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Capítulo 2 A Geometria Euclidiana e o Método Axiomático 25 Figura 5 Teorema dos ângulos alternos internos ângulos alternos e internos congruentes implica em retas paralelas Teorema 5 Teorema do ângulo externo Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo interno não adjacente a ele Figura 6 Figura 6 Teorema do ângulo externo γ α e γ β α γ β Teorema 6 A soma das medidas de quaisquer dois ângulos de um triângulo qualquer é estritamente menor que π dois ângulos retos E como consequência todo triângulo possui pelo menos dois ângulos agudos 26 3 A história do Quinto Postulado Na redação de Euclides o último postulado é claramente diferente dos demais Ele não pode ser validado empiricamente e é o único condicional A redação segue a estrutura utilizada em um teorema não faltando o se e o então a hipótese e a tese o que deixou muitas interrogações sobre a possibilidade de proválo como legítimo teorema Ao analisarmos a estrutura do primeiro livro da obra Elementos observando as relações entre as proposições e os postulados usados nas demonstrações é possível inferir que o próprio Euclides evitou o tanto quanto pode o uso do quinto postulado de forma que seu uso ocorre somente após as 28 primeiras proposições conforme mostra a Tabela 1 Andrade 2013 nos relata que diversos matemáticos como Gauss Bolyai e Loba chevsky realizaram um enorme esforço na tentativa de demonstrar o quinto postulado questão esta que estava em aberto por cerca de dois mil anos Tantas foram as tentativas de tornar o quinto postulado um teorema que em 1763 G S Klügel foi capaz de apresentar uma tese de doutorado examinando as falhas em 28 diferentes provas do suposto postulado das paralelas expressando dúvidas de que ele poderia ser provado O enciclopedista e matemático francês J L R dAlembert chamou isso de o escândalo da geometria A grande maioria dos erros cometidos nas tentativas de demonstração aconteceram por conta do uso inconsciente de armações que são logicamente equivalentes ao próprio quinto postulado Diremos que uma armação A é logicamente equivalente a uma armação B quando supondo a veracidade de A podese demonstrar a veracidade de B e vice versa ou seja supondo a veracidade de B podese demonstrar a veracidade de A Destacamos no teorema 7 algumas das equivalências lógicas do quinto postulado para uso posterior Teorema 7 Assuma os axiomas da geometria neutra As seguintes armações são equi valentes i Em um ponto fora de uma reta incide uma única reta que não a interseta postulado de Playfair Figura 7 Figura 7 Postulado de Playfair Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 27 Tabela 1 Tabela que relaciona denições postulados noções comuns e proposições utili zadas nas demonstrações de cada uma das proposições de Elementos Prop demonstrada Denições Postulados Noções comuns Prop utilizadas na demonstração 1 15 20 1 3 1 2 15 20 1 2 3 1 3 1 3 15 3 1 2 4 7 9 5 12 3 3 4 6 1 8 3 4 7 1 8 5 8 7 7 9 20 1 1 3 8 10 20 1 4 9 11 10 20 1 1 2 3 8 12 10 15 1 3 8 10 13 10 1 2 11 14 2 4 1 2 3 8 13 15 4 1 2 3 13 16 1 2 8 2 3 4 10 15 17 2 4 13 16 18 1 8 3 5 16 19 5 18 20 1 2 8 2 5 19 21 2 4 16 20 22 15 1 3 1 2 3 20 23 1 8 22 24 1 1 8 2 4 5 19 23 25 4 24 26 1 1 8 3 4 16 27 23 2 16 28 4 1 2 3 13 15 27 29 23 2 5 8 22 30 1 27 29 31 1 2 23 27 32 2 1 2 13 29 31 33 1 4 27 29 34 1 2 4 26 29 35 1 2 3 4 29 34 36 1 1 33 34 35 37 2 6 31 34 35 38 2 6 31 34 36 39 1 1 8 31 37 40 1 1 8 31 38 41 1 1 2 34 37 42 1 1 2 10 23 31 38 41 43 1 2 3 34 44 1 2 5 1 8 15 29 30 31 42 43 45 1 1 8 14 29 30 33 34 42 44 46 22 4 1 3 2 3 11 29 31 34 47 14 1 2 5 4 14 30 31 41 46 48 1 12 2 3 8 11 47 Fonte Bongiovanni e Jahn 2010 Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 28 ii Uma reta transversal a duas outras que não se intersetam determina ângulos alternos internos congruentes Figura 8 Figura 8 O postulado de Playfair implica em ângulos alternos internos congruentes iii A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a π Figura 9 Figura 9 O item ii implica na seguinte soma dos ângulos de um triângulo qualquer α β γ π α γ β Prosseguiremos uma retomada histórica dessa etapa do pensamento cientíco buscando uma melhor compreensão de como foi construída e solidicada nossa atual matemática Segundo Greenberg 1993 durante mais de dois mil anos alguns dos melhores matemáticos tentaram provar o quinto postulado de Euclides O que signica de acordo com a nossa terminologia ter uma prova Signica que não deveria ser necessário assumir que o postulado das paralelas é um axioma deveríamos ser capazes de proválo a partir dos outros axiomas Se nós fossemos capazes de provar o quinto postulado de Euclides dessa maneira ele tornarseia um teorema em geometria neutra e ela abarcaria toda a geometria euclidiana Ainda segundo Greenberg 1993 a primeira tentativa conhecida de prova foi feita por Ptolomeu Sem passar os detalhes do seu argumento poderíamos dizer que ele assumiu o postulado das paralelas de Hilbert sem perceber isto é adotou na sua argumentação uma equivalência ao quinto postulado de modo que Ptolomeu assumiu o que ele estava tentando provar ou seja o seu raciocínio era essencialmente circular O autor também relata que Próclus 485 a 410 aC cujo comentário é uma das principais fontes de informação sobre a geometria grega criticou o postulado das paralelas Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 29 da seguinte forma Ele não deve ser colocado junto com os postulados na verdade ele é um teorema que envolve muitas diculdades o qual Ptolomeu em um determinado livro se propõe a resolver A declaração que uma vez que as duas retas convergem mais e mais ao serem prolongadas elas irão se encontrar em algum momento é plausível mas não necessária Próclus oferece o exemplo de uma hipérbole que se aproxima da sua assíntota tanto quanto você queira sem jamais encontrála Figura 10 Este exemplo mostra que o oposto das conclusões de Euclides podem ser ao menos imaginadas Próclus diz também É então evidente a partir disto que devemos procurar uma prova do presente teorema e que ele não se encaixa no caráter especial dos postulados Figura 10 A hipérbole se aproxima das assíntotas sem jamais encontrálas Outras tentativas importantes de provar o postulado das paralelas foram feitas pelo matemático e astrônomo persa Nasir Eddin alTusi 12011274 e por John Wallis 16161703 que é considerado o maior matemático inglês antes de Isaac Newton Em seu trabalho Arithmetica Innitorum que Newton adotou em seus estudos Wallis apresenta o símbolo para innito onde desenvolveu fórmulas para certas integrais Wallis não se propôs a tentar provar o postulado das paralelas na geometria neutra Em vez disso ele propôs um novo axioma que acreditava ser mais plausível do que o postulado das paralelas e em seguida provou o postulado das paralelas a partir de seu novo axioma e dos outros axiomas da geometria neutra Mencionaremos a título de curiosidade esse postulado que acabou por se mostrar logicamente equivalente ao postulado de Euclides O postulado de Wallis Dado qualquer triângulo ABC e dado qualquer segmento DE Existe um triângulo DEF tendo DE como um dos seus lados que é semelhante1 ao ABC denotado DEF ABCFigura 11 De grande importância histórica está o trabalho do padre jesuíta Girolamo Saccheri 16671733 Pouco antes de morrer ele publicou um pequeno livro intitulado Euclides ab omni naevo vindicatus Todas as falhas de Euclides que não alcançou destaque até que Eugênio Beltrami o redescobriu cerca de um século depois A ideia de Saccheri foi a de usar um argumento de reducio ad absurdum Ele assumiu a negação do postulado das paralelas e tentou deduzir uma contradição Especi 1 Dois triângulos são chamados semelhantes quando todos seus ângulos internos correspondentes são congruentes isto é BAC EDF ABC DEF e BCA EFD Figura 11 Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 30 Figura 11 Postulado de Wallis com ABC DEF A B C D E F camente ele estudou alguns quadriláteros cujos ângulos adjacentes à base são ângulos retos e cujos lados adjacentes à base são congruentes entre si Figura 12 Estes quadriláteros tornaramse conhecidos como Quadriláteros de Saccheri onde é possível mostrar que em um quadrilátero de Saccheri os ângulos do topo são congruentes entre si isto é γ σ como será provado no teorema 13 Nestes quadriláteros o segmento que liga os pontos médios da base e do topo é chamado de altitude Figura 12 Quadrilátero de Saccheri onde os ângulos da base α e β são retos e os lados AD e BC são congruentes e ainda pelo teorema 13 γ δ α β γ δ Base Topo Altitude A B D C Como os ângulos do topo são congruentes podemos considerar a seguinte tricotomia ou os ângulos do topo são retos ou são obtusos ou são agudos Saccheri tentou estabelecer que o único caso possível seria o primeiro pois nesse caso conseguiria a partir desse fato transformar o postulado das paralelas em um teorema Saccheri procurou mostrar então que os outros dois casos levavam a contradições Ele conseguiu mostrar que o caso dos ângulos serem obtusos nos leva a uma contradição se os ângulos superiores forem ângulos obtusos a soma dos ângulos do quadrilátero seria maior do que 2π o que contradiz o corolário 2 do teorema de SaccheriLegendre teorema 44 Greenberg 1993 páginas 125127 No entanto ele tentou arduamente e não conseguiu extrair uma contradição no caso em que os ângulos são agudosa hostil hipótese do ângulo agudo como ele a chamou Esse matemático não percebeu que assumindo a hipótese do ângulo agudo que é equivalente a negação do postulado de Euclides estava obtendo diversos resultados em geometria nãoeuclidiana Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 36 t encontra AB pois pelo postulado de Playfair não pode haver duas retas paralelas a reta t passando por A Figura 16 Ângulo da equivalência de Legendre A B C D E F P t Agora seja D a interseção entre a reta t e AB Seja E em AB tal que A D E Assim provamos que PE encontra AC num ponto F pois teríamos pelo ponto P duas retas PE e t ambas paralelas à mesma reta AC contradizendo o postulado de Playfair Portanto a equivalência é verdadeira Esse fato nos dá um exemplo de como o modelo geométrico ao ser usado nas demonstrações pode nos induzir ao erro se não nos disciplinarmos a justicar cada passo das demonstrações Os matemáticos estavam cando desanimados com as inúmeras tentativas de provar o quinto postulado de Euclides e todas serem inecazes O húngaro Farkas Bolyai que também se aventurou nas tentativas de provar o quinto postulado escreveu a seu lho János outro matemático que não deveria se arriscar no mesmo caminho Mas o jovem Bolyai não foi dissuadido pelas advertências de seu pai pois ele tinha uma ideia completamente nova Ele assumiu que a negação do postulado das paralelas de Euclides não era um absurdo e em 1823 foi capaz de escrever a seu pai que publicaria um trabalho sobre as paralelas A seguir veremos como se desenvolveram as descobertas das geometrias não euclidianas e suas implicações na matemática moderna e no pensamento cientíco em geral 37 4 A descoberta das Geometrias Não Euclidianas Segundo Greenberg 1993 János Bolyai tinha 13 anos quando dominou o cálculo diferencial e integral Seu pai Farkas Bolyai escreveu ao seu amigo Carl Friedrich Gauss um pedido para levar o jovem prodígio para passar algum tempo com sua família como um matemático aprendiz porém Gauss nunca respondeu a este pedido Quinze anos mais tarde Farkas com o intuito de divulgar seu trabalho enviou seu livro para Gauss o Tentamen 1831 onde János havia publicado suas descobertas Porém János decepcionouse ao ler a resposta de Gauss ao seu pai pois Gauss armava que já havia descoberto resultados muito semelhantes anteriormente E mesmo esse grande matemático tendo elogiado o trabalho do jovem János Bolyai ainda acreditava que seu pai havia informado Gauss secretamente facilitando uma suposta apropriação de suas descobertas Talvez por esse fato o jovem nunca tenha publicado sua pesquisa Ainda segundo Greenberg 1993 Gauss esteve trabalhando em geometria não euclidiana desde seus 15 anos de idade isto é desde 1792 e de fato há evidências de que Gauss antecipou algumas das descobertas de János Bolyai Tanto que em 1817 em uma carta disse que estava cada vez mais convencido de que nossa geometria não poderia ser provada pelo menos não pela razão humana nem para a razão humana Em 1824 ele escreveu a Taurinus numa resposta de suas tentativas de prova que havia mais de 30 anos que ponderava o assunto e por ser de difícil aceitação não publicara nada mas que com constante reexão essas ideias se revelavam nada impossíveis Assim todos seus esforços para a descoberta de uma contradição uma incoerência nesta geometria nãoeuclidiana haviam fracassado Apesar de sua grande reputação Gauss estava realmente com medo de fazer públicas suas descobertas em geometria nãoeuclidiana pois era muito perfeccionista e tinha grande antipatia em ser inserido em qualquer tipo de polêmica Sua devoção ao trabalho aperfeiçoado foi expressa pelo lema em seu selo pauca sed matura poucos mas maduros Segundo Eves 1995 Gauss nasceu em Brunswick Alemanha em 1777 e seu pai era um trabalhador braçal que era pouco favorável à educação Porém sua mãe ainda que inculta lhe encorajava e manteve por toda a vida grande orgulho pelas realizações do lho Gauss é universalmente considerado como o maior matemático do século XIX e ao lado de Arquimedes e Isaac Newton como um dos maiores matemáticos de todos os tempos Ele foi chamado de o príncipe dos matemáticos por causa da variedade e profundidade de sua obra Capítulo 4 A descoberta das Geometrias NãoEuclidianas 38 Outro ator neste drama histórico veio para roubar os holofotes de ambos J Bolyai e Gauss o matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky 17921856 Ele dedicou mais de vinte anos à sua descoberta e foi o primeiro a publicar na verdade uma conta de geometria nãoeuclidiana em 1829 Lobachevsky inicialmente chamou sua geometria de imaginária e depois pangeometria Em uma carta de 1846 a Schumacher Gauss reiterou sua própria prioridade no desenvolvimento da geometria nãoeuclidiana mas admitiu que Lobachevsky realizou a tarefa de maneira magistral e num espírito verdadeiramente geométrico Em recomendação de Gauss Lobachevsky foi eleito para a Sociedade Cientíca de Göttingen Greenberg 1993 ainda nos diz que é incrível o quão semelhantes são as aborda gens de J Bolyai e Lobachevsky e como eles desenvolveram o assunto de maneira mais aprofundada do que Gauss Ambos mostraram que a trigonometria esférica euclidiana é válida na geometria neutra e ambos construíram um mapeamento da esfera para o plano nãoeuclidiano para derivar as fórmulas da trigonometria nãoeuclidiana Ambos obtiveram uma constante em suas fórmulas que eles não conseguiam explicar Em um trabalho posterior de Riemann este mostrou que esta constante é a curvatura do plano nãoeuclidiano pois a curvatura do plano euclidiano é nula Foi só depois da morte de Gauss em 1855 quando suas correspondências foram publicadas que o mundo matemático começou levar as ideias nãoeuclidianas a sério Alguns dos melhores matemáticos Beltrami Klein Poincaré e Riemann levaram o assunto a diante esclarecendoo e aplicaramno a outros ramos da matemática como na teoria das funções complexas A real independência do postulado das paralelas frente aos outros postulados da geometria euclidiana só foi estabelecida inquestionavelmente quando se forneceram demonstrações da consistência da hipótese do ângulo agudo EVES 1995 E em 1868 o matemático Eugênio Beltrami 18351900 pôs m a controvérsia ele demonstrou que é impossível construir uma demonstração para o quinto postulado GREENBERG 1993 Ele fez isso com a exibição de um modelo euclidiano da geometria nãoeuclidiana Andrade 2013 referese que a partir desse fato surgiu o questionamento de que o quinto postulado não seria uma lei natural pois nem sequer era evidente por si mesmo Com o rompimento desse paradigma vieram os questionamentos e se o universo não é euclidiano É hiperbólico Assim o quinto postulado seria uma decisão intelectual imposta para validar uma teoria adaptandoa a um fato constatado empiricamente ou seja adaptado ao modelo físico Tudo que havia sido feito até aquele momento ainda era válido A descoberta das geometrias nãoeuclidianas acabou por romper o paradigma da crença tradicional do ponto de vista da verdade absoluta em matemática Consequente mente para solucionar esse dilema gradativamente se consolidou uma nova concepção da matemática não mais como uma ciência da natureza mas como pura criação intelectual Capítulo 4 A descoberta das Geometrias NãoEuclidianas 39 a Matemática Pura A partir daí o próximo passo seria escolher quais objetos de estudo dessa nova matemática e a escolha foi a mesma dos geômetras aqui envolvidos os sistemas axiomáticos através do processo dedutivo Segundo Eves 1995 o ponto de vista de que a geometria quando aplicada ao espaço é uma ciência independente da realidade física chocase fortemente com a teoria do espaço de Emmanuel Kant 17241804 que dominava o pensamento losóco à época da descoberta da geometria de Lobachevsky A teoria kantiana acreditava que a noção de espaço era inerente ao espírito humano e que os postulados euclidianos eram os únicos possíveis para o estudo consistente de tal espaço 41 Algumas noções sobre a Geometria Elíptica Com relação as geometrias nãoeuclidianas descobertas segundo Coutinho 1989 de acordo com a substituição que se faz do postulado das paralelas surgem dois tipos clássicos de geometrias nãoeuclidianas a geometria hiperbólica e a geometria elíptica Na geometria hiperbólica o postulado de Euclides é substituído pelo que arma que por um ponto dado P fora de uma reta r existe mais de uma reta paralela a essa reta r enquanto que na geometria elíptica postulase que não existe nenhuma reta paralela Porém a partir da não existência de retas paralelas entramos em contradição com a geometria neutra que garante a existência de retas paralelas como uma consequência imediata do Teorema dos ângulos alternos e internos teorema 4 juntamente com o axioma de congruência 4 Assim a geometria elíptica vai mais além fazendo outras substituições nos axiomas Bernhard Riemann que era um estudante de Gauss teve a perspicácia mais profunda na geometria e não apenas a lógica Riemann inventou o conceito de uma superfície geométrica abstrata que não precisa estar contida no espaço tridimensional euclidiano onde as retas podem ser interpretadas como geodésicas e a curvatura intrínseca da superfície pode ser denida com precisão A geometria elíptica também chamada de geometria esférica existe em tais superfícies que têm curvatura positiva constante enquanto a geometria hiperbólica de Bolyai e Lobachevsky existe sobre uma tal superfície de curvatura constante negativa Traremos alguns detalhes apenas a ns informativos da geometria elíptica para que o leitor tendo contato desses conceitos possa futuramente a sua vontade instruirse de maneira mais natural Então Coutinho 1989 arma que na geometria elíptica de Riemann abandonase a noção de estar entre e a reta não é mais innita mas sim limitada E ainda temos um novo postulado Postulado de Riemann Quaisquer duas retas em um plano têm um ponto em comum Um modelo para essa geometria seria a superfície esférica euclidiana onde as retas
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Capítulo 2 A Geometria Euclidiana e o Método Axiomático 25 Figura 5 Teorema dos ângulos alternos internos ângulos alternos e internos congruentes implica em retas paralelas Teorema 5 Teorema do ângulo externo Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo interno não adjacente a ele Figura 6 Figura 6 Teorema do ângulo externo γ α e γ β α γ β Teorema 6 A soma das medidas de quaisquer dois ângulos de um triângulo qualquer é estritamente menor que π dois ângulos retos E como consequência todo triângulo possui pelo menos dois ângulos agudos 26 3 A história do Quinto Postulado Na redação de Euclides o último postulado é claramente diferente dos demais Ele não pode ser validado empiricamente e é o único condicional A redação segue a estrutura utilizada em um teorema não faltando o se e o então a hipótese e a tese o que deixou muitas interrogações sobre a possibilidade de proválo como legítimo teorema Ao analisarmos a estrutura do primeiro livro da obra Elementos observando as relações entre as proposições e os postulados usados nas demonstrações é possível inferir que o próprio Euclides evitou o tanto quanto pode o uso do quinto postulado de forma que seu uso ocorre somente após as 28 primeiras proposições conforme mostra a Tabela 1 Andrade 2013 nos relata que diversos matemáticos como Gauss Bolyai e Loba chevsky realizaram um enorme esforço na tentativa de demonstrar o quinto postulado questão esta que estava em aberto por cerca de dois mil anos Tantas foram as tentativas de tornar o quinto postulado um teorema que em 1763 G S Klügel foi capaz de apresentar uma tese de doutorado examinando as falhas em 28 diferentes provas do suposto postulado das paralelas expressando dúvidas de que ele poderia ser provado O enciclopedista e matemático francês J L R dAlembert chamou isso de o escândalo da geometria A grande maioria dos erros cometidos nas tentativas de demonstração aconteceram por conta do uso inconsciente de armações que são logicamente equivalentes ao próprio quinto postulado Diremos que uma armação A é logicamente equivalente a uma armação B quando supondo a veracidade de A podese demonstrar a veracidade de B e vice versa ou seja supondo a veracidade de B podese demonstrar a veracidade de A Destacamos no teorema 7 algumas das equivalências lógicas do quinto postulado para uso posterior Teorema 7 Assuma os axiomas da geometria neutra As seguintes armações são equi valentes i Em um ponto fora de uma reta incide uma única reta que não a interseta postulado de Playfair Figura 7 Figura 7 Postulado de Playfair Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 27 Tabela 1 Tabela que relaciona denições postulados noções comuns e proposições utili zadas nas demonstrações de cada uma das proposições de Elementos Prop demonstrada Denições Postulados Noções comuns Prop utilizadas na demonstração 1 15 20 1 3 1 2 15 20 1 2 3 1 3 1 3 15 3 1 2 4 7 9 5 12 3 3 4 6 1 8 3 4 7 1 8 5 8 7 7 9 20 1 1 3 8 10 20 1 4 9 11 10 20 1 1 2 3 8 12 10 15 1 3 8 10 13 10 1 2 11 14 2 4 1 2 3 8 13 15 4 1 2 3 13 16 1 2 8 2 3 4 10 15 17 2 4 13 16 18 1 8 3 5 16 19 5 18 20 1 2 8 2 5 19 21 2 4 16 20 22 15 1 3 1 2 3 20 23 1 8 22 24 1 1 8 2 4 5 19 23 25 4 24 26 1 1 8 3 4 16 27 23 2 16 28 4 1 2 3 13 15 27 29 23 2 5 8 22 30 1 27 29 31 1 2 23 27 32 2 1 2 13 29 31 33 1 4 27 29 34 1 2 4 26 29 35 1 2 3 4 29 34 36 1 1 33 34 35 37 2 6 31 34 35 38 2 6 31 34 36 39 1 1 8 31 37 40 1 1 8 31 38 41 1 1 2 34 37 42 1 1 2 10 23 31 38 41 43 1 2 3 34 44 1 2 5 1 8 15 29 30 31 42 43 45 1 1 8 14 29 30 33 34 42 44 46 22 4 1 3 2 3 11 29 31 34 47 14 1 2 5 4 14 30 31 41 46 48 1 12 2 3 8 11 47 Fonte Bongiovanni e Jahn 2010 Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 28 ii Uma reta transversal a duas outras que não se intersetam determina ângulos alternos internos congruentes Figura 8 Figura 8 O postulado de Playfair implica em ângulos alternos internos congruentes iii A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a π Figura 9 Figura 9 O item ii implica na seguinte soma dos ângulos de um triângulo qualquer α β γ π α γ β Prosseguiremos uma retomada histórica dessa etapa do pensamento cientíco buscando uma melhor compreensão de como foi construída e solidicada nossa atual matemática Segundo Greenberg 1993 durante mais de dois mil anos alguns dos melhores matemáticos tentaram provar o quinto postulado de Euclides O que signica de acordo com a nossa terminologia ter uma prova Signica que não deveria ser necessário assumir que o postulado das paralelas é um axioma deveríamos ser capazes de proválo a partir dos outros axiomas Se nós fossemos capazes de provar o quinto postulado de Euclides dessa maneira ele tornarseia um teorema em geometria neutra e ela abarcaria toda a geometria euclidiana Ainda segundo Greenberg 1993 a primeira tentativa conhecida de prova foi feita por Ptolomeu Sem passar os detalhes do seu argumento poderíamos dizer que ele assumiu o postulado das paralelas de Hilbert sem perceber isto é adotou na sua argumentação uma equivalência ao quinto postulado de modo que Ptolomeu assumiu o que ele estava tentando provar ou seja o seu raciocínio era essencialmente circular O autor também relata que Próclus 485 a 410 aC cujo comentário é uma das principais fontes de informação sobre a geometria grega criticou o postulado das paralelas Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 29 da seguinte forma Ele não deve ser colocado junto com os postulados na verdade ele é um teorema que envolve muitas diculdades o qual Ptolomeu em um determinado livro se propõe a resolver A declaração que uma vez que as duas retas convergem mais e mais ao serem prolongadas elas irão se encontrar em algum momento é plausível mas não necessária Próclus oferece o exemplo de uma hipérbole que se aproxima da sua assíntota tanto quanto você queira sem jamais encontrála Figura 10 Este exemplo mostra que o oposto das conclusões de Euclides podem ser ao menos imaginadas Próclus diz também É então evidente a partir disto que devemos procurar uma prova do presente teorema e que ele não se encaixa no caráter especial dos postulados Figura 10 A hipérbole se aproxima das assíntotas sem jamais encontrálas Outras tentativas importantes de provar o postulado das paralelas foram feitas pelo matemático e astrônomo persa Nasir Eddin alTusi 12011274 e por John Wallis 16161703 que é considerado o maior matemático inglês antes de Isaac Newton Em seu trabalho Arithmetica Innitorum que Newton adotou em seus estudos Wallis apresenta o símbolo para innito onde desenvolveu fórmulas para certas integrais Wallis não se propôs a tentar provar o postulado das paralelas na geometria neutra Em vez disso ele propôs um novo axioma que acreditava ser mais plausível do que o postulado das paralelas e em seguida provou o postulado das paralelas a partir de seu novo axioma e dos outros axiomas da geometria neutra Mencionaremos a título de curiosidade esse postulado que acabou por se mostrar logicamente equivalente ao postulado de Euclides O postulado de Wallis Dado qualquer triângulo ABC e dado qualquer segmento DE Existe um triângulo DEF tendo DE como um dos seus lados que é semelhante1 ao ABC denotado DEF ABCFigura 11 De grande importância histórica está o trabalho do padre jesuíta Girolamo Saccheri 16671733 Pouco antes de morrer ele publicou um pequeno livro intitulado Euclides ab omni naevo vindicatus Todas as falhas de Euclides que não alcançou destaque até que Eugênio Beltrami o redescobriu cerca de um século depois A ideia de Saccheri foi a de usar um argumento de reducio ad absurdum Ele assumiu a negação do postulado das paralelas e tentou deduzir uma contradição Especi 1 Dois triângulos são chamados semelhantes quando todos seus ângulos internos correspondentes são congruentes isto é BAC EDF ABC DEF e BCA EFD Figura 11 Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 30 Figura 11 Postulado de Wallis com ABC DEF A B C D E F camente ele estudou alguns quadriláteros cujos ângulos adjacentes à base são ângulos retos e cujos lados adjacentes à base são congruentes entre si Figura 12 Estes quadriláteros tornaramse conhecidos como Quadriláteros de Saccheri onde é possível mostrar que em um quadrilátero de Saccheri os ângulos do topo são congruentes entre si isto é γ σ como será provado no teorema 13 Nestes quadriláteros o segmento que liga os pontos médios da base e do topo é chamado de altitude Figura 12 Quadrilátero de Saccheri onde os ângulos da base α e β são retos e os lados AD e BC são congruentes e ainda pelo teorema 13 γ δ α β γ δ Base Topo Altitude A B D C Como os ângulos do topo são congruentes podemos considerar a seguinte tricotomia ou os ângulos do topo são retos ou são obtusos ou são agudos Saccheri tentou estabelecer que o único caso possível seria o primeiro pois nesse caso conseguiria a partir desse fato transformar o postulado das paralelas em um teorema Saccheri procurou mostrar então que os outros dois casos levavam a contradições Ele conseguiu mostrar que o caso dos ângulos serem obtusos nos leva a uma contradição se os ângulos superiores forem ângulos obtusos a soma dos ângulos do quadrilátero seria maior do que 2π o que contradiz o corolário 2 do teorema de SaccheriLegendre teorema 44 Greenberg 1993 páginas 125127 No entanto ele tentou arduamente e não conseguiu extrair uma contradição no caso em que os ângulos são agudosa hostil hipótese do ângulo agudo como ele a chamou Esse matemático não percebeu que assumindo a hipótese do ângulo agudo que é equivalente a negação do postulado de Euclides estava obtendo diversos resultados em geometria nãoeuclidiana Capítulo 3 A história do Quinto Postulado 36 t encontra AB pois pelo postulado de Playfair não pode haver duas retas paralelas a reta t passando por A Figura 16 Ângulo da equivalência de Legendre A B C D E F P t Agora seja D a interseção entre a reta t e AB Seja E em AB tal que A D E Assim provamos que PE encontra AC num ponto F pois teríamos pelo ponto P duas retas PE e t ambas paralelas à mesma reta AC contradizendo o postulado de Playfair Portanto a equivalência é verdadeira Esse fato nos dá um exemplo de como o modelo geométrico ao ser usado nas demonstrações pode nos induzir ao erro se não nos disciplinarmos a justicar cada passo das demonstrações Os matemáticos estavam cando desanimados com as inúmeras tentativas de provar o quinto postulado de Euclides e todas serem inecazes O húngaro Farkas Bolyai que também se aventurou nas tentativas de provar o quinto postulado escreveu a seu lho János outro matemático que não deveria se arriscar no mesmo caminho Mas o jovem Bolyai não foi dissuadido pelas advertências de seu pai pois ele tinha uma ideia completamente nova Ele assumiu que a negação do postulado das paralelas de Euclides não era um absurdo e em 1823 foi capaz de escrever a seu pai que publicaria um trabalho sobre as paralelas A seguir veremos como se desenvolveram as descobertas das geometrias não euclidianas e suas implicações na matemática moderna e no pensamento cientíco em geral 37 4 A descoberta das Geometrias Não Euclidianas Segundo Greenberg 1993 János Bolyai tinha 13 anos quando dominou o cálculo diferencial e integral Seu pai Farkas Bolyai escreveu ao seu amigo Carl Friedrich Gauss um pedido para levar o jovem prodígio para passar algum tempo com sua família como um matemático aprendiz porém Gauss nunca respondeu a este pedido Quinze anos mais tarde Farkas com o intuito de divulgar seu trabalho enviou seu livro para Gauss o Tentamen 1831 onde János havia publicado suas descobertas Porém János decepcionouse ao ler a resposta de Gauss ao seu pai pois Gauss armava que já havia descoberto resultados muito semelhantes anteriormente E mesmo esse grande matemático tendo elogiado o trabalho do jovem János Bolyai ainda acreditava que seu pai havia informado Gauss secretamente facilitando uma suposta apropriação de suas descobertas Talvez por esse fato o jovem nunca tenha publicado sua pesquisa Ainda segundo Greenberg 1993 Gauss esteve trabalhando em geometria não euclidiana desde seus 15 anos de idade isto é desde 1792 e de fato há evidências de que Gauss antecipou algumas das descobertas de János Bolyai Tanto que em 1817 em uma carta disse que estava cada vez mais convencido de que nossa geometria não poderia ser provada pelo menos não pela razão humana nem para a razão humana Em 1824 ele escreveu a Taurinus numa resposta de suas tentativas de prova que havia mais de 30 anos que ponderava o assunto e por ser de difícil aceitação não publicara nada mas que com constante reexão essas ideias se revelavam nada impossíveis Assim todos seus esforços para a descoberta de uma contradição uma incoerência nesta geometria nãoeuclidiana haviam fracassado Apesar de sua grande reputação Gauss estava realmente com medo de fazer públicas suas descobertas em geometria nãoeuclidiana pois era muito perfeccionista e tinha grande antipatia em ser inserido em qualquer tipo de polêmica Sua devoção ao trabalho aperfeiçoado foi expressa pelo lema em seu selo pauca sed matura poucos mas maduros Segundo Eves 1995 Gauss nasceu em Brunswick Alemanha em 1777 e seu pai era um trabalhador braçal que era pouco favorável à educação Porém sua mãe ainda que inculta lhe encorajava e manteve por toda a vida grande orgulho pelas realizações do lho Gauss é universalmente considerado como o maior matemático do século XIX e ao lado de Arquimedes e Isaac Newton como um dos maiores matemáticos de todos os tempos Ele foi chamado de o príncipe dos matemáticos por causa da variedade e profundidade de sua obra Capítulo 4 A descoberta das Geometrias NãoEuclidianas 38 Outro ator neste drama histórico veio para roubar os holofotes de ambos J Bolyai e Gauss o matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky 17921856 Ele dedicou mais de vinte anos à sua descoberta e foi o primeiro a publicar na verdade uma conta de geometria nãoeuclidiana em 1829 Lobachevsky inicialmente chamou sua geometria de imaginária e depois pangeometria Em uma carta de 1846 a Schumacher Gauss reiterou sua própria prioridade no desenvolvimento da geometria nãoeuclidiana mas admitiu que Lobachevsky realizou a tarefa de maneira magistral e num espírito verdadeiramente geométrico Em recomendação de Gauss Lobachevsky foi eleito para a Sociedade Cientíca de Göttingen Greenberg 1993 ainda nos diz que é incrível o quão semelhantes são as aborda gens de J Bolyai e Lobachevsky e como eles desenvolveram o assunto de maneira mais aprofundada do que Gauss Ambos mostraram que a trigonometria esférica euclidiana é válida na geometria neutra e ambos construíram um mapeamento da esfera para o plano nãoeuclidiano para derivar as fórmulas da trigonometria nãoeuclidiana Ambos obtiveram uma constante em suas fórmulas que eles não conseguiam explicar Em um trabalho posterior de Riemann este mostrou que esta constante é a curvatura do plano nãoeuclidiano pois a curvatura do plano euclidiano é nula Foi só depois da morte de Gauss em 1855 quando suas correspondências foram publicadas que o mundo matemático começou levar as ideias nãoeuclidianas a sério Alguns dos melhores matemáticos Beltrami Klein Poincaré e Riemann levaram o assunto a diante esclarecendoo e aplicaramno a outros ramos da matemática como na teoria das funções complexas A real independência do postulado das paralelas frente aos outros postulados da geometria euclidiana só foi estabelecida inquestionavelmente quando se forneceram demonstrações da consistência da hipótese do ângulo agudo EVES 1995 E em 1868 o matemático Eugênio Beltrami 18351900 pôs m a controvérsia ele demonstrou que é impossível construir uma demonstração para o quinto postulado GREENBERG 1993 Ele fez isso com a exibição de um modelo euclidiano da geometria nãoeuclidiana Andrade 2013 referese que a partir desse fato surgiu o questionamento de que o quinto postulado não seria uma lei natural pois nem sequer era evidente por si mesmo Com o rompimento desse paradigma vieram os questionamentos e se o universo não é euclidiano É hiperbólico Assim o quinto postulado seria uma decisão intelectual imposta para validar uma teoria adaptandoa a um fato constatado empiricamente ou seja adaptado ao modelo físico Tudo que havia sido feito até aquele momento ainda era válido A descoberta das geometrias nãoeuclidianas acabou por romper o paradigma da crença tradicional do ponto de vista da verdade absoluta em matemática Consequente mente para solucionar esse dilema gradativamente se consolidou uma nova concepção da matemática não mais como uma ciência da natureza mas como pura criação intelectual Capítulo 4 A descoberta das Geometrias NãoEuclidianas 39 a Matemática Pura A partir daí o próximo passo seria escolher quais objetos de estudo dessa nova matemática e a escolha foi a mesma dos geômetras aqui envolvidos os sistemas axiomáticos através do processo dedutivo Segundo Eves 1995 o ponto de vista de que a geometria quando aplicada ao espaço é uma ciência independente da realidade física chocase fortemente com a teoria do espaço de Emmanuel Kant 17241804 que dominava o pensamento losóco à época da descoberta da geometria de Lobachevsky A teoria kantiana acreditava que a noção de espaço era inerente ao espírito humano e que os postulados euclidianos eram os únicos possíveis para o estudo consistente de tal espaço 41 Algumas noções sobre a Geometria Elíptica Com relação as geometrias nãoeuclidianas descobertas segundo Coutinho 1989 de acordo com a substituição que se faz do postulado das paralelas surgem dois tipos clássicos de geometrias nãoeuclidianas a geometria hiperbólica e a geometria elíptica Na geometria hiperbólica o postulado de Euclides é substituído pelo que arma que por um ponto dado P fora de uma reta r existe mais de uma reta paralela a essa reta r enquanto que na geometria elíptica postulase que não existe nenhuma reta paralela Porém a partir da não existência de retas paralelas entramos em contradição com a geometria neutra que garante a existência de retas paralelas como uma consequência imediata do Teorema dos ângulos alternos e internos teorema 4 juntamente com o axioma de congruência 4 Assim a geometria elíptica vai mais além fazendo outras substituições nos axiomas Bernhard Riemann que era um estudante de Gauss teve a perspicácia mais profunda na geometria e não apenas a lógica Riemann inventou o conceito de uma superfície geométrica abstrata que não precisa estar contida no espaço tridimensional euclidiano onde as retas podem ser interpretadas como geodésicas e a curvatura intrínseca da superfície pode ser denida com precisão A geometria elíptica também chamada de geometria esférica existe em tais superfícies que têm curvatura positiva constante enquanto a geometria hiperbólica de Bolyai e Lobachevsky existe sobre uma tal superfície de curvatura constante negativa Traremos alguns detalhes apenas a ns informativos da geometria elíptica para que o leitor tendo contato desses conceitos possa futuramente a sua vontade instruirse de maneira mais natural Então Coutinho 1989 arma que na geometria elíptica de Riemann abandonase a noção de estar entre e a reta não é mais innita mas sim limitada E ainda temos um novo postulado Postulado de Riemann Quaisquer duas retas em um plano têm um ponto em comum Um modelo para essa geometria seria a superfície esférica euclidiana onde as retas