uma equação diferencial de segunda ordem Nesse sentido buscando uma solução via método da variação dos parâmetros obtemos a seguinte solução geral do oscilador crítico xt aeγ2 t bteγ2 t 34 Vamos agora identificar as constantes a b para o PVI x0 x0 e v0 v0 o qual nos fornece o seguinte sistema a x0 b γ2 v0 De imediato obtemos que a x0 e b v0 γ2 x0 e com isso a solução para o PVI passa a ser dada por xt x0 eγ2 t v0 γ2 x0 t eγ2 t 35 Em suma esse oscilador é dominado pelo termo exponencial e em virtude do termo linear que aparece ele decai mais rapidamente que o caso supercrítico Com intuito de melhor visualizar mos isso apresentamos a curva do oscilador amortecido crítico na Figura 10 Figura 10 Estados de posição para o oscilador amortecido crítico com v0 5 x0 4 ω0 2 γ 10 em unidades do SI 4 Oscilações Forçadas Por fim outro caso de extrema relevância para as oscilações harmônicas é o caso em que temos as oscilações forçadas Em particular nesse caso temos a dinâmica do oscilador está su jeito a uma força externa Diferentemente do feito anteriormente a força externa não é inserida na equação 5 acompanhada de algum termo que dependa da posição mas sim por uma função que dependa apenas da variável independente t ou seja do tempo O significado físico dessa força é simplesmente um agente externo que não depende do sistema e atua sobre o oscilador Então partindo da equação do oscilador harmônico obtemos pela segunda lei de Newton a seguinte equação do oscilador harmônico forçado x γx ω2 0x ft 36 em que ft é alguma função Onde a solução xt para a Equação 36 é dada pela soma de duas soluções a primeira que é chamada homogênea que corresponde quando ft 0 e a outra é uma solução particular que é obtida de acordo com a forma da função ft NUSSENZVEIG 2018 Fisicamente isso é interpretado da seguinte forma a solução do caso homogênea é dita solução transiente ao passo que esse estado é temporário por conta da atuação da força externa a qual tende a dominar a dinâmica da partícula Por outro lado a solução particular configura uma solução 20 dita estacionária visto que essa descreve a dinâmica do movimento apenas para a força ft a qual é para um dado tμ é dominante na dinâmica Com intuito de avaliarmos alguns casos para 36 especificaremos ft considerando uma força oscilatória isto é ft f0 ei ω t 37 A expressão 37 é complexa todavia buscaremos uma solução particular considerando apenas a parte real a qual de fato possui sentido físico e é associado a uma força que atua no oscilador harmônico continuamente de maneira oscilatória Então buscaremos uma solução particular da forma φt φ0 ei ω t a qual nos dá o seguinte φt γφt ω02 φt f0 ei ω t φ0 ei ω t γφ0 ei ω t ω02 φ0 ei ω t f0 ei ω t φ0 ω2 γ i ω φ0 ω02 ei ω t f0 ei ω t φ0 ω02 ω2 i γ ω f0 φ0 f0 ω02 ω2 i γ ω como φ0 é um número complexo podemos ainda por ele da seguinte forma φ0 A ei ϕ f0 ω02 ω2 i γ ω 38 em que A é a parte real do número complexo Note que podemos escrever φ0 da seguinte forma φ0 r1 r2 ei θ com r1 f0 m r2 ω02 ω2 γ2 ω2 Com isso temos que o módulo de φ0 e ϕ são φ0 A2ω f02 ω02 ω2 γ2 ω2 ϕω arctan tanθ arctan γ ω ω02 ω2 39 Finalmente a solução particularestacionária fica determinada por xt Reφt ou seja xt Aω cosω t ϕω f0 ω02 ω22 γ2 ω2 cos ω t arctan γ ω ω02 ω2 40 Observemos que se γ 0 a solução particular deve diferir e a solução particular pode ser obtida como um caso especial de 40 e é xt f0 m ω02 ω2 cosω t 41 em que a força é aplicada na mesma direção do movimento Com isso somando 41 a 7 e 40 a 14 ou 33 ou ainda 35 obtemos as soluções gerais para os osciladores O comportamento das soluções está apresentado na Figura 11 Figura 11 Em a osciladores forçados sem amortecimento na figura 3 e em b osciladores amortecidos ambos forçados com Aω 4 No entanto é interessante discutirmos um pouco sobre a física desses sistemas forçados Primeiramente vamos nos ater a entender a constante ω que aparece na exponencial do termo de ft Em suma esse ω denota a frequência angular da força externa atuante sobre o sistema e esse possui uma grande significância física De fato a aprtir da expressãndo 41 podemos entender o que ocorre com os estados de po siçõ do oscilador harmônico forçado se ω ω0 nesse caso temos que ω2 0 ω2 0 e logo xt diverge Em particular esse fenômeno onde a frequência da oscilação da força externa tornase suficientemente próxima da frequência de vibração do oscilador é chamado de ressonância e esse é responsável por destruir o caráter oscilatório do sistema Referências NUSSENZVEIG H Curso de física básica Fluidos oscilações e ondas calor Editora Blucher 2018 Curso de física básica ISBN 9788521207481 Disponível em httpsbooksgooglecombrbooksideDtRDwAAQBAJ Citado 4 vezes nas páginas 2 3 4 e 20 RESNICK R HALLIDAY D WALKER J Fundamentos De Física Gravitação Ondas E Termod LTC 2016 ISBN 9788521630364 Disponível em httpsbooksgooglecombr booksidiopPvgAACAAJ Citado 2 vezes nas páginas 2 e 7 TIPLER P MOSCA G Física para la ciencia y la tecnología Vol 1 Mecánica oscilaciones y ondas termodinámica Reverte 2021 ISBN 9788429195965 Disponível em httpsbooksgooglecombrbooksiduiovEAAAQBAJ Citado 3 vezes nas páginas 2 7 e 10 22