Exercícios - Capítulo 10 2022-1

Problemas do capítulo 10 10.1 Para cada um dos seguintes conjuntos de tensão e de corrente, calcule a potência ativa e a potência reativa na linha que conecta as redes A e B no circuito mostrado. Em cada caso, confirme se o fluxo de potência é de A para B ou vice-versa. Além disso, confirme se a energia reativa está sendo transferida de A para B ou vice-versa. a) V(t) = 100\ \cos(\omega t - 45°)\ volt\ \ \ \ i(t) = 20\ \cos(\omega t + 15°)\ a\mperes b) V(t) = 100\ \cos(\omega t - 45°)\ volt\ \ \ \ i(t) = 20\ \cos(\omega t + 165°)\ a\mperes, c) V(t) = 100\ \cos(\omega t - 45°)\ volt\ \ \ \ i(t) = 20\ \cos(\omega t - 105°)\ amperes, d) V(t) = 100\ \cos(\omega t)\ volt\ \ \ \ i(t) = 20\ \cos(\omega t + 120°)\ amperes. Sabemos que: P = \frac{V_mI_m}{2} cos(\theta_v - \theta_i)\ \ Q = \frac{V_mI_m}{2}sen(\theta_v - \theta_i) a) \text{P} =\frac{100(20)}{2}\cos(-45° − 15°) = \frac{100(20)}{2}\cos(-60°) = 500\ W\ \ (de\ A\ para\ B) Q =\frac{100(20)}{2}sen(-60°)= -866,02\ \text{var}\ \ \ \ (de\ B\ para\ A). 10.2 Calcule o fator de potência e o fator reativo para a rede mostrada na figura com os seguintes valores de V(t) e i(t): V(t) = 100 cos(ωt+150°) volts i(t) = 4 cos (ωt-105°) Amperes. Sugestão: V(t) = i(t) para calcular os fatores de potência e reativo. Observação importante: A defasagem real entre V(t) e i(t) em circuitos elétricos não pode ser maior que ±90°. Portanto, se a defasagem entre V(t) e i(t) for maior que 180°, então na relação de P(t) entra embutida o sinal do quadrante da convenção passiva. No exemplo, a defasagem entre V(t) e i(t) é 120º, então, trata-se de um girador que obedece à seguinte relação. P(t) = -V(t)\ i(t) = -100\ \cos(\omega t + 150°)\ (4)\ \cos(\omega t - 105°) P(t) = 400\ \cos(\omega t + 150°)cos(\omega t + 180 - 105°) P(t) = 400\ \cos(\omega t + 150°)\ \cos(\omega t + 75°) \Rightarrow \theta_v - \theta_i = 15 - 75 = -60° \Rightarrow fp =\cos(-60°)= \frac{1\ 2}} \Rightarrow fr =\ sen(-60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} V(t) = 100 \cos(\omega t - 45°)\ \ i(t) = 20\ \cos(\omega t + 165°) P = \frac{100(20)}{2}\cos(-45° - 165°) = 1000\ \cos(-210°) = 1000\ \cos(150°) P = -866,02\ W\ \ \ (de\ B\ para\ A) Q = 1000\ \sen(150°) = 500\ \text{var}\ \ \ (de\ A\ para\ B). c) V(t) = 100\ \cos(\omega t - 45°)\ \ i(t) = 20\ \cos(\omega t - 105°) P = \frac{100(20)}{2}\cos(-45° - (-105°)) = 1000\ \cos(60°) = 5000\ \text{watt-h} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (de\ A\ para\ B). Q = 1000\ \sen(60°) = 866,02\ \text{var}\ \ \ (de\ A\ para\ B). d) V(t) = 100\ \cos(\omega t)\ \ \ \ \ i(t) = 20\ \cos(\omega t + 120°) P = \frac{100(20)}{2}\cos(0 - 120°) = 1000\ \cos(-120°) = -500\ W \ \ \ \ \ \ \ \ \ (de\ B\ para\ A) Q = 1000\ \sen(-120°)= -866,02\ \text{var}\ \ \ (d\ e\ B\ para\ A) Observação: De acordo com o livro texto e levando em conta a convenção passiva um bipolo girador obedece à seguinte relação : P(t) = -V(t)\ i(t). 10.3 A corrente triangular periódica mostrada na figura tem um valor de pico de 180 mA. Determine a potência média que esta corrente fornece a um resistor de 5kΩ. i(t) = \frac{4I_p}{T}t \text{para } 0 \leq t \leq T/4 Precisamos encontrar a corrente eficaz I_{ef}. A forma de (i(t))^2 assume a seguinte forma: Aproveitando a simetria da figura, integramos apenas de 0 a T/4. I_{ef}^2 = \frac{1}{T} \int_0^T [i(t)]^2 dt = \frac{4}{T} \int_0^{T/4} \left(\frac{4I_p}{T}t\right)^2 dt I_{ef}^2 = \frac{4(16)I_p^2}{T^3} \int_0^{T/4} t^2 dt = \frac{64I_p^2}{T^3} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^{T/4} I_{ef}^2 = \frac{64I_p^2}{T^3} \left[ \frac{1}{3}\frac{T^3}{64} \right] = \frac{I_p^2}{3} A potência média assume a seguinte forma: P_m = I_{ef}^2 \cdot R = \left(\frac{0,18}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot 5000 = \frac{18(18)(1/2)}{3} = 54\text{ W.} 10.4 Um capacitor de reatância capacitiva de -52Ω é ligado em paralelo com a carga do circuito da figura. Calcule: a) os valores eficazes de \bar{V_L} e \bar{I_L}. b) a potência média e a potência reativa absorvidas pela impedância de carga de 39+j26 Ohm. c) a potência média e a potência reativa absorvidas pela impedância da linha de (1+j4) Ohm. d) a potência média e a potência reativa fornecida pela fonte. e) a potência reativa fornecida pelo capacitor em paralelo com a carga. a) Encontrando \bar{V_L} e \bar{I_L}: Encontramos \bar{V_L} usando o método de tensão de nós no nó a: \frac{\bar{V_L} - 250}{1+j4} + \frac{\bar{V_L}}{39+j26} + \frac{\bar{V_L}}{-j52} = 0 \bar{V_L}\left[ \frac{1}{1+j4} + \frac{1}{39+j26} - \frac{1}{j52} \right] = \frac{250}{1+j4} \bar{V_L}\left[ \frac{1-j4}{17} + \frac{3-i2}{13(13)} + \frac{j}{52} \right] = \frac{250(1-j4)}{17} \bar{V_L}\left[ 6(1-j4) + 6(3-i2) + i22 \right] = 250(6) (1-j4) \bar{V_L} (880-j2619) = 250 (6) (1-j4) \bar{V_L} = \frac{250(6)(1-j4)}{880-j2619} = 252,194 \angle -4,537^\circ \bar{I_L} = \frac{\bar{V_L}}{39-j26} = \frac{252,194 \angle -4,537^\circ}{46,872 \angle 33,690^\circ} = 5,381 \angle -38,227^\circ \text{ Amperes} b) Potência média e potência reativa: S_L = \bar{V_L} \cdot \bar{I_L}^* = 252,194 \angle -4,537^\circ \times 5,381 \angle 38,227^\circ S_L = 1357,088 \angle 33,690^\circ = 1.129,16 + j752,77 \Rightarrow P = 1129,16 \text{ W} \quad Q = 752,77 \text{ VAr} Outro método: P = \bar{I_L}^2 \cdot R_L = (5,381)^2(39) = 1.129,25 \text{ Watt.} Q = (|I_L|^2) X_L = (5,1321)^2 (26) = 752,33 VAR. c) Encontrando a corrente na linha I_0: 250 = V_L + I_0 (1+j4) I_0 = (250 - 252,94/_(-41,53)^0) / (1+j4) = (250 - (251|14 - j19,95)) / (1+j4) I_0 = (-1,40 + j19,95) / (1+j4) = (19,998/_(94,101)^0) / (4,123/_(75,96)^0) = 4,850/_(18,05)^0 Assim, pode-se encontrar a potência ativa e reativa na linha: P_LINHA = (|I_0|^2)(1) = (4,185)^2 => P_LINHA = 23,52 W Q_LINHA = (|I_0|^2)(4) = (4,185)^2(4) => Q_LINHA = 94,09 VAR => S_LINHA = 23,52 + j94,09 VA d) Potência na fonte: S_g = V_g I_0^* = 250 x 4,85/_(-18,05)^0 = 1212,5/_(-18,05)^0 S_g = 1.152,63 - j376,29. e) S_c = (|V_L|^2) / Z_c = (252,194)^2 / 52 = 1223,111 => S_c = -j1223,111 VAR 10.5 A tensão eficaz nos terminais de uma carga é 250 Veff. A carga está absorvendo uma potência média de 40kW e fornecendo uma potência reativa de 30 kVAR. Determine dois modelos de impedância equivalente da carga e os valores respectivos de seus parâmetros. => Uma possibilidade é um resistor e um capacitor ligado em série: S_L = 40000 - j30000 I_L^* = S_L / V_L = 40000 - j30.000 / 250 I_L^* = 160 - j120 => I_L = 160 + j120 Impedância => Z_L = V_L / I_L = 250 / (160 + j120) = 250 / (40|_(4+j3)) Z_L = 25 / 4 x (4 - j3) / ((4+j3)(4-j3)) = 25 / (41,25) (4-j3) = 1 / 4 (4-j3) Z_L = 1 - j0,75 => Outra possibilidade é um resistor ligado em paralelo com um capacitor. a R I_L + | 250/_0^0 b -jZ_c encontrar R e Z_c separadamente. R = (|V_L|^2) / P = (250)^2 / 40,000 = 25 (25) / 400 = 25 / 16 => R = 1,5625 Ω X_c = (|V_L|^2) / Q = (250)^2 / 30,000 = (125)(125) / 300 = 25 / 12 => X_c = 2,083 => Z_c = -j2,083 10.6 Determinar a tensão fasorial V_f (let) no circuito mostrado se as cargas L_1 e L_2 estiverem absorvendo 15 kVA com um fp atrasado de 0,6 e 6 kVA com um fp adiantado de 0,8, respectivamente. Expresse V_f na forma polar. L_1 => S_L1 = 15000 fp = 0,6 em atraso L_2 => S_L2 = 6000 fp = 0,8 adiantado. L_1 => cosθ1 = 0,6 => θ1 = 53,13^0 (atrasado) L_2 => cosθ2 = 0,8 => θ2 = -36,87^0 (porque está adiantado) S_L1 = 15000/_(53,13)^0 = 9000 + j12000 S_L2 = 6000/_(–36,87)^0 = 4800 + j 3600 S_L = S_L1 + S_L2 = 13800 + j8400 I_L^* = (13800 + j8400) / 200 I_L = 69 + j42 => I_L = 69 - j42 V̅f = V̅L + jI̅L = 200 + j (69 - 342) = 242 + j69 V̅f = 242 + j69 = 251,64 15,91º 10.7 A corrente da fonte no circuito mostrado é 3 ------- a) Qual é a impedância que deve ser ligada aos terminais a-b para máxima transferência de potência média? b) Qual é a potência média transmitida à impedância em (a)? c) Suponha que a carga seja exclusivamente resistiva. Qual é o valor do resistor que, ligado aos terminais a-b promove a mínima transferência de potência média? d) Qual é a potência média transmitida ao resistor em (c)? 20Ω 3,16mH 5μF ig(t) ------------- |o | ------------- |o | ------------- |o | a b w = 5000 ZL = jwLl = j (5x10^3)(3,6x10^-3) = j18 Zc = - j = - ---------------- = ----------------- = - j = - j40 wc j 5x10^3x5x10^-6 1000 25 Īg = 3 0º Z̅TH = (-j40) = (-j40) = (-j40) (1+j2) = (-j40) (1+j2) = (-j40) (1+j2) --------- + 4 + j18 ------- ------- ------------ + 4 + j18 1 - j^2 (1-j^2) (1+j2) Z̅TH = (1+j2) + 4 + j18 = -j8(1+j2) + 4 + j18 5 Z̅TH = 16 - j8 + 4 + j18 => Z̅TH = 20 + j10 O circuito equivalente analisado assume a seguinte forma: --------20 j10------- | | 10 -------- | ZL | -------- a) A impedância ZL para máxima transferência de potência: ZL = RTH - jXTH => ZL = 20 - j10 b) P = 1 V̅TH 2 ---- -------------- 8 RL (Veja que V̅TH é a tensão máxima, isto é, não é tensão eficaz. c) Montamos o novo circuito mas com a tensão eficaz na fonte. V̅TH (ef) = ---------------------= 12V2(2-j) √2 12√2(2-j) | o a | | -------- | |(RL) | | --------- | ---|+++++++++++++++++--- 20 j10 12√2(2-j) Circuito equivalente na transformada fasorial: 30º 20 - j40 j18 Encontramos o equivalente de Thevenin. Encontrando V̅TH: V̅TH V̅TH ------------- + ------------- = 3 V̅TH [ ------------ - ------------- ] = 3 20 -j40 1/20 1/j40 V̅TH [ ----------- + ----------- ] = 3 V̅TH(2 + j) = 120 V̅TH = 120 1/20 j/40 2+j 120 V̅TH = ----------- (2 - j) = ----------- (2 - j) V̅TH = 24 (2 - j) 2+j 5 Encontrando Z̅TH: - j40(20) (-----------------) + 4 + j18 20 - j40 j18 o -j40 20 4 R_{L}=\sqrt{R_{TH}+(X_{L}+X_{TH})^2} \quad X_{L}=0 R_{L}=\sqrt{120^2+10^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5} \Rightarrow R_{L}=22.36\Omega d) \quad Encontramos \overline{I_{L}}: \overline{I_{L}}=\frac{12\sqrt{2}(2-j)}{20+10\sqrt{5}+j10}=\frac{12\sqrt{2}(2-j)}{42.36+j10}=\frac{12\sqrt{2}(2.28\angle-26.565^\circ)}{43.524\angle13.128^\circ} \overline{I_{L}}=0.1872\angle-39.845^\circ P_{RL}=|I_{L}|^2 R_{L}=(0.1872)^2(22.36) P_{RL}=17\text{ Watts}