Transformada Inversa de Laplace e Método de Expansão em Frações Parciais

1 EM 621 DMC UNICAMP FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Transformada inversa de Laplace Método da expansão em frações parciais Solução de equações diferenciais Conversão modelo de estado para função de transferência Exemplos EM 621 DMC UNICAMP Definição da Transformada inversa de Laplace A transformada inversa de Laplace é dada por para t 0 e onde c chamada de abcissa de convergência é um real constante escolhido à direita do maior ponto singular de Fs j c j c F s est ds j F s L f t 2 1 1 π 2 EM 621 DMC UNICAMP Algumas considerações sobre a TIL Corresponde portanto a uma integral fechada que percorre um caminho paralelo ao eixo imaginário de baixo p cima Para uma abcissa de convergência nula o percurso é o próprio eixo imaginário englobando todo o SPD no sentido horário Não há necessidade em geral de se calcular a integral Encontrase a TIL por decomposição e uso da tabela de transformadas R c jω σ EM 621 DMC UNICAMP Cálculo da TIL Aplicase quando X s Função racional quociente de dois polinômios em s P s Q s X s ordem m ordem n m n Expansão em Frações Parciais Etapas para o calculo da TIL 1 desenvolver Xs em fragdes parciais xs 2 E nOmij Ps ncontrar as cy Escrever polindmio raizes de Ps na forma fatorada Qs Xs s 7 s r 8 74 montar polindmios ps de grau 1 ou 2 Xs2 G 2 y On s 1r s r GI calcular as constantes C 2 Calcular a transformada inversa de cada termo Exemplo de calculo da TIL raizes simples abs Seja X s r Primeiro passo Xs 24 sn Wn Onde C e C sao b C Cc ty Xs ares determinadas pela he Cit oe CD igualdade 4 EM 621 DMC UNICAMP Continuação Cálculo das constantes 1r s Como s pode assumir qualquer valor 2 2 1 1 2 1 r s C r s C r s r s bs a X s 2 2 1 1 2 1 r s C r s C r s bs a r X s s 1r s 2 1 1 1 r r br a C EM 621 DMC UNICAMP Continuação Cálculo das constantes 2r s Como s pode assumir qualquer valor 2 2 1 1 2 1 r s C r s C r s r s bs a X s 2 1 1 2 1 2 C r s C r s r s bs a X s r s 2r s 1 2 2 2 r r br a C Analogamente 5 EM 621 DMC UNICAMP Finalização do exemplo de raízes simples 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 r s r r br a r s r r br a X s r t r t e r r br a e r r br a X s L t f 2 1 1 2 2 2 1 1 1 a s L e at 1 Substituindo as constantes obtemos Lembrando que Generalizando para n raízes simples ir s i i r X s s C EM 621 DMC UNICAMP Exemplo com raízes múltiplas 2 1 2 r s r s bs a X s Seja Primeiro passo 2 3 1 2 2 1 1 r s C r s C r s C X s onde as constantes são determinadas pela igualdade 2 3 1 2 2 1 1 2 1 2 r s C r s C r s C r s r s bs a X s 6 EM 621 DMC UNICAMP Continuação Cálculo das constantes 12 r s Como s pode assumir qualquer valor 3 2 2 1 2 1 1 2 1 2 C r s r s r C s C r s bs a X s r s 1r s 2 1 1 1 r r br a C 2 3 1 2 2 1 1 2 1 2 r s C r s C r s C r s r s bs a X s EM 621 DMC UNICAMP Continuação Cálculo das constantes 3 2 2 1 2 1 1 2 1 2 C r s r s r C s C r s bs a X s r s 2 2 1 2 2 r r a r b C Derivando a eq acima e fazendo s r1 2 C 1 1 2 2 1 2 s r s r r s bs a ds d X s r s ds d C obtémse a constante Continuagao yeye es Gg GS s7sn sK 8H sn ten abs ST SI sm Xs 2285 SD 6S De re s7 sH s7 Como s pode assumir sr atbr qualquer valor 12 7 ca Finalizagao Generalizando Portanto p ara 4d raizes iguais c 2 o7x08 P p1 ds 7 1 P gree SI LL 1 1 tite s7r q1 8 EM 621 DMC UNICAMP Exemplo de raízes simples usando MATLAB Encontrar a TIL da expressão abaixo Método usar o comando residue 6 11 6 8 4 2 3 2 s s s s s D s s N EM 621 DMC UNICAMP Solução Usando os comandos np1 4 8 dp1 6 11 6 r p kresiduenpdp Obtémse r 25 4 25 p 3 2 1 e k correspondendo a e portanto A função acima corresponde à resposta ao impulso e pode ser traçada com o comando impulse bem como calculada diretamente 1 52 2 4 3 52 s s s D s N s s H t t t e e e h t 52 4 52 2 3 syms s ilaplaces24s8s36s211s6 9 EM 621 DMC UNICAMP Comparando os resultados Time sec Amplitude Impulse Res pons e 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 From U1 To Y1 t015 h25exp3t40exp2t25expt impulsenpdp hold on plotth EM 621 DMC UNICAMP Exemplo de raízes múltiplas com MATLAB Encontrar a TIL da expressão abaixo 1 3 3 4 4 2 3 2 s s s s s D s N s 1 EM 621 DMC UNICAMP Solução Usando os comandos np1 4 4 dp1 3 3 1 r p kresiduenpdp Obtémse r 1 2 1 p 1 1 1 e k correspondendo a e portanto Calculando a resposta acima bem como a resposta respectiva com o comando impulse as curvas encontramse a seguir Obs Como pela convolução 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 s s s D s N s s H e t t t h t 1 2 2 1 2 syms s ilaplaces24s4s33s23s1 a s e L at 1 a s a s te d e e L at t a a t 1 1 0 τ τ τ EM 621 DMC UNICAMP Comparando Time sec Amplitude Impuls e Respons e 0 5 10 0 02 04 06 08 1 12 14 From U1 To Y1 t0110 h12t2expt2texptexpt impulsenpdp hold on plotth 1 EM 621 DMC UNICAMP Exemplo de raízes complexas Encontrar a TIL da expressão abaixo Nesse caso a decomposição deve ser feita lembrando que Seja 5 2 1 2 s s D s s N 0 0 cos sen 2 2 2 2 b a b a s a s bt e L b a s b bt e L at at s a bj s a bj 1 e 2 r a bj r a bj s a bj s a bj s a bj s a bj 2 2 s a b EM 621 DMC UNICAMP Solução Usando os comandos np1 dp1 2 5 r p kresiduenpdp Obtémse r 025i 025i e p 12j 12j Portanto podese escrever o que leva à seguinte TIL consultando a tabela sen2 2 1 4 1 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 t e ie ie e ie ie h t t jt jt t j t j t j s i j s i H s 2 1 4 1 2 1 4 1 1 EM 621 DMC UNICAMP Solução Ou usando os comandos np1 dp1 2 5 prootsdp arealp1 bimagp1 Obtémse p 12j 12j e a 1 b 2 Portanto podese escrever o que leva à seguinte TIL consultando a tabela 2 2 2 2 1 1 N s b H s D s s a b b s a b sen2 2 1 t e h t t 2 2 sen at b L e bt s a b EM 621 DMC UNICAMP Outro exemplo de raízes complexas Encontrar a TIL da expressão abaixo 5 2 5 2 s s s D s N s 1 EM 621 DMC UNICAMP Solução Usando os comandos np1 5 dp1 2 5 prootsdp arealp1 bimagp1 Obtémse p 12j 12j e a 1 b 2 Portanto podese escrever observando que agora temos uma soma de senóide e cossenóide 2 2 2 2 2 2 5 5 N s s s a a b H s D s s a b s a b b s a b sen2 2 cos2 t e t e h t t t ilaplaces5s22s5 EM 621 DMC UNICAMP Comparando Time sec Amplitude Impuls e Respons e 0 1 2 3 4 5 6 04 02 0 02 04 06 08 1 12 14 16 From U1 To Y1 t0110 hexptcos2t2exptsin2t impulsenpdp hold on plotth Solugao de equagoes diferenciais m A Transformada de Laplace facilita a solugao de equagdes diferencias O resultado obtido é a solucao completa O método consiste em trés passos Aplica a propriedade da derivada no tempo Decompéoe a expressao resultante em termos simples Calcula a transformada inversa Solugao de equagao de 2a ordem Encontrar a solugao da equaao abaixo 2X7x3x 0 x0 3 x0 0 Usando EL xX sX s x0 4 5sX s x0 0 Solugao Aplicando Laplace 2s X s 2x0 2sx0 75X s7x03Xs 0 Substituindo as condig6es iniciais 25X s 79X s3Xs6s21 xs O87 257 7543 Separando em frag6es parciais Xs xs 22 s05s3 AO S405 7 943 Encontrando a transformada inversa xt 36e 06e Aplicando a sistemas lineares O mesmo método pode ser aplicado para se encontrar respostas completas de sistemas lineares representados por sua fungao de transferéncia ou por sua EDG Conversao FT para ME m Para converter de FT para ME os métodos de realizagao de sistemas ja apresentados podem ser usados m A partir da FT podem ser encontrados diretamente os modelos candénicos controlavel e observavel m Também podem ser encontrados os modelos em cascata e desacoplado diagonal Exemplo de 1a ordem od YF a ytbut 7 yt but Seja x0 Xo Ty yt bytut Const de tempo yy Ganho estatico Aplicando Laplace J rs s1y0 s wy s 0 ts 1 Condic6es iniciais nulas Fungao de transferéncia 1 EM 621 DMC UNICAMP Resposta ao impulso unitário 1 t L U s δ unitário impulso t u t δ 1 U s s Y s τ γ 1 Y s s τ γ 1 Y s L t y τ τ γ 1 1 s s Y A Seja t e s L y t τ τ γ τ τ γ 1 1 1 t e y t τ τ γ 1 EM 621 DMC UNICAMP 0 2 4 6 8 10 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Matlab Resposta ao impulso unitário t y t γ e τ τ Sistema estável Usando os comandos t00110 tau 1 np1 dptau 1 y1impulsenpdpt tau 2 dptau 1 y2impulsenpdpt plotty1ty2 1τ 2 τ 1 2 τ τ 1 EM 621 DMC UNICAMP Resposta ao degrau unitário s L u t U s 1 B Seja degrau unitário t u 1 U s s Y s τ γ s s Y s 1 1 τ γ 1 Y s L t y s s Y s τ τ γ 1 1 s C s C s s 2 1 1 1 1 τ τ τ Frações parciais EM 621 DMC UNICAMP Continuação 1 τ s Como s pode assumir qualquer valor τ s 1 1 1 C s C s C s s 2 1 1 1 1 τ τ τ 2 1 1 1 C s s C s τ τ 1 EM 621 DMC UNICAMP Continuação s Como s pode assumir qualquer valor s 0 2 1 C Analogamente s C s C s s 2 1 1 1 1 τ τ τ 2 1 1 1 1 C C s s s τ τ τ EM 621 DMC UNICAMP Finalização t e s s L y t τ γ τ γ 1 1 1 1 1 1 Substituindo as constantes obtemos s s Y s 1 1 1 τ γ t e y t τ γ 1 1 syms tau s gama ilaplacegama1taus1taus 2 EM 621 DMC UNICAMP 0 2 4 6 8 10 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Matlab Resposta ao ao degrau unitário Efeito da constante de tempo t e y t τ γ 1 1 Usando os comandos t00110 tau 1 np1 dptau 1 y1stepnpdpt tau 2 dptau 1 y2stepnpdpt plotty1ty2 1τ 2 τ 1 2 τ τ EM 621 DMC UNICAMP 0 2 4 6 8 10 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 continuação Efeito do ganho estático 1 2 γ γ Usando os comandos t00110 gama 1 npgama dp1 1 y1stepnpdpt gama 2 npgama y2stepnpdpt plotty1ty2 1 γ γ 2 2 EM 621 DMC UNICAMP Resposta à rampa unitária 2 1 s L tu t U s degrau unitário t u 1 Y s L t y C Seja rampa unitária u t t 1 U s s Y s τ γ 2 1 1 s s Y s τ γ 2 1 1 s s Y s τ τ γ s C s C s C s s 3 2 2 1 2 1 1 1 τ τ τ Frações parciais EM 621 DMC UNICAMP Continuação 1 τ s Como s pode assumir qualquer valor τ s 1 1 τ C 3 2 2 1 2 1 1 1 C s s C s s C s τ τ τ s C s C s C s s 3 2 2 1 2 1 1 1 τ τ τ 2 EM 621 DMC UNICAMP Continuação 2s Como s pode assumir qualquer valor s 0 2 1 C s C s C s C s s 3 2 2 1 2 1 1 1 τ τ τ 3 2 1 2 1 1 1 sC C C s s s τ τ τ EM 621 DMC UNICAMP Continuação Como s pode assumir qualquer valor s 0 3 τ C 3 2 1 2 1 1 1 sC C C s s s τ τ τ derivando com relação a s 2 1 1 3 2 2 1 2 1 1 1 s s C C C s s s τ τ τ τ 2 EM 621 DMC UNICAMP Finalização τ γ τ τ τ τ γ τ t e s s s L y t t 1 2 1 1 1 Substituindo as constantes obtemos s s s Y s τ τ τ γ 2 1 1 τ τ γ τ t e y t 1 t syms tau s gama ilaplacegama1taus1taus2 EM 621 DMC UNICAMP 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Matlab Resposta a rampa unitária τ τ γ τ t e y t 1 t t 2 EM 621 DMC UNICAMP 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 continuação Efeito da constante de tempo Usando os comandos t00110 rampt gama 2 tau05 npgama dptau 1 y1lsimnpdprampt tau2 npgama dptau 1 y2lsimnpdprampt plotty1ty2 1τ 2 τ 1 2 τ τ EM 621 DMC UNICAMP Resposta a uma senóide 2 2 ω ω ω s t L sin U s t sin u t ω 1 Y s L t y D Seja ω ω τ ω ω τ τ j s C j s C s C s s 3 2 1 2 2 1 1 1 Frações parciais 1 U s s Y s τ γ 2 2 1 ω ω τ γ s s s Y 2 2 1 1 ω ω τ τ γ s s Y s 2 EM 621 DMC UNICAMP Continuação 1 τ s Como s pode assumir qualquer valor τ s 1 2 2 1 1 ω τ ωτ C ω ω τ ω ω τ τ j s C j s C s C s s 3 2 1 2 2 1 1 1 3 2 1 2 2 1 1 1 C j s s C j s s C s ω τ ω τ ω ω τ EM 621 DMC UNICAMP Continuação jω s Como s pode assumir qualquer valor jω s ω τ ω τ ω j j C 2 1 2 ω ω τ ω ω τ τ j s C j s C s C s s 3 2 1 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 1 C j s j s C C s j s j s s ω ω τ ω ω ω τ τ 2 EM 621 DMC UNICAMP Continuação jω s Como s pode assumir qualquer valor s jω ω τ ω τ ω j j C 2 1 3 ω ω τ ω ω τ τ j s C j s C s C s s 3 2 1 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 1 C C j s j s C s j s j s s ω ω τ ω ω ω τ τ EM 621 DMC UNICAMP Continuação 3 1 2 1 1 1 1 s Y L s Y L Y s L Y s L y t Substituindo as constantes obtemos ω ω τ ω ω τ ω ω τ ω ω τ τ ω τ ωτ γ j s j j j s j j s Y s 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 s Y Y2 s Y3 s 2 EM 621 DMC UNICAMP Continuação τ ω τ ωτ τ ω τ ωτ t e s L t y 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Calculando as LITs e j t j j j s j j L t y ω ω τ ω ω τ ω ω τ ω ω τ 2 1 1 2 1 1 2 e j t j j j s j j L t y ω ω τ ω ω τ ω ω τ ω ω τ 2 1 1 2 1 1 3 EM 621 DMC UNICAMP Finalização t j e t e j j e j j e t y j t ω τ ω τ ω ω τ ω τ ω ω τ ω τ ωτ γ ω 2 1 2 1 1 2 2 1 Calculando as LITs t j t e t j t e jt jt sen cos sen cos t t e t y t ω τω ω ω τ ωτ γ τ 1 sen cos 1 2 2 1 Utilizando as expressões de Euler