Propriedades das Primitivas e Integrais Indefinidas

Prova Como Fx é primitiva de fx temos que Fx fx Assim Gx Fx c Fx 0 fx o que prova que Gx é uma primitiva de fx 614 Proposição Se f se anula em todos os pontos de um intervalo I então f é constante em I Prova Sejam x y I x y Como f é derivável em I f é contínua em x y e derivável em x y Pelo Teorema do Valor Médio existe z x y tal que fz fy fx y x Como fz 0 vem que fy fx 0 ou fy fx Sendo x e y dois pontos quaisquer de I concluímos que f é constante em I 615 Proposição Se Fx e Gx são funções primitivas de fx no intervalo I então existe uma constante c tal que Gx Fx c para todo x I Prova Seja Hx Gx Fx Como F e G são primitivas de fx no intervalo I temos Fx Gx fx para todo x I Assim Hx Gx Fx fx fx 0 para todo x I Pela Proposição 614 existe uma constante c tal que Hx c para todo x I logo para todo x I temos Gx Fx c Da Proposição 615 concluímos que se Fx é uma particular primitiva de f então toda primitiva de f é da forma Gx Fx c onde c é uma constante Assim o problema de determinar as primitivas de f se resume em achar uma primitiva particular 616 Exemplo Sabemos que sen x cos x Assim Fx sen x é uma primitiva da função fx cos x e toda primitiva de fx é Gx sen x c para alguma constante c 617 Definição Se Fx é uma primitiva de fx a expressão Fx c é chamada integral indefinida da função fx e é denotada por fx dx Fx c De acordo com esta notação o símbolo f é chamado sinal de integração fx função integrando e fx dx integrando O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar o variável de integração Da definição da integral indefinida decorre que i fx dx Fx c Fx fx ii fx dx representa uma família de funções a família de todas as primitivas da função integrando A Figura 61 mostra uma família de primitivas da função integrando fx x² 1 Observamos que o valor da constante para a figura apresentada assumi os valores C 3 2 1 0 1 2 3 FX C Neste capítulo introduziremos a integral Em primeiro lugar trataremos da integração indefinida que consiste no processo inverso da derivação Em seguida veremos a integral definida que é a integral propriamente dita e sua relação com o problema de determinar a área de uma figura plana depois o Teorema Fundamental do Cálculo que é peça chave de todo Cálculo Diferencial e Integral pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração Finalmente estenderemos o conceito de integral para funções contínuas por partes e abordaremos as integrais impróprias 61 Integral Indefinida 611 Definição Uma função Fx é chamada uma primitiva da função fx em um intervalo I ou simplesmente uma primitiva de fx se para todo x I temos Fx fx Observamos que de acordo com nossa definição as primitivas de uma função fx estão sempre definidas sobre algum intervalo Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I 612 Exemplos i Fx x³3 é uma primitiva da função fx x² pois Fx 13 3x² x² fx ii As funções Gx x³3 4 Hx 13 x³ 3 também são primitivas da função fx x² pois Gx fx Hx fx iii A função Fx 12x² c onde c é uma constante é primitiva da função fx cos 2x iv A função Fx 12x² é uma primitiva da função fx 1x³ em qualquer intervalo que não contém a origem pois para todo x 0 temos Fx fx Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função fx admite mais de uma primitiva Temos as seguintes proposições 613 Proposição Seja Fx uma primitiva da função fx Então se c é uma constante qualquer a função Gx Fx c também é primitiva de fx 619 Exemplos i Sabemos que sen x cos x Então cos x dx sen x c ii Como cos θ sen θ então sen θ dθ cos θ c iii exdx ex c pois ex ex iv x23 dx 35 x53 c pois 35 x53 x23 v dtt 2t c pois 2t 1t 6110 Tabela de Integrais Imediatas 1 du u c 2 duu lnu c 3 uα1α1 c α é constante 1 4 au du auln a c 5 eu du eu c 6 sen u du cos u c 7 cos u du sen u c 8 sec2 u du tg u c 9 cosec2 u du cotg u c 10 sec u tg u du sec u c 11 cosec u cotg u du cosec u c 12 du1u2 arc sen u c 13 du1u2 arc tg u c 14 duuu21 arc sec u c 15 senh u du cosh u c 16 cosh u du senh u c 17 sech2 u du tgh u c 18 cosech2 u du cotg u c 19 sech u tgh u du sech u c 20 cosech u cotg u du cosech u c 21 du1u2 arg senh u c lnu u21 c 22 duu21 arg cosh u c lnu u21 c 6111 Exemplos Calcular as integrais indefinidas i 3x2 5 x dx Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais temos 3x2 5 x dx 3 x2 dx 5 dx x12 dx 3 x33 5x 23x32 c x3 5x 23x32 c ii 3sec x tg x cosec2 x dx Temos 3sec x tg x cosec2 x dx 3 sec x tg x dx cosec2 x dx 3 sec x cotg x c iii sec2 xcosec x dx Nesse caso temos sec2 xcosec x dx 1cos x sen xcos x dx tg x sec x dx sec x c iv x2 13x dx Temos x2 13x dx x2x 13 dx x12 x13 dx 314x43 187x23 c v x4 3x12 4x dx x32 3x56 4x13 dx x116 3 x56 dx 4 x13 dx x14314 18x16 23 c 314 x143 18x16 6x23 c vi 2cos x 1x dx Temos 2cos x 1x dx 2 cos x dx 1x dx 2 sen x x12 c 2 sen x 2x c vii 2ex sen xcos2x 2x dx Temos 2ex sen xcos2x 2x dx 2 ex dx sen xcos2 x dx 2x dx 2ex sec x 2lnx c 2ex sec x 13x6 c Nos exercícios de 1 a 10 calcular a integral e em seguida derivar as respostas para conferir os resultados Nos exercícios de 11 a 31 calcular as integrais indefinidas Método da Substituição ou Mudança de Variável para Integração tg x sec² x dx sen⁴ x cos x dx sen x cos⁵ x dx 2 sen x 5 cos x cos x dx Cálculo A Funções limite derivação e integração ex cos 2ex dx CAPÍTULO 6 Introdução à integração x 2 cos x² dx Logo sen50 π dθ x³1 x² dx ln 3²x dx arc tg a x dx Cálculo A Funções limite derivação e integração A soma das áreas dos n retângulos que representamos por Sn é dada por Sn fc1Δx1 fc2Δx2 fcnΔxn i1n fciΔxi Esta soma é chamada soma de Riemann da função fx Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada Δxi i 1 n tornase muito pequeno a soma das áreas retangulares aproximase do que intuitivamente entendemos como a área de S 671 Definição Seja y fx uma função contínua não negativa em a b A área sob a curva y fx de a até b é definida por A limmaxΔxi0 i1n fciΔxi onde para cada i 1 n ci é um ponto arbitrário do intervalo xi1 xi É possível provar que o limite desta definição existe e é um número não negativo 68 Distâncias O cálculo da distância percorrida por um móvel durante um período de tempo sendo conhecida a velocidade do móvel em todos os instantes pode ser visualizado como um problema inverso ao cálculo da velocidade como foi discutido na Seção 42 Quando a velocidade é constante o problema do cálculo da distância reduzse a procedimentos elementares a partir do conceito de que distância velocidade tempo Quando a velocidade varia precisamos elaborar um pouco mais as ideias para encontrar a distância percorrida Como exemplo podemos citar a distância percorrida por um móvel durante 10 segundos A cada 2 segundos a velocidade é registrada Na Tabela 61 apresentamos os dados obtidos Tabela 61 Tempo segundos 0 2 4 6 8 10 Velocidade metrossegundo 22 78 126 166 198 222 Para fazer uma estimativa da distância percorrida nos primeiros dois segundos podemos considerar neste período de tempo a velocidade como uma constante igual a 22 mseg Assim a distância percorrida nos dois primeiros segundos é igual a 22 mseg 2 seg 44 metros Analogamente durante o intervalo de tempo de 2 a 4 segundos podemos considerar a velocidade constante igual a 78 mseg e então a distância percorrida é de 78 mseg 2 seg 156 metros Se somarmos todas asEstimativas vamos ter a distância total de forma aproximada 22 2 78 2 126 2 166 2 198 2 222 2 1624 metros Esses cálculos podem ser visualizados graficamente na Figura 66 CAPÍTULO 6 Introdução à Integração Figura 66 Podemos melhorar a nossa estimativa obtendo os valores da velocidade em intervalos de tempo menores ver Tabela 62 Por exemplo na Figura 67 mostramos a análise para intervalos de segundo a segundo Tabela 62 Tempo segundos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Velocidade metrossegundo 22 52 78 103 126 147 166 183 198 211 222 231 Figura 67 Para o conjunto de informações dadas na Figura 67 vamos ter o espaço percorrido pelo móvel estimado em 22 51 78 126 147 166 183 198 211 222 231 1738 metros Observando este exemplo é possível associar com a área como foi discutida na seção anterior isto é para calcular a distância percorrida por um móvel cuja velocidade é dada por uma função v vt podemos usar a Soma de Riemann da função para fazer estimativas ou usar semelhante a definição da área Distância limmaxΔxi0 i1n vciΔti É bom lembrar que a grandeza distância não é igual à área O valor numérico é igual mas estamos lidando com grandezas diferentes Cálculo A Funções limite derivação e integração 691 Definição Seja f uma função definida no intervalo a b e seja P uma partição qualquer de a b A integral definida de f de a até b denotada por ab fxdx é dada por ab fxdx limmaxΔxi0 i1n fciΔxi desde que o limite do 2 membro exista Se ab fxdx existe dizemos que f é integrável em a b Na notação ab fxdx os números a e b são chamados limites de integração a limite inferior e b limite superior Se f é integrável em a b então ab fxdx ba fxdx se a integral à direita existir b Se a b então ab fxdx 0 É muito importante saber quais funções são integráveis Uma ampla classe de funções usadas no Cálculo é a classe das funções contínuas O teorema a seguir cuja demonstração será omitida garante que elas são integráveis 693 Teorema Se f é contínua sobre a b então f é integrável em a b Propriedades da Integral Definida 694 Proposição Se f é integrável em a b e k é um número real arbitrário então kf é integrável em a b ab k fxdx k ab fxdx Prova Como f é integrável em a b existe o limmax Δx0 i1n fciΔxi e portanto podemos escrever ab k fxdx limmax Δx0 i1n kfciΔxi k limmax Δx0 i1n fciΔxi k ab fxdx 695 Proposição Se f e g são funções integráveis em a b então f g é integrável em a b e ab fx gxdx ab fxdx ab gxdx Prova Se f é integrável em a b existe o limite limmax Δx0 i1n fciΔxi que é ab fxdx Se g é integrável em a b existe o limite limmax Δx0 i1n gciΔxi que é ab gxdx Escrevemos então ab fx gxdx limmax Δx0 i1n fci gciΔxi limmax Δx0 i1n fciΔxi limmax Δx0 i1n gciΔxi ab fxdx ab gxdx Observamos que esta proposição pode ser estendida para um número finito de funções ou seja ab f1x f2x fnxdx ab f1xdx ab f2xdx ab fnxdx Vale também para o caso em que f são diferenças de funções isto é ab fx gxdx ab fxdx ab gxdx 696 Proposição Se a c b e f é integrável em a c e em c b então f é integrável em a b e ab fxdx ac fxdx cb fxdx Prova Consideremos uma partição no intervalo a b de tal forma que o ponto c a c b seja um ponto da partição isto é c xk para algum i Podemos dizer que o intervalo a c ficou dividido em r subintervalos e c b em n r subintervalos Escrevemos as respectivas somas de Riemann i1r fciΔxi e ir1n fciΔxi Então i1n fciΔxi i1r fciΔxi ir1n fciΔxi Usando a definição de integral definida vem ab fxdx limmax Δx0 i1n fciΔxi limmax Δx0 i1r fciΔxi limmax Δx0 ir1n fciΔxi ac fxdx cb fxdx Esta propriedade pode ser generalizada Se f é integrável em um intervalo fechado e se a b c são pontos quaisquer desse intervalo então ab fxdx ac fxdx cb fxdx A Figura 68 ilustra a Proposição 686 para o caso em que fx 0 A área do trapézoide ABCD adicionada à área do trapézoide BEFC é igual à área do trapézoide AEFD 697 Proposição Se f integrável e se fx 0 para todo x em a b então ab fxdx 0 Prova Como fci 0 para todo ci em xi1 xi segue que i1n fciΔxi 0 Portanto limmax Δxi0 i1n fciΔxi 0 e dessa forma ab fxdx 0 698 Proposição Se f e g são integráveis em a b e fx gx para todo x em a b então ab fxdx ab gxdx Prova Fazemos I ab fxdx ab gxdx Devemos mostrar que I 0 Usando a Proposição 695 podemos escrever I ab fxdx ab gxdx ab fx gxdx Como fx gx para todo x a b temos que fx gx 0 para todo x a b Usando a Proposição 697 concluímos que I 0 699 Proposição Se f é uma função contínua em a b então ab fxdx ab fxdx Prova Se f é contínua em a b então a f é integrável em a b b f é contínua em a b c f também é integrável em a b Sabemos que fx fx fx Usando a Proposição 698 escrevemos ab fxdx ab fxdx ab fxdx Pela Proposição 694 vem ab fxdx ab fxdx ab fxdx Usando a Propriedade 133i segue que ab fxdx fxdx Na Proposição a seguir cuja demonstração será omitida apresentamos o Teorema do Valor Médio para integrais 6910 Proposição Se f é uma função contínua em a b existe um ponto c entre a e b tal que ab fxdx b afc Tomamos a integral definida ab ftdt fixamos o limite inferior a e fazemos variar o limite superior Então o valor da integral dependerá desse limite superior variável que indicaremos por x Fazendo x variar no intervalo a b obtemos uma função Gx dada por Gx ax ftdt Intuitivamente podemos compreender o significado de Gx através de uma análise geométrica Conforme vimos na Seção 69 se ft 0 t a b a integral ab ftdt representa a área abaixo do gráfico de f entre a e b ver Figura 610a Da mesma forma Gx ax ftdt nos dá a área abaixo do gráfico de f entre a e x ver Figura 610b Podemos observar que Ga 0 e Gb nos dá a área da Figura 610 a Vamos agora determinar a derivada da função Gx Temos a seguinte proposição 6101 Proposição Seja f uma função contínua num intervalo fechado a b Então a função G a b ℝ definida por Gx ax ftdt tem derivada em todos os pontos x a b que é dada por Gx fx ou seja ddx ab ftdt fx Prova Vamos determinar a derivada Gx usando a definição Gx lim Δx0 Gx Δx Gx Δx Gx ax ftdt Gx Δx axΔx ftdt Gx Δx Gx xxΔx ftdt Usando a Proposição 696 podemos escrever xxΔx ftdt ax ftdt xxΔx ftdt ax ftdt e então Gx Δx Gx xxΔx ftdt Como f é contínua em x x Δx pela Proposição 6910 existe um ponto x entre x e x Δx tal que xxΔx ftdt x Δx xfx fxΔx Portanto lim Δx0 Gx Δx Gx Δx lim Δx0 fx lim xx fx Logo Gx fx Observamos que quando x é um dos extremos do intervalo a b os limites usados na demonstração serão limites laterais Ga será uma derivada à direita e Gb uma derivada à esquerda Uma importante conseqüência dessa proposição é que toda função fx contínua num intervalo a b possui uma primitiva que é dada por Gx ax ftdt Outro resultado importante obtémse da análise geométrica Voltando à Figura 610 podemos dizer que a taxa de variação da área da Figura 610b em relação a t é igual ao lado direito da região Podemos agora estabelecer formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo Então Cálculo A Funções limite derivação e integração Introdução à integração Cálculo A Funções limite derivação e integração A 22 4 x²dx 4x x³322 8 83 8 2³3 323 Portanto A 323 323 unidades de área ii Encontre a área da região S limitada pela curva y sen x e pelo eixo dos x de 0 até 2π Precisamos dividir a região S em duas subregiões S₁ e S₂ ver Figura 615 No intervalo 0 π y sen x 0 e no intervalo π 2π y sen x 0 Portanto se A₁ é a área de S₁ e A₂ é a área de S₂ temos A A₁ A₂ 0π sen x dx π2π sen x dx cos x 02π cos π cos 0 cos 2π cos π 1 1 1 1 4 ua i Encontre a área limitada por y x² e y x 2 As curvas y x² e y x 2 interceptamse nos pontos de abscissa 1 e 2 ver Figura 618 No intervalo 1 2 temos x 2 x² Então A 12 x 2 x²dx x²2 2x x³312 222 22 233 1²2 21 1³3 92 ua Cálculo A Funções limite derivação e integração CAPÍTULO 6 Introdução à integração 613 Exercícios 614 Extensões do Conceito de Integral Até o momento calculamos integrais de funções contínuas definidas em intervalos fechados e limitados Em diversas aplicações surge a necessidade de relaxar algumas dessas condições Nas seções que seguem vamos estender o conceito de integral para as seguintes situações integrais de funções contínuas por partes integrais com limites de integração infinitos integrais com integrandos infinitos 6142 Exemplos i A função f 0 4 ℝ fx x 0 x 2 1 2 x 4 é uma função contínua por partes definida no intervalo 0 4 A Figura 622 mostra o seu gráfico ii A função f ℝ ℝ fx x x sendo x a parte inteira de x isto é o menor inteiro menor ou igual a x é uma função contínua por partes A Figura 623 mostra o gráfico dessa função 6143 Cálculo da Integral de uma Função Contínua por Partes Podemos calcular a integral definida de uma função contínua por partes como segue ab fxdx axi fxdx xixk fxdx 6144 Exemplos i Calcular I 13 fxdx sendo fx x 1 x 2 x 2 2 x 3 Cálculo A Funções limite derivação e integração Para ε 12 vem Ft 0¹ fx dx 1² dx 12 2x 0 12 2t 2 2t 32 Logo Ft t²2 0 t 1 2t 32 1 t 2 Na Figura 626 apresentamos o gráfico da função Ft obtida É interessante observar que Ft é contínua mas não é derivável no ponto t 1 que é o ponto onde a função dada ft não é contínua Nos demais pontos ela é derivável e sua derivada é dada por Ft ft CAPÍTULO 6 Introdução à integração 6145 Definição a Se f é contínua para todo x a definimos ab fx dx lim b ab fx dx se este limite existir b Se f é contínua para todo x b definimos ab fx dx lim a ab fx dx se este limite existir c Se f é contínua para todo x definimos a fx dx lim a ba fx dx lim b ba fx dx se ambos os limites existirem Para os itens a e b temos que se o limite existir a integral imprópria é dita convergente Em caso contrário ela é dita divergente No caso do item c se ambos os limites existirem a integral imprópria é dita convergente Se pelo menos um dos limites não existir ela é dita divergente É importante notar que o cálculo das integrais impróprias reduzse ao cálculo de integrais definidas e de limites Por exemplo no item a calculamos a integral definida no intervalo a b considerando que o limite inferior a é fixo e o limite superior b é variável A seguir fazemos b moverse indefinidamente para a direita isto ε b As figuras 628 a 630 ilustram as diversas situações Cálculo A Funções limite derivação e integração 6146 Exemplos i Calcular a área sob a curva y 1x² à direita de x 12 A Figura 631 mostra a área que desejamos calcular Temos I 12¹ x dxx² lim b 1x b lim b 1b 112 2 Portanto a integral I converge e a área procurada é dada por A 2 ua ii Calcular se convergir a integral I ² dx4x² Temos I lim a a² dx4x² lim a 42x a 12 Logo a integral I converge e seu valor ε I 12 Na Figura 632 ilustramos este exemplo É interessante observar que o resultado obtido representa a área da região ilimitada situada abaixo da curva y 14x² à esquerda de x 2 iii É possível encontrarmos em número finito que representa a área da região abaixo da curva y 1x x 1 Devemos verificar se a integral imprópria I 1 1x dx converge ou diverge Temos I lim b 1 b 1x dx lim b ln x₁ᵇ lim b ln b ln 1 Logo a integral imprópria diverge e dessa forma a resposta à pergunta formulada é não vi Uma aplicação interessante das integrais impróprias é estimar a quantidade total de óleo ou gás natural que será produzida por um poço dada sua taxa de produção Vamos supor que engenheiros de produção estimaram que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa de ft 700e⁰²t milhares de metros cúbicos mensais onde t é o tempo desde o início da produção Estimar a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço é I 0 700e⁰²t dt lim T 0 T 700e⁰²t dt 700 lim T 002e⁰²t₀ᵀ 70010020 1 70050 35000 Logo o potencial de produção desse poço é de 3500 milhares de metros cúbicos de gás natural Integrais Impróprias com Integrandos Infinitos Na seção anterior introduzimos as integrais impróprias com limites de integração infinitos possibilitando calcular área de regiões ilimitadas como exemplificamos nas Figuras 627 Na Figura 633 ilustramos outras regiões ilimitadas cuja área em alguns casos pode ser calculada usando integrais impróprias Cálculo A Funções limite derivação e integração Nas figuras 634 a 636 ilustramos as três situações É importante observar que as integrais impróprias com integrandos infinitos têm a mesma notação que as integrais definidas Na prática sempre que nos deparamos com uma integral definida devemos analisar a função integrando para verificar se não estamos diante de uma integral imprópria 6148 Exemplos i É possível encontrar um número fino que representa a área da região abaixo da curva y 1x no intervalo 016 Devemos verificar se a integral imprópria I 016 dxx converge ou diverge Temos I lim r0 r16 dxx lim r0 2x 16r lim r0 8 2r 8 Logo a integral imprópria converge e a área da região dada é A 8 ua A Figura 637 ilustra este exemplo C A P Í T U L O 6 Introdução à integração ii É possível encontrar um número finito que representa a área da região abaixo da curva para y 11 x no intervalo 0 1 Na Figura 638 apresentamos a região dada Devemos investigar se a integral imprópria I 01 dx1 x converge ou diverge Temos I lim s1 0s dx1 x lim s1 ln1 x0s lim s1 ln1 s ln1 Portanto a integral imprópria diverge não sendo possível encontrar um número finito que representa a área da região dada iii Investigar a integral I 27 dxx 123 Neste exemplo a função integrando é contínua exceto no ponto x 1 Além disso ela tem limites laterais infinitos nesse ponto Temos então I lim s1 2s dxx 123 lim r1 r7 dxx 123 lim s1 s 123 lim r1 r 123 Cálculo A Funções limite derivação e integração Logo a integral imprópria converge e seu valor é 33 6 A Figura 639 ilustra este exemplo iv Investigar a integral I 27 dxx 1² Como no exemplo anterior a função integrando é contínua em todos os pontos do intervalo de integração exceto no ponto x 1 onde tem limites laterais infinitos Temos I lim s1 2s dxx 1² lim s1 s1 1x 1² lim s1 1s 1 1s 2 1 Logo a integral imprópria diverge Capítulo 6 Introdução à integração 291 Cálculo A Funções limite derivação e integração 292