Mecânica Analítica - Nivaldo A. Lemos

MECÂNICA ANALÍTICA Nivaldo A Lemos 2ª edição A compreensão das teorias físicas contemporâneas exige um domínio das ideias e dos métodos da mecânica analítica cuja importância intrínseca foi realçada nas últimas décadas do século XX pelo rápido desenvolvimento das teorias do caos e dos sistemas dinâmicos Neste livro destinado primordialmente a cursos de graduação os formalismos lagrangiano e hamiltoniano são introduzidos de forma clara com ênfase nas propriedades de simetria e invariância e nos aspectos estruturais da mecânica de importância fundamental para a Física moderna Numerosos exemplos tornam o texto acessível aos estudantes típicos O formalismo é aplicado à dinâmica do corpo rígido à teoria das pequenas oscilações e à dinâmica relativística As transformações canônicas e o método de HamiltonJacobi são tratados com simplicidade e precisão Discutese ainda a extensão dos formalismos de Lagrange e de Hamilton a sistemas contínuos descritos por campos Além da exposição ampla e detalha MECÂNICA ANALÍTICA Nivaldo A Lemos Copyright 2007 Editora Livraria da Física Editor José Roberto Marinho Capa Arte Ativa Revisão Osvaldo Pessoa Jr Impressão Gráfica Paym Dados de catalogação na Publicação CIP Internacional Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Lemos Nivaldo A Mecânica analítica Nivaldo A Lemos 2 ed São Paulo Editora Livraria da Física 2007 Bibliografia 1 Mecânica I Título 04 0173 CDD 531 Índices para catálogo sistemático 1 Física quântica 531 ISBN 8588325241 Editora Livraria da Física Telefone 0xx11 3816 7599 Fax 0xx11 3815 8688 email livrariaifuspbr Página na internet wwwlivrariadafisicacombr MECÂNICA ANALÍTICA Nivaldo A Lemos Departamento de Física Universidade Federal Fluminense Dedicado às minhas filhas Cíntia Luiza e Beatriz Physical laws should have mathematical beauty Paul Adrien Maurice Dirac Poets say science takes away from the beauty of the stars mere globs of gas atoms I too can see the stars on a desert night and feel them But do I see less or more The vastness of the heavens stretches my imagination A vast pattern of which I am a part It does not do harm to the mystery to know a little about it Far more marvellous is the truth than any artists of the past imagined it What men are poets who can speak of Jupiter if he were a man but if he is an immense spinning sphere of methane and ammonia must be silent Richard Phillips Feynman PREFÁCIO Lend me your ears and Ill sing you a song And Ill try not to sing out of key With a Little Help From My Friends John Lennon Paul McCartney Podese afirmar sem exagero que a mecânica analítica é o alicerce da física teórica O grandioso edifício da teoria quântica foi erigido sobre a base da mecânica analítica particularmente na forma devida a Hamilton A mecânica estatística e as teorias de campos das partículas elementares são fortemente marcadas por elementos estruturais extraídos da mecânica clássica Além disso o vertiginoso desenvolvimento das teorias do caos e dos sistemas dinâmicos em geral promoveu um renascimento da mecânica clássica nas últimas décadas do século XX Assim o estudo de praticamente qualquer ramo da física atual requer uma formação sólida em mecânica analítica a qual por si só continua sendo de enorme importância para suas aplicações em engenharia e na mecânica celeste Ao longo de mais de duas décadas de forma intermitente o autor vem ministrando a disciplina de mecânica analítica no curso de graduação em Física da Universidade Federal Fluminense O presente texto fruto dessa experiência e de uma atração ininterrupta pelo assunto destinase a estudantes de graduação que tenham passado por um curso intermediário de mecânica num nível comparável ao de Symon 1971 ou Marion Thornton 1995 Quanto aos prérequisitos matemáticos os cursos usuais de cálculo de uma e várias variáveis equações diferenciais ordinárias e álgebra linear são suficientes A mecânica analítica é uma disciplina de caráter eminentemente matemático Assim sem descartar dos aspectos físicos procuramos manter um padrão razoável de rigor matemático na exposição A maior concessão nesse campo é o emprego de quantidades infinitesimais que consideramos pedagogicamente aconselhável numa primeira apresentação ao estudante das noções de deslocamento virtual e de famílias contínuas de transformações Evitamos sobrecarregar o texto com resultados matemáticos auxiliares exceto quando pareceu possível integrálos com certa naturalidade ao desenvolvimento do formalismo Alguns teoremas de uso mais geral e frequente estão provados nos apêndices nos demais casos referimonos a textos matemáticos onde as demonstrações precisas podem ser encontradas Entendemos que a progressiva substituição de argumentos heurísticos por procedimentos matematicamente rigorosos está em sintonia com as tendências da física teórica atual cuja linguagem matemática vem se tornando crescente e sofisticada e rigorosa O aparato matemático da mecânica analítica é muito rico e permite ao primeiro contato do estudante com técnicas e conceitos largamente empregados nos mais variados ramos da Física porém no contexto de uma teoria clássica no qual a intuição é um guia relativamente seguro Noções como as de operador linear autovalor autovetor grupo e álgebra de Lie surgem naturalmente aplicadas a situações mais fáceis de visualizar O alto grau de generalidade do formalismo da mecânica analítica serve para desenvolver no estudante a capacidade de abstração tão necessária para tornar possível compreender as teorias físicas contemporâneas Como observa V I Arnold numerosas teorias matemáticas modernas com as quais estão associados alguns dos maiores nomes da história da Matemática devem sua existência a problemas de mecânica Métodos sofisticados de geometria diferencial e topologia estão no cerne dos importantes desenvolvimentos recentes o que inviabiliza uma exposição que faça justa ideia para um primeiro curso de mecânica analítica Uma vez adquirida a formação básica o leitor estará apto a enveredar pelos caminhos mais vi Sumário 2 SUMÁRIO SUMÁRIO Capítulo 1 DINÂMICA LAGRANGIANA Teoremas de Conservação Somando as Eqs113 sobre todas as partículas deduzse² mi d²ridt² Fij Fei Fe i 115 porque vide EqA9 do Apêndice A Fij 12 Fij Fjt 0 116 em virtude da Eq112 Definindo o vetor posição do centro de massa por R mi ri mi mi ri M 117 a Eq115 assume a forma M d²Rdt² Fei Fe 118a ou dPdt Fe 118b em termos do momento linear total do sistema definido por P mi vi mi dxidt M dRdt 119 Inferese assim uma importante lei de conservação Teorema da Conservação do Momento Linear Se a força externa total é zero o momento linear total de um sistema de partículas é conservado O momento angular total do sistema em relação a um ponto Q com vetor posição rq é dado por³ LQ mi ri rq ri rq 1110 onde riQ ri rq e viQ ri rq são respectivamente o vetor posição e o vetor velocidade da iésima partícula em relação ao ponto Q Portanto dLQdt mi viQ vi ri rq pi mi ri rq irQ ri rq Fij ri rq Fei MR rq i rq 1111 onde temos usado as Eqs113 114 e 117 Mas lançando mão novamente da EqA9 podemos escrever ri rq Fij 12 ri rq Fij rj rq Fji 12 ri rj Fij 1112 com a ajuda da Eq112 Se as forças internas obedecem à forma forte da terceira lei de Newton então Fij tem a mesma direção que o vetor rij ri rj que aponta da jésima para a iésima partícula de modo que rij Fij 0 Assim sendo a Eq1111 pode ser reescrita na forma dLQdt Ne Q R rq iq 1113 onde Ne Q ri rq Fei 1114 é o torque externo total em relação ao ponto Q Se o ponto Q está em repouso ou é o centro de massa o segundo termo à direita da Eq1113 é nulo⁴ e ficamos com dLQdt Ne Q 1115 Esta última equação implica uma importante lei de conservação na qual o momento angular e o torque são tomados relativamente a um ponto fixo ou ao centro de massa Teorema da Conservação do Momento Angular O momento angular total de um sistema de partículas se conserva se o torque externo total é nulo A Eq119 assevera que o momento linear total de um sistema de partículas coincide com o calculado como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro de massa No caso do momento angular a situação é um pouco mais complexa Se R é o vetor posição do centro de massa em relação à origem O e um sistema de coordenadas inercial e ri é o vetor posição da iésima partícula em relação ao centro de massa então ri ri R vi vi V 1116 onde V Ř é a velocidade do centro de massa em relação a O e vi é a velocidade da iésima partícula em relação ao centro de massa O momento angular total relativamente à origem é L mi ri vi mi ri vi mi ri V R ddt mi ri 1117 onde usamos 1116 Da primeira das equações 1116 deduzse que mi ri mi ri mi R MR MR 0 1118 Assim o momento angular total em relação à origem admite a decomposição L R MV ri pi 1119 Em palavras o momento angular total em relação à origem é o momento angular do sistema como se estivesse concentrado no centro de massa acrescido do momento angular associado ao movimento em torno do centro de massa Por fim consideremos a energia A energia cinética total é definida por T 12 mi vi² 1120 Com o uso de 1116 resulta T 12 mi vi²2 12 mi V² V ddt mi ri 1121 onde devido a 1118 T M2 V² 12 mi vi² 1122 A energia cinética total é a soma da energia cinética do sistema como se estivesse concentrado no centro de massa com a energia cinética do movimento em torno do centro de massa Este resultado é particularmente útil na dinâmica do corpo rígido O trabalho realizado por todas as forças para levar o sistema de uma configuração inicial A a uma configuração final B é definido por WAB AB Fei Fij dri AB Fei dri AB Fij dri 1123 Usando a equação de movimento 113 deduzse WAB AB mi vi v dit AB d12 mi vi² 1124 onde WAB TB TA 1125 isto é o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética Em numerosos casos as forças são conservativas ou seja derivam de potenciais escalares Suponhamos que as forças externas admitam uma função energia potencial Ver₁ rN tal que Fei i Ve 1126 onde r i i x i j y i k z i é o operador nabla em relação à variável r i Neste 12 Vínculos Vínculos são limitações às possíveis posições e velocidades das partículas de um sistema mecânico restringindo a priori o seu movimento É importante sublinhar que vínculos são limitações de ordem cinemática impostas ao sistema mecânico Vínculos Holônomos Todos os vínculos discutidos acima são holônomos Se ξ 1 ξ M são coordenadas arbitrárias usadas para descrever a configuração de um sistema mecânico um vínculo é chamado de holônomo quando pode ser expresso por uma equação da forma 12 VÍNCULOS CAPÍTULO 1 DINÂMICA LAGRANGIANA 13 PRINCÍPIO DE DALEMBERT Exemplo 132 Duas partículas movemse unidas por uma haste rígida Sejam f1 e f2 as forças de vínculo sobre as partículas com f1 f2 pela terceira lei de Newton e tanto f1 quanto f2 dirigidas ao longo da reta definida pelas partículas O trabalho virtual das forças de vínculo é δWv f1 δr1 f2 δr2 f2 δr2 δr1 Definindo r r2 r1 a equação de vínculo assume a forma 124 a saber r2 l2 0 Em termos da variável r a situação equivalente àquela discutida no Exemplo 131 Tomando fr t r2 l2 e Eq131 reduzse a r δr 0 Mas como f2 e r são colineares existe um escalar λ tal que f2 λr onde δWv λr δr 0 Uma vez que um corpo rígido consiste num vasto número de partículas cujas distâncias mútuas são invariáveis concluise que é zero o trabalho virtual das forças responsáveis pela rigidez do corpo Exemplo 133 Um corpo rígido rola sem deslizar sobre uma superfície fixa De modo geral para que não haja deslizamento é preciso que exista uma força de atrito entre o corpo e a superfície isto é as superfícies em contato devem ser ásperas Mas ao rolar sem deslizar em cada instante as partículas do corpo giram em torno de um eixo que passa pelo ponto de contato do corpo com a superfície Assim a força de atrito atua sobre um ponto do corpo que em cada instante possui velocidade nula pois encontrase sobre o eixo instantâneo de rotação Uma vez que qualquer deslocamento virtual do corpo não pode mover o seu ponto de contato com a superfície senão haveria deslizamento com a consequente violação do vínculo o trabalho virtual da força de vínculo é δWv f δr 0 porque δr 0 muito embora r 0 A análise anterior torna patente que numa ampla gama de situações fisicamente relevantes o trabalho virtual total das forças de vínculo é nulo A situação em que há forças de atrito de deslizamento constitui uma exceção Neste caso a força de vínculo possui componente em mais direção de deslocamento virtual e o trabalho virtual por ela realizado não é zero A noção de atrito é estritamente macroscópica portanto de escasso interesse para o desenvolvimento das formulações gerais da mecânica especialmente sob a óptica da física contemporânea Vínculos cujas forças associadas não realizam trabalho durante deslocamentos virtuais são chamados de vínculos ideais De agora em diante vamos nos limitar sem perda significativa de generalidade à consideração de sistemas mecânicos sujeitos apenas a vínculos ideais Princípio dos Trabalhos Virtuais A formulação newtoniana da mecânica caracterizase pelo conjunto de equações diferenciais mi ri Fi i 1 N onde Fi é a força total ou resultante sobre a iésima partícula supostamente uma função conhecida das posições velocidades e tempo Este sistema de equações diferenciais determina uma única solução para rit uma vez especificadas todas as posições e velocidades num dado instante inicial Quando há vínculos em ação saltam aos olhos os inconvenientes da formulação newtoniana Em primeiro lugar ela geralmente requer o uso de mais coordenadas do que o necessário para especificar a configuração do sistema em cada instante Quando há vínculos holonômicos por exemplo as posições r1 rn não são independentes entre si x1 δx2 0 δx2 δx1 Em outras palavras se uma das massas sobe a outra desce a mesma distância e viceversa Em virtude destas últimas equações temos δr1 δx1 e δr2 δx2i δx1i δx1 Notando que r1 x1 r2 x2i e levando em conta ainda que x2 x1 como se deduz derivando duas vezes a Eq1310 em relação ao tempo o princípio de dAlembert m1r1 δr1 m2r2 δr2 F a 1 δr1 F a 2 δr2 m1g i δr1 m2g i δr2 reduzse a m1x1δx1 m2x1δx1 m1gδx1 m2gδx1 m1 m2x1 m1 m2gδx1 Em vista da arbitrariedade de δx1 resulta a equação de movimento da massa m1 m1 m2x1 m1 m2g A aceleração da massa m1 é x1 m1 m2 m1 m2 g que coincide com o resultado obtido pelo tratamento newtoniano elementar A aceleração de m2 é simplesmente x2 x1 Para outras aplicações do princípio de dAlembert o leitor é remetido a Sommerfeld 1952 e Synge Griffith 1959 Note que os valores de θ1 e θ2 especificam univocamente as posições das partículas isto é a configuração do sistema Em termos de θ1 e θ2 as equações de vínculo 126 reduzemse às identidades l21 sen2θ1 l21 cos2θ1 l21 0 e l22 sen2θ2 l22 cos2θ2 l22 0 Exemplo 142 Uma partícula está obrigada a permanecer sobre a superfície de uma esfera em movimento uniforme Seja u ux uy uz a velocidade constante da esfera em relação a um referencial inercial No instante t o centro da esfera tem coordenadas uxt uyt uzt e a equação de vínculo tem a forma xuxt2 yuyt2 zuzt2 R2 0 sendo R o raio da esfera Introduzindo os ângulos θ e ϕ pelas equações x uxt Rsen θ cos ϕ y uyt Rsen θ sen ϕ z uz t R cos θ a equação de vínculo passa a ser identicamente satisfeita Portanto q1 0 e q2 ϕ constituem uma escolha possível de coordenadas generalizadas Seja um sistema mecânico constituído por N partículas submetidas aos p vínculos holônomos f1r1 rN t 0 fpr1 rN t 0 Das como independentes entre si e dizse que o sistema possui n graus de liberdade É possível introduzir n coordenadas generalizadas q1 qn em termos das quais ri riq1 qn t i 1 N e as Eqs 141 são idênticamente satisfeitas Em linguagem geométrica podese dizer que as Eqs 141 definem uma hipersuperfície de dimensão n num espaço de dimensão 3N e que 142 são as equações paramétricas dessa hipersuperfície Cada conjunto de valores atribuídos às coordenadas generalizadas define uma configuração do sistema isto é as posições de todas as partículas num dado instante O espaço de configuração do sistema isto é as posições de todas as partículas num dado instante O espaço de configuração é chamado de espaço de configuração do sistema A representação do espaço de configuração como um espaço cartesiano é apenas simbólica no entanto Por exemplo no caso de uma partícula restrita à superfície de uma esfera é descrita pelas coordenadas esféricas angulares θ ϕ uma única configuração corresponde à infinidade de pontos θ 0 com ϕ arbitrada A rigor o espaço de configuração possui a estrutura matemática de uma variedade diferenciável e é também chamada de variedade de configuração Um sistema mecânico holônomo tem tantos graus de liberdade quantas sejam as coordenadas generalizadas necessárias e suficientes para especificar a sua configuração em cada instante já que o tempo deve permanecer fixo Por outro lado vi dri dt n k1 ri qk qk ri t Tendo em vista que as forças de vínculo não aparecem no princípio de dAlembert de ora em diante abandonaremos o superescrito identificador das forças aplicadas isto é adotaremos a notação abreviada F a i Fi Usando 143 o trabalho virtual das forças aplicadas tornase N i1 Fi δri N i1 n k1 Fi ri qk δqk n k1 Qk δqk onde Qk N i1 Fi ri qk é por definição a késima componente da força generalizada Como os qs não têm necessariamente dimensão de comprimento os Qs não têm necessariamente dimensão de força nas cada termo Qk δqk tem sempre dimensão de trabalho A outra quantidade envolvida no princípio de dAlembert é N i1 pi δri N i1 mi vi δri N i1 n k1 mi vi ri qk δqk A seguinte identidade será útil N i1 mi vi δri N i1 d dt mi vi ri qk mi vi d dt ri qk No último termo de 148 podemos usar o resultado d dt ri qk n l1 ql ri qk ql t ri qk qk n l1 ri ql ql ri t vi qk onde utilizamos 144 e passamos a tratar os qs e qs como grandezas independentes de modo que as derivadas parciais em relação aos qs tratam os qs como constantes e viceversa Além disso de 144 deduzse imediatamente vi qk ri qk permitindo escrever 148 na forma N i1 mi vi ri qk N i1 mi vi vi qk mi vi vi qk CAPÍTULO 1 DINÂMICA LAGRANGIANA 14 COORDENADAS GENERALIZADAS E EQUAÇÕES DE LAGRANGE Equações de Lagrange energia cinética T e energia potencial V devem ambas ser expressas relativamente a um mesmo referencial inercial Isso se deve ao fato de as equações de Lagrange 1421 terem sido deduzidas a partir da segunda lei de Newton pi Fi que só vale em referenciais inerciais Invariância das Equações de Lagrange Embora a invariância das equações de Lagrange sob uma transformação geral de coordenadas seja evidente da dedução feita acima uma demonstração direta é instrutiva Se Q1 Qn são novas coordenadas generalizadas que são funções arbitrárias das coordenadas generalizadas originais q1 qn temos Qk Gkq1 qn t k 1 n e inversamente qk gkQ1 Qn t k 1 n A mudança de coordenadas 1422 é conhecida como uma transformação de ponto por que mapeia pontos do espaço de configuração definido pelos qs em pontos do espaço de configuração definido pelos Qs Na terminologia matemática um mapeamento bijetivo diferenciável G com inverso g G1 também diferenciável constitui um difeomorfismo e o espaço de configuração dos Qs é dito difeomorfo ao espaço de configuração dos qs Diferenciando a Eq1423 relativamente ao tempo resulta qk n l1 qk Ql ql qk t onde qk Ql qk Ql A lagrangiana transformada LQ Q t é simplesmente a lagrangiana original Lq q t expressa em termos de Q Q t LQ Q t LqQ t qQ Q t t Como qkQl 0 podemos escrever L Qi n k1 L qk qk Qi L qk qk Qi n k1 L qk qk Qi onde d dt L Qi n k1 d dt L qk qk Qi L qk d qk Qi n k1 d dt L qk L qk qk Qi 0 em virtude de 1421 completando a demonstração Em linguagem matemática as equações de Lagrange são invariantes sob difeomorfismos Mesmo correndo o risco de aborrecer o leitor repetimos que embora possa ser expressa em termos de coordenadas generalizadas arbitrárias a lagrangiana L T V tem que ser escrita inicialmente em termos de posições e velocidades relativas a um referencial inercial Exemplo 151 Obter uma lagrangiana e as respectivas equações de Lagrange para o sistema mecânico representado na Fig 16 considerando desprezar as massas da roldana e do inextensível e que o comprimento natural da mola é l Solução Utilizando as coordenadas indicadas na Fig 16 e supondo que o fio permanece sempre esticado o vínculo x1 x2 l0 onde l0 é uma constante determinada pelo comprimento do fio e pelo raio da roldana mostra que somente duas das três coordenadas x1 x2 x3 podem ser tomadas como coordenadas generalizadas o sistema só possui dois graus de liberdade Escolhamos x2 e x3 como coordenadas generalizadas A energia cinética do sistema é T m1x 2 12 m2x 2 22 m3x 2 32 m12 x21 m22 x22 m32 x23 porque de x1 l0 x2 deduzse x1 x2 Adotando o nível zero do potencial gravitacional no plano horizontal que passa pelo centro da polia temos V m1g x1 m2g x2 m3g x3 k2 x3 x2 l2 m2 m1gx2 m1g l0 m3g x3 k2 x3 x2 l2 a lagrangiana é L T V m1x 2 12 m2x 2 22 m3x 2 32 m2 m1gx2 m1gl0 m3g x3 k2 x3 x2 l2 16 Potenciais Generalizados e Função de Dissipação L m1 m2 2 frac l12 dot heta12 m2 l12 dot heta22 cos heta1 heta2 m1 l1 g cos heta1 m2 g l2 cos heta22 L T U 16 POTENCIAIS GENERALIZADOS E FUNÇÃO DE DISSIPAÇÃO F eφ 1c vA e c dA dt φ e c vA d dt vφ e c vA pois φ e A não dependem da velocidade Levando em conta que q1 x q2 y q3 z a força F é da forma 161 com U eφ e c vA de modo que L T U mu2 2 eφ e c vA é a lagrangiana de uma partícula carregada num campo eletromagnético externo 18 Pêndulo amortecido de sorte que 2F é a taxa de dissipação da energia do sistema A parte dissipativa das forças generalizadas pode ser escrita como Qk N i1 F i ri qk N i1 F i vi qk N i1 F vi vi qk F vj vj qk F viz viz qk F qk onde usamos 1410 e a regra da cadeia da diferenciação 17 FORÇAS CENTRAIS E TEOREMA DE BERTRAND De todas as aplicações das leis do movimento a mais célebre e notável é ao problema do movimento de uma partícula num potencial central resolvido por Isaac Newton nos Principia no caso do potencial gravitacional Consideremos uma partícula em movimento sujeita a uma força F que depende somente da distância a um ponto fixo o centro de força e é dirigida ao longo da linha que une a partícula ao referido ponto que tomaremos como origem de nosso sistema de coordenadas T V m2 r² r²ϕ² Vr E constante 177 e 1 2Emk² a solução de 1714 para r é 1715 Wu Vef1u l²u²2m V1u 1718 17 FORÇAS CENTRAIS E TEOREMA DE BERTRAND 37 CAPÍTULO 1 DINÂMICA LAGRANGIANA 38 CAPÍTULO 1 PROBLEMAS 39 L m M 2 r² m 2 r² θ² grM m cos θ L eλ m 2 x² mgx L m 2 r² r² θ² r³ ϕ² sen² θ eg c ϕ cos θ Capítulo 2 PRNCÍPIO VARIACIONAL DE HAMILTON Desde que existe como ciência a Física tem como seu objetivo mais cobiçado a solução do problema de condensar todos os fenômenos naturais num único princípio 21 Rudimentos do Cálculo das Variações O cálculo das variações ocupase com o problema de determinar extremos isto é máximos ou mínimos de funcionais Um funcional é uma função real cujo domínio é um espaço de funções 21 RUDIMENTOS DO CÁLCULO DAS VARIAÇÕES CAPÍTULO 2 PRINCÍPIO VARIACIONAL DE HAMILTON 21 RUDIMENTOS DO CÁLCULO DAS VARIAÇÕES CAPÍTULO 2 PRINCÍPIO VARIACIONAL DE HAMILTON A curva buscada é um arco de catenária As constantes a e b devem ser determinadas exigindo que a catenária passe pelos pontos extremos Para certas posições dos pontos extremos podem existir duas catenárias distintas apenas uma delas fornecendo o mínimo absoluto ou o verdadeiro mínimo ser alcançado numa curva que não pertence à classe das catenárias e nem sequer possui derivada contínua Weinstock 1952 Arfken 1985 A variação δy representada na Fig 21 é definida por δy εη de modo que a Eq213 escrevese y y δy Analogamente a variação do funcional J é definida por δJ ε x2x1 f y δy f y δy dx onde usamos a primeira igualdade em 218 e δy εη η δy d dxδy δS δ t2t1 Lq q t dt 0 com δqt1 δqt2 0 A generalização para sistemas holônomos com um número qualquer de graus de liberdade é imediata Seja S a ação definida por S t2t1 Lq1 qn q1 qn t dt nulo Finalmente como o argumento anterior é aplicável a qualquer k0 concluise que 239 equivale a ddt Lqk Lqk 0 k 1 n 2310 Isto completa a dedução das equações de Lagrange a partir do princípio variacional δS 0 para sistemas holonômicos A ocasião é propícia para introduzir uma sugestiva descrição geométrica da dinâmica lagrangiana Como já vimos o espaço cartesiano de n dimensões cujos pontos são nuplas q1 qn é conhecido como espaço de configuração O nome é adequado cada ponto do espaço de configuração corresponde a um conjunto de valores determinados de q1 qn que define univocamente a configuração do sistema mecânico no instante considerado À medida que o tempo passa o estado do sistema se modifica e o ponto representativo do sistema descreve uma curva no espaço de configuração já que as equações q1 q1t qn qnt são a representação paramétrica de uma curva tendo t como parâmetro Essa trajetória representa o movimento do sistema em sua totalidade no espaço de configuração e este dada a sua natureza abstrata não costuma ter qualquer relação com o espaço físico tridimensional As coordenadas generalizadas não são necessariamente coordenadas de posição e a trajetória do sistema no espaço de configuração não guarda em geral qualquer semelhança com a curva descrita no espaço tridimensional por qualquer partícula constituinte do sistema De agora em diante salvo menção em contrário designaremos simplesmente por q a nupla q1 qn isto é q q1 qn A evolução dinâmica corresponde a uma trajetória traçada no espaço de configuração e podemos enunciar o seguinte princípio fundamental Princípio de Hamilton Dado um sistema mecânico holonômico descrito pela lagrangiana Lq q t seu movimento do instante t1 ao instante t2 é tal que a ação S t2t1 Lq q t dt é mínima mais geralmente estacionária para a trajetória real mantidos fixos os pontos inicial e final da trajetória no espaço de configuração Lagrangianas Equivalentes O princípio de Hamilton que também costuma ser chamado de princípio da mínima ação tem como consequência importante que as mesmas equações de movimento são geradas por duas lagrangianas que só diferem pela derivada total em relação ao tempo de uma função arbitrária das coordenadas generalizadas e do tempo Lq q t Lq q t ddt fq t Figura 24 Pêndulo plano com ponto de suspensão móvel Teorema 231 Lagrangianas equivalentes dão lugar às mesmas equações de movimento Demonstração A ação S associada a L é dada por S t2t1 Lq q t dt t2t1 Lq q t dt t2t1 dfdt dt S fqt2 t2 fqt1 t1 Mas como a variação da ação mantém os extremos qt1 e qt2 fixos δS δS Portanto as condições δS 0 e δS 0 são idênticas demonstrando que L e L produzem exatamente as mesmas equações de movimento Exercício 231 Demonstre por substituição direta nas equações de Lagrange que lagrangianas equivalentes geram as mesmas equações de movimento Exemplo 231 Discutir a lagrangiana para um pêndulo plano cujo ponto de suspensão deslocase sobre uma reta horizontal com velocidade constante Solução Usando as coordenadas indicadas na Fig 24 temos T m2 x lθ cos θ² lθ sen θ² onde L T V m2 x² l²θ² 2lxθ cos θ mgl cos θ Se x v constante podemos escrever L ml²θ²2 mgl cos θ ddt m2 v²t mlv sen θ Descartando a derivada total a lagrangiana resultante coincide com a que seria obtida por um observador em relação ao ponto de suspensão do pêndulo é fixo Você é capaz de explicar por quê É possível demonstrar Problema 26 que duas lagrangianas só produzem exatamente as mesmas equações de movimento se diferem pela derivada total em relação ao tempo de uma função das coordenadas generalizadas e do tempo No entanto há lagrangianas que não diferem por uma derivada total mas geram equações de movimento equivalentes isto é equações que não são idênticas mas possuem as mesmas soluções Problema 27 24 Princípio de Hamilton no Caso NãoHolonômo Na seção anterior admitimos que o sistema mecânico era descrito por coordenadas independentes entre si e tal independência foi crucial para permitir a dedução de 2310 a partir de 239 Tais coordenadas generalizadas mutuamente independentes sempre existem quando todos os vínculos a que o sistema está sujeito são holonômicos Quando há vínculos nãoholonômicos presentes é em geral impossível introduzir coordenadas generalizadas de tal modo que as equações de vínculo sejam idênticamente satisfeitas É possível ainda assim deduzir as equações de movimento a partir do princípio de Hamilton no caso especial em que os vínculos nãoholonômicos são equações diferenciais da forma n k1 αkl dqk αlt dt 0 l 1 p cujos coeficientes αkl e αlt são funções somente de q1 qn e t Suponhamos portanto que o sistema seja descrito por n coordenadas q1 qn e esteja submetido aos p vínculos diferenciais independentes 241 o índice l servindo para distinguir as equações de vínculo umas das outras Apesar da forma aparentemente restrita os vínculos do tipo 241 abrangem todos os casos de vínculos nãoholonômicos de interesse físico Seja L a lagrangiana do sistema escrita como se não houvesse vínculos O potencial generalizado em L referese apenas às forças aplicadas de modo que as forças de vínculo responsáveis pela validade das Eqs241 não estão incluídas na lagrangiana O princípio de Hamilton δS 0 implica t2t1 dtk n k1 Lqk ddt Lqk δqk 0 mas agora não podemos inferir que o coeficiente de cada δqk é zero porque os δqs não são mutuamente independentes Com efeito as Eqs235 mostram que cada δqk é um deslocamento virtual pois o tempo permanece fixo quando se executa uma variação que leva qkt em qkt gkt δqkt Mas conforme as Eqs241 os deslocamentos virtuais devem obedecer a n k1 αk δqk 0 l 1 p para que haja compatibilidade com os vínculos usamos dt 0 para deslocamentos virtuais As n variações δq1 δqn têm que satisfazer as equações 243 de modo que apenas n p variações dos qs são independentes entre si Tratase portanto da determinação de um extremo condicionado para o funcional S e o tratamento segue a linha do método dos multiplicadores de Lagrange do cálculo diferencial Multiplicadores de Lagrange A equação a saber as n coordenadas qk e os p multiplicadores de Lagrange λl As p equações adicionais são evidentemente as equações de vínculo 241 que podem ser escritas na forma equivalente Forças de Vínculo Resta investigar o significado físico dos multiplicadores de Lagrange que também são determinados no processo de resolução das equações de movimento Imaginemos os vínculos removidos e forças generalizadas Qk atuando sem provocar nenhuma alteração no movimento do sistema Ora isto só ocorreria se Qk fossem as forças de vínculo pois somente assim o sistema obedeceria às restrições 2410 Mas levando em conta que L só inclui as forças aplicadas as forças adicionais Qk apareceriam nas equações de movimento na forma 1613 isto é Figura 25 Patinete num plano horizontal Advertência Vínculos nãointegráveis não podem ser substituídos na lagrangiana para eliminar variáveis Se uma variável for assim eliminada da lagrangiana as configurações acessíveis estarão sendo indevidamente reduzidas pois vínculos nãointegráveis restringem apenas as velocidades Por exemplo se a variável x for completamente eliminada da lagrangiana 2416 por meio de 2415 a nova lagrangiana Ly y assim obtida conduzirá a uma equação de movimento para y cuja solução é completamente diferente de 2418 que é a solução correta verifique você mesmo Em muitos casos a eliminação de variáveis pela substituição de vínculos nãointegráveis na lagrangiana é possível mas as equações de movimento corretas são as equações de Voronec Neimark Fufaev 1972 Lemos 2003 Exemplo 242 Usando o método dos multiplicadores de Lagrange descrever o movimento de um patinete num plano horizontal Solução Como modelo supersimplificado de patinete tomemos uma haste rígida delgada homogênea de comprimento l restrita a moverse de tal modo que a velocidade do centro de massa seja sempre paralela à haste Fig 25 Como coordenadas utilizaremos os ângulos θ e φ representados na Fig 26 onde φ é o ângulo de rotação do cilindro móvel em torno de seu eixo de simetria além de r que é a distância entre os eixos dos cilindros Note que r e θ são coordenadas polares do centro de massa do cilindro móvel relativamente ao centro de massa do cilindro fixo A lagrangiana do problema deve ser escrita como se r θ φ fossem coordenadas independentes A energia cinética do cilindro móvel composese da energia cinética do centro de massa mais a energia de rotação em torno do centro de massa isto é T m2 r² r²θ² 12 Iφ² 2433 onde I ma²2 é o momento de inércia do cilindro em torno do seu eixo de simetria A lagrangiana portanto é L m2 r² r²θ² ma²4 φ² mgr cos θ 2434 Neste problema há dois vínculos holônomos a saber onde I é o momento de inércia da haste relativamente a um eixo perpendicular a ela passando pelo centro de massa As equações de movimento são mx λ1 sen θ my λ1 cos θ Iθ 0 2423 A equação para θ tem por solução θ θ0 Ω t com θ0 e Ω constantes arbitrárias Combinando as duas primeiras equações de movimento deduzimos x cos θ y sen θ 0 2425 Da equação de vínculo 2421 decorre y x tan θ y x tan θ Ωx sec² θ 2426 Introduzindo este resultado em 2425 resulta x cos θ Ωx sen θ cos² θ 0 d dt x cos θ 0 x C cosΩt θ0 2427 Uma nova integração fornece x x0 C senΩt θ0 2428 onde x0 e C CΩ são constantes arbitrárias A inserção de 2424 e 2428 na primeira das Eqs2426 seguida de uma integração redundam em y y0 C cosΩt θ0 2429 O patinete gira em torno de seu próprio centro de massa com velocidade angular constante Ω ao mesmo tempo que o centro de massa descreve uma circunferência no plano do movimento com a mesma velocidade angular Ω Se Ω 0 o centro de massa do patinete executa um movimento retilíneo uniforme Figura 26 Cilindro rolando sem deslizar sobre cilindro fixo que são da forma 2410 com aₖ fₜqₖ aₜ fₜt 2432 Assim o método dos multiplicadores de Lagrange pode ser aplicado a sistemas holônomos quando é inconveniente substituir os qₖs por um conjunto menor de variáveis independentes ou quando se deseja obter as forças de vínculo À guisa de ilustração apliquemos o formalismo dos multiplicadores de Lagrange a um caso holônomo 24 PRINCÍPIO DE HAMILTON NO CASO NÃOHOLÔNOMO 61