O Conceito de Infinito: Uma Abordagem a Partir da Resolução de Problemas

O Conceito de Infinito Uma Abordagem a Partir da Resolucao de Problemas Tatiana de Souza Lima Santos Dissertacao de Mestrado apresentada a Comissao Acadˆemica Institucional do PROFMATUFBA como requisito parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica aprovada em 10 de abril de 2015 Banca Examinadora Prof Dr Evandro Carlos Ferreira dos Santos Orientador UFBA Prof Dr Ives Lima de Jesus IFBA Prof Dra Rita de Cassia de Jesus Silva UFBA Dedico aquele que e a luz da minha vida meu lho Luis Fernando Agradecimentos Agradeco a meu marido Marcio pelo apoio e compreensao pelos sabados de ausˆencia a meu lho Luıs Fernando que nasceu durante o mestrado me acompanhando nessa jornada e sem saber me deu forca para ultrapassar as diculdades Agradeco a minha mae Teresinha meu pai Dilson e minha irma Dulciana alicerces da minha vida que deram forca e apoio incondicional E em especial cuidaram tambem de meu bebˆe nas horas das aulas e estudo No ˆambito acadˆemico agradeco a CAPES Coordenacao de Aperfeicoamento Pessoal de Nıvel Superior pela bolsa concedida por 24 meses sem a qual nao teria sido possıvel o deslocamento semanal entre Porto Seguro cidade onde moro e Salvador Agradeco a Universidade Federal da Bahia UFBA por me acolher nao so como aluna no perıodo do mestrado mas tambem durante a minha graduacao por me dar todas as ferramentas necessarias para a conclusao das disciplinas e o desen volvimento prossional Ao meu orientador Prof Dr Evandro Santos pela paciˆencia pelas sugestoes e por ter acreditado na realizacao desta pesquisa Agradeco tambem a todos os professores que me acompanharam durante o mestrado muitos que ja conhecia e admirava desde a graduacao E enm agradeco aos grandes amigos e colegas que me adotaram durante o tempo das aulas me ajudando sempre que necessario O Innito e distante sobretudo perto do m Alphonse Allais Resumo Este trabalho pretende apresentar ao leitor uma sequˆencia de problemas que en volvem o conceito de innito na Matematica com o objetivo de promover o conheci mento de maneira geral e no ˆambito escolar auxiliar professores no processo de ensino aprendizagem como tambem despertar o interesse do estudante do ensino basico pelo tema Cada problema e seguido de um comentario eou resolucao Alem disso mos tra um breve historico da construcao do conceito de Innito desde a Antiguidade ate os tempos atuais enfatizando os eventos mais relevantes e os nomes que se destacaram nesta busca Apresenta algumas denicoes teoremas e demonstracoes da teoria dos con juntos que ajudam na compreensao e resolucao dos problemas apresentados e mostra a importˆancia do conceito de Innito em outras ciˆencias palavras chave Historia da Matematica Innito Conjuntos Innitos Abstract This work aims to introduce the reader to a series of problems involving the concept of innity in Mathematics intending to promote knowledge in general and in primary elementary and high schools by assisting teachers in the teachinglearning process and also by arousing interest in the subject on students Each problem is followed by a review andor resolution It also shows a brief history of the construction of the innity concept from Antiquity to the present times with special attention to events and names that stood out in this search This paper also presents some denitionstheorems and proofs from Theory of Set which help in understanding and solving the mentioned problems and show the importance of the concept of Innity in others Sciences Keywords History of Mathematics Innity Innite sets Sumario Introducao 1 1 A Evolucao do Conceito de Innito 4 11 Aprofundando um pouco mais a teoria cantoriana 10 12 Innito atual e potencial 14 2 Mas anal o que e Innito 16 3 Sequˆencia de problemas e situacoes problema envolvendo o conceito de innito 20 31 ATIVIDADE 1 O arqueiro e o alvo 20 32 ATIVIDADE 2 Hotel de Hilbert 22 33 ATIVIDADE 3 A lˆampada de Thompson 23 34 ATIVIDADE 4 Trombeta de Gabriel 23 35 ATIVIDADE 5 Subconjuntos dos numeros naturais 25 36 ATIVIDADE 6 Numeros primos 25 37 ATIVIDADE 7 Innitos gangsters 26 38 ATIVIDADE 8 Poeira de Cantor 27 39 ATIVIDADE 9 Triˆangulo de Sierpinski 31 310 ATIVIDADE 10 Areas dos quadrados 32 311 ATIVIDADE 11 Sequˆencia de Grandi 33 312 ATIVIDADE 12 Quique de bola 34 313 ATIVIDADE 13 Linha Poligonal 34 314 ATIVIDADE 14 Cara ou coroa 36 315 ATIVIDADE 15 Sequˆencia de Fibonacci 37 316 ATIVIDADE 16 A Curva de Koch 38 317 ATIVIDADE 17 Jogos de dardos 41 4 Consideracoes Finais 42 5 Referˆencias 43 Introducao Essa dissertacao foi elaborada com o objetivo de promover o estudo da Matematica especicamente do Innito na Matematica E fruto da observacao dos conteudos curri culares no ensino basico que inevitavelmente tratam desde conceito tao abstrato Seus textos e capıtulos foram organizados na tentativa de suprir as necessidades de estudantes professores e interessados no tema sem restricoes quanto a sua aplicabilidade podendo ser utilizada tanto como referˆencia para alguma disciplina como para estudo da Ma tematica independente O texto traz um novo olhar um metodo contextualizado de abordar conteudos matematicos e sua utilizacao em sala de aula nao deve restringirse ao conceito aqui abordado podendo ser ampliado a todo estudo da Matematica O conteudo relaciona basicamente o conceito de innito e o metodo de resolucao de problemas inspirado no livro Cırculos Matematicos a Experiˆencia Russa 1 Tal tematica foi escolhida primeiro pela crenca na necessidade do rompimento do paradigma que aloja a Matematica em um lugar intangıvel E segundo por ser o innito um conceito que apesar de fundamental para a ciˆencia e muito falado e pouco compreendido O innito sempre foi um tema que desaou a mente humana Ao longo da historia da humanidade vem causando grande interesse cientıco ao mesmo tempo em que faz parte do imaginario social Podemos supor que a busca da innitude surge concomitante mente a tomada de consciˆencia da nitude anal um e a negacao do outro A discussao sobre o innito esta presente em varias areas do conhecimento tais como Filosoa Te ologia Astronomia Fısica Quımica etc Questoes como se o universo e innitamente grande ou existˆencia de partıculas atˆomicas consideradas innitamente pequenas fısicos quımicos e cientistas de maneira geral nao podem fugir Ate na arte encontramos re ferˆencia ao innito com a perspectiva Na Matematica o conceito formal estrutura e comportamento do innito foram 1Este livro foi produto de circunstˆancias culturais singulares na antiga uniao sovietica que fomentaram a criacao dos chamados Cırculos Matematicos grupos formados por alunos professores e matematicos FOMIM 2012 1 2 construıdos ao longo da historia e ainda assim causa certo desconforto devido a sua na tureza intuitivamente inalcancavel No meio cientıco o debate e intenso e da origema novas teorias tornando o campo com rica producao Ja fora da academia o tema ainda e visto com certa desconanca Esse tipo de pensamento parte de pressupostos carrega dos de ideias errˆoneas ou incompletas do senso comum Tais pressupostos podem gerar diculdades e resistˆencias a aprendizagem da matematica O conceito de Innito Matematico apesar de distante da realidade cotidiana esta muito presente nas praticas escolares Ao armar por exemplo que numa reta ha in nitos pontos que por um ponto passam innitas retas ou ainda que entre o numero zero e o numero um existe uma innidade de numeros a pessoa nao se da conta de que esta tratando de um conceito rico e que merece um melhor tratamento e um olhar dife renciado sobre o desenvolvimento do pensamento matematico em torno do tema Apos uma discussao historica e de conceituacao do tema esta dissertacao tem o intuito de com inspiracao na Experiˆencia Russa apresentar uma proposta de problemas desaado res que abordem direta ou indiretamente o conceito de innito A Experiˆencia Russa traz uma abordagem singular no que diz respeito a disposicao de problemas de forma gradual As sequˆencias sao compostas por problemas de varios nıveis de interesse e demandam habilidades distintas de maneira que qualquer pessoa consiga resolver os primeiros exem plos tornando possıvel o avanco gradativo da complexidade possibilitando a solucao de problemas extremamente desaadores Nesse caso problemas e situacoes problema que envolvam a ideia de innito sao dispostos de maneira desaadora e em seguida sao apre sentadas as solucoes e comentarios A experiˆencia russa e mais que um metodo de ensinoaprendizagem da ma tematica e uma abordagem uma nova forma de encarar a ciˆencia em si e seu estudo Surgiu na antiga Uniao Sovietica atraves da criacao de grupos intitulados Cırculos Matematicos e compostos por estudantes professores e matematicos os quais eram baseados na ideia de um estudo da matematica de forma recreativa e que pode gerar entusiasmo como o de praticar algum esporte sem ser necessariamente competitivo FOMIM 2012 Diante do que foi exposto acima o texto foi organizado da seguinte forma CAPITULO I A EVOLUCAO DO CONCEITO DE INFINITO Apresenta um breve historico focando alguns momentos em que o innito foi de alguma forma pensado pelos grandes nomes da matematica Sao utilizadas as seguin tes referˆencias BOYER 2001 MORRIS 1997OLIVEIRA 2013 SAMPAIO 2008 SERRA 2002 STWART 2014 entre outros 3 Tracando um perl historico podemos encontrar ideias relacionadas ao conceito de innito desde a Grecia antiga passando pelaIdade Media Renascimento ate os dias atuais salientandose que so no seculo XIX e que George Cantor mostrou em relacao ao tamanho dos conjuntos que ha innitos iguais e diferentes As suas teorias para a teoria de conjuntos revolucionaram entao a Matematica CAPITULO II MAS AFINAL O QUE E INFINITO Este capıtulo apresenta um resumo da teoria dos conjuntos com ˆenfase em conjuntos in nitos extraıdos de ELON 2004 e traz os conceitos de conjuntos cardinalidade conjunto nito e innito imprescindıvel para o entendimento do tema CAPITULO III SEQUˆENCIA DE PROBLEMAS E SITUAC OESPROBLEMA ENVOLVENDO O CONCEITO DE INFINITO Por tratarse de atividades recreativas e desaadoras tao importante como resolver e compreender a solucao Por isso um capıtulo dedicado a esse tema trazendo curiosidades e metodos diversos de resolucao As questoes podem ser encontrada em LIMA 2006 FOMIM 2012 entre outros Capıtulo 1 A Evolucao do Conceito de Innito Este capıtulo apresenta um breve historico da construcao do conceito de innito que se confunde com a propria historia do desenvolvimento do pensamento humano per correndo varias areas do conhecimento cientıcosendo o innito matematico o foco prin cipal desse texto Para entendermos como se deu a evolucao do conceito de innito podemos nos transportar no tempo e imaginar o homem primitivo na observacao da natureza e de seus ciclos como por exemplo a sucessao dos dias e das noites a observacao dos astros e suas orbitas o clima com seu comportamento periodico Este homem se perguntaria esses comportamentos sao eternos Algum dia teve um comeco e algum dia tera um m Outra questao fundamental que fez e faz o homem pensar sobre o innito de um ponto de vista amplo e a consciˆencia da morte e a busca de uma explicacao para o sentido da vida Nao podendo driblar a certeza da nitude da vida de cada indivıduo na Terra a humanidade precisa acreditar em algo que seja eterno como um espırito uma energia que nao tenha m Tem inıcio assim com questoes losocas as primeiras investidas dos pensadores na obtencao de ideias sobre o innito Mas vamos xar neste estudo o conhecimento acumulado a respeito do conceito de innito na Matematica que substancialmente trata de numeros conjuntos e padroes O innito intriga o ser humano desde que o homem aprendeu a pensar Se obser varmos o princıpio da contagem e ordenacao a sequˆencia 1 2 3 4 5 ja traz em si um dilema pois e uma sequˆencia que nunca termina e nao se pode imaginar um numero que seja maior que todos os outros Na Grecia por volta do seculo V aC os losofos procuravam encontrar princıpios fundamentais que explicassem a verdade atraves da Matematica Tambem pela primeira 4 5 vez aparecem losofosque abordam a Matematica pelo conhecimento e nao apenas pela sua utilidade Na Grecia antiga o ser humano toma consciˆencia que o mundo e um problema que tera de ser resolvido em termos conceituais de uma forma racional e ponde rada e nao em termos mıticoafetivos Por volta do seculo VII AC a cultura grega comeca a debrucarse sobre questoes relacionadas com o lugar do Homem no Universo Pois bem nesta procura da verdade da razao da ordem sobre o caos nasce o logos o raciocınio logico DIEGUEZ 1994 De fato os Gregos sao na matematica os primeiros a tomar consciˆencia do in nito e tambem os primeiros a negalo Ao tentar exprimir por um numero a medida da diagonal de um quadrado de lado 1 observase que o calculo da raiz quadrada de 2 resulta num numero com innitas casas decimais e que diferentemente dos numeros do tipo 0 666666 ou 0 181818 nao pode ser escrito como uma razao entre dois numeros inteiros ou seja irracional Devese aos Pitagoricos a descoberta destes numeros Existem muitos outros exemplos de segmentos de reta e curvas que desaaram o pensamento matematico grego Tais segmentos eram chamados de incomensuraveis En tre eles esta o comprimento de uma circunferˆencia de diˆametro igual a 1 Hoje chamamos este numero de PI Nesse perıodo surgem tambem famosos paradoxos sobre a natureza do innito O sabio Zenao 495430 aC enunciou argumentos para tentar provar a inconsistˆencia dos conceitos de multiplicidade e de divisibilidade criando quatro paradoxos relativos ao mo vimento e ao tempo que mais tarde foram estudados por Aristoteles 384322 aC que os intitulou por Aquiles Seta Dicotomia e Estadio No primeiro paradoxo traz uma fantastica corrida entre Aquiles heroi da Grecia e uma lenta tartaruga Ele provou que ao dar uma vantagem a tartaruga Aquiles nunca poderia alcancala Por exemplo se o heroi fosse duas vezes mais rapido e desse uma van tagem de um quarteirao assim quando Aquiles percorre o mesmo quarteirao a tartaruga teria percorrido mais meio quarteirao No segundo instante Aquiles teria andado esse meio quarteirao e a tartaruga teria avancado mais um quarto do mesmo quarteirao Ou seja como a tartaruga e duas vezes mais lenta sempre avancara metade da distˆancia que o heroi percorre em cada instante Assim sendo a vantagem vai reduzindo gradualmente mas sempre havera uma mınima diferenca entre os competidores 6 Esse pensamento de Zenao tornouse um paradoxo e alvo de discussoes por seculos ja que numa disputa real Aquiles certamente venceria a tartaruga O que mais intrigou os pensadores e que essa corrida simboliza uma soma innita Suas parcelas sao as distˆancias percorridas por Aquiles a cada instante comecando com um quarteirao depois meio quar teirao e assim por diante A conta ca assim 1 12 14 18 116 Embora pareca impossıvel fazer tal soma pois ela nunca termina e sempre se pode acrescentar mais uma parcela ao seu nal os gregos ja sabiam que seu resultado era simplesmente 2 Ou seja Aquiles ultrapassaria a tartaruga exatamente ao m do segundo quarteirao Nao se pode armar que seu resultado ajuda a compreender o innito mas Zenao abriu o caminho para outros pensadores gregos Posteriormente temos Eudoxo de Cnido 400350 aC a quem e creditado o metodo de exaustao que consiste de maneira simplicada em colocar guras dentro de guras Por exemplo um triˆangulo depois dois triˆangulos menores depois trˆes ainda menores e assim por diante todos dentro de um cırculo Dessa maneira e possıvel usar areas de guras conhecidas como os triˆangulos para calcular uma area desconhecida Arquimedes de Siracusa 290212 aC foi o primeiro a usar o metodo de exaustao com rigor 250 anos antes da era crista e conseguiu assim montar uma soma innita 1 14 116 E com ela Arquimedes calculou area limita por uma das mais importantes curvas geometricas a parabola O metodo da exaustao e um processo fundamental no Calculo mas e necessario sa lientar que na epoca de Arquimedes nao se consideravam somas innitas mas apesar de os gregos nao assumirem de fato o innito este foi um dos metodos que mais contribuiu para o desenvolvimento de conceitos como o de limite Na Idade Media conhecida como a era das trevas houve uma estagnacao da producao cientıca de maneira geral na Europa no entanto o innito aparece nas ideias de Santo Agostinho 354430 e Sao Tomas de Aquino 12251274 o innito e entendido como um atributo de Deus A ideia de innito volta a ter um carater mıtico e religioso Neste improvavel cenario surge uma gura chamada Leonardo de Pisa 11751250 mais conhecido como Fibonacci talvez inspirado por um problema enunciado do papiro de Rhind ele apresenta em seu livro dentre outras coisas um problema sobre reproducao de coelhos que origina uma sequˆencia de numeros cons truıda da seguinte maneira os dois primeiros termos sao iguais a 1 A partir do terceiro cada termo e a soma dos dois anteriores ou seja 1 1 2 3 5 8 13 21 33 54 Apesar de seu problema envolver o calculo do numero de coelhos resultante apos um ano um numero nito de interacoes esta sequˆencia posteriormente estudada gerou resultados 7 interessantes do ponto de vista do innito O seculo XVII foi considerando um grande momento para a Matematica pois nesse perıodo que a geometria analıtica e o calculo sao desenvolvidos Destacandose grandes nomes como Simon Stevin 15461620 e Johann Kepler 15711630 que consideram so mas innitas O losofo Galileu Galilei 15841642 estabeleceu correspondˆencias entre conjuntos innitos Comparou a quantidade de numeros inteiros e de quadrados perfeitos e concluiu que um nao e maior nem menor que o outro Em 1655 John Wallis 16161703 trabalhou com series innitas Paralelamente a Isaac Newton 16431727 Gottfried Leibniz 16461716 encontrou tambem um novo calculo entre 1673 e 1676 A abordagem de Newton era essencialmente cinematica en quanto a de Leibniz era geometrica Somente no Renascimento comecouse a acrescentar questoes a esse pensamento e por volta de 1700 Newton e Leibniz inventaram o calculo innitesimal e assim surgiram formulas para o calculo das mais variadas areas e volumes assim como o comprimento de curvas O Calculo Innitesimal e a principal ferramenta Matematica que trata o innito O metodo da exaustao foi um grande catalisador dos metodos innitesimais desenvolvi dos no Renascimento para resolver problemas de areas de volumes do movimento e da mecˆanica celeste O alemao Friedrich Gauss 17771855 chamado o prıncipe dos matematicos ex pressou as duvidas dessa epoca sugeriu a retirada da ideia de innito da Matematica Em contraposicao Augustin Louis Cauchy 17891857 criou o conceito de limite um metodo de dar sentido a uma sequˆencia innita Segundo Cauchy nao era correto dizer que 1 12 14 era igual a 2 mas sim que essa soma tende a 2 sem nunca chegar a ele No seculo XVIII chegamos a epoca de Leonhard Euler 17071783 em 1748 escreveu Introductio in Analysin Innitorium e o primeiro volume desta obra trata essen cialmente de processos innitos No seculo XIX surge uma nova geracao de matematicos e agora a Matematica e tida nao apenas como uma ciˆencia importante para a Mecˆanica e para a Astronomia mas 8 como uma ciˆencia autonoma Ha uma separacao dos matematicos puros e dos aplicados Em destaque o matematico Georg Cantor 18451918 com uma ideia simples e genial Ele contou os elementos dos conjuntos innitos e os comparou Fazendo isso deu sentido a uma questao bem antiga do Innito Potencial e Innito Atual e criou os numeros transnitos Aos conjuntos com a mesma cardinalidade dos numeros naturais ele nomeou de Alefezero e percebeu tambem que a cardinalidade do conjunto dos numeros reais era maior que a dos numeros naturais Com essa ideia em mente Cantor emparelhou os numeros inteiros com os numeros menores que 1 e constatou depois de esgotar a lista dos inteiros ainda havia menores que 1 a emparelhar Concluiu que o numero desses ultimos apenas entre 0 e 1 era maior que o innito numero dos inteiros Nem havia nome para tal quantidade e coube a Cantor batizala Chamou de alefezero ao conjunto de todos os inteiros o menor dos innitos Vinha depois o alefeum e por aı adiante numa inimaginavel hierarquia de innitos O mundo cou pasmo mas como quase sempre acontece grande parte do problema era simples falta de costume com uma ideia nova DIEGUEZ 1994 O raciocınio de Cantor estendeuse a Geometria quando ele compara reta e plano e apesar de intuitivamente pensar que a reta teria uma menor quantidade de pontos ele prova que ambos possuem a mesma quantidade Ou seja e possıvel estabelecer uma relacao bijetiva entre esses dois conjuntos Com isso Cantor ampliou os horizontes da Matematica Um grande exemplo disso e a importˆancia que sua abordagem teve para a base da Teoria dos Fractais1 considerada hoje um notavel avanco no conceito de dimensao Sob esse vies surge uma nova maneira de conceber a ideia de numero ao traduzir a ideia matematica mais elementar que e a comparacao entre dois conjuntos O numero agora e visto como uma relacao entre conjuntos Richard Dedekind 18311916 fez os primeiros estudos sistematicos sobre con juntos innitos Ele eliminou os buracos existentes na reta criando os numeros reais Estabeleceu uma correspondˆencia biunıvoca entre os pontos de uma reta e os numeros reais Logo Dedekind estabeleceu uma bijecao entre dois conjuntos innitos Destacamse tambem Augustin Cauchy 17891857 que tentou dar resposta atraves do Calculo a uma serie de paradoxos que assombravam a Matematica desde o tempo de 1Fractais sao formas geometricas cujo o padrao se replica gerando guras complexas que preservam em cada uma de suas partes as caracterısticas do todo STEWART 2014 9 Zenao Karl Weierstrass 18151897 e Bernhard Bolzano 17811845 que se preocupam com os metodos do calculo innitesimal e conduziram uma formalizacao rigorosa com base na nocao de limite Este conceito permitiu um novo tratamento matematico do innito Ao longo do tempo varios matematicos tentaram encontrar criterios de com paracao entre conjuntos innitos e no seculo XIX estava mais ou menos aceito que a existˆencia de uma bijecao entre dois conjuntos permitia estabelecer a igualdade da quan tidade dos seus elementos Dado um conjunto innito de referˆencia e um outro conjunto innito podemos estabelecer uma correspondˆencia bijetiva entre esses conjuntos Em caso armativo os conjuntos tˆem o mesmo tamanho caso contrario podemos concluir que existem innitos de tamanhos diferentes Cantor mostrou em relacao ao tamanho dos conjuntos que ha innitos iguais e diferentes Tal como Dedekind ele tinha reconhe cido a propriedade fundamental dos conjuntos innitos mas viu que os conjuntos innitos nao eram todos iguais Ficou entao provado que os subconjuntos innitos que tˆem o mesmo cardinal que o conjunto dos numeros racionais e enumeravel que o conjunto dos numeros reais nao e enumeravel e que o conjunto dos pontos de um quadrado e equivalente ao conjunto dos pontos do seu lado O inıcio do seculo XX cou marcado pelo segundo Congresso Internacional de Matematica que ocorreu em Paris 1900 David Hilbert 18621943 apresentou numa conferˆencia uma lista de vinte e trˆes problemas matematicos que precisavam de resposta O primeiro referiase a estrutura de continuidade dos numeros reais e mais explicita mente a Hipotese do contınuo Ele questionou se haveria algum cardinal entre o contınuo reais e o numeravel inteiros e se o contınuo poderia ser considerado bem ordenado Os trabalhos de Kurt Godel 19061978 em 1936 e de Paul Cohen 19342007 em 1963 mostraram que esta formulacao nao pode ser demonstrada nem refutada tendo em conta apenas os axiomas habituais da teoria de conjuntos Acrescentase apenas que Cantor nao reconhecia a existˆencia dos innitamente pequenos e foi preciso esperar pela Analise nao Standard 2 formulada por Abraham Ro binson 19181974 em 1961 para os innitesimais serem reconhecidos como entidades bem denidas e assim justicar os calculos que os fısicos faziam com eles 2Analise nao Standart e uma metodo matematico rigoroso que dene os numeros reais innitamente grandes ou innitamente pequenos SCIENTIFIC AMERICAN BRASIL 2006