Ondas-Introducao ao Movimento Ondulatorio

Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 1 Onda O que ocorre com a folha sobre a água quando a onda chega até ela O que provoca uma onda Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Uma onda é uma propagação de alguma perturbação A energia transferida para retirar do equilíbrio ou seja para perturbar determinada partícula é transportada na matéria partícula a partícula ou para perturbar cargas transportando energia pelo campo eletromagnético até mesmo no vácuo Podemos então dizer que as ondas transportam energia O que é um pulso de onda Um pulso de onda é uma onda cuja pertubação que a origina não se repete Uma onda transporta apenas energia 2 Classificações das ondas 21 Quanto à natureza As ondas podem ser de natureza mecânica ou eletromagnética As ondas mecânicas necessitam de meio material para se propagarem Ou seja não se propagam no vácuo Ex Ondas sonoras As ondas sonoras propagamse em sólidos em líquidos e gases Mas não se propagam no vácuo Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 As ondas eletromagnéticas não necessitam de meio material para se propagarem Ou seja podem se propagar no vácuo Ex Ondas luminosas As ondas luminosas podem se propagar no vácuo além de sólidos líquidos e gases Ondas de rádio Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 O que acontece quando se coloca um telefone dentro de um recipiente com vácuo e se realiza uma chamada para ele 22 Quanto à direção de oscilação frente à direção de propagação As ondas podem ser longitudinais ou transversais e até mesmo uma combinação delas as ondas mistas As ondas longitudinais possuem elementos oscilantes na mesma direção de propagação da onda Ex ondas longitudinais em uma mola As ondas sonoras são ondas longitudinais Como o celular recebe o sinal de chamada A informação visual da tela do aparelho chega até a parte externa do recipiente A informação sonora chega à parte externa do recipiente Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 As ondas transversais possuem elementos oscilantes na direção perpendicular à direção de propagação da onda Ex transversais em uma corda Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 As ondas mistas possuem elementos oscilantes tanto na direção perpendicular à direção de propagação quanto na própria direção de propagação da onda As ondas na água são ondas mistas As direções dos elementos oscilantes em relação aos sentidos de propagação das ondas permitem classificálas em Ondas longitudinais Ondas transversais Ondas mistas Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Características parâmetros fundamentais de uma onda Amplitude máximo deslocamento de oscilação Comprimento de onda quanto a onda desloca em um período Frequência quanto oscila em determinado tempo Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 PARA SABER MAIS As ondas cerebrais e o Eletroencefalograma Exame EEG As ondas cerebrais são classificadas em gamma 3070Hz beta 1330Hz alpha 813Hz theta 48Hz e delta 14Hz Rechtschaffen 1968 Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 10 KEIL AFunctional correlates of macropic high frequency brain activity in the human visual system Neuroscience Biobehav Revista 25 Experimento Onda no barbante Recursos necessários Pedaço de barbante ex 30 𝑐𝑚 Procedimento experimental 1 Segure as extremidades do barbante mantendoo suspenso mas sem esticálo muito 2 Provoque uma oscilação vertical ex pontosobedescepontodescesobe ponto em uma das extremidades e observe o movimento do pulso de onda no barbante Classifique esse pulso de onda EXPERIMENTO Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 11 3 Segure o barbante por uma extremidade e com ele pendurado provoque uma oscilação vertical ex pontosobedescepontodescesobeponto e observe o pulso de onda gerado Classifique esse pulso de onda Faça a revisão desta aula ainda hoje Ondas Aula 1 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 12 Ondas Aula 2 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 As direções dos elementos oscilantes em relação aos sentidos de propagação das ondas permitem classificálas em Ondas longitudinais Ondas transversais Ondas mistas Ondas Aula 2 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Como poderíamos medir a velocidade de uma onda 1 Velocidade de uma onda por parâmetros intrínsecos características da própria onda comprimento de onda e frequência Qualquer onda se desloca em relação ao seu ponto de origem fonte Assim a velocidade de uma onda pode ser calculada tomandose o deslocamento de um ponto específico na direção do vetor de onda pelo intervalo de tempo correspondente 𝒗 𝒓 𝒕 Onde o deslocamento de onda 𝒓 é dado pela diferença entre o vetor de onda final 𝒓𝒇 subtraído do vetor de onda inicial 𝒓𝒊 𝒓 𝒓𝒇 𝒓𝒊 O deslocamento da onda no tempo de um período T ou seja seu comprimento de onda λ é a velocidade da onda 𝒗 𝒓 𝒕 𝝀 𝑻 Ou seja 𝒗 𝝀𝒇 Que é a equação fundamental da ondulatória Ondas Aula 2 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Exemplo autoria própria Um ouvinte sintoniza uma emissora de rádio FM na frequência de 921 MHz Sabendo que a velocidade das ondas de rádio no ar é de aproximadamente 300000 𝑘𝑚 𝑠 calcule o comprimento de onda aproximado dessas ondas Resposta Ondas Aula 2 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 2 Velocidade de uma onda por parâmetros extrínsecos características do meio material ou do campo oscilante 21 Velocidade de uma onda em uma corda por parâmetros extrínsecos características da corda Vamos considerar uma onda propagandose em uma corda da esquerda para a direita Como se realiza o movimento da corda e como este movimento relacionase com o movimento da onda Conseguiria simular uma onda por seus braços com as mãos entrelaçadas Ondas Aula 2 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Quando a onda passa por um segmento da corda este elemento da corda se movimenta por ação dos elementos vizinhos Para a propagação da onda para a direita o elemento da corda à esquerda puxa o próximo elemento para cima e para a esquerda Vamos considerar o elemento da corda no ponto mais alto da trajetória A força de tração 𝑇 nas extremidades do elemento de corda podem ser projetadas nas direções horizontal e vertical Vamos calcular a resultante das forças que atuam na corda Perceba que as componentes horizontais se anulam restando apenas as componentes verticais 𝑅 𝐹𝑥 𝑂 e 𝑅 𝐹𝑦 2𝑇 𝑦 𝑅𝐹𝑦 2𝑇 sen 𝜃 Onda Subida de um elemento da corda 1 2 3 4 θ θ 𝑇 𝑇 Ondas Aula 2 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Para ângulos aproximandose de zero 𝜃 0 notase que a função seno desse ângulo aproximase para o próprio ângulo sen 𝜃 𝜃 VERIFIQUE Assim utilizaremos sen 𝜃 𝜃 na expressão da resultante de forças 𝑅𝐹 𝑇2𝜃 𝑇 𝑙 𝑅 A massa do segmento de corda 𝑙 é 𝑚 𝜇𝑙 Existem três movimentos associados devido a uma onda em uma corda a considerar 1 Movimento da onda na horizontal 2 Movimento de oscilação de elementos da corda na vertical 3 Movimento de torção de segmentos da corda em arcos de circunferência O movimento de torção ocorre no seguimento de corda tomandoo como parte de uma circunferência imaginária e em torno do centro dessa circunferência da direita para a esquerda para uma onda que se propaga para a direita 𝑇 𝑇 𝑙 𝑅 θ Ondas Aula 2 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Dessa forma esse movimento em torno do centro dessa circunferência implica em uma aceleração centrípeta desse elemento da corda 𝑎 𝑣2 𝑅 Que de acordo com a Segunda Lei de Newton 𝑅𝐹 𝑚 𝑎 𝑇 𝑙 𝑅 𝜇𝑙 𝑣2 𝑅 𝑣 𝑇 𝜇 Equação de Taylor Exemplo 01 CARRON pág473 Uma corda de comprimento 3 m e massa 60 g é mantida tensa sob ação de uma força de intensidade 800 N Determine a velocidade de propagação de um pulso nessa corda Resposta 200 ms Faça a revisão desta aula ainda hoje Ondas Aula 3 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Equação de onda Considere uma onda propagandose em uma corda de massa específica 𝜇 e cuja amplitude é pequena de forma que a inclinação da corda seja mínima no comprimento 𝑑𝑥 Para um elemento da corda de massa 𝑑𝑚 temos uma aceleração transversal 𝑎𝑦 e as extremidades da corda estão tracionadas por uma força 𝑇 𝐹2 𝐹1 𝑇 De acordo com a Segunda Lei de Newton 𝐹2𝑦 𝐹1𝑦 𝑑𝑚 𝑎𝑦 Onde 𝑑𝑚 𝜇 𝑑𝑥 E 𝑎𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑎𝑦 𝐹2 𝐹1 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 Ondas Aula 3 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Da figura encontramos a relação entre 𝐹2𝑦 e a inclinação da corda no ponto de aplicação desta força 𝐹2𝑦 𝐹2𝑥 tan 𝜃 𝑆2 Onde S2 é a inclinação da reta s2 Mas 𝐹2 𝐹2𝑥 2 𝐹2𝑦 2 𝑇 Considerando uma pequena inclinação da reta s2 teremos 𝐹2𝑦 𝐹2𝑥 Então a equação anterior resumirseà 𝐹2𝑥 𝑇 𝐹2 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 𝐹2𝑦 𝐹2𝑥 𝑠2 𝑠1 𝐹1 𝜃 𝐹2𝑦 𝐹2𝑥 Ondas Aula 3 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Que substituída na equação de 𝑆2 resultará 𝐹2𝑦 𝑇𝑆2 Analogamente teremos para a extremidade esquerda da corda 𝐹1𝑦 𝑇𝑆1 Substituindo 𝐹1𝑦 e 𝐹2𝑦 na Segunda Lei de Newton 𝑇𝑆2 𝑇𝑆1 𝜇 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 Ou 𝑆2 𝑆1 𝑑𝑥 𝜇 𝑇 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 Onde para um infinitésimo de corda 𝑑𝑙 a diferença entre 𝑆2 e 𝑆1 será mínima 𝑆2 𝑆1 𝑑𝑆 No limite 𝑆 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Que substiuídas na expressão da Segunda Lei 𝑑𝑆 𝑑𝑥 𝜇 𝑇 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 E depois 𝑑𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜇 𝑇 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 Teremos 2𝑦 𝑥2 𝜇 𝑇 2𝑦 𝑡2 Ondas Aula 3 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Lembrando que para a corda 𝑣 𝑇 𝜇 E finalmente 2𝑦 𝑥2 1 𝑣2 2𝑦 𝑡2 A equação geral da onda em uma corda Para uma onda longitudinal em uma mola 2𝑦 𝑥2 1 𝑣2 2𝑦 𝑡2 Onde 𝑣 𝑘 𝐿 𝜇 Sendo 𝑘 a constante elástica da mola 𝐿 o comprimento natural da mola e 𝜇 a densidade linear da mesma A equação para um tipo de onda mecânica Ondas Aula 3 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Qual seria a solução desta equação 2𝑦 𝑥2 1 𝑣2 2𝑦 𝑡2 𝑦𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 Para uma onda eletromagnética teríamos como equações de onda 2𝐸 𝑥2 𝜀0𝜇0 2𝐸 𝑡2 2𝐵 𝑥2 𝜀0𝜇0 2𝐵 𝑡2 Onde 𝑣 𝑐 1 𝜀0𝜇0 𝜀0 8854 1012 𝐹 𝑚 𝜇0 4𝜋 107 𝐻 𝑚 1257 106 𝐻 𝑚 Faça a substiuição das constantes na equação anterior e encontre a velocidade Qual valor da velocidade você encontrou Um valor próximo a este 𝟐𝟗𝟗 𝟕𝟗𝟐 𝟒𝟓𝟖 𝒎 𝒔 𝟐 𝟗𝟗𝟖 𝟏𝟎𝟖 𝒎 𝒔 Ondas Aula 3 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Essa é a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo Que equivale a aproximadamente 7 voltas e meia na Terra equador em um segundo Veja a representação gráfica das ondas eletromagnéticas Faça a revisão desta aula ainda hoje Ondas Aula 4 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Vimos que a equação de uma onda em uma corda é do tipo 2𝑦 𝑥2 1 𝑣2 2𝑦 𝑡2 cuja solução é 𝑦𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 Agora considere a seguinte representação de uma onda senoidal yx t A senkx ωt Notase que em 𝑥1 e em 𝑥2 a posição é coincidente ou seja 𝑦𝑥1 𝑦𝑥1 𝜆 Se fizermos nas equações de onda t 0 teremos da igualdade anterior 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥1 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥1 𝜆 Onde se verifica 𝑘𝑥1 𝑘𝑥1 𝑘𝜆 2𝜋 Então 𝑘𝜆 2𝜋 E 𝑥1 𝑥2 𝜆 𝑦𝑥 𝑡 𝑥 𝑦𝑥1 𝑦𝑥1 𝜆 Ondas Aula 4 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 𝑘 2𝜋 𝜆 Onde k é denominado número de onda O que significa número de onda Escrito de outra maneira 𝑘 2𝜋 1 𝜆 Notase a relação inversa com o comprimento de onda Mas o que é mesmo o comprimento de onda Comprimento de onda é o comprimento que a onda percorre durante um ciclo Então número de onda é o número de ciclos que ocorrem em determinado comprimento Comparando com o período e a frequência da onda Um período é o tempo necessário para completar um ciclo Já a frequência é o número de ciclos que ocorrem no tempo de um segundo E se considerarmos 𝑇 𝑦𝑥 𝑡 𝑡 𝑦𝑡1 𝑦𝑡1 𝑇 𝑡1 𝑡2 Tente imaginar os retângulos como uma única fenda para termos a noção de movimento Ondas Aula 4 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Notase que em 𝑡1 e em 𝑡2 a posição é coincidente ou seja 𝑦𝑡1 𝑦𝑡1 𝑇 Para x 0 as equações de onda poderão ser comparadas pela equação anterior 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡1 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡1 𝑇 Então 𝜔𝑡1 𝜔𝑡1 𝑇 Ou seja 𝜔𝑡1 𝜔𝑡1 𝜔𝑇 2𝜋 Assim 𝜔𝑇 2𝜋 E 𝜔 2𝜋 𝑇 Ondas Aula 4 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda Considere uma onda em uma corda Pensemos no movimento transversal de um determinado elemento de massa desta corda Qual a energia mecânica associada ao movimento transversal de um elemento da corda Quais parâmetros seriam fundamentais para se conhecer a energia transportada pela onda Quais as características de uma onda com grande energia Energia Cinética Quando um elemento da corda de massa 𝑑𝑚 oscila transversalmente em MHS com velocidade 𝑢 e passa por 𝑦 0 u é máxima 𝐸𝐶 é máxima 𝑦 𝐴 u é nula 𝐸𝐶 0 Energia Potencial Elástica 𝑦 0 Deformação transversal máxima Figura 𝐸𝑃𝐸 é máxima 𝑦 𝐴 Deformação transversal nula 𝐸𝑃𝐸 0 Ondas Aula 4 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Taxa de Transmissão de Energia Energia cinética para um elemento da corda de massa 𝑑𝑚 𝑑𝐸𝐶 1 2 𝑑𝑚 𝑢2 𝑢 velocidade transversal de um elemento da corda 𝑢 𝑦 𝑡 𝜔𝐴 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 Note que não é a função SENO do MHS Fazendo 𝑑𝑚 𝜇𝑑𝑥 𝑑𝐸𝐶 1 2 𝜇𝑑𝑥 𝜔𝐴2 cos2𝑘𝑥 𝜔𝑡 Dividindo a equação anterior por 𝑑𝑡 teremos 𝑑𝐸𝐶 𝑑𝑡 1 2 𝜇 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑣 𝜔2𝐴2 cos2𝑘𝑥 𝜔𝑡 Taxa média 𝑑𝐸𝐶 𝑑𝑡 𝑚é𝑑𝑖𝑎 1 2 𝜇𝑣𝜔2𝐴2 cos2𝑘𝑥 𝜔𝑡𝑚é𝑑𝑖𝑎 1 2 Onde cos2𝑘𝑥 𝜔𝑡𝑚é𝑑𝑖𝑎 1 2 Dessa maneira a equação para a taxa média de variação da energia cinética resumese a 𝑑𝐸𝐶 𝑑𝑡 𝑚é𝑑𝑖𝑎 1 4 𝜇𝑣𝜔2𝐴2 Ondas Aula 4 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 E a taxa média de variação da energia potencial elástica para um sistema conservativo é a mesma taxa de variação da energia cinética Logo poderá ser escrita como 𝑑𝐸𝑃𝐸 𝑑𝑡 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝐸𝐶 𝑑𝑡 𝑚é𝑑𝑖𝑎 Então a Potência Média será 𝑃𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝐸𝐶 𝑑𝑡 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝐸𝑃𝐸 𝑑𝑡 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑃𝑚é𝑑𝑖𝑎 2 𝑑𝐸𝐶 𝑑𝑡 𝑚é𝑑𝑖𝑎 E finalmente 𝑷𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝟏 𝟐 𝝁𝒗𝝎𝟐𝑨𝟐 Exemplo Halliday pág 127 8ªed Uma corda tem uma massa específica de 525 𝑔 𝑚 e uma tensão de 45𝑁 Uma onda senoidal de frequência 120 𝐻𝑧 e amplitude 85 𝑚𝑚 é produzida na corda Com que taxa média a onda transporta energia Resposta 100 𝑊 Exemplo Halliday 26 pág 143 8ªed Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 270 𝑚 de comprimento e 260 𝑔 de massa A tensão na corda é de 360 𝑁 Qual deve ser a frequência de Ondas Aula 4 Introdução ao Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 ondas progressivas com uma amplitude de 770 𝑚𝑚 para que a potência média seja de 850 𝑊 Resposta 198 𝐻𝑧 Faça a revisão desta aula ainda hoje Ondas Aula 5 Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Velocidade de uma onda Considerando um ponto fixo da onda na altura ele se deslocará enquanto pulso energético Para o ponto A da figura em relação à onda 𝑦𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Onde 𝑦𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 Então 𝑘𝑥 𝜔𝑡 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Ou seja 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝐶 Derivando ambos os membros da igualdade 𝑑 𝑑𝑡 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐶 Teremos 𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝜔 0 𝑘𝑣 𝜔 Substituindo o número de onda 𝑘 Ondas Aula 5 Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 𝑣 𝜔 𝑘 𝜔 2𝜋 𝜆 Teremos finalmente 𝑣 𝜆𝑓 equação fundamental da ondulatória De maneira direta a velocidade de uma onda é a distância entre dois pontos consecutivos correspondentes cristacrista valevale etc na direção de propagação ou seja seu comprimento de onda 𝜆 dividido pelo tempo necessário para este ciclo ou seja seu período 𝑇 Assim 𝑣 𝜆 𝑇 ou 𝑣 𝜆𝑓 Exemplo 10 CARRON pág490 Uma onda mecânica que se propaga num determinado meio com velocidade de 150 ms apresenta as características da figura Qual a frequência dessa onda no SI 150𝑐𝑚 30𝑐𝑚 Ondas Aula 5 Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Resposta 250 Hz Exemplo Halliday 8ª ed exemplo Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação 𝑦𝑥 𝑡 000327 sen721𝑥 272𝑡 Onde as constantes numéricas estão em unidades do SI a Qual é a amplitude da onda b Quais são o comprimento de onda o período e a frequência da onda c Qual é a velocidade da onda d Qual é o deslocamento y para 𝑥 225 𝑐𝑚 e 𝑡 189 𝑠 e Qual e a velocidade transversal do elemento da corda em 𝑥 225 𝑐𝑚 e 𝑡 189 𝑠 f Qual é a aceleração transversal do mesmo elemento da corda nesse mesmo instante Resolução a 000327 𝑚 b 𝜆 2𝜋 𝜆 721 𝜆 00871 𝑚 𝑇 2𝜋 𝑇 272 𝑇 231 𝑠 𝑓 Ondas Aula 5 Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 1 𝑇 1 231 𝑓 0433 𝐻𝑧 c 𝑣 𝑣 𝜆𝑓 00871 0433 00377 𝑚 𝑠 𝜔 𝑘 d 𝑦225 𝑐𝑚 189 𝑠 𝑦0225 𝑚 189 𝑠 000327 sen7210225 272189 𝑦0225 𝑚 189 𝑠 000192 𝑚 e 𝑢225 𝑐𝑚 189 𝑠 𝑢𝑥 𝑡 𝑦𝑥 𝑡 𝑡 𝜔𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑢225 𝑐𝑚 189 𝑠 272000327 𝑐𝑜𝑠7210225 272189 𝑢225 𝑐𝑚 189 𝑠 00072 𝑚 𝑠 f 𝑎𝑦225 𝑐𝑚 189 𝑠 𝑎𝑦𝑥 𝑡 𝑢𝑥 𝑡 𝑡 𝜔2𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜔2𝑦𝑥 𝑡 𝑎𝑦225 𝑐𝑚 189 𝑠 𝜔2𝑦0225 𝑚 189 𝑠 2722000192 00142 𝑚 𝑠2 Ondas Aula 5 Movimento Ondulatório Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Exemplo Halliday 8ª ed 05 Se 𝑦𝑥 𝑡 60 𝑚𝑚 sen𝑘𝑥 600 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑡 𝜙 descreve uma onda que se propaga em uma corda quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos 𝑦 20 𝑚𝑚 e 𝑦 20 𝑚𝑚 Resolução Faça a revisão desta aula ainda hoje sen1 20 60 𝑘𝑥 600𝑡1 𝜙 sen1 20 60 𝑘𝑥 600𝑡2 𝜙 sen1 1 3 sen1 1 3 600𝑡1 𝑡2 𝑡1 𝑡2 11𝑚𝑠 20 𝑚𝑚 60𝑚𝑚 sen𝑘𝑥 600 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑡1 𝜙 𝒚𝒙 𝒕 𝟔 𝟎𝒎𝒎 𝐬𝐞𝐧𝒌𝒙 𝟔𝟎𝟎 𝒓𝒂𝒅 𝒔 𝒕 𝝓 20 𝑚𝑚 60𝑚𝑚 sen𝑘𝑥 600 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑡2 𝜙 𝐴 𝐴 20 𝑚𝑚 20 𝑚𝑚 𝑡 𝑡1 𝑡2 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Ondas periódicas Uma onda periódica é gerada por perturbações de mesmo período ou seja são pulsos seguidamente emitidos em intervalos de tempos iguais As partículas de um meio no qual percorre uma onda periódica realizam cada uma delas um MHS Considere o sistema periódico abaixo Parte do sistema está mergulhado na água e o que se observa são pulsos de onda equidistantes Mesmo princípio aplicado a uma corda Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Fenômenos Ondulatórios Reflexão Quando um pulso de onda percorre uma corda de extremidade fixada numa parede este se choca com a superfície e de acordo com a Terceira Lei de Newton recebe uma força de igual intensidade porém de sentido contrário Consequentemente o pulso de onda refletido é invertido Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 Corda com extremidade fixa reflete o pulso com inversão de fase Se a o pulso de onda propagarse numa corda com extremidade móvel o pulso refletido será de mesma fase que o pulso incidente Corda com extremidade móvel reflete o pulso sem inversão de fase Exemplo 02 CARRON pág487 A perturbação senoidal representada na figura no instante t 0 propagase da esquerda para a direita em uma corda presa rigidamente em sua extremidade direita A velocidade de propagação da perturbação é de 30 𝑚𝑠 e não há dissipação de energia nesse processo Trace a figura que representa a perturbação após 2 𝑠 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Aeronaves Stealth e a reflexão das ondas do radar F117 Comanche 4 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Refração O fenômeno de refração ocorre sempre que há mudança do meio de propagação da onda ou em suas características Por exemplo se unirmos duas cordas iguais mas de diferentes áreas de seção transversal e tencionarmos suas extremidades aplicando um pulso de onda o que observaremos A velocidade da onda na corda tensionada é dada por 𝑣 𝑇 𝜇 𝑇 𝜌𝐴 𝜇 𝜌𝐴 já que dimensionalmente 1 m3 m2 1 m Seja 𝑎 a área de seção transversal da corda mais fina e 𝐴 a da corda mais grossa A velocidade do pulso na corda mais grossa será 𝑣1 𝑇 𝜌𝐴 E a velocidade do pulso na corda mais fina será A P r o f T h i a g o M a c h a d o L u z a 𝑇 𝑇 2 0 2 0 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 𝑣2 𝑇 𝜌𝑎 Comparando ambas as equações 𝑣2 𝑣1 Consideremos as possíveis configurações Da mais fina para a mais grossa O pulso refletido é invertido e menor que o refratado Além disso a velocidade do pulso na corda mais grossa como já sabemos é menor que na corda mais fina Da mais grossa para a mais fina O pulso refletido é menor que o refratado Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Interferência Quando dois pulsos de onda se propagam em sentidos opostos estes se encontram numa região e a figura característica da superposição é um pulso com ganho de amplitude Temos aí a denominada interferência construtiva Na figura a seguir temos uma interferência totalmente construtiva sem diferença de fase 1 2 Quando dois pulsos com oposição de fase viajam em sentidos de aproximação passam um pelo outro no momento da superposição temos um pulso com perda de amplitude É a denominada interferência destrutiva Na figura a seguir temos uma interferência totalmente destrutiva perda para os dois pulsos Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 Portanto interferência é o fenômeno ondulatório resultante da superposição de ondas de mesma natureza ou seja da composição de ondas no momento da passagem de uma pela outra atenuandose ou reforçandose mutuamente Consideremos duas ondas se propagando em uma corda e defasadas por um valor 𝜙 𝑦1𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑦2𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜙 Princípio da Superposição A soma dos efeitos individuais determinam o efeito resultante 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝑦1𝑥 𝑡 𝑦2𝑥 𝑡 Então 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜙 Utilizando a identidade trigonométrica sen 𝛼 sen 𝛽 2 sen 1 2 𝛼 𝛽 cos 1 2 𝛼 𝛽 Logo 𝑦𝑅𝑥 𝑡 2𝐴 cos 1 2 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝜔𝑡 1 2 𝜙 Onde 𝜙 é a diferença de fase entre as ondas Note que além da amplitude a fase da onda resultante também é alterada Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 Figura 1 Duas funções harmônicas de mesmo período e mesma amplitude com diferença de fase igual a 8 têm suas amplitudes parcialmente reforçadas S1 em verde S2 em azul soma S S1 S2 em vermelho Faça a revisão desta aula ainda hoje As ondas interagem mas não se impedem de propagar Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Exemplo Halliday 4ª ed Duas ondas que se propagam movendose no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada se interferem mutuamente A amplitude de cada onda é 97 𝑚𝑚 e a diferença de fase entre elas é 110 a Qual é a amplitude da onda formada pela interferência dessas duas ondas b Que diferença de fase entre as duas ondas de amplitudes idênticas tornaria a amplitude da onda resultante idêntica àquelas das ondas que estão interferindo Solução Sabemos que a onda resultante da interferência é dada por 𝑦𝑅𝑥 𝑡 2𝐴 cos 1 2 𝜙 sen 𝑘𝑥 𝜔𝑡 1 2 𝜙 Onde 2𝐴 cos 1 2 𝜙 𝐴𝑅 amplitude da onda resultante a 𝐴 97𝑚𝑚 𝜙 110 𝐴𝑅 𝐴𝑅 2𝐴 cos 1 2 𝜙 𝐴𝑅 297𝑚𝑚cos110 2 11𝑚𝑚 b 𝜙 𝐴𝑅 𝐴 97𝑚𝑚 𝐴𝑅 2𝐴 cos 1 2 𝜙 97𝑚𝑚 297𝑚𝑚 cos 1 2 𝜙 1 2 𝜙 cos1 1 2 𝜙 2 cos1 1 2 260 120 𝑜𝑢 120 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 Equilíbrio dinâmico de ondas Ondas estacionárias Consideremos duas ondas se propagando em uma corda em sentidos opostos 𝑦1𝑥 𝑡 𝐴1 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑦2𝑥 𝑡 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 Nota o tempo negativo na função de onda 𝑦2 indica a propagação da onda no sentido contrário à função de onda 𝑦1 Isto indica que a 𝑦2 pode ser vista como a função 𝑦1 exibida em câmera reversa Princípio da Superposição 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝑦1𝑥 𝑡 𝑦2𝑥 𝑡 Então 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝐴1 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 Utilizando a identidade trigonométrica 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛽 cos 𝛼 Logo 𝒚𝑹𝒙 𝒕 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒌𝒙 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 𝑨𝟐 𝑨𝟏 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕𝐜𝐨𝐬𝒌𝒙 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 A onda resultante da combinação de outras ondas pode não ser uma onda progressiva ou seja pode não haver um deslocamento da onda em 𝑥 Assim tal onda é denominada onda estacionária e alguns pontos notáveis são destacáveis Os nodos e os antinodos Os nodos são os pontos de amplitude mínima enquanto que os antinodos são os pontos de amplitude máxima Veja a figura Na equação da onda resultante da interferência de duas ondas 𝑦1 e 𝑦2 para os nodos teremos 𝑦𝑅 0 e a equação poderá ser escrita como 0 𝐴1 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 cos𝜔𝑡 𝐴2 𝐴1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 cos𝑘𝑥 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Para 𝑥 0 localização de um nodo e 𝑡 0 0 𝐴2 𝐴1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝐴2 𝐴1 Para formar uma onda estacionária é necessário combinar ondas de mesma amplitude ondas idênticas já que 𝑘 𝑒 𝜔 também são iguais em cada uma das ondas Fazendo 𝐴1 𝐴2 na equação da interferência obtemos 𝑦𝑅𝑥 𝑡 2𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 cos𝜔𝑡 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 De outra maneira considerando de antemão as igualdade de amplitude teremos 𝑦1𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑦2𝑥 𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 Pelo Princípio da Superposição temse 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝑦1𝑥 𝑡 𝑦2𝑥 𝑡 Então 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 Utilizando a identidade trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 2 𝑠𝑒𝑛 1 2 𝛼 𝛽 𝑐𝑜𝑠 1 2 𝛼 𝛽 Temos 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝐴 2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑘𝑥 𝜔𝑡 E como esperado 𝑦𝑅𝑥 𝑡 2𝐴 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 cos𝜔𝑡 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Amplitude máxima quando 𝑘𝑥 𝜋 2 Então 2𝜋 𝜆 𝑥 𝜋 2 e 𝑥 𝜆 4 para 𝐴𝑅 2𝐴 Amplitude mínima quando 𝑘𝑥 𝑛𝜋 𝑛 0 1 2 O som e o movimento das moléculas do ar httpfaradayphysicsutorontocaIYearLabIntrosStandingWavesFlashlon gwavehtml Física da Música httpfaradayphysicsutorontocaGeneralInterestHarrisonFlashTempera mentTemperamenthtml Faça a revisão desta aula ainda hoje Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 1 Ondas estacionárias em cordas vibrantes e frequências de ressonância Considere uma corda de comprimento 𝑙 Tente descobrir a frequência natural de oscilação modo fundamental de oscilação desta corda Descubra qual frequência gera o seguinte padrão de oscilação Considerando que os extremos são nós pontos que não oscilam teremos o comprimento 𝑙 igual a meio comprimento de onda ou seja 𝐿 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 2 𝐿 𝜆1 2 ou 𝜆1 2𝐿 Se a onda percorre a corda numa velocidade 𝑣 sabemos que essa velocidade nos leva ao cálculo da frequência 𝑓 𝑓1 𝑣 𝜆1 Substituindo 𝜆1 nesta equação teremos o modo fundamental de oscilação primeiro harmônico 𝑓1 𝑣 2𝐿 Se alterarmos a frequência de oscilação da corda de modo que apareçam dois ventres pontos de altura máxima Teremos o comprimento da corda coincidindo com o comprimento da onda 𝜆2 𝐿 A equação da velocidade nos permite escrever 𝑓2 𝑣 𝜆2 Ou seja 𝑓2 𝑣 𝐿 Equivalente a frequência de ressonância do segundo harmônico Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 3 𝑓2 2 𝑣 2𝐿 Se aumentarmos a frequência veremos 𝜆3 2 3 𝐿 Dessa forma chegamos a frequência de ressonância do terceiro harmônico 𝑓3 3 𝑣 2𝐿 Generalizando para n ventres 𝑓𝑛 𝑛 𝑣 2𝐿 A frequência de ressonância que gera 𝑛 ventres é 𝑛 vezes a frequência do modo fundamental de oscilação 𝑓𝑛 𝑛 2𝐿 𝑇 𝜇 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 4 Corda de guitarra Harmônico em uma corda de guitarra Fonte de Tensão Dados experimentais Comprimento da corda Densidade da corda Massa do motor Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 5 Exemplo 02 PAULI pág57 Uma corda de comprimento 05 𝑚 e massa específica linear densidade de 40 𝑔𝑚 está sujeita à força tensora de 4 𝑁 e vibra no chamado modo fundamental Determine a frequência da onda estacionária que se estabelece Resposta 10 Hz Exemplo V1 PENTEADO pág326 Um motor produz vibrações transversais com frequência de 100 𝐻𝑧 em uma corda de 120 𝑚 de comprimento que tem uma das extremidades fixa a uma parede e a outra ligada ao motor Ao longo do comprimento da corda estabelecese uma onda estacionária que apresenta quatro regiões ventrais Determine a o comprimento de onda das ondas progressivas que geraram a onda estacionária b a velocidade de propagação das ondas na corda Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 6 Ondas estacionárias planas Algumas figuras de Chladni Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 7 Fasores Representação de ondas e cálculo de onda resultante Um fasor é um vetor em rotação que representa amplitude fase e frequência de uma onda O módulo desse vetor corresponde à amplitude A da onda a direção e sentido representam a fase 𝜙 e a velocidade angular representa a frequência angular 𝜔 da onda 𝑦1𝑥 𝑡 𝐴1 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜙1 𝑦2𝑥 𝑡 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜙2 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝛽 𝐴2 𝐴1 𝜙1 𝜙2 Onde 𝐴𝑅 é a amplitude da onda resultante e 𝛽 é a constante de fase da onda resultante diferença de fase das ondas originais 𝛽 𝜙2 𝜙1 𝐴𝑅 𝐴1 2 𝐴2 2 2𝐴1𝐴2 cos 𝛽 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 8 Exemplo Halliday pág 134 8ªed Duas ondas senoidais 𝑦1𝑥 𝑡 e 𝑦2𝑥 𝑡 têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no mesmo sentido em uma corda As amplitudes respectivas são 40 𝑚𝑚 e 30 𝑚𝑚 e as constantes de fase são 0 e 𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 respectivamente Quais são a amplitude e a constante de fase da onda resultante Escreva a equação da onda resultante Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 9 Utilize agora 𝐴𝑅 𝐴1 2 𝐴2 2 2𝐴1𝐴2 cos 𝛽 Resolução 𝑦1𝑥 𝑡 40 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 0 𝑦2𝑥 𝑡 30 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜋 3 𝑦𝑅𝑥 𝑡 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝛽 𝐴𝑅 𝛽 Diagrama fasorial 𝐴1 𝐴2 𝜋 3 Diagrama fasorial 𝐴1 𝐴2 𝜋 3 𝐴𝑅 𝐴𝑅𝑦 𝐴𝑅𝑥 𝐴𝑅 𝐴𝑅𝑥2 𝐴𝑅𝑦 2 𝐴𝑅𝑥 𝐴1𝑥 𝐴2𝑥 𝐴1 𝐴2 cos𝜋 3 𝐴𝑅𝑥 40 301 2 55 𝑚𝑚 𝐴𝑅𝑦 𝐴1𝑦 𝐴2𝑦 0 𝐴2 sen𝜋 3 𝐴𝑅𝑦 0 303 2 26 𝑚𝑚 𝐴𝑅 55 2 262 61 𝑚𝑚 𝛽 tan1 𝐴𝑅𝑦 𝐴𝑅𝑥 tan1 26 55 044 𝑟𝑎𝑑 𝑦𝑅𝑥 𝑡 61 𝑚𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝜔𝑡 044 𝑟𝑎𝑑 Ondas Aula 6 Fenômenos Ondulatórios Prof Thiago Machado Luz Curso de Bacharelado em Engenharia 10 Exemplo Halliday 35 pág 143 8ªed Duas ondas senoidais de mesma frequência se propagam no mesmo sentido em uma corda Se 𝐴1 30 𝑐𝑚 𝐴2 40 𝑐𝑚 𝜙1 0 e 𝜙2 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 qual é a amplitude da onda resultante Resposta 50 𝑐𝑚 Faça a revisão desta aula ainda hoje Relatório de Ondas Sumário 1 Introdução 2 2 Noção introdutória e características básicas das ondas 2 3 Descrição matemática de uma onda 5 31 Ondas progressivas 5 32 Ondas harmônicas 6 33 Equação da onda 10 4 Ondas numa corda 11 5 Superposição de ondas 13 51 Ondas estacionárias 15 6 Energia numa onda 18 7 Alguns fenômenos ondulatórios 21 Referências 21 1 1 Introdução Um dos objetos de maior interesse na física são as ondas De fato esse ente físico imerge em diversas áreas da física e suas aplicações permeiam tanto o âmbito clássico quanto o âm bito quântico Em geral o grande problema do estudo de ondas consiste em determinarmos algumas grandezas associadas a sua dinâmica de propagação a citar período frequência am plitude de oscilação e pontos de equilíbrio No entanto sua relevância e significância em parti cular aplicado a problemas reais fez com que o desenvolvimento teórico desses objetos físicos transcendesse significativamente suas usais aplicações permitindo inclusive a determinação de funções que descrevem completamente a propagação de ondas Em relação a suas aplicações as ondas aparecem de fato em vários cenários Em particu lar na engenharia elétrica e sistemas de informação o ente propagador de informação consiste essencialmente numa onda eletromagnética Ademais o estudo de ondas também possui um caráter enormemente teórico o qual é usualmente estudado por matemáticos que buscam obter soluções para equações diferenciais que tenham propriedades matemáticas que sejam semelhan tes ou iguais as propriedades das ondas que conhecemos Já na física a provável maior benefi ciária as ondas aparecem desde o estudo de sistemas oscilatórios como o oscilador harmônico e estendemse até a descrição de fenômenos na física quântica como os pacotes de ondas ou mesmo na relatividade geral por exemplo a emissão de radiação Hawking de buracos negros em rotação Nesse sentido o estudo das ondas tornase extremamente interessante e significativo não apenas para a formação de físicos mas também engenheiros matemáticos e estudantes da grande área das ciências exatas e afins Tendo isso em vista faremos nesse relatório a descri ção de diversos temas que permeiam a teoria de ondas nos ateremos aos aspectos basilares da teoria em particular por entendermos que a formação de uma base no assunto tornase neces sariamente importante a um primeiro estudo visto que com isso tópicos mais avançados na teoria como o estudo de ondas solitárias poderão tornarse factíveis ao estudante Para isso revisaremos as seguintes bibliografias que constituem os principais livros textos empregados para o estudo de oscilações nas universidades brasileiras NUSSENZVEIG 2018 TIPLER MOSCA 2021 e primorosamente seguiremos a linha de conteúdo abordada por RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 2 Noção introdutória e características básicas das ondas O início do estudo de ondas deve primeiramente preocuparse com a concepção de onda isto é seu conceito como podemos definir esse objeto físico De fato podemos definir a ideia de onda como sendo a seguinte Definição 1 Onda Uma onda é uma perturbação periódica que se propaga transportando apenas energia 2 A Definição já explicita algumas características primordiais desse ente físico Primeira des sas é que a onda é uma perturbação periódica aqui devemos dar ênfase ao caráter periódico mencionado pois a partir disso podemos já entender que as ondas deverão necessariamente herdar características presentes nos movimentos oscilatórios ou mesmo ser parte desse tipo de movimento Além disso outro ponto que merece destaque é que essa onda ao se propagar transporta apenas energia em particular aqui temos dois pontos revelados sobre as ondas o primeiro é que essa perturbação transporta energia assim já podendo associarse com diversos tipos de energias que são comumente apresentadas em problemas físicos e grandezas como po tência e o balanço de energia tornamse factíveis para descrever tais objetos Por outro lado também é dito que as ondas transportam apenas energia ou seja tudo que não for energia não poderá ser transportado por uma onda a consequência desse fato é que ondas serão incapazes de transportar matéria Posto a caracterização inicial sobre ondas adentraremos nos tipos de ondas possíveis Atu almente existem vários tipos de ondas e essas são classificadas como ondas mecânicas ondas eletromagnéticas ondas de matéria e ondas gravitacionais Em particular as duas últimas são manifestações ondulatórios que ocorrem respectivamente em regimes da física quântica e da relatividade geral portanto essas não constituem os casos elementares sobre ondas em ver dade essas duas são suficientemente mais complexas de serem estudadas que as ondas as quais nos ateremos aqui no entanto é imprescindível que citemos suas existências Dito isso po demos então nos ater a classificação da onda referente a sua natureza sendo possível então a classificação das ondas em mecânicas ou eletromagnéticas definamos ambas abaixo Definição 2 Ondas mecânicas As ondas mecânicas constituemse por perturbações periódi cas que necessitam de um meio material isto é composto por partículas para propagarse Definição 3 Ondas eletromagnéticas As ondas eletromagnéticas constituemse por pertur bações periódicas que necessitam de um meio material isto é composto por partículas para propagarse Com essas duas definições a classificação e distinção de ondas eletromagnéticas e mecâ nicas fica clara Não apenas isso mas essa nos permite inclusive classificar ondas conhecidas em cada um dos tipos em particular podemos exemplificar as ondas eletromagnéticas através da luz e das radiações infravermelho luz visível raio X ondas de rádio microondas e ul travioleta essas que constituem o chamado espectro eletromagnético Já as ondas mecânicas podem ser exemplificadas como o som o qual precisase de um meio para se propagar o qual por vezes é o ar ou mesmo um material qualquer outro exemplo interessante são ondas numa água de fato essas ondas existem apenas por estarem na superfície meio da água Ademais outro ponto que devemos já destacar para a consideração é sobre a direção de propagação da onda Em particular classificaremos agora o movimento das ondas em dois tipos transversal e longitudinal Esses tipos de movimentos estão associados as direções em 3 relação ao pulso isto é da perturbação feita para que a onda seja gerada bem como o sentido que essa onda está se propaga Em verdade o primeiro tipo são as ondas transversais nesse caso a onda é caracterizada por ter o sentido de propagação sendo perpendicular ao sentido do pulso aplicado exemplificando isso podemos imaginar uma corda presa a um anteparo e ao balançarmos a corda para cima e para baixo direção vertical vemos a formação de uma perturbação que se propaga horizontalmente na corda esse exemplo está esquematizado na Figura 1 Figura 1 Esquematização de uma onda numa corda Fonte NUSSENZVEIG 2018 Em particular note que na Figura 1 fica claro que o pulso é realizado no eixo y e a onda propagase no eixo x os quais formam um ângulo de 90 entre sí assim sendo transversais exemplos de ondas transversais são todas as ondas eletromagnéticas Ademais o outro tipo de onda ocorre se a propagação da onda ocorrer exatamente na mesma direção que o pulso que foi aplicado esse caso é esquematizado na Figura 2 onde temos uma onda que se propaga na direção da própria mola ou seja a propagação ocorre longitudinalmente ao pulso Figura 2 Esquematização de um pulso aplicado numa mola Fonte Do Autor 4 Com isso conseguimos obter os aspectos fundamentais que caracterizam as ondas sendo estes quanto a natureza ou quando a direção de propagação 3 Descrição matemática de uma onda De posse dos conceitos que caracterizam as ondas podemos então partir para uma descrição matemática da onda Em particular aqui nos ateremos a desenvolver os fundamentos teóricos e matemáticos que compõem as ondas Não obstante a obtenção de uma descrição matemática se faz necessária tanto por podermos entender de forma mais profunda o problema em questão quanto também em poder melhor controlálo para uso em aplicações tecnológicas Tendo isso em vista partiremos nessa seção para a descrição matemática da onda a qual será feita inicialmente numa onda unidimensional progressiva Posteriormente generaliza remos essas ideias para ondas harmônicas e ondas tridimensionais Ademais ao longo da construção da equação que rege o comportamento das ondas faremos a definição de diversas quantidades físicas que são essenciais para o entendimento das ondas 31 Ondas progressivas Vamos nos ater inicialmente a descrição de uma onda progressiva unidimensional por simplicidade diremos que a onda se move da esquerda para direita sobre o eixo x conforme ilustrado na Figura 3 Figura 3 Esquematização de uma onda progressiva a no instante inicial e em b no instante t que se se move sobre o eixo x com velocidade constante v Fonte NUSSENZVEIG 2018 Partino da figura 3 temos dois referenciais isto é O e O No entanto podemos facilmente 5 relacionar as grandezas como velocidade e posição nos diferentes referenciais por meio das transformações de Galilei Em particular temos que no referencial O as posições y e a posição x são dadas por x x vt y y Em verdade essa colocação nos guia ao entendimento de que a função y yx t pode ser escrita como uma função cujo argumento seja x isto é x vt Assim podemos escrever que yx t fx vt essa escrita descreve que a posição y dependerá da velocidade de propagação v da onda para a direita mas também dependerá da evolução temporal do sistema ou seja o quanto t evolui No entanto essa expressão não é completa de fato ela contém apenas uma porção do movimento podendo então moverse também para a esquerda Logo yx t também poderia ser escrita da seguinte forma yx t gx vt onde agora a velocidade v aparece com sinal positiva que é interpretado como o onda que se propaga para a esquerda Todavia ambas as formas apresentadas são incompletas pois descrevem apenas uma parte do movimento ondulatório Em verdade uma solução completa deveria conter toda informação da onda ou seja de ambos os movimentos em verdade isso poderia ser obtido por uma função da seguinte forma yx t fx vt gx vt 1 A Equação 1 contém toda informação sobre o movimento da onda No entanto não te mos o conhecimento das funções f e da g entretanto a escrita dessa forma já muito poderosa e transmite um importante aspecto tanto físico quanto matemático a superposição de estados fisicamente e a superposição de soluções matematicamente Em verdade nos desenvolvi mentos posteriores ficará claro como esse princípio nos guiará naturalmente a forma da equação da onda 32 Ondas harmônicas Agora nos ateremos a analisar outro tipo de onda essas são as ondas harmônicas De fato essas ondas tornamse interessantes para nosso estudo por estarem associadas diretamente aos estudos anteriores sobre movimentos oscilatórios visto que essas ondas são geradas por per turbações que possuem o comportamento de um oscilador harmônico simples Nesse sentido a dinâmica dessas ondas deve ser de certa forma associado aos osciladores harmônicos uma esquematização desse tipo onda está apresentado na Figura 4 Conforme já dito essas são semelhantes aos osciladores harmônicos Então sua dinâmica 6 Figura 4 Esquematização de uma onda harmônica Fonte NUSSENZVEIG 2018 deve ser descrita por uma função similar a solução obtida para os osciladores harmônicos isto é uma função cosseno por exemplo Assim consideremos uma onda com perfil senoidal isso é fx A coskx δ onde δ é o deslocamento de fase A a amplitude de onda e x o deslocamento do referencial O discutido anteriormente Portanto devemos ter que x xvt daí teremos a seguinte equação yx t fx vt A coskx vt δ 2 Não ainda comparando com o oscilador harmônico podemos inferir que da Equação 2 a frequência ω de oscilação é dada por ω kv 2πν 2π τ 3 onde k agora não designa mais a constante elástica da mola mas sim uma quantidade chamada de número de onda ou período espacial da onda ν denota a frequência e τ o período da onda Assim temos que a equação de movimento da onda passa a ser yx t A coskx ωt δ Ademais é interessante analisarmos melhor a grandeza k façamos a análise dimensional da mesma partindo da frequência de oscilação com efeito temos k ms s1 k m1 4 ou seja a grandeza k denota uma quantidade física que possui unidade de inverso de unidade de comprimento Em particular isso é importante pois a partir dessa podemos definir uma outra quantidade a qual chamaremos de comprimento de onda De fato da forma que k é posto vemos que o número de onda será associado a quantidade de vezes que a onda executará uma 7 repetição dito isso podemos definir a seguinte quantidade λ 2πk Chamaremos a quantidade λ de comprimento de onda essa no que lhe concerne possui uma grande generalidade pois pode ser associada a qualquer onda Não apenas isso mas esse número pode ser calculado de diversas formas não apenas pela relação dada pela Equação 5 Para isso precisaremos definir algumas quantidades importantes sendo estas as noções de crista vale e ponto de equilíbrio de uma onda essas definamos a seguir Definição 4 Chamamos de vale o ponto mais baixo de uma onda enquanto o ponto mais alto é o chamado de crista Entre os pontos de vale e crista temos os chamados pontos de equilíbrio que ocupam as posições médias de oscilações das ondas Com a finalidade de exemplificação consideremos a Figura a seguir Figura 5 Esquematização de uma onda senoidal onde os pontos C D E denotam as cristas A e B denotam os vales e f g e h são as algumas posições de equilíbrio localizadas ao longo do eixo horizontal Fonte Adaptado pelo autor de RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 Posto isso podemos então expressar o comprimento de onda λ como sendo a distância entre duas cristas entre dois vales ou mesmo a distância de um ponto de equilíbrio até o ponto de equilíbrio após o vale mais próximo Com fins ilustrativos considere a Figura 6 Ademais podemos ainda relacionar três equações advindas da definição da frequência angular estas são ν k2π v λ 2πk e disso temos da segunda k 2πλ Daí pondo na primeira teremos ν 12π 2πk v vλ Figura 6 Esquematização do comprimento de onda numa onda senoidal Fonte Adaptado pelo autor de RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 que nos permite a concluir a seguinte equação v λν 7 A equação 8 é a chamada equação fundamental da ondulatória essa possui uma grande significância pois por mais que tenha sido deduzida no cenário das ondas harmônicas essa relação vale para toda e qualquer onda RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 Sendo essa a expressão que estabelece a velocidade da onda em termos de sua frequência e comprimento de onda não obstante sabemos do estudo de oscilações que a frequência e o período se relacionam por τ 1 ν Com isso estabelecemos a equação fundamental da ondulatória em termos do período τ de fato essa é dada por v λ 1 τ 8 Ademais dado o conhecimento da equação para ondas harmônicas podemos então esta belecer as funções velocidade e aceleração a partir do conhecimento da derivada de fato estas são dadas por vyx t yx t t ωA sinkx ωt δ ayx t 2yx t t2 ω2A coskx ωt δ 9 sendo totalmente análogas ao comportamento que ocorre no oscilador harmônico Claramente podemos expressar a equação de posição da onda como sendo dada em termos de uma função 9 senoide ou seja da forma y A sinkx ωt δ 33 Equação da onda Feita a discussão sobre ondas e afins podemos agora partir para o desenvolvimento da equação diferencial que rege as ondas Em particular faremos essa dedução para o caso das ondas progressivas já discutidas usaremos algumas ideias já estabelecidas tanto em ondas progressivas quanto em ondas harmônicas Nesse sentido consideremos novamente as equações para ondas progressivas estas são x x vt y xt fx f x vt Agora calcularemos as derivadas parciais de y xt Com efeito teremos dydt dfxdt dfx vtdt dx vtdt fx v fx d²ydt² ddt dfdt dx vtdx v ²fx² v² ²fx² No entanto temos também que ²fx² ²fx² xx d²fdx² e sem perda de generalidade podemos então garantir o resultado análogo para x sem ou seja vale ainda que ²fx² d²fdx² Logo podemos então escrever a seguinte equação d²ydt² v² d²ydx² Onde a Equação 13 corresponde a chamada Equação da onda unidimensional Essa equação é uma equação diferencial parcial de segunda ordem sua solução corresponde as funções da forma y fx vt e y gx vt Ademais a generalização para dimensões maiores é imediata e essencialmente compõe mais derivadas de segunda ordem d²fdt² v² d²fdx² d²dy² d²fdz² essa pode ser posta na forma compacta por 2f 1 v2 2f t2 15 onde é o chamado operador gradiente e dado por d2f dx2 d2 dy2 d2f dz2 16 A Equação 15 constitui uma equação fundamental na física sendo essa associada a descrição de uma onda em três dimensões Em suma essa equação nos leva inclusive a generalizar o conceito de onda de modo a termos uma noção ainda mais geral no entanto por vezes desprovida de sentido físico assim podemos definir uma onda como sendo todo objeto que satisfaz a Equação 15 4 Ondas numa corda Dado o entendimento sobre ondas de forma geral agora nos ateremos ao estudo de uma onda numa corda Esse caso é suficientemente relevante pois a partir dele discutiremos alguns casos relevantes como ondas estacionárias e modos de vibração além de que determinaremos uma expressão para a velocidade da onda em uma corda Nesse sentido começaremos analisando uma corda conforme mostrado na Figura 7 Figura 7 Esquematização de uma corda tensionada Fonte NUSSENZVEIG 2018 Em suma temos uma corda tensionada sob uma força de tração T que age na corda for mando um ângulo θ Partindo disso podemos analisar que o ângulo θ satisfaz as seguintes equações 11 sinθ y T tanθ y x T dy dx 17 Multiplicando por T e impondo que θx seja suficientemente pequeno temos que sinθ tanθ Portanto disso obtemos que T sinθ T tanθ dy dx 18 No entanto há ainda uma outra força que aparece no sistema que está na posição x x essa é calculada de forma análoga a anterior sendo dada por T dyx x dx 19 Logo temos o seguinte T dyx x dx T dy dx x y xx x t y xx t x T onde o termo dos colchetes é no limite em que x 0 a derivada segunda de y em x Logo a força resultante na corda é dada por T 2y x2x Da segunda lei de Newton obtemos que para um pedaço infinitesimal de massa m ou seja m µx onde µ é a densidade linear do cabo temos que T 2y t2 x ma µx2y t2 disso obtemos a seguinte equação 2y x2 µ T 2y t2 20 que é a equação de uma onda numa corda Note que essa equação é análoga a equação da onda unidimensional portanto permite que nós determinemos a velocidade de fato o termo 12 que acompanha a derivada temporal deve ser exatamente 1v² ou seja com isso obtemos que 1v² μT v Tμ que é a velocidade de uma onda numa corda 5 Superposição de ondas De posse dos conhecimentos sobre ondas sua dinâmica e equações que regem o comportamento das mesmas podemos agora entender como ocorre a interação a duas ondas Aqui nos restringiremos a análise de apenas duas ondas que interagem em particular estamos interessados no seguinte cenário duas ondas que se propagam na mesma direção e em sentidos opostos Esse esquema pode ser mostrado na Figura 8 Figura 8 Esquematização da interferência entre duas ondas Fonte Adaptado de RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 Não obstante há alguns tipos de interferências que podem acontecer nas ondas sendo essas construtivas ou destrutivas Especificamente as interferências construtivas ocorrem quando duas ondas interferemse e as cristas das ondas no instante da colisão se somam Por outro lado as interferências destrutivas ocorrem de modo que as cristas das ondas se subtraem esse caso é ilustrado na Figura 8 Ademais podemos ainda passar a uma descrição quantitativa do fenômeno de interferência de ondas Nesse sentido vamos considerar duas ondas cujo equações de posição sejam dadas por y₁xt ym sinkx ωt y₂xt ym sinkx ωt φ ou seja temos uma onda y2 deslocada por um fator ϕ em relação à onda y1 cujo frequência angular e número de onda são respectivamente ω e k Consequentemente essas ondas terão ainda o mesmo comprimento de onda λ e também propagamse no sentido positivo do eixo x Então a onda resultante dessa interferência será dada por yxt y1xt y2xt 22 Ou seja a resultante das ondas nada mais é do que a soma algébrica da mesma De fato esse resultado é consideravelmente surpreendente pois estabelece uma forma simples de obtermos e entendermos o comportamento das ondas quando está ocorrendo interferência entre elas Não obstante é importante citar que esse resultado é chamado de princípio de superposição é associado diretamente ao fato de que a equação da onda é uma EDP linear em virtude é a linearidade da equação diferencia das ondas isto é da EDP da onda que permite que o princípio da superposição seja válido Em suma mostraremos esse efeito veja que y1 e y2 são ondas logo devem satisfazer a equação da onda unidimensional pois essas são unidimensionais caso contrário satisfariam a EDP geral ou seja temos que d²y₁dt² v² d²y₁dx² d²y₂dt² v² d²y₂dx² 23 Então levando yxt na equação da onda teremos d²ydt² v² d²ydx² d²y₁xt y₂xtdt² v² d²y₁xt y₂xtdx² d²y₁dt² d²y₂dt² v² d²y₁dx² v² d²y₂dx² d²y₁dt² v² d²y₁dx² d²y₂dt² v² d²y₂dx² 0 e com isso temos que y satisfaz a equação da onda logo yxt assim posto é também uma onda Agora vamos obter uma forma explícita para yxt com efeito yxt y1xt y2xt ym sinkx ωt ym sinkx ωt ϕ ym sinkx ωt sinkx ωt ϕ para a soma de senos acima empregaremos a seguinte propriedade trigonométrica sen α sin β 2 sin 12 α β cos 12 α β Daí para α kx ωt e β kx ωt ϕ teremos yxt y1xt y2xt ym sinkx ωt ym sinkx ωt ϕ ym sinkx ωt sinkx ωt ϕ 2 ym cos kx ωt kx ωt ϕ2 sin kx ωt kx ωt ϕ2 2 ym cos 12 ϕ sin kx ωt 12 ϕ Portanto a onda resultante da interferência é a seguinte yxt 2 ym cos 12 ϕ sin kx ωt 12 ϕ Onde o primeiro termo associado ao cosseno referese ao comportamento da onda em relação ao seu deslocamento de fase após interferência Por outro lado o termo associado ao seno contém além da informação do deslocamento de fase também as grandezas k e ω associadas ao comportamento oscilatório das ondas 51 Ondas estacionárias A característica de que ondas podem sofrer interferência é um fator muito importante e além disso essa característica permite que ondas ao interferiremse seja consigo mesmo ou com outras produzam um tipo particular de onda que é significativamente relevante em diversos cenários físicos estas são ondas estacionárias Nesse sentido vamos agora estabelecer a noção de ondas estacionárias a partir das ideias construídas em interferências de ondas Para tanto consideremos duas ondas de mesma amplitude número e frequência de onda No entanto essas ondas diferem no sentido de propagação assim suas equações podem ser expressas por y1xt ym sinkx ωt y2xt ym sinkx ωt Como sabemos essas ondas satisfazem a equação da onda unidimensional a qual é linear e portanto vale o princípio da superposição logo a onda resultante yxt é a seguinte yxt y1xt y2xt ym sinkx ωt ym sinkx ωt Agora prosseguindo de forma análoga ao caso de interferência de ondas temos o seguinte desenvolvimento yxt y1xt y2xt ym sinkx ωt ym sinkx ωt ym sinkx ωt sinkx ωt 2 ym cos kx ωt kx ωt2 sin kx ωt kx ωt2 2 ym cos ωt sin kx 2 ym sinkx cos ωt onde usamos a mesma identidade trigonométrica Agora vamos impor a hipótese que marca e caracteriza a onda como sendo estacionária Consideraremos por onda estacionária uma onda que não evolui temporalmente isto é ela está sempre delimitada numa região do espaço de tal modo que sua dinâmica possa ser descrita majoritariamente em termos das variáveis espaciais no caso unidimensional pela variável x A fins ilustrativos consideraremos a seguinte figura Figura 9 Esquematização de ondas estacionárias Fonte RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 Com isso posto é interessante analisarmos melhor a equação anterior obtido isto é a equação yxt 2 ym sinkx cosωt De fato o primeiro termo de yxt é associado apenas a parte espacial da onda e esse referese a como sua amplitude evolui de acordo com a variável espacial x Não obstante essa parte da equação obtida tornase relevante para nossos estudos pois a partir dela podemos estudar os chamados nós e antinós Em verdade os nós são os pontos da onda que cruzam o eixo x assim sendo obtidos se o termo dos colchetes é identicamente nulo impondo tal condição temos o seguinte desenvolvimento 2ym sinkx 0 sinkx 0 kx arcsin0 nπ 2πλ x nπ x n2 λ por outro lado se impormos que sinkx 1 que resulta na obtenção dos antinós isto é os pontos mais altos da onda teremos o seguinte desenvolvimento 2ym sinkx 1 sinkx 1 kx arcsin1 nπ π2 2πλ x nπ π2 x n12 λ onde n N corresponde a congruência existência das funções trigonométricas Com isso obtemos as chamadas posições de nós e antinós sendo diretamente associadas ao comprimento de onda λ da onda Uma aplicação muito interessante das ondas estacionárias ocorre quando analisamos cordas presas a extremidades Não obstante nesse caso consideraremos uma corda cujo ambas as extremidades estão presas Nesse caso pode haver diferentes formas da corda vibrar e cada forma dessas vibrações são chamados de modos Ademais a esses modos é associado um número inteiro n o qual determina os harmônicos das ondas e também temos que a posição da onda x será exatamente seu comprimento digamos que esse seja L logo da relação obtida para os nós temos que x n2 λ L n2 λ λ 2n L 24 ou seja obtemos duas equações importantes L n2 λ λ 2n L 25 as quais relacionam o comprimento de onda λ e o comprimento da corda L Portanto para esse caso onde há as duas extremidades fixas temos uma forma fácil de determinar um dos elementos mais importantes da onda o comprimento de onda Uma esquematização desse caso é apresentado na Figura 10 Figura 10 Esquematização de uma onda estacionária com duas extremidades fixas Fonte RESNICK HALLIDAY WALKER 2016 não obstante as regiões abertas mostradas na Figura 10 isto é entre a linha tracejada e a linha sólida verde é chamada de ventre da onda enquanto que os pontos onde essas linhas se cruzam são chamadas de nós Note ainda que o número de nós nesse caso é o número do harmônico somado com um Além disso é possível ainda explicitar a frequência de oscilação para essas ondas a qual é dada por ν vλ v 2n L n v 2L 26 6 Energia numa onda Feito as análises sobre ondas e em especial ondas numa corda partiremos para a descrição de uma característica importante das ondas o transporte de energia De fato quando definimos a noção de onda explicitamos fortemente que essas são capazes de transportar apenas energia 18 é apresentado na Figura 10 no entanto até o momento não nos ativemos a discutir como esse transporte é feito Decerto é possível obter quantitativamente como ondas transportam energia de forma geral isto é para todas as ondas Todavia nesse texto nos limitaremos a descrição do transporte de energia para ondas em uma corda os demais casos como ondas eletromagnéticas transcendem os recursos físicos e matemáticos estudados até o momento portanto não o abordarmos Então começaremos essa discussão quantificando a energia cinética dK infinitesimal as sociada a um elemento da corda cujo massa infinitesimal é dm logo da relação vista na mecâ nica temos que a energia cinética infinitesimal é dK 1 2dmu2 onde u é a velocidade transversal do elemento da corda Ou seja u é nada mais que a derivada temporal da posição da onda a qual consideraremos da forma yx t ym sinkx ωt então derivando y em t temos u y t ωym coskx ωt No entanto ao passo que estamos trabalhando com um corpo contínuo podemos associar o elemento de massa dm posto anterior através da densidade linear µ da corda por dm µdx Então pondo u e dm na expressão para a energia cinética infinitesimal temos dK 1 2dmu2 1 2µdx ωym coskx ωt2 1 2µdxω2y2 m cos2kx ωt agora dividindo tudo por dt teremos que dK dt 1 dt 1 2µdxω2y2 m cos2kx ωt 1 2µdx dt ω2y2 m cos2kx ωt 1 2µvω2y2 m cos2kx ωt onde usamos o fato que dx dt é a velocidade v da onda no eixo horizontal Agora vamos analisar 19 o termo do cosseno de fato a função cosseno é uma função limitada em particular temos que cosθ 1 no entanto como temos um cosseno ao quadrado os valores que o cosseno na nossa expressão poderá assumir serão apenas os valores positivos sendo esses números entre 0 e 1 então em média podemos dizer que essa expressão tem valor meio isto é cos2kx ωtmedia 12 A obtenção de um valor médio se faz interessante por diversos fatores sendo um desses por estarmos associados a um fenômeno oscilatório ou seja os valores dessa expressão ficaram flutuando em torno do valor meio No entanto isso abre margem para que possamos ter uma taxa média de variação da energia cinética obtida essencialmente quando consideramos a média da função cosseno logo teremos o seguinte dKdtmedia 12 μvω2 ym2 cos2kx ωtmedia 12 μvω2 ym2 12 14 μvω2 ym2 assim obtemos a expressão para a energia cinética média sendo essa dada por dKdtmedia 14 μωω2 ym2 27 Por outro lado o sistema ainda possui a característica elástica a qual o fornece uma energia potencial elástica Entretanto a taxa média de energia potencial elástica é exatamente a mesma obtida na Equação 27 pois estamos tratando de um sistema mecânico logo é conhecido da mecânica newtoniana que e em média as energias potenciais e cinéticas são iguais Com isso podemos estabelecer a potência média para ondas a qual será dada pela taxa média da energia total onde a energia total infinitesimal é dada por dEmedia dKmedia dVmedia dKmedia dKmedia 2dKmedia onde dV é a quantidade infinitesimal de energia potencial logo teremos que a potência média será Pmedia dEdtmedia d2Kdtmedia 2 dKdtmedia 12 μvω2 ym2 20 Portanto obtemos que potência média de transporte para ondas será dada por Pmedia 1 2µvω2y2 m O caso para ondas eletromagnéticas é usualmente estudado em disciplinas de eletromagne tismo ou ópticas e pode ser visto na referência NUSSENZVEIG 2013 7 Alguns fenômenos ondulatórios Discutido os aspectos importantes acerca das ondas podemos então nos ater a descrever alguns fenômenos ondulatórios importantes De fato as ondas possuem diversas características interessantes nesse sentido vamos agora estabelecer alguns desses fenômenos Refração Consiste na passagem de uma onda de um meio para outro em geral algumas características da onda são modificadas assim que ela viaja para outro meio em particular sua velocidade Reflexão Não é um fenômeno exclusivo das ondas mas frequentemente associado a essas e substancialmente importante De fato a reflexão consiste na mudança de trajetória da luz incidente sobre uma dada superfície Esse fenômeno é substancialmente importante pois é por ele que conseguimos enxergar todos os objetos de fato o processo de ver um objeto consiste em vermos a reflexão da luz visível incidente sobre ele Difração O fenômeno da difração consiste na passagem de uma onda por uma fenda Em verdade esse fenômeno possui uma relevância física extremamente significativa pois a partir dele que foi entendido o caráter ondulatório da luz através do experimento da dupla fenda de Young Polarização Essencialmente a polarização consiste no fenômeno observado quando uma luz incide sobre um filtro chamado polarizador Ressonância Não é exclusivo de ondas em geral esse fenômeno é associado a corpos que estão em oscilação e possuem uma dada frequência característica Assim a ressonância para ondas consiste quando duas ou mais ondas começam a oscilar em uma mesma dada frequência Referências NUSSENZVEIG H Curso De Fisica Basica V3 Eletromagnetismo EDGARD BLUCHER 2013 ISBN 9788521208013 Disponível em httpsbooksgooglecombrbooksid AtRCvgAACAAJ Citado na página 21 21 NUSSENZVEIG H Curso de física básica Fluidos oscilações e ondas calor Editora Blucher 2018 Curso de física básica ISBN 9788521207481 Disponível em httpsbooksgooglecombrbooksideDtRDwAAQBAJ Citado 5 vezes nas páginas 2 4 5 7 e 11 RESNICK R HALLIDAY D WALKER J Fundamentos De Física Gravitação Ondas E Termod LTC 2016 ISBN 9788521630364 Disponível em httpsbooksgooglecombr booksidiopPvgAACAAJ Citado 6 vezes nas páginas 2 8 9 13 16 e 18 TIPLER P MOSCA G Física para la ciencia y la tecnología Vol 1 Mecánica oscilaciones y ondas termodinámica Reverte 2021 ISBN 9788429195965 Disponível em httpsbooksgooglecombrbooksiduiovEAAAQBAJ Citado na página 2 22